Solución de problemas en programación lineal

Facilitador: Ing. Román Humberto Garma Manzanilla.
Alumno: ARLO ENRIQUE SOLIS VILLA
Matricula: 10530393
2017

-Investigación de Operaciones -
2
Investigación de
Operaciones
EVIDENCIA DEL
APRENDIZAJE
UNIDAD 1
Solución a problemas de
programación lineal

3
Introducción
Como actividad final de la unidad, aplicarás lo aprendido en dos ejercicios que deberán ser
resueltos por los métodos llamados de la M y de las Dos fases. Recuerda que para
resolverlos debidamente es necesario estudiar todo el material de apoyo propuesto en la
unidad, el cual se encuentra especificado como Fuentes de Consulta al final de este
documento y realizar las actividades anteriores.
Propósito
Analizar las alternativas, criterios objetivos y restricciones de un problema determinado.
Instrucciones
1. Lee detenidamente los siguientes ejercicios.
Ejercicio 1
Considera el siguiente problema.
Maximizar Z = 2x1 + 5x2 + 3x3
Sujeto a: x1 - 2x2 + x3 ≥ 20
2x1 + 4x2 + x3 = 50
y x1, x2, x3 ≥ 0
Ejercicio 2
Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3
Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60
3X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 120
y X1, X2, X3 ≥ 0

4
2. Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa
para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente.
También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
3. Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema.
4. Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex
completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente.
También, identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
5. Aplica la fase 1 paso a paso.
6. Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.
7. Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema.
8. Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos
4 y 6. Contesta la pregunta: ¿Cuáles de estas soluciones son factibles solo para el
problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son
factibles para el problema real?
9. Utiliza un paquete de software basado en el método simplex (phpsimplex,
jsimplex, herramienta método simplex) para comparar sus resultados con los
hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás
sugerencias de sitios en Internet para usar el programa.
10. Guarda los dos ejercicios con la nomenclatura
DIOP_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras del primer
nombre, la Y por la inicial del apellido paterno y la Z por la inicial del apellido
materno.
11. Revisa la escala de evaluación de la Evidencia de aprendizaje para considerar
los criterios a evaluar.
12. Envía el archivo a tu Docente en línea mediante la sección
de Tareas para recibir retroalimentación. Espera y atiende la retroalimentación
correspondiente.

5
Recomendaciones: Ingresa a los siguientes enlaces para utilizar los programas de
solución y comparación de resultados obtenidos:
 www.phpsimplex.com
 http://soft.ingenieria-industrial.net/programacion_lineal.php
 http://www.zweigmedia.com/MundoReal/simplex.html
SOLUCION METODO DE LA M
Ejercicio 1
Maximizar Z = 2x1 + 5x2 + 3x3
Sujeto a: x1 - 2x2 + x3 ≥ 20
2x1 + 4x2 + x3 = 50
y x1, x2, x3 ≥ 0
RESTRICCION VARIABLE
≥ +R -S
≤ +S
= +R

6
Sumando variables artificiales y variables de holgura
𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝑹 𝟏 − 𝑺 𝟏 = 𝟐𝟎
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝑹 𝟐 = 𝟓𝟎
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 ≥ 𝟎
MAXIMIZAR 𝒁 = 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟑 − 𝑴𝑹 𝟏 − 𝑴𝑹 𝟐 + 𝟎𝑺 𝟐
SUJETO A
𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝑹 𝟏 − 𝑺 𝟏 = 𝟐𝟎
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝑹 𝟐 = 𝟓𝟎
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 ≥ 𝟎
Igualando ecuación a cero
𝒁 − 𝟐𝒙 𝟏 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝑴𝑹 𝟏 + 𝑴𝑹 𝟐 − 𝟎𝑺 𝟐 = 𝟎
Se realiza la tabla con las variables
Z X₁ X₂ X₃ 𝑺 𝟐 R₁ R₂ Sol
y con las variables artificiales
Z
R₁
R₂

7
TABLA 1
Base Z X₁ X₂ X₃ 𝑺 𝟐 R₁ R₂ Sol
Z 1 -2 -5 -3 0 M M 0
R₁ 0 1 -2 1 -1 1 0 20
R₂ 0 2 4 1 0 0 1 50
Con la primera tabla se obtiene la primera solución básica de inicio donde:
R1=20
R2=50
Z=0
Para eliminar los coeficientes M de la variable artificial Z a cero.
Tomamos como pivote a la fila 2, debemos multiplicar –M por el renglón 2 más el renglón 1,
y se obtienen los valores de Z y se forma esta tabla
TABLA 2
Z 1 -2-M -5+2M -3-M M 0 M -20M
R₁ 0 1 -2 1 -1 1 0 20
R₂ 0 2 4 1 0 0 1 50
Ahora vamos a realizar lo mismo con la segunda M, tomamos como pivote a la fila 3,
debemos multiplicar –M por el renglón 3 más el renglón 1, y se obtienen los valores de Z y
se forma esta tabla
TABLA 3

8
Z 1 -2-3M -5-2M -3-2M M 0 0 -70M
R₁ 0 1 -2 1 -1 1 0 20
R₂ 0 2 4 1 0 0 1 50
Se obtiene la solución factible pero no optima
𝑹 𝟏 = 𝟐𝟎
𝑹 𝟐 = 𝟓𝟎
𝑺 𝟐 = 𝟎
𝒙 𝟏 = 𝟎
𝒙 𝟐 = 𝟎
𝒙 𝟑 = 𝟎
Se aplica método simplex para solución básica pero no optima, realizamos las interacciones
ubicando la función pivot en las filas y columnas, nos vamos a la función objetivo (Z) y como
es un problema de maximización escogemos el coeficiente más negativo en los coeficientes
de variable de decisión
La variable de entrada es X1 y la de salida es la variable R1 con pivote igual a 1
TABLA 4
Base X₁ X₂ X₃ 𝑺 𝟐 R₁ R₂ Sol Razón
Z -2-3M -5-2M -3-2M M 0 0 -70M
R₁ 1 -2 1 -1 1 0 20 20
R₂ 2 4 1 0 0 1 50 25
Se Multiplica 3M+2 para volver cero en columna pivote.
3𝑀 + 2 (1) = 3𝑀 + 2 + (−3𝑀 − 2) = 0

9
3𝑀 + 2 (−2) = −6𝑀 − 4 + (−2𝑀 − 5) = −8𝑀 − 9
3𝑀 + 2 (1) = 3𝑀 + 2 + (−2𝑀 − 3) = 𝑀 − 1
3𝑀 + 2(−1) = −3𝑀 − 2 + ( 𝑀) = −2𝑀 − 2
3𝑀 + 2(1) = 3𝑀 + 2 + (0) = 3𝑀 + 2
3𝑀 + 2(0) = 0 + (0) = 0
3𝑀 + 2 (20) = 60𝑀 + 40 + (−70𝑀) = −10𝑀 + 40
Se Multiplica -2 para volver cero en columna pivote
1(−2) = −2 + 2 = 0
−2(−2) = 4 + 4 = 8
1(−2) = −2 + 1 = −1
−1(−2) = −2 + 1 = −1
1(−2) = −2 + 0 = −2
0(−2) = 0 + 1 = 1
20(−2) = −40 + 50 = 10

10
Se obtiene la siguiente tabla.
Entra X2 y sale R2 con pivote numero 8
TABLA 5
Base X₁ X₂ X₃ 𝑺 𝟐 R₁ R₂ Sol
Z 0 -9+8M M1 2+2M 2+3M 0 40 + 10M
R₁ 1 -2 1 -1 1 0 20
R₂ 0 8 -1 2 2 1 10
Se multiplica el renglón pivote por 1/8 para hacerlo 1
Se realiza operación 8M+9 por R3 y se suma a R1
8𝑀 + 9(0) = 0 + 0 = 0
8𝑀 + 9(1) = 8𝑀 + 9 + (−8𝑀 − 9) = 0
8𝑀 + 9(−.12) = −𝑀 − 1.08 + (𝑀 − 1) = −2.08
8𝑀 + 9(.25) = 2𝑀 + 2.25 + (−2𝑀 − 2) = .25
8𝑀 + 9(−.25) = 2𝑀 − 2.25 + (3𝑀 + 2) = 𝑀 − .25
8𝑀 + 9(.12) = .96𝑀 + 1.08 + (0) = .96𝑀 + 1.08

11
8𝑀 + 9(1.25) = 10𝑀 + 1.25 + (−10𝑀 + 40) = 51.25
Se multiplica 2 por R3 y se suma a R2
2(0) = 0 + 1 = 1
2(1) = 2 + (−2) = 0
2(−.12) = −.24 + 1 = .75
2(.25) = .5 + (−1) = −.
2(−.25) = −.5 + 1 = .5
2(.12) = .24 + 0 = .25
2(1.25) = 2.5 + 20 = 22.5
Con los resultados se obtiene la siguiente tabla
Entra 𝑋3 y sale 𝑋1

12
TABLA 6
Z 0 0 -2.08 .25 M-.25 1.08 51.25
X₁ 1 0 .75 -.5 .5 .25 22.5
X₂ 0 1 -.12 .25 -.25 .13 1.25
TABLA 7
Z 2.83 0 0 -1.17 M+1.17 M+1.83 115
X₃ 1.33 0 1 .67 .67 .33 30
X₂ 0 1 -.12 .25 -.25 .12 5
TABLA 8
Z 4 7 0 0 M M+3 150
X₃ 2 4 1 .0 .0 .1 50
S₁ 1 6 0 1 -.1 1 30
Solución Óptima por método de la gran M:
Z= 150 X1=0 X2=0 X3=50

13
METODO DE LAS DOS FASES
TABLA 1
Base X₁ X₂ X₃ S₁ R₁ R₂ Sol
Z 0 0 0 0 -1 -1 0
R₁ 1 -2 1 -1 .1 .0 20
R₂ 2 4 1 0 0 1 50
Sumamos : 𝒁 + [ 𝟏𝒙𝑹 𝟏 + 𝟏𝒙𝑹 𝟐] para obtener el nuevo valor de 𝒁
Obtenemos la siguiente tabla
TABLA 2
Z 3 2 2 -1 0 0 70
R₁ 1 -2 1 -1 1 .0 20
R₂ 2 4 1 0 0 1 50
De la tabla anterior nuestra variable de entrada es 𝑿 𝟏y la de salida será 𝑿 𝟏
TABLA 3
Z 3 2 2 -1 0 0 70
R₁ 1 -2 1 -1 1 .0 20
R₂ 2 4 1 0 0 1 50

14
Se volverán cero los valores que están en la columna pivote (3 y 2) con las siguientes
operaciones.
𝑁𝑍 = 𝑅 1 ∗ −3 + 𝑍
𝑁𝑅2 = 𝑅1 ∗ −2 + 𝑅2
Obteniendo la siguiente tabla
TABLA 4
Z 0 8 1 2 3 0 10
X₁ 1 -2 1 1 1 .0 20
R₂ 0 8 1 2 2 1 10
De la tabla anterior nuestra columna pivote es 𝑋2 por lo que 𝑋2 será a variable de entrada y
R2 la de salida.
Se hace el pivote igual a 1 multiplicándolo por 1/8.
Se harán cero los números (8 𝑦 − 2)
Con las operaciones:
𝑁𝑍 = 𝑅2 ∗ −8 + 𝑍
𝑁𝑋1 = 𝑅2 ∗ 2 + 𝑋1
y obtenemos la tabla siguiente:

15
TABLA 5
Z 0 0 0 0 1 1 0
X₁ 1 0 ¾ 1/2 ½ ¼ 45/2
X₂ 0 1 -1/8 ¼ 1/4 1/8 5/4
Con la tabla anterior podemos ver que ya no existen las variables artificiales y la solución es
cero por lo que terminamos la Fase 1 y esa tabla se convierte en nuestra BF inicial
Fase 2: Usamos la solución factible de la fase anterior con la función objetivo original.
Se eliminan las columnas pertenecientes a las variables artificiales ya que ellas ya no existen
y queda la siguiente tabla.
TABLA 6
Base X₁ X₂ X₃ S₁ Sol
Z -2 -5 -3 0 0
X₁ 1 0 ¾ 1/2 45/2
X₂ 0 1 -1/8 ¼ 5/4
Con esta tabla empezamos la maximización.
La variable entrante es 𝑋2 y la de la salida es 𝑋2
Hacemos la operación.
𝑁𝑍 = 𝑅3 ∗ 5 + 𝑍
Y obtenemos la tabla

16
TABLA 7
Z -2 0 -29/8 5/4 25/4
X₁ 1 0 ¾ -1/2 45/2
X₂ 0 1 -1/8 ¼ 5/4
La variable entrante es 𝑋3 y la que sale es 𝑋1.
Realizamos las siguientes operaciones pivote ∗ 4/3
𝑁𝑍 = 𝑋1 ∗ 29/8 + 𝑍
𝑁𝑋2 = 𝑋1 ∗ 1/8 + 𝑋2
Obteniendo la siguiente tabla
TABLA 8
Z 17/6 0 0 7/6 115
𝑿 𝟑 4/3 0 1 -2/3 30
𝑿 𝟐 1/6 1 0 1
6⁄ 5
La variable entrante es 𝑋3 y la que sale es 𝑋1.
Realizamos las siguientes operaciones pivote * 6
𝑁𝑍 = 𝑍 + 𝑋2 ∗ 7/6
𝑁𝑋3 = 𝑋3 + 𝑋2 ∗ 2/3

17
Obteniendo la siguiente tabla:
TABLA 9
Z 4 7/6 0 0 150
𝑿 𝟑 2 2/3 1 0 50
𝑿 𝟐 1 1 0 1 30
En la anterior tabla podemos observar que ya no existen valores negativos Z por lo que
terminan las iteraciones y obtenemos el resultado.
Solución optima:
𝒁 = 𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟏 = 𝟎 𝑿𝟐 = 𝟎 𝑿𝟑 = 𝟓𝟎
Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6.
Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema
artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema
real?
Las soluciones de los pasos 2 y 6 son factibles solamente para el problema real mientras
que el del paso 4 solo es factible para el problema artificial

18
Verificación con Software PHP Simplex

19
Ejercicio 2
Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3
Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60
3X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 120
y X1, X2, X3 ≥ 0
Par empezar maximizaremos y aplicaremos los métodos expuestos en el anterior ejercicio
como ya se explicaron ahora con el método de minimizar ocuparemos el mismo método, con
la misma tabla pero como es minimizar haremos los cambios a las restricciones, para este
ejercicio me apoye de un video de youtube realizándolo en Excel por lo que pondré solo las
tablas
RESTRICCION VARIABLE
≥ +R -S
≤ +S
= +R
(1) Maximizar −𝑍 = −3𝑥1 − 2𝑥2 − 4𝑥3
(2) 2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 60
(3) 3𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥5 + 𝑥6 = 120
𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5, 𝑋6 >= 0

20
Tabla 1
𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 −𝒁 𝑰. 𝒅
2 1 3 1 0 0 0 60
3 3 5 0 -1 0 0 120
2 1 3 0 0 -1 0 60
3 2 4 0 0 0 1 0
Tabla 2
𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 −𝒁 𝑰. 𝒅
0 0 0 1 0 0 0 0
-1/3 4/3 0 0 -1 5/3 0 20
2/3 1/3 1 0 0 -1/3 0 20
1/3 2/3 0 0 0 4/3 1 -80
Tabla 3
𝑋1 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 −𝒁 𝑰. 𝒅
0 0 0 1 0 1 0 0
-1/3 4/3 0 -5/3 -1 0 0 20
2/3 1/3 1 1/3 0 0 0 20
1/3 2/3 0 -4/3 0 1 1 -80

21
Tabla 4
𝑋1 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 −𝒁 𝑰. 𝒅
0 0 0 1 0 1 0 0
-1/4 1 0 -5/4 -3/4 0 0 15
3/4 0 1 3/4 1/4 0 0 15
1/2 0 0 -1/2 1/2 0 1 -90
Tabla 5
𝑋1 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 −𝒁 𝑰. 𝒅
0 0 0 1 0 1 0 0
-1/4 1 0 0 -3/4 5/4 0 20
3/4 0 1 0 1/4 -3/4 0 20
1/2 0 0 0 1/2 1/2 1 -90
POR LO TANTO LA SOLUCION MÁS ÓPTIMA QUE ME SATISFACE EL EJERCIO A
MINIMIZAR ES:
Z = 90
X1 = 0
X2 = 15
X3 = 15

22
METODO DE LAS DOS FASES
𝑴𝑨𝑿𝑰𝑴𝑰𝒁𝑨𝑹: − 𝟑 𝑿𝟏 − 𝟐 𝑿𝟐 − 𝟒 𝑿𝟑 + 𝟎 𝑿𝟒 + 𝟎 𝑿𝟓 + 𝟎 𝑿𝟔
𝟐 𝑿𝟏 + 𝟏 𝑿𝟐 + 𝟑 𝑿𝟑 + 𝟏 𝑿𝟓 = 𝟔𝟎
𝟑 𝑿𝟏 + 𝟑 𝑿𝟐 + 𝟓 𝑿𝟑 − 𝟏 𝑿𝟒 + 𝟏 𝑿𝟔 = 𝟏𝟐𝟎
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒, 𝑿𝟓, 𝑿𝟔 ≥ 𝟎
 Como la restricción 1 es del tipo '=' se agrega la variable artificial X5.
 Como la restricción 2 es del tipo '≥' se agrega la variable de exceso X4 y la variable
artificial X6.
Tabla 1
Base Cb X₁ X₂ X₃ 𝑿 𝟒 𝑿 𝟓 𝑿 𝟔 Sol
Z 0 -5 -4 -8 1 0 0 -180
𝑿 𝟓 -1 2 1 3 0 1 0 120
𝑿 𝟔 -1 3 3 5 -1 0 1 50
Sale la variable 𝑿 𝟓 y entra 𝑿 𝟑

23
Tabla 2
Z 0 1 / 3 -4 / 3 0 1 8 / 3 0 -20
𝑿 𝟑 0 2 / 3 1 / 3 1 0 1 / 3 0 20
𝑿 𝟔 -1 -1 / 3 4 / 3 0 -1 -5 / 3 1 20
Sale la variable 𝑿 𝟔 y entra 𝑿 𝟐
Tabla 3
Z 0 0 0 0 0 1 1 0
𝑿 𝟑 0 3 / 4 0 1 1 / 4 3 / 4 -1 / 4 15
𝑿 𝟐 -2 -1 / 4 1 0 -3 / 4 -5 / 4 3 / 4 15
Pasamos a la fase 2
Tabla 4
Base Cb X₁ X₂ X₃ 𝑿 𝟒 Sol
Z 0 0 0 0 0 -90
𝑿 𝟑 -4 3 / 4 0 1 1 / 4 15
𝑿 𝟐 -2 -1 / 4 1 0 -3 / 4 15
La solución óptima es: 𝑍 = 90
𝑋1 = 0
𝑋2 = 15
𝑋3 = 15

24
Comprobación con el Software PHP Simplex

25
Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de
esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las
variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?
Las soluciones de los pasos 1 son factibles para el problema real, mientras que el del paso
2 la primera fase solo es factible para la solución artificial y la fase dos si es factible para el
problema real.
Fuentes consultadas:
Método simplex ejemplo básico a mano, para maximizar [Simplex method to
maximize]
https://www.youtube.com/watch?v=hVjBn14xdMQ
Programación Lineal Maximización
https://www.youtube.com/watch?v=dHTFI-wAPUg
http://www.phpsimplex.com/simplex/solucion2.php?l=es
https://www.youtube.com/watch?v=S-eeFSL0Hrg
https://www.youtube.com/watch?v=AFm-N7WbDxI

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