Aplicación: Ejercicios resueltos de maximización: de método simplex Juan Miguel Custodio Macgiver 162020

1. PRACTICA DE MATEMATICA ESTADISTICA II -MONITORIA
Resolver los siguientes ejercicios con el método simplex.
Sujeto a:
0X1 + 1X2 ≤ 10
3X1 + 1X2 ≤ 44
1X1 + 1X2 ≤ 18
2X1 + 5X2 ≤ 60
X1, X2 ≥ 0
Función Objetivo
Maximizar: Z = 2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 +
0S3 + 0S4
Sujeto a:
0X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 10
3X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 44
1X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 18
2X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 60
X1, X2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Valor
1 -2 -1 0 0 0 0 0
S1 0 0 1 1 0 0 0 10 NO
S2 0 3 1 0 1 0 0 44 44 / 3 = 14.66667
S3 0 1 1 0 0 1 0 18 18 / 1 = 18
S4 0 2 5 0 0 0 1 60 60 / 2 = 30
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Valor
1 0 -1 / 3 0 2 / 3 0 0 88 / 3
S1 0 0 1 1 0 0 0 10
X1 0 1 1 / 3 0 1 / 3 0 0 44 / 3
S3 0 0 2 / 3 0 -1 / 3 1 0 10 / 3
S4 0 0 13 / 3 0 -2 / 3 0 1 92 / 3
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Valor
1 0 -1 / 3 0 2 / 3 0 0 88 / 3
S1 0 0 1 1 0 0 0 10 10 / 1 = 10
X1 0 1 1 / 3 0 1 / 3 0 0 44 / 3 (44 /3) / (1/3 ) = 44
S3 0 0 2 / 3 0 -1 / 3 1 0 10 / 3 (10/3) / (2/3) = 5
S4 0 0 13 / 3 0 -2 / 3 0 1 92 / 3 (92/3) / (13/3)= 7.07692308
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 2/3
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Valor
1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 31
S1 0 0 0 1 1 / 2 -3 / 2 0 5
X1 0 1 0 0 1 / 2 -1 / 2 0 13
X2 0 0 1 0 -1 / 2 3 / 2 0 5
S4 0 0 0 0 3 / 2 -13 / 2 1 9
La solución óptima es Z = 31
X1= 13, X2= 5, S1= 5, S2= 0, S3= 0, S4= 9
El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones.
A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S2. El elemento pivote es 3
F5 - 2*F3 -> F5
3*F4 - F3 -> F4
(1/3)*F3 -> F3
2*F3 + F1 -> F1
F2 - F4 -> F4
F3 - (1/3)*F4 -> F3
(3/2)*F4 -> F4
F5 -(13/3)*F4 -> F5
1. Maximizar: Z = 2X1 + 1X2
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
Matriz 3da.
JUAN MIGUE CUSTODIO MACGIVER
100480765
--> Iteracion 2:

2. 2. La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio.
La ganancia es de $180 por cada ventana con marco de madera y de $90 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de
madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día.
Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados.
a. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.
por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. ¿Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana
c. ¿Y de $180 a $60?
d. Doug piensa disminuir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día.
RESOLVIENDO PARA a).
a. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.
SOLUCION:
Sea DOUG LINDA BOB GANANCIA
X1 6 0 6 180
X2 = Ventana de Marco de AluminioX2 0 4 8 90
TOTAL 6 4 48 180X1 + 90X2
Función Objetivo
Maximizar: Z = 180X1 + 90X2
Sujeto a:
1X1 + 0X2 ≤ 6
0X1 + 1X2 ≤ 4
6X1 + 8X2 ≤ 48
X1, X2 ≥ 0
Función Objetivo
Maximizar: Z = 180X1 + 90X2 + 0S1 +
0S2 + 0S3
Sujeto a:
1X1 + 0X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 6
0X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 4
6X1 + 8X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 48
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 -180 -90 0 0 0 0
S1 0 1 0 1 0 0 6 6 / 1 = 6
S2 0 0 1 0 1 0 4 NO
S3 0 6 8 0 0 1 48 48 / 6 = 8
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -90 180 0 0 1080
X2 0 1 0 1 0 0 6
S2 0 0 1 0 1 0 4
S3 0 0 8 -6 0 1 12
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -90 180 0 0 1080
X2 0 1 0 1 0 0 6 NO
S2 0 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4
S3 0 0 8 -6 0 1 12 12 / 8 = 1.5
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 225 / 2 0 45 / 4 1215
X2 0 1 0 1 0 0 6
S2 0 0 0 3 / 4 1 -1 / 8 5 / 2
X2 0 0 1 -3 / 4 0 1 / 8 3 / 2
RESPUESTA a).
b. Un nuevo competidor también produce ventanas con marco de madera. Esta circunstancia puede forzar a la compañía a reducir el precio y
de madera disminuyera de $180 a $120?
¿Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios?
La solución óptima es Z = 1215
X1= 6, X2= 3/2, S1= 0, S2= 5/2, S3= 0
Por lo tanto, se necesitan 6 ventanas marcos de madera y 3 / 2 ventanas marcos de aluminio,
para maximizar la ganancia y obtener $1215.
X1 = Ventana de Marco de Madera
El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones.
A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S1. El elemento pivote es 1
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 8
F4 - (6)* F2 -> F4
F1 + (180)*F2 -> F1
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
F1+ (90)*F4 -> F1
F3 - F4 -> F3
(1/8)* F4 -> F4
Matriz 2da.
--> Iteracion 2:

3. RESOLVIENDO PARA b).
por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. ¿Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana
Cuando la función objetivo es: Máx (Z) = 180X1 + 90X2 = 180 (6) + 90 (3/2) = 1215
Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $180 a $120:
RESOLVIENDO PARA c).
c. ¿Y de $180 a $60?
Cuando la función objetivo es: Máx (Z) = 180X1 + 90X2 = 180 (6) + 90 (3/2) = 1215
Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $180 a $120:
RESOLVIENDO PARA d).
DOUG LINDA BOB GANANCIA X1 = Ventana de Marco de Madera
X1 5 0 6 180
Función Objetivo X2 0 4 8 90
Maximizar: Z = 180X1 + 90X2 TOTAL 6 4 48 180X1 + 90X2
Sujeto a:
1X1 + 0X2 ≤ 5
0X1 + 1X2 ≤ 4
6X1 + 8X2 ≤ 48
X1, X2 ≥ 0
Función Objetivo
Maximizar: Z = 180X1 + 90X2 + 0S1 +
0S2 + 0S3
Sujeto a:
1X1 + 0X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 5
0X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 4
6X1 + 8X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 48 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0 1 -180 -90 0 0 0 0
S1 0 1 0 1 0 0 5 5 / 1 = 5
S2 0 0 1 0 1 0 4 NO
S3 0 6 8 0 0 1 48 48 / 6 = 8
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -90 180 0 0 900
X1 0 1 0 1 0 0 5
S2 0 0 1 0 1 0 4
S3 0 0 8 -6 0 1 18
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -90 180 0 0 900
X1 0 1 0 1 0 0 5 NO
S2 0 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4
X2 0 0 8 -6 0 1 18 18 / 8 = 2.25
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 225 / 2 0 45 / 4 2205 / 2
X1 0 1 0 1 0 0 5
S2 0 0 0 3 / 4 1 -1 / 8 7 / 4
S3 0 0 1 -3 / 4 0 1 / 8 9 / 4
RESPUESTA d).
de madera disminuyera de $180 a $120?
Máx (Z) = 120X1 + 90X2 = 120(6) + 90(3/2) = 855
Máx (Z) = 60X1 + 90X2 = 60(6) + 90(3/2) = 495
b. Un nuevo competidor también produce ventanas con marco de madera. Esta circunstancia puede forzar a la compañía a reducir el precio y
Por lo tanto, se necesitan 5 ventanas marcos de madera y (9 / 4) ventanas marcos de aluminio,
d. Doug piensa disminuir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día.
¿Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios?
El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones.
A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:
X2 = Ventana de Marco de Aluminio
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S1. El elemento pivote es 1
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 8
La solución óptima es Z = 2205/2
X1= 5, X2= 9/4, S1= 0, S2= 7/4, S3= 0
F1 + (90)*F4 -> F1
F3 - F4 -> F3
(1/8)*F4 -> F4
para maximizar la ganancia y obtener $1102.5
F4 - (6)*F2 -> F4
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
F1 + (180)*F2 -> F1
--> Iteracion 2:
Matriz 2da.

4. 3. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos.
La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se
requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y
2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de
$1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera
ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad está fuera de consideración.
X1 = Producto 1
X2 = Producto 2 METAL ELECTRICO GANANCIA
X1 1 2 1
X2 3 2 2
200 300 X1 + 2X2
Función Objetivo
Maximizar: Z = 1X1 + 2X2
Sujeto a:
1X1 + 3X2 ≤ 200
2X1 + 2X2 ≤ 300
0X1 + 1X2 ≤ 60
X1, X2 ≥ 0
Función Objetivo
Maximizar: Z = 1X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 +
0S3
Sujeto a:
1X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200
2X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 300
0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 60
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 -1 -2 0 0 0 0
S1 0 1 3 1 0 0 200 200 / 3 = 66.6666667
S2 0 2 2 0 1 0 300 300 / 2 = 150
S3 0 0 1 0 0 1 60 60 / 1 = 60
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 1
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 -1 0 0 0 2 120
S1 0 1 0 1 0 -3 20
S2 0 2 0 0 1 2 180
X2 0 0 1 0 0 1 60
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 -1 0 0 0 2 120
S1 0 1 0 1 0 -3 20 20 / 1 = 20
S2 0 2 0 0 1 -2 180 180 / 2 = 90
X2 0 0 1 0 0 1 60 NO
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 1 0 -1 140
X1 0 1 0 1 0 -3 20
S2 0 0 0 -2 1 4 140
X2 0 0 1 0 0 1 60
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 1 0 -1 140
X1 0 1 0 1 0 -3 20 NO
S2 0 0 0 -2 1 4 140 140 / 4 = 35
X2 0 0 1 0 0 1 60 60 / 1 = 60
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 1 / 2 1 / 4 0 175
X1 0 1 0 -1 / 2 3 / 4 0 125
S3 0 0 0 -1 / 2 1 / 4 1 35
X2 0 0 1 1 / 2 -1 / 4 0 25
SOLUTION
F1 + (2)*F4 -> F1
F2 - (3)*F4 -> F2
F3 - (2)*F4 -> F3
F1 + F2 -> F1
F3 - (2)*F2 -> F3
F1 + F3 -> F1
F2 - (3)*F3 -> F2
(1/4)*F3 -> F3
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S1. El elemento pivote es 1
Ingresa la variable S3 y sale de la base la variable S2. El elemento pivote es 4
La solución óptima es Z = 175
X1= 125, X2= 25, S1= 0, S2= 0, S3= 35
F4 - F1 -> F4
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
--> Iteracion 2:
--> Iteracio 3:
Matriz 3ra.
Matriz 2da.
Por lo tanto, se debe fabricar 125 unidades de Producto 1 y 25 unidades de Producto 2para obtener una ganancisa maxima y
obtener $ 175.

5. Función Objetivo
Maximizar: Z = 5X1 + 2X2
Sujeto a:
3X1 + 2X2 ≤ 2400
0X1 + 1X2 ≤ 800
2X1 + 0X2 ≤ 1200
X1, X2 ≥ 0
Función Objetivo
Maximizar: Z = 5X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 +
0S3
Sujeto a:
3X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 2400
0X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 800
2X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 1200
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 -5 -2 0 0 0 0
S1 0 3 2 1 0 0 2400 2400 / 3 = 800
S2 0 0 1 0 1 0 800 NO
S3 0 2 0 0 0 1 1200 1200 / 2 = 600
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -2 0 0 5 / 2 3000
S1 0 0 2 1 0 - 3 / 2 600
S2 0 0 1 0 1 0 800
X1 0 1 0 0 0 1 / 2 600
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -2 0 0 5 / 2 3000
S1 0 0 2 1 0 - 3 / 2 600 600 / 2 = 300
S2 0 0 1 0 1 0 800 800 / 1 = 800
X1 0 1 0 0 0 1 / 2 600 NO
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 1 0 1 3600
X2 0 0 1 1 / 2 0 - 3 / 4 300
S2 0 0 0 -1 / 2 1 3 / 4 500
X1 0 1 0 0 0 1 / 2 600
X1= 600, X2= 300, S1= 0, S2= 500, S3= 0
SOLUTION
HARINA PUERCO MANO GANANCIA
X1 0 1 / 4 3 0.8
X2 0.1 0 2 0.3
200 800 2400 0.8X1+ 0.3X2
Función Objetivo
Maximizar: Z = 4/5X1 + 3/10X2
Sujeto a:
0X1 + 1/10X2 ≤ 200
1/4X1 + 0X2 ≤ 800
3X1 + 2X2 ≤ 12000
X1, X2 ≥ 0
El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones.
A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:
F1 + (5)*F4 -> F1
F2 - (3)*F4 -> F2
(1/2)*F4 -> F4
F1 + (2)*F2 -> F1
Cada hot dog requiere 1/4 de libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos.
Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y cada pan 2 minutos de este insumo.
Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y cada pan $0.30.
Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible
X1 = Cantidad en unidades de hotdogs
X2 = Cantidad en unidades de panes
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 2
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S1. El elemento pivote es 2
La solución óptima es Z = 3600
Por lo tanto, se requiere 600 de seguro de riesgo y 300 de hipoteca, para tener la maxima ganancia total y obtener $ 3600.
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
(1/2)*F2 -> F2
F3 - F 2 -> F3
--> Iteracion 2:
Matriz 2da.
5. Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima
de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes.
4. La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada
es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas
para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:
X1= Número de unidades en seguros de riesgos especiales.
X2= Número de unidades en hipotecas.

6. Función Objetivo
Maximizar: Z = 4/5X1 + 3/10X2 + 0S1 +
0S2 + 0S3
Sujeto a:
0X1 + 1/10X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200
1/4X1 + 0X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 800
3X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 12000
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 - 4 / 5 -3 / 10 0 0 0 0
S1 0 0 1 / 10 1 0 0 200 NO
S2 0 1 / 4 0 0 1 0 800 800 / (1/4) = 3200
S3 0 3 2 0 0 1 12000 12000 / 3 = 4000
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -3 / 10 0 16 / 5 0 2560
S1 0 0 1 / 10 1 0 0 200
X1 0 1 0 0 4 0 3200
S3 0 0 2 0 -12 1 2400
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 -3 / 10 0 16 / 5 0 2560
S1 0 0 1 / 10 1 0 0 200 200 / (1/10)= 2000
X1 0 1 0 0 4 0 3200 NO
S3 0 0 2 0 -12 1 2400 2400 / 2 = 1200
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Valor
1 0 0 0 7 / 5 3 / 20 2920
S1 0 0 0 1 3 / 5 -1 / 20 80
X1 0 1 0 0 4 0 3200
X2 0 0 1 0 -6 1 / 2 1200
SOLUTION
Por lo tanto, se requiere 3200 hot dogs y 1200 panes, para tener la ganancia mas alta posible y obtener $ 2920.
El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones.
A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:
Ingresa la variable X1 y sale de la base la variable S2. El elemento pivote es 1/4
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S3. El elemento pivote es 2
La solución óptima es Z = 2920
X1= 3200, X2= 1200, S1= 80, S2= 0, S3= 0
F1 + (3/10)*F4 -> F1
F2 - (1/10)*F4 -> F2
(1/2)*F4 -> F4
Matriz Inicial
--> Iteracion 1:
F1 + (4/5)*F3 -> F1
(4)*F3 -> F3
F4 - (3)*F3 -> F4
--> Iteracion 2:
Matriz 2da.