01 señal senoidal

Prof. Ricardo R. Horta O.
Escuela
Militar de Ingenieros
ONDAS SENOIDALES, FRECUENCIA Y
FASE
)2()()( 00 ftsenVwtsenVtv π==
Los valores instantáneos de las señales eléctricas pueden
graficarse cuando varían en el tiempo y se llaman formas de onda.
Cuando varía en el tiempo y contiene partes positivas como
negativas se le llama onda de corriente alterna (ca). Cuando varía
repitiéndose en forma continua, se llama onda periódica. Cuando no
varían en el tiempo se llaman señales de corriente directa (cd).
La señal más
utilizada es la
senoide. Su
expresión
matemática es:

Escuela
En la figura anterior, hay dos ondas de igual frecuencia pero
desplazadas un cierto ángulo de fase:
)()(v.s.)()( 00 θ−== wtsenVtvwtsenVtv BA
Si la onda B tiene valor cero (con pendiente positiva) que se
presenta después del valor de cero (con pendiente positiva)
de la onda A, entonces se dice que la onda B sigue a la onda
A, o está atrasada con respecto a la onda A y viceversa.

Escuela
VALOR PROMEDIO Y VALOR CUADRÁTICO MEDIO
(RMS)
Si las señales aplicadas a un circuito son señales de cd , es
bastante fácil calcular cantidades tales como el número de
amperios que fluyen en el circuito, o la energía disipada por
los componentes del circuito a lo largo de un periodo de
tiempo.
Si la señal varía con el tiempo, su onda ya no es tan sencilla
como la (a), sino como la (b) ó (c):

Escuela
Cuando las ondas poseen formas variables con el tiempo, ya
no es suficiente medir solamente el valor de la cantidad que
representa un solo instante. No es posible determinar todo lo
que se debe conocer sobre la señal, a partir de una sola
medición.
Los dos valores característicos empleados con mayor
frecuencia en ondas variables en el tiempo son su valor
promedio (ó medio) y su valor cuadrático (ó rms).

Escuela
VALOR
PROMEDIO
periododellongitud
curvalabajoárea
=promA
El valor promedio de una onda de corriente que varía a lo
largo de un periodo T, es el valor que tendría una corriente
directa si suministrara una cantidad igual de carga en el
mismo periodo T.
Matemáticamente, el valor promedio de cualquier onda
periódica se obtiene dividiendo el área bajo la curva de la
onda en un periodo T, entre el tiempo del periodo:
En forma general:
∫=
T
prom dttf
T
A
0
)(
1

Escuela
Encuentren el valor promedio de las siguientes ondas:

Escuela
El valor promedio de la onda (a) lo podemos obtener de la
siguiente forma:
5
4
20
4
)210()0()140(
periododellongitud
curvalabajoárea
==
×−+×
==promA
∫∫ ==
TT
prom dt
T
t
senA
T
dttf
T
A
0
0
0
)
2
(
1
)(
1 π
El valor promedio de la onda (b) lo podemos obtener de la
siguiente forma:
[ ] 0)1()1(
2
2
cos
2
)
2
( 0
0
0
00
=+−=



== ∫ π
π
π
π A
t
TT
TA
dtt
T
sen
T
A
A
T
T
prom
Nótese que el valor medio de una señal sinusoidal ó simétrica
es cero.

Escuela
VALOR CUADRÁTICO MEDIO (RMS)
RMS son las primeras letras de root mean square. El valor rms
o valor efectivo de una onda variable en el tiempo es el valor
que una onda de cd entregaría para disipar la misma potencia.
Para calcular el valor efectivo, se eleva primero al cuadrado la
magnitud de la onda en cada instante, se calcula el valor
promedio de las magnitudes elevadas al cuadrado y se calcula
su raíz cuadrada:
[ ]∫=
T
rms dttf
T
A
0
2
)(
1

Escuela
Para la onda senoidal del ejemplo anterior:
[ ]
T
TT
rms t
T
sen
Tt
T
A
dtt
T
senA
T
dttf
T
A
0
2
0
0
2
2
0
0
2 4
42
21
)(
1












−=











== ∫∫
π
π
π
0
0
707.0
2
A
A
Arms ==

Escuela
En la siguiente figura se muestran seis formas de onda con valores promedio y rms:

Escuela
Sea la función:
)()cos()(
:generalEn
)cos()cos()()3
)()()()2
)cos()()1
2
παα
π
π
±+=+=
±=−=
±=−=
=
wtAsenwtAtf
wtAwtAtf
wtAsenwtAsentf
wtAtf
)()( α+= wtAsentf

Escuela
Correspondencia entre funciones senoidales y
números complejos
Todas las funciones senoidales tienen una correspondencia
con un número complejo y viceversa:
)()()( sFKAwtAsentf =↔+= αα
K es una constante para todas las funciones sinusoidales y
vale 1/√2, es decir, KA es el valor rms de la señal sinusoidal.
Tendrá otro valor según el tipo de forma de onda que se
maneje.

Escuela
α
ααα
αα
ααα
jKwAtf
dt
d
jKwAKwAKwA
KwAwtwAsentf
dt
d
senwtwAtf
dt
d
↔
=°⋅=°+
°+↔°++=
°+=+=
)(
)901()(90:donde
90)90()(
)90(cos:como)cos()(
Para la derivada:

Escuela
α
ααα
αα
αα
α
α
jw
KA
dttf
jw
KA
w
KA
w
KA
w
KA
wtsen
w
A
dttf
sen
w
wtA
dtwtAsendttf
↔
=°⋅−=°+−
°+−↔°++−=
°+=
+
−=+=
∫
∫
∫∫
)(
)901()(90:donde
90)90()(
)90(cos:como
)cos(
)()(
Para la integral:

Escuela
Respuesta de los elementos básicos a un
voltaje o corriente senoidal
Al suministrar energía eléctrica a un elemento pasivo de un
circuito, éste se comporta de una ó más formas: Si disipa la
energía es un elemento resistivo; si la almacena en un campo
magnético, es una bobina pura; si la acumula en un campo
eléctrico, es un condensador puro. En la práctica, los
componentes de un circuito se comportan de más de una de
estas formas y muchas de las veces, de las tres
simultáneamente; pero suele dominar alguno de los tres
efectos. Se puede diseñar una bobina con un gran coeficiente
de autoinducción, pero el alambre con que se fabrica presenta
cierta resistencia que es imposible de anular. De modo que
ésta bobina presentará dos efectos: el de bobina y el de
resistencia.

Escuela
Consideremos el siguiente circuito serie:

Escuela
La diferencia de potencial en un elemento resistivo puro es
directamente proporcional a la corriente que circula por él
(Ley de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas
variables es llamada resistencia (R):
.frecuencialadedominioelEn)()(
tiempo.deldominioelEn)()(
sIRsV
tiRtv
⋅=
⋅=
Si por la bobina circula una corriente eléctrica variante en el
tiempo, se origina en ella un potencial que es directamente
proporcional a dicha corriente:
.frecuencialadedominioelEn)()()(
tiempo.deldominioelEn
)(
)(
sIjwLsV
dt
tdi
Ltv
⋅=
=

Escuela
La diferencia de potencial en un condensador es
directamente proporcional a la carga Q almacenada en él. La
constante de proporcionalidad entre estas variables es
llamada capacitancia (C):
.frecuencialadedominioelEn)(
1
)(
tiempo.deldominioelEn)(
1
)(
)(como)()(
sI
jwC
sV
dtti
C
tv
dt
dQ
titvCtQ
⋅=
⋅=
=⋅=
∫
Por lo tanto, la suma de los voltajes de cada elemento
pasivo del circuito serie es igual al voltaje total de la fuente
de alimentación:
.frecuencialadedominioelEn
)(
)()()(
C
1)(
)()(
1
1
jwC
sI
sjwLIsRIsV
dtti
dt
tdi
LtRitv
++=
++= ∫

Escuela
Factorizando el termino de la corriente eléctrica en el
dominio de la frecuencia:
)()
1
()(
1
)(1 sI
wC
wLjRsI
jwC
jwLRsV 





−+=





++=
El termino entre paréntesis es la impedancia Z (en Ohms)
de los elementos en serie. Donde wL es la reactancia
inductiva XL , 1/wC es la reactancia capacitiva XC y
R es la resistencia pura.
T
fw
XXjRjXjXRZ CLCL
π
π
2
2
)(
==
−+=−+=

Escuela
Resonancia de un circuito serie
LC
f
LC
w
wC
jjwL
wC
jjwL
wC
jjwLRZ
π2
1
:deciresc
1
1
0
1
1
0 ==⇒
=∴=−
−+=
La reactancia de la
impedancia compleja del
circuito, vale cero cuando
entra en resonancia:

Escuela
Consideremos el siguiente circuito paralelo:

Escuela
La corriente que circula en un elemento conductivo puro es
directamente proporcional a la caída de potencial en él (Ley
de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas
variables es llamada conductancia (G):
sVGsI
tvGti
⋅=
⋅=
Si en la bobina hay una caída de potencial variante en el
tiempo, se origina en ella una corriente eléctrica que es
directamente proporcional a dicho potencial:
.frecuencialadedominioelEn)(
1
)(
1
)(
sV
jwL
sI
dttv
L
ti
=
= ∫

Escuela
La diferencia de potencial del condensador es directamente
proporcional a la carga Q almacenada en él. La constante de
proporcionalidad entre estas variables es llamada
capacitancia (C):
)(como)()(
sVjwCsI
tv
dt
d
Cti
dt
dQ
titvCtQ
⋅=
=
=⋅=
Por lo tanto, la suma de las corrientes de cada elemento
pasivo del circuito paralelo es igual a la corriente total de la
fuente de alimentación:
.frecuencialadedominioelEn
)(
)()()(
1)(
)()(
1
1
jwL
sV
sjwCVsGVsI
dttv
Ldt
tdv
CtGvti
++=
++= ∫

Escuela
)()()(
1
)(1 sV
w
wCjGsV
jwL
jwCGsI 




 Γ
−+=





++=
De forma similar, se define la admitancia Y como el inverso
de la impedancia:
El termino entre paréntesis es la admitancia Y (en Mhos)
de los elementos en un circuito paralelo. Donde Γ es la
invertancia, 1/wL es la susceptancia inductiva BL ,
wC es la susceptancia capacitiva BC y G es la
conductancia.
T
fw
BBjGjBjBGY LCLC
π
π
2
2
)(
==
−+=−+=

Escuela
Resonancia de un circuito paralelo
LC
f
LC
w
wL
jjwC
wL
jjwC
wL
jjwCGY
π2
1
:deciresc
1
1
0
1
1
0 ==⇒
=∴=−
−+=
La susceptancia de la
admitancia compleja del
circuito, vale cero cuando
entra en resonancia:

Escuela
Un problema de Mecánica
Consideremos una masa (m) suspendida por un resorte
que tiene una determinada elasticidad. El peso se
empuja hacia abajo con una fuerza F, se libera
súbitamente y se deja oscilar libremente:

Escuela
Cuando el resorte se extiende, tirando del peso hacia
abajo, se gasta una cierta cantidad de energía que se
almacena como Energía Potencial en la tensión del
resorte. Por el momento desechemos la fricción. La
energía potencial almacenada en el resorte debe ser
igual a la que invertimos para estirar (ó comprimir) el
resorte. La fuerza restauradora F1 que tiende a restaurar
el resorte, es proporcional a la elongación o
desplazamiento x del resorte desde la posición en
reposo: xKF S−=1
Donde Ks es una constante de proporcionalidad, el
coeficiente de elasticidad. El signo “-” indica que actúa
en dirección opuesta.

Escuela
Cuando se suelta la masa, la energía potencial
almacenada en el resorte se libera súbitamente,
convirtiéndose en Energía Cinética. Durante el
movimiento, la masa sufre una aceleración a que
depende directamente de la fuerza original aplicada e
inversamente de la inercia de la masa:
2
2
bienó
dt
xd
mmaF
m
F
a ===

Escuela
Después de que el resorte ha tirado de la masa para
regresarla a su posición original (x = 0), la acción no se
detiene ahí, debido a la inercia. La masa resiste
cualquier cambio súbito en su movimiento. Por lo tanto,
no se detiene cuando el resorte carece de tensión, sino
que por el contrario, continúa comprimiendo al resorte
hasta que toda la energía cinética adquirida durante el
movimiento de la masa se almacena nuevamente como
energía potencial en el resorte comprimido. Ahora, el
resorte libera nuevamente su compresión convirtiéndola
en energía de movimiento en la masa y el proceso se
repite nuevamente.

Escuela
La acción continuaría indefinidamente si no fuese por el
hecho de que parte de la energía se pierde en cada
oscilación, debido a la fricción viscosa del resorte y
soporte. Así, el desplazamiento máximo (amplitud) es
más pequeño en cada oscilación, hasta que es cero.

Escuela
Si la masa fuera jalada durante cada oscilación
descendente con energía suficiente para vencer la
fricción interna, resultaría una oscilación no
amortiguada:

Escuela
La fuerza amortiguadora F2, debida a la fricción viscosa
es proporcional a la velocidad del movimiento del
resorte:
dt
dx
KvKF ff −=−=2
Donde Kf es una constante de proporcionalidad, el
coeficiente de fricción y el “-” indica que la fuerza
amortiguadora se opone al movimiento.

Escuela
La fuerza F es la suma algebraica de las fuerzas
restauradoras y amortiguadoras, es decir:
02
2
2
2
21
=++
∴−−==
∴+=
xK
dt
dx
K
dt
xd
m
dt
dx
KxK
dt
xd
mF
FFF
Sf
fS
Se conoce como ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden, cuya solución es:
( ))(wtAsenex bt−
=

Escuela
Llevamos la ecuación a su forma integro-diferencial:
00
:frecuencialadedominioaloTrasladand
0
:como02
2
=











−+∴=++⇒
=⋅+⋅+∴
=⇒==++
∫
∫
V
K
mjK
j
VkK
VkKmVjk
dtvKvK
dt
dv
m
vdtxv
dt
dx
xK
dt
dx
K
dt
xd
m
S
f
S
f
Sf
Sf
ω
ω
ω
ω

Escuela
Cuando entra en resonancia, la reactancia de la
impedancia compleja del circuito vale cero :
m
K
f
m
KK
m
K
m SSSS
π
ω
ω
ω
ω
ω
2
1
;0 2
==⇒=∴=−
Así, frecuencia de oscilación es directamente proporcional
a la raíz cuadrada del cociente del coeficiente de
elasticidad entre la masa.
C
KmL
m
K
LCm
K
LC
m
K
f
LC
f
S
SS
S
1
&
11
2
1
&
2
1
00
↔↔
=∴=∴
==
ππ

Escuela
Un problema de Electricidad
Consideremos un condensador que se ha cargado
inicialmente por medio de una batería y súbitamente se
descarga, colocando el interruptor S en Descarga, a
través de una bobina L y resistencia R:

Escuela
Si la resistencia del circuito es de valor pequeño,
tendrán lugar oscilaciones eléctricas que corresponden
a las oscilaciones mecánicas amortiguadas del péndulo
de resorte. Si las ecuaciones diferenciales y sus
soluciones son análogas, entonces los fenómenos son
equivalentes.
La inductancia se resiste a cualquier cambio de
corriente que pasa por ella. Es decir, su efecto es similar
a la inercia de una masa, que hace que se resista a
cualquier cambio en su movimiento. En forma similar, la
carga de un condensador es físicamente análoga al
desplazamiento ó tensión de un resorte. La resistencia
eléctrica es análoga a la resistencia mecánica ó fricción
del péndulo de resorte.

Escuela
La Analogía Física
Cuando se carga un condensador por medio de una
fuerza electromotriz, se almacena energía eléctrica en el
campo eléctrico entre las placas del capacitor. Esta es
análoga al almacenamiento de energía potencial en la
tensión de un resorte. Si el condensador se descarga
súbitamente a través de una inductancia, la energía del
campo eléctrico se libera por el movimiento de las cargas
(corriente) en la bobina, y establece un campo magnético
en ella. La energía del campo eléctrico se transforma en
energía de campo magnético, lo cual corresponde a la
conversión de energía potencial a energía cinética del
movimiento en el péndulo de resorte.

Escuela
Como en el sistema mecánico, el movimiento de las
cargas no cesa cuando el capacitor está completamente
descargado, sino que debido a la inercia eléctrica
(inductancia) de la bobina, la corriente continúa
circulando hasta que el condensador se recarga en la
dirección opuesta y la energía inicial queda nuevamente
almacenada en el campo eléctrico. El circuito continua
oscilando con el almacenamiento y liberación alternadas
de energía en los campos del condensador y la bobina,
igual que el péndulo mecánico continúa oscilando por el
almacenamiento y liberación alternadas de la energía
mecánica en el resorte y la masa.

Escuela
El péndulo mecánico cesa de oscilar cuando toda su
energía se ha utilizado en vencer la fricción interna. En
forma semejante, un circuito inductivo – capacitivo cesa
de oscilar cuando toda su energía eléctrica se disipa en
la resistencia del devanado de la bobina y los
conductores.

Escuela
Circuito Eléctrico Serie
En un circuito serie, el voltaje E(t) es la
suma de los potenciales de cada elemento
que conforman la red, como lo indica la
segunda ley de Kirchhoff. El potencial
en cada elemento es:
Inductancia: Resistencia: Capacitancia:
q
Cdt
dq
RiR
dt
qd
L
dt
di
L
1
2
2
==

Escuela
Por lo tanto, el potencial E(t) está expresado como:
O bien:
q
Cdt
dq
R
dt
qd
LtE
1
)( 2
2
++=
∫++= idt
C
Ri
dt
di
LtE
1
)(

Escuela
Circuito Mecánico Serie
En un circuito serie, la fuerza F(t) es
la suma de las fuerzas que ejerce
cada elemento que conforman la red.
La fuerza en cada elemento es:
Masa: Amortiguador: Resorte:
kxbv
dt
dx
b
dt
dv
m
dt
xd
m ==2
2

Escuela
Por lo tanto, la fuerza F(t) está expresada como:
O bien:
kx
xt
dx
b
dt
xd
mtF ++= 2
2
)(
∫++= vdtkbv
dt
dv
mtF )(

Escuela
D (Distancia o desplazamiento) ⇒
V (Velocidad) ⇒
a (Aceleración) ⇒
F (Fuerza) ⇒
M (Masa o inercia) ⇒
Ks (Modulo de elasticidad) ⇒
Kf (Fricción Viscosa) ⇒
F (Fuerza sobre el resorte)=KsD ⇒
F (Fuerza de fricción)=KfV ⇒
F=MdV/dt (2a
ley de Newton) ⇒
½MV2
(Energía cinética) ⇒
½KsD2
(Energía potencial) ⇒
Q (Carga)
I (Corriente)
V (Voltaje)
L (Inductancia)
1/C (Elastancia)
V=Q/C
V=IR Ley de Ohm
V=LdI/dt (Volt. Del Inductor)
½LI2
(Energía Magnética)
½CV2
(Energía Capacitiva)
Equivalencias Mecánicas – Electricas:
R (Resistencia)
Tabla de Analogías Voltaje-Fuerza
di/dt (Amperios/segundo)

Escuela
Circuito de Nivel de Líquido
En este circuito, la
altura H(t) es la suma
de efectos que
ejercen cada
elemento que
conforman la red. La
influencia en la altura
que cada elemento
provoca es:
Inertancia: Resistencia: Capacitancia:
V
C
1
Rq
dt
dV
R
dt
dq
I
dt
Vd
I ==2
2

Escuela
Por lo tanto, la altura H(t) esta expresada como:
O bien:
V
Cdt
dV
R
dt
Vd
ItH
1
)( 2
2
++=
∫++= qdt
C
qR
dt
dq
ItH
1
)(

Escuela
Tabla de Analogías Corriente-Caudal
Voltaje ⇒
Inductancia ⇒
Resistencia ⇒
Capacitancia ⇒
Carga ⇒
Corriente ⇒
Altura
Inertancia
Resistencia al flujo
Capacitancia
Volumen
Flujo ó Caudal

Escuela
BIBLIOGRAFÍA
Benitez Serrano Ismael, CIRCUITOS ELÉCTRICOS, VOL. 1, Instituto Politécnico Nacional.
Wolf & Smith, GUÍA PARA MEDICIONES ELECTRÓNICAS Y PRÁCTICAS DE LABORATORIO,
Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.
Cooper & Helfrick, INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA MODERNA Y TÉCNICAS DE
MEDICIÓN, Prentice Hall Hispanoamericana, 1991.
Hayt & Kemmerl, ENGINEERING CIRCUITS ANALYSIS, McGraw-Hill, 1993.
Norton H. N., HANDBOOK OF TRANSDUCER FOR ELECTRONIC MEASURING SYSTEM,
Prentice Hall, 1969.
Maloney T., ELECTRÓNICA INDUSTRIAL: DISPOSITIVOS Y SISTEMAS, Prentice Hall
Hispanoamericana 1983.
Johnson, Hilburn & Jonson, ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, Prentice Hall
Hispanoamericana 1991.
Prat, Calderer, Argonés, Casas, Guinjoan, Molinàs, Navarro & Turo, LABORATORIO DE
ELECTRONICA, Alfaomega, 2000.
Boylestad, ANALISIS INTRODUCTORIO DE CIRCUITOS, Pearson Educación, 1998.
Kaufman & Seidman, MANUAL PARA INGENIEROS Y TECNICOS EN ELECTRONICA, McGraw-
Hill, 1982.

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