1. Unidad de repaso: Conceptos fundamentales de Algebra
Objetivo
Comprender conceptos fundamentales del álgebra a través del trabajo colaborativo para la
resolución de problemas mediante el desarrollo de ejercicios.
Introducción
Imaginemos un edificio flamante y hermoso, no se ven los tabiques ni se ven las varillas, o
el cemento, no podemos aprecias las tuberías de agua ni las instalaciones eléctricas, y
sobre todo nunca hemos visto los cimientos, pero que pasaría si faltara alguno de estos
elementos o si los cimientos no fueran sólidos.
Pues ahora imaginemos que vamos a construir un edificio llamado Matemáticas para
negocios y que los cimientos, el cemento, la arena, la varilla y los ladrillos son el álgebra.
El álgebra son los cimientos sobre los cuales levantaremos nuestro hermoso edificio. Un
sólido conocimiento del álgebra nos dotará de las herramientas básicas para una
comprensión sólida de las demás unidades de nuestro curso.
¿Cómo podemos calcular el punto de equilibrio del mercado sin la teoría de las
ecuaciones? Tratemos de calcular un límite sin factorizar, o un límite que tiende a infinito
sin la división algebraica, y tratemos de factorizar sin dividir algebraicamente y de dividir
sin multiplicar algebraicamente y multiplicar sin reducir términos semejantes. Tratemos de
derivar (y ya no hablemos de integrar) sin utilizar la teoría de los exponente. Tratemos de
modelar un problema sin utilizar álgebra.
Consulta el material de esta unidad como apoyo en el desarrollo de las siguientes
unidades temáticas, está no será sujeta a evaluación, ni es obligatoria su revisión.
1.1 Números Fraccionarios
Al dividir 2 números a y b con b diferente de cero, el resultado se llama número
fraccionario racional o quebrado.
...
Los números racionales se clasifican en:
2. Un número propio se puede simplificar usando el concepto del Máximo común divisor:
Aquí es importante comentar un punto llamado fracciones equivalentes.
Veamos, ¿Cuál es mayor?
Entonces tenemos que:
Existen otros dos métodos para determinar qué fracción es mayor:
En donde se observa que
3. Por lo tanto es equivalente a
Otro ejemplo, ¿Cuál es mayor?
Como 48 es mayor que 32 se concluye que es mayor que
Esquemáticamente:
Reforcemos con otro ejemplo, ¿Cuál es mayor?
Por lo tanto, simplificar no es más que transcribir una fracción en una fracción equivalente.
Simplificar:
Encontremos el máximo común divisor.
4. Dividamos:
Número Original Número simplificado
Simplificar:
Simplificar:
Simplificar:
Números impropios
Hablemos ahora de los números impropios:
Es un ejemplo de número impropio y cómo podemos observar al
dividir 8 entre 6 es mayor que la unidad por lo que se puede simplificar la fracción.
Dividamos:
5. Los números impropios son mayores a la unidad.
Utilicemos un
dibujo:
¿ A qué equivale ?
Números mixtos
Ahora hablemos de los números mixtos
Con
El chiste radica en convertir el número mixto a impropio. Comencemos por
hacernos una pregunta importante, ¿cuántos cuartos hay en 3 enteros?, la respuesta es:
Si un entero tiene 4 cuartos.
2 enteros tienen 8 cuartos
3 enteros tienen 12 cuartos
O más fácil:
Grafiquemos:
Pero faltan ; por lo tanto, tomamos otro entero y lo dividimos en 4 partes y de ellas
tomamos 2 y como ya llevamos 12
6. Usando el método práctico:
Otro caso:
Y uno más:
Operaciones con números fraccionarios.
¡Ahora sí estamos listos para hacer operaciones con números fraccionarios!
Suma de fracciones con igual denominador.
Resolvámoslo por el método gráfico:
Si contamos todos los
cuadritos ¿Qué tenemos?
Sumemos 1 + 3 + 4 + 2 + 3 = 13 que en este caso se le agrega el 2 que es el denominador
constante en la operación, lo es igual a
Ahora hagámoslo utilizando la regla para sumar quebrados:
1. Verificar si los quebrados tienen el mismo denominador:
7. Y es impropio,
entonces calculemos los
enteros:
Suma de fracciones con diferente denominador.
Ya vimos como se suman los quebrados con igual denominador pero ¿cómo se suman
quebrados de diferente denominador?
A partir de este caso echaremos mano de pequeños videos en que paso a paso nos
guiaran el desarrollo de los diferentes casos:
A hora va de nuevo pero en cámara lenta
Ejemplo:
Paso número 1. Calculemos el mínimo común múltiplo:
Multiplicamos 2 X 2 X 3 X 5
= 60
Tomemos ¿Por qué número hay que multiplicar para cambiarlo a 60?
Reescribimos y notamos que todos tienen igual denominador:
8. Fracción impropia
En donde obtenemos que 3 es el Máximo común divisor
Observemos un segundo ejemplo:
1. Encontremos el m. c. d.
l
2.
3.
4.
5.
6.
Suma de fracciones mixtas
Observemos que sucede con la suma de fracciones mixtas:
9. Resta de fracciones
Sigamos paso a paso como se comporta la siguiente resta de fracciones:
Suma de fracciones mixtas y propias
Como podrás observar en este caso buscamos sustituir las fracciones mixtas por las
impropias equivalentes, de tal manera que todos los elementos queden expresados sin
números enteros:
10. Fracciones con operaciones indicadas.
En este tipo de casos podemos ver que la expresión se ve afectada por un paréntesis que
indica que la operación contenida en el deberá realizarse primero.
Observemos:
Resolver
paréntesis:
Este es otro ejemplo de fracciones indicadas en donde las operaciones contenidas dentro
de los paréntesis se resuelven de manera independiente para finalmente integrarlas en la
operación que afecta a ambos paréntesis:
11. Multiplicación de Fracciones.
Recordemos primero que una multiplicación no es otra cosa que una suma abreviada:
Esto es lo que hacemos al multiplicar quebrados
Por lo tanto :
Regla:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
División de fracciones
Recordemos que dividir significa distribuir algo entre varios, por ejemplo si
tengo 2 pasteles y 10 personas, ¿Cuánto pastel le toca a cada persona?
Si tenemos de pastel y llegan 8 personas, ¿cuánto pastel le toca a cada persona?
Estos dos cuartos se dividen en 8 partes iguales.
Hagámoslo gráficamente:
12. Por lo tanto a cada persona le toca
Ahora dividamos
En otro supuesto imaginemos que tenemos de pizza para 8 personas, visualicemos la
pizza
Sigamos la
operación
Fracciones complejas
Ahora conjuntaremos todos los casos analizados anteriormente y echando mano de todo
lo que hemos aprendido apliquémoslo en un solo problema.
Comencemos por pensar con orden y abordar de forma individual cada operación, que no
nos impresione la dimensión. Apoyémonos en el video y avancemos paso a paso:
13. 1.2 Álgebra
En álgebra un término tiene 3 elementos.
Dos términos son semejantes si tienen la misma literal y el mismo exponente. Ejemplo:
Reducción de términos semejantes.
14. Observemos el siguiente
ejemplo:
Primero agrupamos los términos semejantes y luego sumamos o restamos según nos
indique el signo
Otro ejemplo:
Agrupemos términos semejantes y resolvamos:
Resta algebraica
En aritmética la resta siempre implica disminución mientras que la resta algebraica tiene
un carácter más general, pues puede significar disminución o aumento.
Ejemplo 1:
Regla práctica:
Observemos que el paréntesis (4x-3y) está afectado por el signo positivo y entonces los
signos internos siguen igual. Al paréntesis (2x+5z-6) lo afecta un signo negativo, esto
implica que los signos internos cambian:
; Ahora recucimos términos
15. Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Multiplicación
Primero debemos discutir qué son los exponentes:
Si escribimos se dice que es una multiplicación abreviada es decir:
Ahora juntas
=
Y si buscamos otra forma más rápida de llegar a 2 veremos que, si sumamos los
exponentes :
que fue exactamente el mismo resultado al que llegamos, luego parece que
encontramos la primera regla de los exponentes:
En la multiplicación los exponentes se suman:
También necesitamos una herramienta más, la regla de los signos para la multiplicación:
16. Ahora conjuguemos la regla de los exponentes y la regla de los signos.
Ejemplo 1:
1. Multiplicar signos
2. Multiplicar coeficientes
3. Multiplicar literales
4. Todo el procedimiento completo:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ahora multipliquemos:
Es bueno que recordemos cómo se multiplican los números:
El 6 multiplica primero al 5:
17. Luego el 6 multiplica al 2 (pero en forma de decenas):
Después se suman:
Todo el procedimiento completo:
ó
El 6 multiplica al 3, después
al 50 y por último al 400.
Esquemáticamente:
Ahora apliquemos este procedimiento al álgebra; con una pequeña modificación, en
aritmética se multiplica de derecha a izquierda , en álgebra se multiplica de izquierda
a derecha
los exponentes sólo se suman cuando las bases son iguales, si las bases son
diferentes se unen.
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Ejemplo 7:
18. Ejemplo 8:
Avancemos:
Todo el procedimiento
completo.
Veamos otro ejemplo:
Ordenemos y
19. reduzcamos términos.
Todo el procedimiento
completo.
Productos notables
Son multiplicaciones que nos ayudan a resolver algunos problemas más rápido:
Caso 1. Binomio al cuadrado
Observa las siguientes
multiplicaciones:
Comparemos los 3 resultados:
Podemos observar que se parecen mucho.
Notaremos que la estructura es la misma, lo cual nos lleva a la conclusión de que cualquier
multiplicación de la forma.
Tendrá la forma:
Así cuando necesito multiplicar
20. Ya no es necesario llevar a cabo la operación, ya que conocemos cual será el
resultado:
Esta multiplicación técnicamente se llama binomio al
cuadrado:
Ahora cuando un binomio al
cuadrado se desarrolla:
Se aplica para Factorar los binomios
Se llama trinomio cuadrado perfecto
Veamos un ejemplo.
Desarrollar:
Otro ejemplo:
Binomio al cuadrado
Un ejemplo más:
Caso 2. Binomios conjugados.
Dos binomios son conjugados si sólo son diferentes en el signo operador
21. Desarrollemos
Sin desarrollar
Binomios
conjugados
Desarrollado
Diferencia de
cuadrados
Veamos otro ejemplo:
Ahora, ¿cuál será el resultado de lo
siguiente?
De acuerdo al comportamiento
anteriormente observado tenemos:
Sin necesidad de
desarrollar la
operación podemos
saber el resultado.
Otros ejemplos:
Aquí usaremos un truco: (a + b) lo guardaremos en una
variable “r” y (c + d) lo guardaremos en una variable “s”.
22. Caso 3
Observa las siguientes ecuaciones:
Este caso se aplica
para factorizar
Aplicando la propiedad
distributiva.
Ahora observemos el desarrollo de los siguientes
ejemplos:
Ejemplo 1. Ejemplo 2.
Sigámoslo en el video
¿Qué concluimos de estos ejemplos?:
a) Que para llegar a 5x sólo es necesario sumar 2 + 3 y después multiplicar por x, y en
seguida multiplicar 3X2 = 6
Ejemplo:
Otro ejemplo:
23. Uno más:
Caso 4. Binomios en general.
Sea:
Si observamos cuidadosamente encontraremos cierto patrón:
Cuando
Además las “x” van perdiendo un grado:
Mientras que las “y” van subiendo de grado:
Sólo nos falta entender cómo funcionan los coeficientes. Existen dos métodos para
calcular los coeficientes:
Método 1. Triángulo de Pascal.
24. Calculemos:
Primero tomemos la línea 4 del triángulo (es la cuarta pues al contar, se empieza en
cero, y si contamos del cero al tres son 4 lugares) la línea es 1, 3, 3, 1 después
recordemos que las “x” disminuyen y las “y” aumentan.
Aún faltan los signos, éstos los da el signo del problema original, en este caso si el
signo es positivo todos los signos serán positivos, si el signo original es negativo; los
signos se alternan + - + - + - + - + - + -
Sigamos el
procedimiento completo:
¿Cómo se
desarrollará
Leamos la línea 5 del triángulo: 1, 4, 6, 4, 1
El resultado es entonces:
Método 2. Método de Newton.
Éste es un buen método pero tiene algunas limitaciones; si tratáramos de
desarrollar primero tendríamos que escribir el triángulo hasta la línea 11, lo cual
es sumamente farragoso, ni siquiera me atrevo a intentarlo, pero entonces ¿qué hacemos?
La respuesta es emplear el método de Newton.
Desarrollemos:
25. Ahora usaremos un nuevo concepto llamado coeficiente binomial.
Si escribimos
Si
Es decir si comenzamos a escribir a partir de 7, le restamos 1 y contamos 4
posiciones.
Y ahora dividimos entre 4! (cuatro factorial), es decir 1 2 3 4 ó 4 3 2 1 (es igual).
Todo el procedimiento
completo:
Cómo se desarrollará ? Recordemos que
26. Otro caso:
División
Sea
Aquí debemos hacer una pregunta importante: ¿qué podemos hacer con el 5 y el 3 de la
operación original para llegar al 2, al resultado final? La respuesta es:
Restar
De donde se desprende la ley de los exponentes para la división: en la división los
exponentes se restan.
27. Veamos algunos ejemplos de esta ley.
Ejemplo 2.
Existe una regla muy importante que se desprende de la división. Observemos con
atención los siguientes casos:
¿Cuál es la conclusión?
Cualquier número elevado a la potencia cero da como resultado 1.
Ejemplo:
28. Necesitamos otra ley particular que también se desprende de la división. Veamos ahora
lo siguiente:
Apliquemos la ley de la
división:
¿Cuál es la conclusión?
Un exponente negativo representa una fracción así:
Y de esta última expresión se desprende otra muy útil. Observemos:
El menos tres afecta al numerador y el denominador:
Generalizando:
División de un monomio entre otro monomio
Ahora continuemos con la división, veamos un ejemplo de división de un monomio entre
otro monomio.
Ejemplo:
29. División de un binomio entre un monomio
Vamos a realizar la siguiente operación:
Pero antes comprendamos la mecánica de la división aritmética.
Esto implica que el 2 divide al 20 y al 5.
Observemos los siguientes casos:
Ahora todo el procedimiento completo:
Otro par de ejemplos:
30. Ahora apliquemos este algoritmo al álgebra:
1. Tomemos 1 a 1
2. Multipliquemos 1x a = a
3. Se resta a – a = 0
4. Se toma 1 a 1
5. Se resta
Revisemos otro ejemplo:
31. Se cambian los signos por la resta.
Otro ejemplo:
Y uno más:
Ahora que hemos aprendido a dividir aprendamos algunos trucos que nos ayudarán a
dividir más rápido:
32. Sea:
Separemos los
coeficientes:
Si observamos detenidamente la división original hallaremos que las x disminuyen,
mientras que las y aumentan.
Vamos a
escribir el
cociente:
Observem
os otro
33. ejemplo:
Usemos
los
cocientes:
Lo que da
como
resultado:
Estudiemos una división especial llamada “Sintética”
34. Sea:
Desarrollemos:
a) Separar coeficientes.
b) Recordemos que al
dividir:
1. Dividimos.
2. Multiplicamos.
3. Restamos; pero la resta implica estar cambiando el signo a
cada momento.
4.
Dividamos
Vamos a ver otro
ejemplo:
35. Observemos los siguientes desarrollos que a simple vista parecen más complicados:
Observa con atención la siguiente división ¿Qué notas distinto de los otros casos?
Usemos la división sintética:
Solución: aparentemente esta división no se puede resolver, pues el divisor no tiene la
forma x + a; pero no es así, ya que existe un secreto, ¿qué sucedería si dividimos?:
36. Este método es bellísimo, pero cuidado, sólo funciona para divisiones del tipo x+a
Ejemplo: dividir utilizando el método sintético
Solución: a este problema no se le puede aplicar el método sintético pues el divisor no
es de la forma x+a.
Factorización: Aplicación inmediata. Límites
¿Qué es un factor? Cambiemos la pregunta:
¿ Qué números multiplicados entre sí dan 8?
¡Ah! Pues estos 3 números son los factores de 8.
¿Qué son los factores?
Son los elementos que al multiplicarse dan un resultado buscado. Buscar los elementos se
llama factorizar, factorar o descomposición factorial.
Factoricemos 25: busquemos los números primos que al multiplicarse dan 25 usemos una
herramienta muy útil:
Otro ejemplo:
37. Veamos ahora varios ejemplos más de factorización:
¿Qué elementos debemos multiplicar para llegar a ?; pues es el resultado al que
llegamos por inspección.
Y para llegar a
y
a:
Caso 1: Término con factor común.
La pregunta aquí es: ¿en qué se parece y 2a?
Para responder a esta pregunta descomponemos los términos
38. Se parecen en a, después abrimos un paréntesis y escribimos
en qué no se parecen: a(2 + a). Ahora veamos qué pasa si
multiplicamos a (2 + a )
Es importante aclarar que la descomposición factorial es la operación inversa de los
productos notables, por lo tanto, la herramienta que usaremos es la división.
Volvamos a: ¿ en que se parecen? = en a;
Dividamos
¿Por qué hay que termino hay multiplicar a para que dé ?
Ejemplo factorizar:
Para encontrar en qué se parecen descompongamos ambos términos.
Factor común:
42. Dividiendo:
Un ejemplo más:
Factor común:
Dividiendo:
Caso 3. Factor común por agrupación de términos.
Vamos a factorizar la siguiente ecuación:
agrupar todos los términos que se parezcan en algo,
observemos detalladamente y encontraremos que:
Paso 1:
43. ax y ay se parecen en a
bx y by se parecen en b
Ahora apliquemos el caso 1, dos veces
Lo cual da como
resultado:
Ahora apliquemos el caso 2
Factor común:
Dividiendo:
Veamos otro ejemplo:
44. Agrupemos:
Cuidado no son iguales. Multipliquemos ahora: y
ahora sí, ya son iguales
Factor común:
Dividiendo
Veamos otro ejemplo:
Solución 1:
45. Caso 4. Trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos primero que un T. C. P nace del desarrollo del binomio al
cuadrado (para lo cual empleamos el proceso de binomios al
cuadrado)
Veamos por partes:
Ahora aquí el problema que resolveremos:
46. Factorizar consiste en expresarlo en términos de . Este proceso tiene dos pasos:
1.- Extraer la raíz cuadrada de los extremos
Se dice que los extremos tienen raíz cuadrada
2.- Multipliquemos las raíces por 2
Observemos que este 8x es el valor central; por lo tanto cumple con las dos condiciones
Sigamos todo el procedimiento completo:
Como se ve, abrimos un paréntesis donde colocamos el resultado de las raíces:
Por lo tanto la factorización de ; es decir
Veamos otro par de ejercicios de ejemplo:
Factorizar:
47. Factorizar:
Factorizar:
Caso 5. nueva imagen
Factorizar:
Insertar video ejemplo
¡Ojo! 24 no tiene raíz cuadrada exacta, por lo tanto no cumple la regla 1; no es T.C.P.
por lo cual no lo podemos factorizar con esta técnica.
Factorizar:
48. ¡Cuidado! No cumple la regla 2, por lo tanto no se puede factorizar con esta técnica.
Factorizar:
Este mecanismo se usa para resolver ecuaciones de segundo grado.
Paso 1: Abrir dos paréntesis. ( ) ( )
Paso 2: Extraer la raíz cuadrada de
Paso 3: Escribir x en cada uno de los paréntesis.
Paso 4: Buscamos dos números que sumados den 10 y que al multiplicarse den como
producto 24.
Una vez que tenemos estos dos números, los colocamos en los paréntesis
Factorizar:
50. Factorizar:
¡Cuidado! Observemos que ahora ya tiene un coeficiente lo que quiere decir que la
técnica que hasta ahora hemos utilizado ya no es suficiente. Ahora aprendamos dos
técnicas más.
La tijera
Sigamos paso a paso el desarrollo de esta técnica:
Factoricemos al 6 o al 40
|
Ahora con estos números probaremos diferentes combinaciones:
Ahora con estas combinaciones formemos una tijera:
51. No coincide con lo que buscamos. Intentemos otra tijera.
De nuevo no es lo que buscamos. Veamos otra más:
Ahora extraemos la raíz cuadrada de
Escribimos dos paréntesis:
Por lo tanto:
Segunda técnica
Vemos con detenimiento la aplicación de esta segunda técnica
52. Factorizar:
1. Multiplicar el coeficiente de en este caso 6.
2. Extraemos la raíz cuadrada de
3. Abrimos dos paréntesis.
4. Ahora buscamos dos números que sumados den -14 y multiplicados 240.
Ahora factoricemos por el factor común
ó
Debemos recordar en todo momento que está alterado pues lo
multiplicamos por 6; ¿cómo eliminamos esta alteración? Lo hacemos dividiendo
entre 6, pero –ojo- luego dividamos la expresión factorizada
entre El resultado final será:
53. Teoría de las ecuaciones
Observemos los siguientes ejemplos:
Esto es una igualdad
Igualdad
Igualdad
Cuando escribimos una igualdad usando álgebra, lo que resulta es una ecuación.
Igualdad Ecuación
En este caso, la pregunta es ¿qué valor debe tomar x para que se cumpla la igualdad ?
Para resolver una ecuación debemos usar las propiedades de los números:
Neutro de la suma.
Inverso de la suma.
Recíproco de la multiplicación.
Propiedad conmutativa.
Propiedad asociativa.
Propiedad distributiva.
Sea la ecuación:
¿Cuál es el valor de x para que la igualdad se cumpla?
1. Despejar x significa dejarla sola.
2. Usemos el inverso de la
suma
3.
Nota importante: La operación que se haga en el lado izquierdo del sigo de igual, se
hace también en el lado derecho para conservar la igualdad.
4.
Veamos otro ejemplo.
54. Sea:
1. Inverso de la suma:
2.Neutro de la suma:
3. Recíproco de la multiplicación:
4. Neutro de la multiplicación:
5. Resultado:
Ahora se debe comprobar el resultado, para ello se sustituye el 3 en la ecuación
original:
Veamos un ejemplo más:
Sea:
1. Inverso de la suma:
2. Neutro de la suma:
3. Propiedad
distributiva:
4. Inverso de la multiplicación:
55. 5. Neutro de la multiplicación
Comprobación:
Veamos el procedimiento completo:
Sea:
Comprobación:
Observa ahora este otro
caso:
Multipliquemos toda la ecuación por 2, pues 2 es inverso para la multiplicación:
Comprobación:
Otro ejemplo:
56. Comprobación:
Sea: 1.
Calculemos el común
denominador
2. Multipliquemos toda la ecuación
por
3. Reduzcamos términos
semejantes:
57. Encontramos aquí una contradicción. Esto significa que esta ecuación no se puede
resolver.
Otro ejemplo:
Factorizando:
Comprobación:
Desglosemos el siguiente ejemplo y sigámoslo paso a paso:
58. Comprobación:
Sea:
Aplicando la propiedad
distributiva:
Comprobación:
En la siguiente ecuación aplicaremos absolutamente todos los temas estudiados hasta
aquí.
Sea:
1.Productos notables:
2.Reducción de términos semejantes:
59. Comprobación:
Actividad de repaso
Si deseas reafirmar tus conocimientos acerca de esta unidad realiza la siguiente actividad:
1. Identifica por su nombre cada uno de los
productos notables que encuentres.
2. Desarrolla cada uno de ellos.
3. Multiplícalos por el coeficiente que los
afecte.
4. Escribe la ecuación que resulte.
5. Resuelve la ecuación justificando cada paso.
6. Comprueba la exactitud de tus cálculos.
Sistema de ecuaciones
Resuelve la siguiente ecuación:
60. Parece que tenemos un problema, hasta ahora hemos estudiado ecuaciones con una sola
variable, pero ¿cómo resolverlas cuando se trata de dos variables?
La teoría indica que si estamos trabajando con dos variables, necesitamos dos ecuaciones
por lo menos, por ello se construye un sistema de ecuaciones.
Un sistema de
ecuaciones se resuelve
por:
o Eliminación.
o Igualación.
o Sustitución.
o Gráfico (Determinantes).
Eliminación
El teorema fundamental de los sistemas de ecuaciones se basa en el neutro de la suma,
en la inversa de la suma y en el T. F. A.
Por ejemplo el 5, ¿Qué pasa si el 5 se multiplica por -5 y después se suman?
Sea el 5. ¿Por qué otro número hay que dividirlo para que el resultado sea 1?
Sea:
El objetivo final es encontrar el valor de “x” y de “y” de modo tal que al sustituirse las
incógnitas en el sistema se satisfaga a las dos ecuaciones.
Sea entonces:
61. 1. Se debe tomar una decisión y elegir la variable que vamos a
eliminar.
2. Se elige (en este caso) y, pues ya tienen los signos
diferentes; recordemos que si sumamos:
3. Ahora, ¿qué hacemos para que -3 se vuelve -6? La
respuesta es multiplicar -3(2); pero ¡cuidado!, recordemos que
la operación que hacemos a un término se le aplica a toda la
ecuación. Así:
4. ¡Atención! Ya es una inofensiva ecuación lineal. Sea:
Esto indica que x = - 2.
5. Ahora sustituimos x por -2 en alguna de las ecuaciones
originales.
Solución:
6.Ahora comprobemos en la restante ecuación del sistema:
62. Veamos otro ejemplo.
Sea:
Observemos que los coeficientes de x son iguales en este caso, sólo les falta ser de signo
contrario:
¿Qué hacemos? Multiplicamos la primera ecuación por -1:
Sustituimos ahora el valor encontrado en la segunda ecuación:
Solución:
Comprobemos nuestros resultados sustituyendo los valores encontrados en ambas
ecuaciones:
63. Sea:
Recordemos que el secreto es eliminar una variable. Para ello se necesitan dos
condiciones:
a) Que los signos de los términos sean diferentes.
b) Que los números sean iguales.
Para el problema que deseamos resolver ya tenemos los signos diferentes:
Faltan los números, la manera fácil es multiplicarlos entre sí: -5 x 3 y 3 x 5; es decir:
Ahora sustituimos en alguna de las ecuaciones originales:
64. Comprobando:
Otro ejemplo:
¿Cuál es el secreto de la eliminación?
- Signos diferentes.
- Números iguales.
En este caso no tenemos ni signos ni números con esas condiciones. ¿Qué hacer?
Observa con atención el desarrollo.
Sustituyendo en alguna de las ecuaciones originales:
Igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones también podemos utilizar el método de igualación.
65. Ejemplo:
Se parte de un teorema llamado de simetría que dice:
y = y ó x
= x
Lo primero que haremos es despejar una incógnita de las dos ecuaciones, en este caso x:
Aplicando el
teorema x = x, nos
queda:
Factoricemos
ahora 8 y 5:
Multipliquemos toda la
ecuación por 40.
66. Agrupemos términos:
Ahora sustituyamos el valor encontrado de y en alguno de los despejes:
Finalmente comprobemos en la segunda ecuación:
Veamos otro ejemplo:
67. Multiplicamos toda la ecuación por 12:
Sustituimos x = 7 en
la ecuación 2:
Comprobemos en la
ecuación 1:
Observemos ahora otro
caso:
Antecedentes:
Mínimo común múltiplo.
Multiplicación algebraica
Reducción de términos.
Agrupamos y reducimos:
68. Multipliquemos:
Despejemos x en las dos
ecuaciones:
Multiplicar toda la
expresión por 24:
Sustituyendo y en alguno
de los despejes:
69. Comprobación:
Sustitución
Ahora resolvamos exactamente los mismos sistemas pero usando la técnica
de sustitución.
Ejemplo:
Despejemos, por
ejemplo, a “y” de E1:
Sustituyamos esta
expresión en E2:
Multiplicamos: Agrupamos:
70. Veamos otro ejemplo.
Antecedentes:
- Factorización.
- Multiplicación.
- Reducción.
- Quebrados.
Sea:
Despejando x de E1:
Sustituyendo en E2:
71. Sustituyendo y en el
despeje de x:
Ejemplo:
Primero
desarrollemos:
Agrupando:
Despejemos y:
Sustituyamos esta
expresión en E2:
72. Ahora sustituyamos x
= -1 en E1:
Comprobación:
Determinantes
Ahora resolvamos exactamente los mismos sistemas de ecuaciones utilizando un método
llamado de las determinantes.
Primero definamos que es una determinante: en todo sistema existe un número que se
obtiene multiplicando la diagonal principal menos la diagonal secundaria; a este número se
le llama determinante.
73. Ejemplo:
Separamos los coeficientes y los acomodamos en un arreglo llamado matriz:
En general:
Otro ejemplo:
Resolvamos:
1. Encontremos la determinante.
2. Ahora para calcular x imaginemos tres tablitas:
74. Para calcular x vamos a extraer la columna x:
Como vemos se forma un hueco, el cual vamos a llenar con la columna
de resultados:
Ahora multipliquemos estos números como determinante:
Dividamos este resultado entre la determinante del sistema:
3. Calculemos y; extraeremos la columna y:
Veamos todo
el
procedimiento
completo:
76. Una vez hecho esto, obtenemos las ecuaciones sobre las que se podrá aplicar el
procedimiento:
Apliquemos el
procedimiento
completo:
Comprobemos:
Teoría de las ecuaciones de segundo grado
Antecedentes:
- Multiplicación algebraica.
- Factorización.
- Productos notables.
- Teoría de las ecuaciones.
¿Cómo nace una ecuación de segundo grado?
77. Imaginemos una ecuación de primer grado con dos variables:
¿Qué sucede si a esta ecuación la multiplicamos por x?:
¡Voilà! Tenemos una ecuación con un término de segundo
grado.
Ahora quizá adelantándonos un poco en la unidad dos, explicaremos brevemente un
teorema importante. ¿Qué sucede si graficamos una ecuación de segundo grado?, por
ejemplo:
Si observamos con atención veremos que la parábola toca el eje de las x en dos puntos, la
pregunta es ¿cuánto vale y en ese punto? Y vale 0 pues el punto aún ni se desplazó hacia
arriba ni hacia abajo. Esta es la razón por la cual las ecuaciones de grado dos se igualan a
cero.
Lo que sigue es otra pregunta: ¿qué valores debe tomar x para que Y = 0?
Una ecuación de grado dos se puede resolver de varios modos:
a) Factorización.
b) Completando el T. C. P. (trinomio cuadrado
perfecto)
c) Por fórmula general.
Resolución por factorización
Observa atentamente la siguiente ecuación. Sea:
78. Buscamos:
1. La raíz cuadrada de x2.
2. Dos números que sumados den 10 y
multiplicados, 24.
Por lo tanto:
Ahora recordemos que esto se iguala a cero:
El cero que buscamos puede estar en cualquiera de los paréntesis o en los dos:
Esto quiere decir que la ecuación tiene dos soluciones.
Comprobando
Ejemplo:
81. Resolución completando el T. C. P.
Resolvamos las mismas ecuaciones pero usando la técnica de completar el T. C. P.
Antecedentes:
- Factorización
- Sumas y reducción de términos.
Primero debemos recordar que un trinomio cuadrado perfecto nace del desarrollo de un
binomio al cuadrado:
Ahora hagamos una observación: ¿Qué pasa si tomamos el término central, por
ejemplo 10x, y se divide entre dos?
¿Qué sucede si luego lo elevamos al cuadrado?, ¿qué obtenemos?
Tercer término
Completemos siguiendo ese criterio:
82. Nos preguntaremos ¿Para qué sirve esto?
Resolvamos la siguiente ecuación completando el T. C. P.
Comprobación:
Sustituyamos en la ecuación original, los valores encontrados con este método:
Ejemplo:
Completando:
Factorizando:
83. Otro ejemplo:
Lo primero será dividir entre tres para que x2 quede sola:
Completando el T. C. P.:
Factorando:
Ejemplo:
Dividir entre 5:
84. Factorando:
Fórmula general
Para resolver las ecuaciones de segundo grado también podemos usar la fórmula
general:
Ejemplo:
Resolver
Donde:
Sustituyendo:
