1. Precio Dual:
El Precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo si se agrega una
unidad adicional al lado derecho de dicha restricción.
Dado que el precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo, esta
mejora va a depender si el modelo es de maximizar o minimizar la función
objetivo. Si el objetivo es maximizar, entonces la mejora significará un aumento
del valor óptimo. Si el objetivo es minimizar, entonces la mejora significará una
disminución del valor óptimo.
Para ilustrar el cálculo y la interpretación del precio dual, retomemos el ejemplo
de la producción de las carteras estándar y de lujo y calculemos el precio dual de
la restricción 3.
Aumentamos una unidad el lado derecho de dicha restricción y calculemos la
nueva solución óptima:
X1 + 0,5 X2 = 600 (restricción 2)
0,5 X1 + 0,5 X2 = 351 (restricción 3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos la nueva solución óptima: X1 =
498 y X2 = 204. Reemplazando estos valores en la función utilidad, nuevo valor
óptimo es 13 020. Si compara estos resultados con la solución óptima original (X1
= 500, X2 = 200) y valor óptimo original (13 000) notará un cambio de valores.
El aumento en 1 del lado derecho de la restricción 3 ha producido una mejora de
20 en el valor óptimo, es decir, el precio dual de la restricción 3 es 20. La
interpretación del precio dual de la restricción 3 es que si aumentamos una hora
la capacidad del departamento de Acabado, este aumento generará un
incremento de S/. 20 en la utilidad.
Costo Reducido:
El costo reducido de una variable en el modelo de programación lineal es la
cantidad en que debe cambiar el coeficiente de esa variable en la función
objetivo para que en la solución óptima dicha variable tenga un valor positivo
También se interpreta como el valor que disminuye la función objetivo cuando
esta variable cuyo valor óptimo es cero, es forzada a entrar en una unidad.
Como en el ejemplo de las carteras, la solución óptima tiene valores de las
variables positivas, entonces no es necesario realizar ningún cambio en los
coeficientes de las variables en la función objetivo y por lo tanto el costo
reducido de ambas variables es cero.
Sobre el análisis de sensibilidad se podría concluir que:

2. a. Al cambiar los coeficientes de la función objetivo, ésta puede cambiar su
pendiente. El cambio de la pendiente puede afectar a la solución óptima y al
valor óptimo.
b. El cambio en el valor del lado derecho de una restricción equivale
gráficamente a un desplazamiento paralelo de la restricción. Esto puede
afectar tanto a la solución óptima como al valor óptimo. El efecto dependerá
de qué restricción se haya cambiado y en qué medida.
c. Estrechar una restricción de desigualdad significa hacerla más difícil de
satisfacer. Para una restricción ≥ esto significa aumentar el lado derecho.
Para una restricción ≤ significa disminuirlo.
d. Relajar una restricción de desigualdad, o bien crece el conjunto factible o
posiblemente queda inalterado..
e. Estrechar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto
factible posiblemente quede inalterado.
f. Una restricción es redundante si al ser retirada no cambia la región
factible.
g. Es muy importante considerar que una restricción puede ser redundante
para un conjunto dado, no lo sea cuando se cambian algunos datos.
h. En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fijo de
datos, las restricciones inactivas pueden ser retiradas sin afectar la solución
óptima. La solución óptima depende por completo de las restricciones
activas.
i. Al eliminar las restricciones la región factible queda inalterada o
aumenta.
j. La adición de restricciones hace que la región factible quede inalterada o
se reduzca.
k. La adición de restricciones a un modelo o bien empeora el valor óptimo o
lo deja inalterado. La eliminación de restricciones o bien mejora el valor
óptimo o lo deja inalterado.

3. Problema 1.4.-
Dado el siguiente problema de programación lineal:
Max 100 X1 + 500 X2
sujeto a:
3 X1 + 2 X2 ≥ 600
2 X1 + 4 X2 ≥ 800
X1 , X2 ≥ 0
Determine:
a. La región factible.
b. La solución óptima y el valor óptimo.
c. Los precios duales de las restricciones.
d. Los costos reducidos de las variables.
Solución:
l. La región factible se determina gráficamente.
m. La solución óptima es el vértice A (X1 = 0; X2 = 200); el valor óptimo es 100 000.
n. Dado que la restricción 3 X1 + 2 X2 ≥ 600 no es activa, su precio dual es cero.
Dado que la restricción 2 X1 + 4 X2 ≥ 800 sí es activa, su precio dual es
diferente de cero. Entonces, aumentamos el lado derecho de dicha restricción
en una unidad, es decir: 2 X1 + 4 X2 ≥ 801 y calculamos el cambio que se
produce en el valor óptimo dada la nueva solución.
X2
X1
100 200 300 400
200
300
400
100
3X1
+2X2
=600
2X
1 + 4X
2 = 800
Región
factible
0
A
B
C
X2
X1
100 200 300 400
200
300
400
100
3X1
+2X2
=600
2X
1 + 4X
2 = 800
Región
factible
0
A
B
C
X2
X1
100 200 300 400
200
300
400
100
3X1
+2X2
=600
2X
1 + 4X2 =801Región
factible
0
A’
B’
C
X2
X1
100 200 300 400
200
300
400
100
3X1
+2X2
=600
2X
1 + 4X2 =801Región
factible
0
A’
B’
C

4. La nueva solución óptima es el vértice A’ (X1 = 0; X2 = 200,25) y el nuevo valor
óptimo es 100 125. La función objetivo ha mejorado de 100 000 a 100 125.
Esta mejora del valor óptimo, es decir, el precio dual de la restricción es 125.
o. Como en la solución óptima, el valor de X2 es diferente de cero, su costo
reducido es cero.
Como en la solución óptima, el valor de X1 es cero, su costo reducido es
diferente de cero.
Como en la solución óptima X1 = 0, el coeficiente de X1 en la función
objetivo debe cambiar (aumentar) y eso supone un cambio de la pendiente de
la función objetivo.
Debido a que es una función objetivo a maximizar, los coeficientes
representan las utilidades unitarias. Si X1 = 0 en la solución óptima es porque
su utilidad no es suficiente y debe aumentar. La pendiente de la función
objetivo debe cambiar hasta por lo menos igualar la pendiente de la segunda
restricción y obtener soluciones óptimas alternativas, es decir, si C1 es el
nuevo coeficiente de X1
2
1
500
C1
−=− , por lo tanto C1 = 250
El nuevo coeficiente debería ser por lo menos 250 para que la solución de X1
sea diferente de cero. Entonces el aumento mínimo del coeficiente de X1 es
250 – 100 = 150, que es el precio dual de X2.
Conceptos clave:

5. Variable de decisión: son los valores sobre los cuales se va a tomar decisiones, es decir están bajo el control
del decidor.
Función objetivo: expresión matemática que resume el objetivo a optimizar por el modelo
Restricción: Son los requisitos que debe cumplir los valores de las variables.
Región factible: Conjunto de soluciones que satisfacen todas las restricciones de manera simultánea.
Puntos extremos: Los puntos factibles de la solución que ocurren en los vértices de la región factible.
Solución: cualquier conjunto de valores de las variables
Solución factible: una solución que satisface todas las restricciones o limitantes.
Solución óptima: una solución que cumpliendo con todas las restricciones, maximiza (o minimiza) la función
objetivo.
Valor óptimo: valor de la función objetivo en la solución óptima.
Restricción activa: restricción que indica que para el caso de la solución óptima un recurso se está utilizando
totalmente (en el caso ≤) o se está cumpliendo una condición con lo mínimo indispensable (en el caso ≥).
Restricción no activa: restricción que indica que para el caso de la solución óptima un recurso sobra(en el
caso ≤) o se está cumpliendo una condición con más de lo mínimo indispensable (en el caso ≥).
Restricción redundante: restricción que no influye en la región factible y consecuentemente en la solución
óptima. Su presencia en el modelo no es necesaria.
Holgura: aplicada la solución óptima en una restricción ≤ es la cantidad de recurso no utilizado en dicha
restricción.
Excedente: aplicada la solución óptima en una restricción ≥ es la cantidad adicional que excede el lado
derecho a lo mínimo indispensable requerido por dicha restricción.
Solución óptima alternativa: La situación en la cual un programa lineal tiene más de una solución que
proporcione el valor óptimo de la función objetivo.
Región no factible: Cuando la región factible es vacía, es decir, cuando ningún punto puede cumplir con todas
las condiciones o restricciones simultáneamente.
Análisis de sensibilidad: Estudia la forma en que los coeficientes del problema de programación lineal
afectan a la solución óptima del problema.
Rango de optimalidad: El rango de los valores en el cual puede variar un coeficiente de la función objetivo sin
causar ninguna modificación en los valores de las variables de decisión en la solución óptima.
Precio Dual: La mejoría en el valor de la solución óptima por incremento unitario en el valor del lado derecho
de una restricción.
Rango de factibilidad: El rango de valores en el cual puede variar el lado derecho de una restricción y es
aplicable el precio dual.
Costo reducido: Cantidad que debe cambiar el coeficiente de la variable en la función objetivo para que su
solución óptima sea positiva. También es el valor que disminuye la función objetivo cuando esta variable cuya
solución óptima es cero, es forzada a entrar en una unidad.

6. Variable de decisión: son los valores sobre los cuales se va a tomar decisiones, es decir están bajo el control
del decidor.
Función objetivo: expresión matemática que resume el objetivo a optimizar por el modelo
Restricción: Son los requisitos que debe cumplir los valores de las variables.
Región factible: Conjunto de soluciones que satisfacen todas las restricciones de manera simultánea.
Puntos extremos: Los puntos factibles de la solución que ocurren en los vértices de la región factible.
Solución: cualquier conjunto de valores de las variables
Solución factible: una solución que satisface todas las restricciones o limitantes.
Solución óptima: una solución que cumpliendo con todas las restricciones, maximiza (o minimiza) la función
objetivo.
Valor óptimo: valor de la función objetivo en la solución óptima.
Restricción activa: restricción que indica que para el caso de la solución óptima un recurso se está utilizando
totalmente (en el caso ≤) o se está cumpliendo una condición con lo mínimo indispensable (en el caso ≥).
Restricción no activa: restricción que indica que para el caso de la solución óptima un recurso sobra(en el
caso ≤) o se está cumpliendo una condición con más de lo mínimo indispensable (en el caso ≥).
Restricción redundante: restricción que no influye en la región factible y consecuentemente en la solución
óptima. Su presencia en el modelo no es necesaria.
Holgura: aplicada la solución óptima en una restricción ≤ es la cantidad de recurso no utilizado en dicha
restricción.
Excedente: aplicada la solución óptima en una restricción ≥ es la cantidad adicional que excede el lado
derecho a lo mínimo indispensable requerido por dicha restricción.
Solución óptima alternativa: La situación en la cual un programa lineal tiene más de una solución que
proporcione el valor óptimo de la función objetivo.
Región no factible: Cuando la región factible es vacía, es decir, cuando ningún punto puede cumplir con todas
las condiciones o restricciones simultáneamente.
Análisis de sensibilidad: Estudia la forma en que los coeficientes del problema de programación lineal
afectan a la solución óptima del problema.
Rango de optimalidad: El rango de los valores en el cual puede variar un coeficiente de la función objetivo sin
causar ninguna modificación en los valores de las variables de decisión en la solución óptima.
Precio Dual: La mejoría en el valor de la solución óptima por incremento unitario en el valor del lado derecho
de una restricción.
Rango de factibilidad: El rango de valores en el cual puede variar el lado derecho de una restricción y es
aplicable el precio dual.
Costo reducido: Cantidad que debe cambiar el coeficiente de la variable en la función objetivo para que su
solución óptima sea positiva. También es el valor que disminuye la función objetivo cuando esta variable cuya
solución óptima es cero, es forzada a entrar en una unidad.