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Simulación numérica de una línea coaxial con
bajas pérdidas terminada en corto circuito o
circuito abierto.
Sergio Velandía Cáceres, Johan Sebastián Díaz Rodríguez
Abstract—this document contains a numeric development
about the propagation waves electromagnetic through a coaxial
wire. In particular we will study the potential field along a
transmission line lossless and the stationary wave phenomenon a
short-circuited line. The aim of this work is apply the leap-frog
method to calculate the stationary wave phenomena of the
transmission line RG174/U, when this has finished in a short-
circuited and opened-circuit. The leap-frog method was used to
discretize telegrapher's equations and solve coupling between the
voltage and current. On the other hand, we have gotten FIGURA 2.1. Modelo circuital de un segmento diferencial de longitud.
stationary phenomena due to that the value of the load was set on Los valores de la inductancia y resistencia se distribuyen de forma
zero or highest in these situations, the less value of the voltage simétrica en la línea. El símbolo ’ indica que los parámetros son
was zero. It is to the first condition (short-circuited), and the característicos sobre un diferencial de longitud de línea.
maximum value of the voltage possible, it is to last condition
(opened-circuit). Finally, the value SWR was highest.
El cuál contiene los parámetros necesarios (constantes)
I. INTRODUCCIÓN
para caracterizar el segmento incremental de línea, entre
Debe contener una descripción del problema que se está ellos la inductancia L’, la capacitancia C’, la resistencia
resolviendo, el propósito de este trabajo, el método seguido R’ y la conductancia G’. Las ecuaciones se obtienen
para desarrollarlo, y qué se espera de los resultados. Todo lo
mediante la aplicación de la ley de voltajes de Kirchoff
anterior incluyendo unas referencias bibliográficas pertinentes
(KVL) y la ley de corrientes de Kirchoff (KCL) y se
y verdaderamente consultadas.
expresa como sigue:
II. MÉTODOS
Este apartado se desarrollará en dos secciones. En la primera
se discutirá acerca de de las ecuaciones de la línea de
transmisión, y el efecto de la propagación sin pérdidas, como
situación particular. En la última, se explicará la manera en la
que la técnica de análisis numérico FDTD fue utilizada sobre
las ecuaciones del telegrafista para las condiciones sin
pérdidas.
Donde:
2.1. Acerca de las ecuaciones de la Línea de Transmisión
L: Inductancia de la línea [H/m]
Con el fin de obtener las ecuaciones diferenciales que C: Capacitancia de la línea [F/m]
R: Resistencia de la línea [Ω/m]
describen el comportamiento ondulatorio de la tensión y
G: Conductancia de la línea [S/m]
la corriente a lo largo de una línea de transmisión, con
frecuencia se propone un modelo circuital de un Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones de
segmento diferencial de longitud de línea, como sigue: onda generales para línea de transmisión.
Como caso particular se discutirá sobre la propagación sin
pérdidas y las ecuaciones características .Ya que la
propagación sin pérdidas connota que la potencia no se disipa,
por lo tanto para el modelo mostrado los valores de R, G
deben ser cero. Lo que se obtiene evaluando esta condición en
1 y 2:

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La relación de onda estacionaria es un concepto importante en
este desarrollo. Se define como el cociente entre el valor
máximo de tensión y su valor mínimo:
A partir de 3 y 4 se puede identificar la velocidad de onda para
propagación sin pérdidas:
Donde:
Vp: velocidad de propagación [m/s]
En términos de las ecuaciones del telegrafista, en condiciones
sin pérdidas, la relación entre voltaje y corriente se puede
expresar como sigue:
Donde:
v: Voltaje a través de la línea [Volts]
i: Corriente a lo largo de la línea [Amperes]
L: Inductancia de la línea [H/m]
C: Capacitancia de la línea [F/m]
R: Resistencia de la línea [Ω/m]
Figura 2.2. Esquema circuital de los casos mencionados,
G: Conductancia de la línea [S/m]
circuito abierto y corto circuito.
2.3. Acerca de la formulación FDTD
2.2. Sobre lo que se estudiará
Las ecuaciones que modelan la propagación de las ondas
Como ya se ha señalado estudiaremos el efecto sobre una línea de voltaje y de corriente a lo largo de una línea de
de transmisión que presenta bajas pérdidas en radiofrecuencia, transmisión sin pérdidas son:
cuya capacitancia e inductancia por unidad de longitud están
determinadas y son respectivamente C=96.8Pf/m y
L=0.242µH/m. De un corto-circuito o un circuito abierto que
reemplazará a la carga ordinaria, en una ubicación de z=20m
de la fuente de tensión senoidal, esta última en el terminal de
entrada.
Donde: Nótese que la línea está orientada a lo largo del eje z, por
: es la forma iterativa de la fuente de tensión; lo tanto se considera como un problema de una
wo : es la frecuencia propia de la fuente, a fo=100Mhz. dimensión. Por lo anterior se deduce que las ondas de
Es de importancia deducir la expresión de la impedancia tensión y de corriente viajan en la misma dirección.
característica en términos de la capacitancia e inductancia para Tomando diferencias centrales tanto para las derivadas
el caso que se estudiará. Por lo tanto:
espaciales como para las derivadas temporales dadas:
(8) 1
z k z n n
V 2 vk 1 vk
Donde Zo: representa la impedancia característica de la Línea, z t n t z
para el caso particular [Ω/m].

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z k z n 1 n 1
V vk vk A continuación se muestran en las figuras los momentos
t t n
1
t t mencionados.
2
De la formulación anterior se asume que el voltaje y la
corriente están entrelazadas en tanto el espacio como en el
tiempo. El siguiente esquema nos muestra la manera en la
que ambas variables se encuentran intercaladas, una de la
otra.
Reordenando las ecuaciones anteriores:
En la siguiente sección se discutirá sobre la forma de
determinar el paso de tiempo ∆t, para garantizar la Figura 3.1. En la figura se observa la onda viajera antes de encontrarse
con la frontera z=20 [m].
estabilidad del método.
2.4. Estabilidad del método FDTD
Ya que las ondas de tensión y de corriente no se
pueden propagar a lo largo de la línea a una
velocidad superior a la de propagación Vp, dada por
la ecuación (5). Por lo tanto se debe garantizar que:
Esto quiere decir que la propagación sobre una
distancia ∆z a una velocidad Vp requiere un mínimo
de tiempo ∆t. Por lo tanto:
Figura 3.2. En la figura se observa la reflexión debido a la condición de
corto circuito establecida en la frontera.
Donde en particular,
Donde:
Λo=longitud de onda en espacio libre debido a una
frecuencia de operación del generador de fo=100
MHZ. [m]
Z: la distancia en la que se ubicara el corto-circuito o
en su defecto el circuito abierto, z=20 m.
III. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 3.3. En esta figura se muestra el patrón de onda estacionaria en
una longitud de onda, cabe resaltar la ubicación de uno de los nodos de la
3.1. Condición corto circuito onda sobre la frontera z=20 [m].
En el momento en que la onda viajera de tensión se encuentra
con la frontera z=20 [m], en el que se ha establecido el corto
circuito, se observa una reflexión y posteriormente un patrón
de onda estacionaria, en el que uno de los nodos de tensión se
ubica sobre la frontera ya mencionada. Además el valor de la
relación de onda S, es consistente con el resultado teórico.

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Figura 3.6. En la figura se observa la reflexión debido a la condición de
corto circuito establecida en la frontera.
Figura 3.4. En la figura se resalta los valores máximos y mínimos
absolutos de voltaje para el cálculo de la relación de onda.
3.2. Condición circuito abierto
En el momento en que la onda viajera de tensión se encuentra
con la frontera z=20 [m], en el que se ha establecido el circuito
abierto, se observa una reflexión y posteriormente un patrón
de onda estacionaria, en el que uno de los máximos se ubica
sobre la frontera ya mencionada. Además el valor de la
relación de onda S, es consistente con el resultado teórico.
A continuación se muestran en las figuras los momentos Figura 3.7. En esta figura se muestra el patrón de onda estacionaria en una
longitud de onda, cabe resaltar la ubicación de uno de los valles de la onda
mencionados. sobre la frontera z=20 [m].
Figura 3.5. En la figura se observa la onda viajera antes de encontrarse
con la frontera z=20 [m].
Figura 3.8. En la figura se resalta los valores máximos y mínimos
absolutos de voltaje para el cálculo de la relación de onda.

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IV. CONCLUSIONES
El voltaje evaluado en la posición de corto circuito es
cero, y la corriente sobre la misma es presenta un
máximo.
Por otro lado el voltaje evaluado en la posición de
circuito abierto presenta un máximo y la corriente
para ésta es cero.
El valor de la relación de onda, en ambas condiciones
es considerablemente grande lo que hace la hace
consistente con lo calculado teóricamente.
En la condición de corto circuito la onda i reflejada
se desfasa 180° con respecto a la onda incidente.
En la condición de circuito abierto la onda incidente
se encuentra en fase con la onda reflejada.
.
REFERENCIAS
[1] Wiiliam H. Hayt, Jr, John A. Buck, “Teoría Electromagnética” , 7° ed.
New York: McGraw-Hill, pp. 334–336,353.
[2] Denis M, Sellivan.Electromagnetics Simulation Using The FDTD
method. IEEE press, pp. 1-4.
[3] Denis M, Sellivan.Electromagnetics Simulation Using The FDTD
method. IEEE press, pp. 1-4.
[4] Karl Kunz. The finite Difference Time Domain for
Electromagnetics”.Luebbenrs CRC Press 1993.
[5] Near-and Far-Field Calculations in FDTD Simulations Using Kirchhoff
Surface Integral,Omar M. Ramahi, Member, Available:
https://ece.uwaterloo.ca/~oramahi/IEEE-TAP-Near-May1997.pdf
First A. Author (M’76–SM’81–F’87) and the other authors may include
biographies at the end of regular papers. Biographies are often not included in
conference-related papers. This author became a Member (M) of IEEE in
1976, a Senior Member (SM) in 1981, and a Fellow (F) in 1987. The first
paragraph may contain a place and/or date of birth (list place, then date). Next,
the author’s educational background is listed. The degrees should be listed
with type of degree in what field, which institution, city, state, and country,
and year degree was earned. The author’s major field of study should be
lower-cased.