estadística

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CENTRO DEL PERU
UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE
INGENIERIA MECANICA

2. GESTIÓN DEL MANTENIMIENTO Y LA
SOSTENIBILIDAD
DISEÑO ALEATORIZADO POR BLOQUES
INCOMPLETOS Y DISEÑO FACTORIAL
ESTADÍSTICA Y DISEÑOS
EXPERIMENTALES
CLASE 8
DR. MARCIAL DE LA CRUZ LEZAMA

3. DISEÑO ALEATORIZADO POR BLOQUES INCOMPLETOS
En ciertos experimentos quizá no sea posible
correr todas las combinaciones de los
tratamientos en cada bloque. Situaciones como
éstas ocurren generalmente por limitaciones del
aparato experimental o de las instalaciones o
por el tamaño físico del bloque. Para este tipo
de problemas es posible utilizar los diseños de
bloques incompletos. Los tratamientos son
asignados al azar y no hay datos para ciertos
bloques.

4. DISEÑO ALEATORIZADO POR BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

5. DISEÑOS POR BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
1. MODELO ESTADÍSTICO LINEAL
𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝝉𝒊 + β𝒋 + 𝜺𝒊𝒋
Para i=1, 2, 3, . . . . . a j=1, 2, 3, . . . . . . b
Donde:
Yij : Son la observaciones
µ : Es la media global o media general
𝝉 i : Es el efecto del i-ésimo tratamiento
β𝒋 : Es el efecto del j-ésimo bloque
Єij : Es el error aleatorio

6. 2. SUMA DE CUADRADOS
𝑆𝑆𝑇 = ෍
𝑖=1
𝑎
෍
𝐽=1
𝑏
𝑌𝐼𝐽
2
−
𝑌..
2
𝑁
𝑆𝑆 𝑇𝑟𝑐 =
𝑘 σ𝑖=1
𝑎
𝑄𝑖.
2
𝜆𝑎
𝑆𝑆𝐵 =
σ 𝑗=1
𝑏
𝑌.𝑗
2
𝑘
−
𝑌..
2
𝑁
SSE = SST- SS(Trc)-SSB
SST: Suma total de cuadrados
SS(Trc): Suma de cuadrados de los tratamientos corregidos
SSB: Suma de cuadrados de los bloques
SSE: Suma de cuadrados del error

7. 2. SUMA DE CUADRADOS
𝑄𝑖 = 𝑌𝑖 −
1
𝑘
෍
𝑗=1
𝑏
𝑛𝑖𝑗 𝑌.𝑗 𝜆 =
𝑟(𝑘 − 1)
𝑎 − 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,. . . , 𝑎
Qi: Total ajustado del i-ésimo tratamiento
a: Tratamientos
b: Bloques
k: Cada bloque contiene k tratamientos
r: Cada tratamiento ocurre r veces
N: total de observaciones N = ar = bk
𝜆: Número de veces que cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque

8. 3. MEDIA DE CUADRADOS
𝑀𝑆 𝑇𝑟𝑐 =
𝑆𝑆(𝑇𝑟𝑐)
𝑎−1
𝑀𝑆𝐵 =
𝑆𝑆𝐵
𝑏−1
𝑀𝑆𝐸 =
𝑆𝑆𝐸
𝑁 − 𝑎 − 𝑏 + 1
MS(Trc) : Media de cuadrado de los tratamientos corregidos
MSB : Media de cuadrado de los bloques
MSE : Media de cuadrados del error
a-1 : Grados de libertad de los tratamientos
b-1 : Grados de libertad de los bloques
N-a-b+1 : Grados de libertad del error

9. 4. TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
FUENTE DE
VARIACIÓN
GRADOS DE
LIBERTAD
SUMA DE
CUADRADOS
MEDIA DE
CUADRADOS Fo
Tratamientos
corregidos
a – 1 SS(Trc) MS(Trc)
𝐹(𝑇𝑟𝑐) =
𝑀𝑆(𝑇𝑟𝑐)
𝑀𝑆𝐸
Bloques b – 1 SSB MSB
𝐹𝐵 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝐸
Error N-a-b+1 SSE MSE ---------------
Total N – 1 SST --------------- ---------------

10. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.1 PARA LOS TRATAMIENTOS CORREGIDOS
H0 : los tratamientos corregidos son idénticos
Hi : existe variabilidad de los tratamientos corregidos
Se rechaza H0 con un nivel de significancia 𝛼 si:
𝐹(𝑻𝒓) > 𝐹𝛼,𝒂−1,𝑵−𝒂−𝒃+𝟏
5.2 PARA LOS BLOQUES
H0 : los bloques son idénticos
Hi : existe variabilidad de los bloques
Se rechaza H0 con un nivel de significancia 𝛼 si:
𝐹 𝑩 > 𝐹𝛼,𝒃−1,𝑵−𝒂−𝒃+𝟏

11. DISEÑO FACTORIAL
Por diseño factorial general se entiende aquel en el
que se investigan todas las posibles combinaciones de
los niveles de factores en cada ensayo completo del
experimento. Así, si existen ”a” niveles del factor A,
“b” niveles del factor B, “c” niveles del factor C, y así
sucesivamente arreglados en un experimento factorial;
en general habrá un total de abc…n observaciones, si
hay “n” replicas del experimento completo. Se
consideran las interacciones entre los factores.

12. DISEÑOS FACTORIAL DE DOS FACTORES
1. MODELO ESTADÍSTICO LINEAL
𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝝉𝒊 + β𝒋 + (𝝉𝜷)𝒊𝒋+𝜺𝒊𝒋𝒌
Para: i=1, 2, 3, . . . a j=1, 2, 3, . . . b k=1, 2, 3, . . . n
Donde:
Yijk : Son la observaciones
µ : Es la media global o media general
𝝉 i : Es el efecto del i-ésimo nivel del factor A
β𝒋 : Es el efecto del j-ésimo nivel del factor B
(β𝝉)𝒊𝒋 : Es el efecto de la interacción del factor A y B
Єij : Es el error aleatorio

13. 2. SUMA DE CUADRADOS
𝑆𝑆𝑇 = ෍
𝑖=1
𝑎
෍
𝐽=1
𝑏
෍
𝑘=1
𝑛
𝑌𝑖𝑗𝑘
2
−
𝑌2. . .
𝑎𝑏𝑛
𝑆𝑆𝐴 =
σ𝑖=1
𝒂
𝑌𝑖..
2
𝒃𝒏
−
𝑌2. . .
𝑎𝑏𝑛
𝑆𝑆𝑩 =
σ𝒋=1
𝒃
𝑌.𝒋.
2
𝒂𝒏
−
𝑌2. . .
𝑎𝑏𝑛
Donde:
SST : Suma de cuadrados totales
SSA : Suma de cuadrados del factor A
SSB : Suma de cuadrados del factor B

14. 2. SUMA DE CUADRADOS
𝑺𝑺𝑨𝑩 = 𝑺𝑺𝑺 − 𝑺𝑺𝑨 − 𝑺𝑺𝑩 𝑺𝑺𝑺 =
σ𝑖=1
𝒂
σ𝒋=𝟏
𝒃
𝒀𝒊𝒋.
𝟐
𝒏
−
𝑌2. . .
𝒂𝒃𝒏
𝑆𝑆𝑨𝑩 =
σ 𝑖=1
𝒂 σ 𝒋=𝟏
𝒃
𝒀𝒊𝒋.
𝟐
𝒏
−
𝑌2
...
𝒂𝒃𝒏
− 𝑺𝑺𝑨 − 𝑺𝑺𝑩
SSE = SST- SSAB - SSA - SSB
SST : Suma de cuadrados totales
SSS : Suma de cuadrados de los subtotales
SSA : Suma de cuadrados del factor A
SSB : Suma de cuadrados del factor B
SSAB : Suma de cuadrados de la interacción de A con B
SSE : Suma de cuadrados del error

15. 3. MEDIA DE CUADRADOS
𝑀𝑆𝐴 =
𝑆𝑆𝐴
𝑎−1
𝑀𝑆𝐵 =
𝑆𝑆𝐵
𝑏−1
𝑀𝑆𝐴𝐵 =
𝑆𝑆𝐴𝐵
(𝑎−1)(𝑏−1)
𝑀𝑆𝐸 =
𝑆𝑆𝐸
𝑎𝑏(𝑛−1)
MSA : Media de cuadrado del factor A
MSB : Media de cuadrado del factor B
MSAB : Media de cuadrado de la interacción de A con B
MSE : Media de cuadrados del error
a-1 : Grados de libertad del factor A
b-1 : Grados de libertad del factor B
(a-1)(b-1) : Grados de libertad de la interacción de A con B
ab(n-1) : Grados de libertad del error

16. 4. TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
Fuente de
Variación
Grados de
Libertad
Suma de
cuadrados
Media de
cuadrados F
1 Tratamiento A a-1 SSA MSA 𝐹A =
𝑀𝑆𝐴
𝑀𝑆𝐸
2 Tratamiento B b-1 SSB MSB 𝐹B =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝐸
3 Interacción AB (a-1)(b-1) SSAB MSAB 𝐹AB =
𝑀𝑆𝐴𝐵
𝑀𝑆𝐸
4 Error ab(n-1) SSE MSE
Total abn-1 SST

17. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.1 PARA LOS TRATAMIENTOS DEL FACTOR A
Ho : No existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor A.
Hi : Existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor A.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FA > Fα, a-1, ab(n-1)
5.2 PARA LOS TRATAMIENTOS DEL FACTOR B
Ho : No existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor B.
Hi : Existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor B.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FB > F α, b-1, ab(n-1)

18. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.3 PARA LA INTERACCIÓN DE LOS FACTORES A Y B
Ho : No existe diferencia significativa entre la interacción de A y B
Hi : Existe diferencia significativa entre la interacción de A con B.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FAB > F α, (a-1)(b-1), ab(n-1)

19. DISEÑOS FACTORIAL DE TRES FACTORES
1. MODELO ESTADÍSTICO LINEAL
𝒀𝒊𝒋𝒌𝒍 = 𝝁 + 𝝉𝒊 + β𝒋 + 𝜸 𝒌 + (𝝉𝜷)𝒊𝒋+(𝝉𝜸)𝒊𝒌+(𝜷𝜸)𝒋𝒌+(𝝉𝜷𝜸)𝒊𝒋𝒌+𝜺𝒊𝒋𝒌𝒍
Para: i=1, 2, 3, . . . . a j=1, 2, 3, . . . . b
k=1, 2, 3, . . . . c l=1, 2, 3, . . . . n
Donde:
𝝉 i : Es el efecto del i-ésimo nivel del factor A
β𝒋 : Es el efecto del j-ésimo nivel del factor B
𝜸 𝒌 : Es el efecto del k-ésimo nivel del factor C
(𝝉β)𝒊𝒋 : Es el efecto de la interacción del factor A y B
(𝝉𝜸)𝒊𝒌 : Es el efecto de la interacción del factor A y C
(β𝜸)𝒋𝒌 : Es el efecto de la interacción del factor B y C
(𝝉β𝝉)𝒊𝒋𝒌 : Es el efecto de la interacción de los factores A, B y C

20. 2. SUMA DE CUADRADOS
𝑆𝑆𝑇 = ෍
𝑖=1
𝑎
෍
𝐽=1
𝑏
෍
𝑘=1
𝑐
෍
𝑙=1
𝑛
𝑌𝑖𝑗𝑘𝑙
2
−
𝑌2 … .
𝑎𝑏𝑐𝑛
𝑆𝑆𝐴 =
σ𝑖=1
𝒂
𝑌𝑖...
2
𝒃𝒄𝒏
−
𝑌2 … .
𝑎𝑏𝑐𝑛
𝑆𝑆𝑩 =
σ 𝒋=1
𝒃
𝑌.𝒋..
2
𝒂𝒄𝒏
−
𝑌2
....
𝑎𝑏𝑐𝑛
𝑆𝑆𝑪 =
σ 𝒌=𝟏
𝒄
𝑌..𝒌.
2
𝒂𝒃𝒏
−
𝑌2
....
𝑎𝑏𝑐𝑛
Donde:
SST : Suma de cuadrados totales
SSA : Suma de cuadrados del factor A
SSB : Suma de cuadrados del factor B
SSC : Suma de cuadrados del factor C

21. 2. SUMA DE CUADRADOS DE LAS INTERACCIONES
𝑺𝑺𝑨𝑩 =
σ 𝑖=1
𝒂 σ 𝒋=𝟏
𝒃
𝒀 𝒊𝒋..
𝟐
𝒄𝒏
−
𝑌2
….
𝒂𝒃𝒄𝒏
− 𝑺𝑺𝑨 − 𝑺𝑺𝑩
𝑺𝑺𝑨𝑪 =
σ 𝑖=1
𝒂 σ 𝒌=𝟏
𝒄
𝒀 𝒊.𝒌.
𝟐
𝒃𝒏
−
𝑌2
....
𝒂𝒃𝒄𝒏
− 𝑺𝑺𝑨 − 𝑺𝑺𝑪
𝑺𝑺𝑩𝑪 =
σ 𝑗=1
𝒃 σ 𝒌=𝟏
𝒄
𝒀.𝒋𝒌.
𝟐
𝒂𝒏
−
𝑌2
...
𝒂𝒃𝒄𝒏
− 𝑺𝑺𝑩 − 𝑺𝑺𝑪
𝑺𝑺𝑨𝑩𝑪 =
σ𝑖=1
𝒂
σ 𝒋=𝟏
𝒃 σ 𝒌=𝟏
𝒄
𝒀 𝒊𝒋𝒌.
𝟐
𝒏
−
𝑌2
....
𝒂𝒃𝒄𝒏
− 𝑺𝑺𝑨 − 𝑺𝑺𝑩 − 𝐒𝐒𝐂 − 𝐒𝐒𝐀𝐁 −
𝐒𝐒𝐀𝐂 − 𝐒𝐒𝐁𝐂
SSE = SST-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC-SSABC

22. 3. MEDIA DE CUADRADOS
𝑀𝑆𝐴 =
𝑆𝑆𝐴
𝑎−1
𝑀𝑆𝐵 =
𝑆𝑆𝐵
𝑏−1
𝑀𝑆𝐶 =
𝑆𝑆𝐶
𝑐−1
𝑀𝑆𝐴𝐵 =
𝑆𝑆𝐴𝐵
(𝑎−1)(𝑏−1)
𝑀𝑆𝐴𝐶 =
𝑆𝑆𝐴𝐶
(𝑎−1)(𝑐−1)
𝑀𝑆𝐵𝐶 =
𝑆𝑆𝐵𝐶
(𝑏−1)(𝑐−1)
𝑀𝑆𝐴𝐵𝐶 =
𝑆𝑆𝐴𝐵𝐶
(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑐−1)
𝑀𝑆𝐸 =
𝑆𝑆𝐸
𝑎𝑏𝑐(𝑛−1)

23. 4. TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
Fuente de
Variación
Grados de
Libertad
Suma de
cuadrados
Media de
cuadrados F
1 Tratamiento A a-1 SSA MSA 𝐹A =
𝑀𝑆𝐴
𝑀𝑆𝐸
2 Tratamiento B b-1 SSB MSB 𝐹B =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝐸
3 Tratamiento C c-1 SSC MSC 𝐹C =
𝑀𝑆𝐶
𝑀𝑆𝐸
4 Interacción AB (a-1)(b-1) SSAB MSAB 𝐹AB =
𝑀𝑆𝐴𝐵
𝑀𝑆𝐸
5 Interacción AC (a-1)(c-1) SSAC MSAC 𝐹AC =
𝑀𝑆𝐴𝐶
𝑀𝑆𝐸
6 Interacción BC (b-1)(c-1) SSBC MSBC 𝐹BC =
𝑀𝑆𝐵𝐶
𝑀𝑆𝐸
7 Interacción ABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC MSABC 𝐹ABC =
𝑀𝑆𝐴𝐵𝐶
𝑀𝑆𝐸
8 Error abc(n-1) SSE MSE
Total abcn-1 SST

24. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.1 PARA LOS TRATAMIENTOS DEL FACTOR A
Ho : No existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor A.
Hi : Existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor A.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FA > Fα, a-1, abc(n-1)
5.2 PARA LOS TRATAMIENTOS DEL FACTOR B
Ho : No existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor B.
Hi : Existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor B.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FB > F α, b-1, abc(n-1)

25. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.3 PARA LOS TRATAMIENTOS DEL FACTOR C
Ho: No existe diferencia significativa en los tratamientos del factor C.
Hi : Existe diferencia significativa entre los tratamientos del factor C.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FC > F α, c-1, abc(n-1)
5.4 PARA LA INTERACCIÓN DE LOS FACTORES A Y B
Ho : No existe diferencia significativa entre la interacción de A y B
Hi : Existe diferencia significativa entre la interacción de A con B.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FAB > F α, (a-1)(b-1), abc(n-1)

26. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.5 PARA LA INTERACCIÓN DE LOS FACTORES A Y C
Ho : No existe diferencia significativa entre la interacción de A y C
Hi : Existe diferencia significativa entre la interacción de A con C.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FAC > F α, (a-1)(c-1), abc(n-1)
5.6 PARA LA INTERACCIÓN DE LOS FACTORES B Y C
Ho : No existe diferencia significativa entre la interacción de B y C
Hi : Existe diferencia significativa entre la interacción de B con C.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FBC > F α, (b-1)(c-1), abc(n-1)

27. 5. CRITERIO DE HIPÓTESIS
5.7 PARA LA INTERACCIÓN DE LOS FACTORES A, B Y C
Ho : No existe diferencia significativa entre la
interacción de A, B y C
Hi : Existe diferencia significativa entre la interacción
de A con B y C.
Se rechaza Ho con un nivel de significancia α si:
FABC > F α, (a-1)(b-1)(c-1), abc(n-1)