2. Técnica estadística para analizar medidas que dependen de uno o varios tipos de efectos (factores) que operan simultáneamente - Cual es más importante - Estimar su influencia ¿ Estos 7 procedimientos de mineralización de Cu originan el mismo resultado? Factor controlado : Variación de procedimientos Si El factor controlado no introduce un efecto significativo (errores/diferencias aleatorias) No El factor controlado introduce un efecto significativo (errores/diferencias sistemáticos) Comparación de métodos

3. Adopción/validación de un método como oficial Laboratorio 1 Laboratorio 2 Polvo fino Material granulado (trituración) Resultados exactos Resultados exactos Resultados exactos Resultados sistemáticamente más bajos Dos factores controlados: 1. Laboratorios 2. Tipo de muestras En este caso el efecto del laboratorio no es el mismo para todas las muestras INTERACCIÓN MUESTRA-LABORATORIO Ensayos interlaboratorios

5. H 0 Todas las muestras proceden de la misma población con media µ y varianza σ 0 2 Variación debido a errores aleatorios H 1 No todas proceden de la misma población con media µ y varianza σ 0 2 Variación debido a un sesgo o error sistemático Hallemos σ 0 2 (s 0 2 )

6. Se componen las varianzas de cada columna en una varianza promediada Varianza dentro de las columnas (medias) Variación dentro de medias

7. Varianza de la media Varianza entre columnas (medias) Variación entre medias

8. H 0 El factor no introduce ninguna influencia en s 2 m , diferencias aleatorias S 2 p = S 2 m Todas las medias pertenecen a la misma población H 1 El factor introduce una diferencia significativa en s 2 m , diferencias por sesgo S 2 p ≠ S 2 m No todas las medias pertenecen a la misma población Varianza entre medias Varianza dentro de medias No afectados por el factor Puede ser afectada por el factor Se plantean las hipótesis

9. término adicional (efecto del factor) ¿Qué test evaluaba si dos varianzas diferían o no significativamente? Test F de Fischer Utilicémoslo !!! Varianza entre medias Puede ser afectada por el factor

10. Varianza entre columnas (medias) Varianza dentro de las columnas (medias) F calculada Calculemos F real

11. Nº grados de libertad entre columnas (medias) Nº grados de libertad dentro de las columnas (medias) Averigüemos en tabla F crítico

12. F calculada < F crítica F calculada > F crítica No hay influencia del factor controlado en las medias Pertenecen a la misma población (iguales) Diferencias aleatorias Hay influencia del factor controlado en las medias No pertenecen a la misma población (no son iguales) Diferencias no aleatorias, sesgo sistemático Comparemos F

13. ANOVA como separación de una Varianza total en sus componentes SS Suma de cuadrados df Grados de libertad SS A Suma de cuadrados entre columnas/medias SS R Suma de cuadrados dentro de columna/media (suma de cuadrados residual) Siendo X la gran media de todas las medias y n:

14. SS R Dentro de media SS A Entre medias/columnas Hallamos cuadrados medios De nuevo Las MS son estimaciones de las varianzas, así MS R es una estimación de σ 2 , mientras que MS A es una estimación de σ 2 + nj σ a 2

15. Planteamos test de hipótesis Recuerda n = Número total de medidas, contabilizando todos los valores k = Número de medias F Calculada F calculada > F crítica F calculada < F crítica H 0 H 1

16. Ejemplo Análisis de Cu ¿todos los procedimientos de mineralización originan el mismo resultado ? k-1 n-k F calculada > F crítica 23,15 >2,38 H 1 Los procedimientos de mineralización si introducen un efecto significativo en los resultados de análisis

17. Hemos realizado ANOVA y sabemos que se cumple H 1 ¿ Cuales son las medias que difieren? Mínima diferencia significativa (LSD) Siendo: s desviación estándar dentro de medias (s p ), ya calculado previamente para este caso particular = √3 n número de medidas por media = 3 Nº Medidas Factor Fluorescencia de un reactivo Media1 3 Reciente 92 Media2 3 1 h oscuridad 97 Media3 3 1 h luz tenue 101 Media4 3 1 h luz 102

18. t h(n-1) Siendo: h nº de medias n número de medidas por media Nº grados libertad = 4(3-1)=8 Calculemos t

19. Comparamos diferencia entre pares adyacentes de medias respecto a LSD Si par X 1 -X 2 < LSD No difieren significativamente (caso 101 y 102) Si par X 1 -X 2 > LSD Difieren significativamente (caso de medias 92 y 97 entre si y con los demás) Hallemos LSD y comparemos Nº Medidas Factor Fluorescencia de un reactivo Media1 3 Reciente 92 Media2 3 1 h oscuridad 97 Media3 3 1 h luz tenue 101 Media4 3 1 h luz 102

20. término adicional (efecto del factor) Recordemos F calculada > F crítica Si Por lo tanto Podemos estimar σ a 2 como una medida del efecto del factor

21. Factor A procedimientos de mineralización de la muestra Factor B Diferente tipo de desecado Determinación de Cu en muestras de suelos (2 factores) ¿Cómo procedemos para conocer si los dos factores influyen o no? Si hay influencia ¿cual de ellos es el responsable en mayor medida?

22. Factor A Factor B SS A SS B SS R SS T Siendo N= c . r Siendo para cualquier T = ∑

23. Siendo N= c . r Y de nuevo a comparar F calculada vs F crítica Factor A Factor B H 0 Factor A no influye H 1 Factor A influye H 0 Factor A no influye H 1 Factor A influye Dos test en vez de uno ! SS gl MS F calculada F crítica Factor A SS A c-1 SS A /c-1 F = MS A /MS R F(0.05, c-1, dif) Factor B SS B r-1 SS B /r-1 F = MS B /MS R F(0.05, r-1, dif) Residual SS R = SS T -SS A -SS B (N-1)-(c-1)-(r-1) SS R /dif - - Total SS T N-1 - - -

24. Influye el agente quelatante en el factor del día? No , con el quelatante A o B el cambio al segundo día produce la misma variación en el resultado (3% menos) Influye el día en el factor del agente quelatante? No , para cualquier día el cambio de agente quelatante de A a B produce la misma variación en el resultado (2% más) Ambos factores tienen efectos independientes en los resultados !!

25. ¿Y ahora qué? El factor del agente quelatante no influye con la misma intensidad el primer que el segundo día El factor del día no influye con la misma intensidad si el agente quelatante es A que cuando es B Ambos factores son dependientes y por lo tanto hay una interacción entre ellos !! Factor A = f(Factor B) Factor B = f(Factor A)

26. SS A SS B SS Inte SS R SS T Siendo C = T 2 /nrc Término de corrección X ijk Medida individual de cada celda Y SS T = SS A + SS B + SS inte + SS R

27. Siendo n nº de replicaciones por celda Y de nuevo a comparar F calculada vs F crítica Factor A Factor B H 0 Factor A no influye H 1 Factor A influye H 0 Factor A no influye H 1 Factor A influye Tres test en vez de uno ! Interacción H 0 No hay interacción influye H 1 Hay interacción SS gl MS F calculada F crítica Factor A SS A c-1 SS A /(c-1) F = MS A /MS R F(0.05, c-1, dif) Factor B SS B r-1 SS B /(r-1) F = MS B /MS R F(0.05, r-1, dif) Interacción SS inte (c-1)(r-1) = inter SS int / inter F = MS inte /MS R F(0.05, inter, dif) Residual SS R rc(n-1) = dif SS R /[rc(n-1)] - - Total SS T rcn-1 SST/(rcn-1) - -