ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx

ANÁLISIS DE VARIANZA
Claudio Cerrón Landeo

Objetivos de clase
• Reconocer las características de
una prueba de varianzas.
• Determinar en que circunstancias
se aplica ANOVA.
Al finalizar la presentación el estudiante
podrá
Distribución F

Programas de capacitación
Programas
1 2 3
85 80 82
72 84 80
83 81 85
80 78 90
82 88

ANOVA: Una prueba para más de dos medias
•Ho : µ1 = µ2 = µ3 = . . . .
•H1 : Por lo menos una media es
diferente

Análisis de la varianza
(ANOVA)
ANOVA de dos vía o
factores
(Two-ways)
ANOVA de una vía o
factor
(one-way)
Modelo aditivo
(sin interacción)
Modelo con interacción
FACTOR 1
A B C
3.2 2.3 3.4
4.2 2.7 3.9
4.1 4.1 4.0
3.9 3.8 2.3
3.7 3.6 3.5
3.5
FACTOR 1
A B C
FACTOR
2
E 3.2 2.3 3.4
F 4.2 2.7 3.9
G 4.1 4.1 4.0
H 3.9 3.8 2.3
I 3.7 3.6 3.5
FACTOR 1
A B C
FACTOR
2
E
3.2
3.4
2.3
2.6
3.4
3.6
F
4.2
3.9
2.7
3.4
3.9
2.9
G
4.1
4.0
4.1
3.8
4.0
4,3
H
3.9
3.6
3.8
4.6
2.3
2.6
I
3.7
3.2
3.6
4.2
3.5
3.7

ANOVA de un Factor
ANOVA de una Vía

Requisitos
• Las poblaciones tienen
distribuciones que son
aproximadamente normales.
Este requisito no es
demasiado estricto, ya que el
método funciona bien, a
menos que la población tenga
una distribución muy
diferente de la normal o
existan datos extremos

Requisitos
• Las poblaciones tienen la
misma varianza σ2 (o
desviación estándar σ).
(Este requisito no es
demasiado estricto, ya que
el método funciona bien a
menos que las varianzas
poblacionales difieran en
grandes cantidades).
𝜎1
2
= 𝜎2
2
= 𝜎3
2
= 𝜎4
2

Requisitos
• Las muestras son aleatorias simples (es decir,
muestras del mismo tamaño que tienen la
misma probabilidad de ser elegidas).
• Las muestras son independientes entre sí (es
decir, no están emparejadas o asociadas de
ninguna forma).
• Las diferentes muestras provienen de
poblaciones que están categorizadas de una
sola forma o factor. (Ésta es la base del
nombre del método: análisis de varianza de
un factor).

Programas
1 2 3
85 80 82
72 84 80
83 81 85
80 78 90
82 88
Datos:
K = 3 # de tratamientos
N = 14 total de datos
n1= 4 Tamaño muestra 1

•Ho : µCapacitación1 = µCapacitación2= µCapacitación3
(El tipo de capacitación no influye en el rendimiento de los trabajadores)
•H1 : Por lo menos una media es diferente
(El tipo de capacitación influye en el rendimiento de los trabajadores)
VARIABLE DE INTERÉS O RESPUESTA (y): El rendimiento de los trabajadores
FACTOR O VARIABLE INDEPENDIENTE (x): El tipo de capacitación

• El análisis de la varianza se
basa en la comparación de la
cantidad de variación en cada
uno de los programas
(tratamientos).
• Si de un tratamiento a otro la
variación es significativamente
alta, los tratamientos tienen
efectos diferentes en las
poblaciones.

• Existen tres tipos de
fuentes de variación:
• Variación total
• Variación entre muestras.
• Variación dentro de las
muestras.

• Variación entre muestras:
• Los empleados del
programa 1 no obtuvieron
el mismo puntaje que los
del programa 2 o el
programa 3.
• Variación producida por el
factor o tratamiento

• Variación dentro de las
muestras
• No todos los empleados
del mismo programa
obtuvieron el mismo
puntaje.
• Variación dentro de los
tratamientos
• Por el error de muestreo

• Variación total
• Entre el total de
empleados muestreados
no todos obtuvieron la
misma nota.
SCMT + SCME = SCMT

Distribución F
• Es una distribución que
depende de los grados de
libertad del numerador de
los grados de libertad del
denominador
𝐹 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑡
Zona de
No
Rechazo
Zona de
Rechazo
𝐹 =
𝐶𝑀𝑇𝑅
𝐶𝑀𝐸

TABLA ANOVA (una vía)
Origen de la
Varianza
Suma de cuadrados
(SC)
Grados de
Libertad (gl)
Cuadrados
Medios (CM)
Estadíst. de
Prueba (F)
Tratamiento o
Factor o vía
(entre muestras)
SCTR = 𝒏𝒋(𝒙𝒋 − 𝒙)𝟐
K-1 CMTR=
𝑆𝐶𝑇𝑅
𝑘−1
F =
𝐶𝑀𝑇𝑅
𝐶𝑀𝐸
Error (dentro de las
muestras)
SCE = (𝒏𝒋 − 𝟏) 𝒔𝒋
𝟐
N-k CME=
𝑆𝐶𝐸
𝑁−𝑘
Total SCT = SCTR + SCE N-1
Valores críticos en la Tabla A-5 con grados de Libertad del Numerador = k - 1 y
Grados de libertad del denominador N - k

Ejemplo 1
• Un estudio compara los efectos sobre las ventas de 4
promociones de un mes en el punto de venta.
Presentamos las ventas unitarias de las tiendas que
utilizaron las 4 promociones en meses distintos:
Ventas (US$ miles)
Muestras
gratis
Regalo de un
paquete
Descuento
Reembolso en
otras compras
78 94 73 79
87 91 78 83
81 87 69 78
89 90 83 69
85 88 77 81
90 83
73
Al nivel de significancia de 0.01, ¿las promociones producen
diferentes efectos sobre las ventas?

Ejemplo 1 Hipótesis
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
• H1: Por lo menos una media es diferente
Ventas (US$ miles)
Muestras
gratis
Regalo de un
paquete
Descuento
Reembolso en
otras compras
78 94 73 79
87 91 78 83
81 87 69 78
89 90 83 69
85 88 77 81
90 83
73
Calculamos las medidas: n, 𝑥, s y 𝑥
K=4
N = 23

Ejemplo 1 - Datos
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Ventas (US$ miles)
Muestras
gratis
Regalo de un
paquete
Descuento
Reembolso en
otras compras
78 94 73 79
87 91 78 83
81 87 69 78
89 90 83 69
85 88 77 81
90 83
73
𝑛𝑗 = 5 6 5 7

Ejemplo 1 - Medias
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Ventas (US$ miles)
Muestras
gratis
Regalo de un
paquete
Descuento
Reembolso
por correo
78 94 73 79
87 91 78 83
81 87 69 78
89 90 83 69
85 88 77 81
90 83
73
𝑛𝑗 = 5 6 5 7
𝑥𝑗 = 84 90 76 78

Ejemplo 1 – Desviaciones Estándar
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Ventas (US$ miles)
Muestras
gratis
Regalo de un
paquete
Descuento
Reembolso
por correo
78 94 73 79
87 91 78 83
81 87 69 78
89 90 83 69
85 88 77 81
90 83
73
𝑛𝑗 = 5 6 5 7
𝑥𝑗 = 84 90 76 78
𝑠𝑗 = 4.4721 2.4495 5.2915 5.2599
𝑥 = 82

Ejemplo 1 – Suma de cuadradosm.
• Calculamos las sumatorias de cuadrados:
𝑛𝑗 = 5 6 5 7
𝑥𝑗 = 84 90 76 78
𝑠𝑗 = 4.4721 2.4495 5.2915 5.2599
𝑥 = 82
𝑆𝐶𝑇 = 𝑛𝑗 ∗ 𝑥 − 𝑥 2
𝑆𝐶𝑇 = 5 84 − 82 2
+ 6 90 − 82 2
+ 5 76 − 82 2
+ 7 78 − 82 2
𝑆𝐶𝑇 = 696
Origen de las
variaciones SC gl CM F
Por el Tratamiento 696
Por el Error

Ejemplo 1– Suma de cuadrados Error
• Calculamos las sumatorias de cuadrados:
𝑛𝑗 = 5 6 5 7
𝑥𝑗 = 84 90 76 78
𝑠𝑗 = 4.4721 2.4495 5.2915 5.2599
𝑥 = 82
𝑆𝐶𝐸 = 𝑛𝑗 − 1 ∗ 𝑠𝑗
2
𝑆𝐶𝐸 = 5 − 1 4.47212
+ 6 − 1 2.44952
+ 5 − 1 5.29152
+ 7 − 1 5.25992
𝑆𝐶𝐸 = 388
Origen de las
Por el Tratamiento 696
Por el Error 388

Origen de las
Por el Tratamiento 696 3
Por el Error 388 19
Ejemplo 1 Cuadrados Medios
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
K=4
N = 23

Ejemplo 1 – CM del Tratamiento
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Origen de las
Por el Tratamiento 696 3 232
Por el Error 388 19
Total 22
÷
÷
=
=

Ejemplo 1 – CM del Error
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Origen de las
Por el Error 388 19 20.4211
Total 22
÷
÷
=
=

Ejemplo 1 – Estadístico de Prueba
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Origen de las
Por el Error 388 19 20.4211
Total 22
÷
= 11.361

Ejemplo 1 – Valor Crítico
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Origen de las
Por el
Tratamiento
696 3 232 11.361
Por el Error 388 19 20.4211
Total 22
3.1274

Ejemplo 1 - Conclusión
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4
Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de los
cuadrados F
Entre grupos
Por el Tratamiento 696 3 232 11.361
Dentro de los
grupos
Por el Error
388 19 20.4211
Total 22
3.127
Rechazamos H0 como verdadera
V
F
Existe evidencia muestral
suficiente para afirmar que por lo
menos una media es diferente

APLICACIÓN CON R
• Suponga que un estudio quiere comprobar si existe una diferencia significativa
entre el % de bateos exitosos de los jugadores de béisbol dependiendo de la
posición en la que juegan. En caso de que exista diferencia se quiere saber qué
posiciones difieren del resto. La siguiente tabla contiene una muestra de
jugadores seleccionados aleatoriamente.
• Se muestra en el cuadro parte de los datos, la data completa se encuentra en el
archivo compartido.

APLICACIÓN CON R
1. Estudio de los datos: Número de grupos, observaciones por grupo y
distribución de las observaciones
Se identifica el número de grupos y cantidad de observaciones por grupo
para determinar si es un modelo equilibrado. También se calculan la media
y desviación típica de caga grupo.

APLICACIÓN CON R
Dado que el número de observaciones por grupo no es constante, se trata de un modelo no
equilibrado. Es importante tenerlo en cuenta cuando se comprueben las condiciones de
normalidad y homocedasticidad.
La representación gráfica mas útil antes de realizar un ANOVA es el modelo Box-Plot.

APLICACIÓN CON R
Este tipo de representación permite
identificar de forma preliminar si existen
asimetrías, datos atípicos o diferencia de
varianzas. En este caso, los 4 grupos
parecen seguir una distribución simétrica.
En el nivel IF se detectan algunos valores
extremos que habrá que estudiar con
detalle por si fuese necesario eliminarlos.
El tamaño de las cajas es similar para
todos los niveles por lo que no hay
indicios de falta de homocedasticidad.

APLICACIÓN CON R
2. Verificar condiciones para un ANOVA
Homocedasticidad
Test de Bartlett
bartlett.test(y ~ x) Independencia
Normalidad
Test de Kolgomorov Smirnof Lilliefors
library(nortest)
lillie.test(datos)

APLICACIÓN CON R
3. Análisis de varianza ANOVA

APLICACIÓN CON R
4. Comparaciones múltiples

APLICACIÓN CON R
Como era de esperar no se encuentra diferencia significativa entre ningún par de medias.

APLICACIÓN CON R
5. Conclusión
En el estudio realizado se ha observado un tamaño de efecto pequeño y las técnicas de inferencia
ANOVA no han encontrado significancia estadística para rechazar que las medias son iguales entre
todos los grupos.

EJEMPLO 2
Pseudomonas fragi
Se realizó un estudio para investigar el efecto del CO2 sobre la tasa de crecimiento de Pseudomonas fragi (un
corruptor de alimentos). Se cree que el crecimiento se ve afectado por la cantidad de CO2 en el aire.
Para contrastarlo, en un experimento se administró CO2 a 5 presiones atmosféricas diferentes a 10 cultivos
diferentes por cada nivel, y se anotó el cambio (en %) de la masa celular al cabo de una hora:
Realiza el análisis de varianza
para determinar si el
crecimiento se ve afectado por
la cantidad de CO2.

El análisis de varianza de dos vías, también conocido como plan factorial con
dos factores, sirve para estudiar la relación entre una variable dependiente
cuantitativa y dos variables independientes cualitativas (factores) cada uno con
varios niveles. El ANOVA de dos vías permite estudiar cómo influyen por si
solos cada uno de los factores sobre la variable dependiente (modelo aditivo)
así como la influencia de las combinaciones que se pueden dar entre ellas
(modelo con interacción).

Supóngase que se quiere estudiar el efecto de un fármaco sobre la presión
sanguínea (variable cuantitativa dependiente) dependiendo del sexo del paciente
(niveles: hombre, mujer) y de la edad (niveles: niño, adulto, anciano).
El efecto simple de los factores consiste en estudiar cómo varía el efecto del
fármaco dependiendo del sexo sin diferenciar por edades, así como estudiar
cómo varía el efecto del fármaco dependiendo de la edad sin tener en cuenta el
sexo.
El efecto de la interacción doble consiste en estudiar si la influencia de uno de
los factores varía dependiendo de los niveles del otro factor. Es decir, si la
influencia del factor sexo sobre la actividad del fármaco es distinta según la edad
del paciente o lo que es lo mismo, si la actividad del fármaco para una
determinada edad es distinta según si se es hombre o mujer.
EJEMPLO

•Para cada celda, los valores muestrales provienen de una población con una
distribución que es aproximadamente normal.
•Las poblaciones tienen la misma varianza (o desviación estándar σ).
•Las muestras son aleatorias simples.
•Las muestras son independientes entre sí.
•Los valores muestrales se categorizan en dos factores.
•Todas las celdas tienen el mismo número de valores muestrales.
Dos factores o vías (requisitos)

ANOVA de 2 factores
(ANOVA)
ANOVA de dos vía o
factores
(Two-ways)
ANOVA de una vía o
factor
(one-way)
Modelo aditivo
(sin interacción)
FACTOR 1
A B C
FACTOR
2 E 3.2 2.3 3.4
F 4.2 2.7 3.9
G 4.1 4.1 4.0
H 3.9 3.8 2.3
I 3.7 3.6 3.5

Diseño del modelo ANOVA de dos factores sin
interacción

Diseño por bloques
• Interesa saber si la variable Y tiene la misma media para los distintos niveles del factor A.
Los valores pueden depender de los niveles de un segundo factor B.
• El factor A tiene I niveles; el factor B, J niveles.
• Para cada nivel de A se realizan J mediciones de Y y una medición en cada nivel de B (en
total de I × J mediciones).
EJEMPLOS
• Eficiencia de varios modelos de un tipo de máquina. Se controla la influencia del medio
ambiente. Factores: modelo de la máquina, condiciones ambientales.
• Análisis de muestras. Factores: muestra, analista.
• Eficacia de distintos tratamientos (dosis) con un determinado medicamento. Factores:
tratamiento, edad del paciente.
• Tiempo de permanencia en sangre del principio activo de un medicamento. Factores:
preparación, individuo.
ANOVA de dos factores sin interacción

Entre Muestras
o Tratamientos
Entre columnas
SCTR = 𝒏𝒋(𝒙𝒋 − 𝒙)𝟐
K-1 CMTR=
𝑆𝐶𝑇𝑅
𝐾−1
𝐶𝑀𝑇𝑅
𝐶𝑀𝐸
Dentro de los
grupos
Por el Error
SCE =SCT-(SCBL+SCTR) (L-1)(K-1) CME=
𝑆𝐶𝐸
(𝐿−1)(𝐾−1)
Total SCT=𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
2
∗ 𝑁 N-1
 Este caso también se
denomina sin repetición
o de diseño aleatorio
Origen de las
variaciones
Suma de cuadrados gl
Promedio de los
cuadrados
F
Entre Bloques
Entre filas
SCBL= 𝒏𝑖(𝒙𝑖 − 𝒙)𝟐
L-1 CMBL=
𝑆𝐶𝐵𝐿
𝐿−1
𝐶𝑀𝐵𝐿
𝐶𝑀𝐸
ANOVA de dos factores sin interacción

Ejemplo
• En una empresa se prueban tres sistemas nuevos de contabilidad. Se
prueba el sistema, pero se desea aislar el efecto de la experiencia de
uso en este tipo de aplicaciones.
Sistemas
Nivel de
experiencia
A B C
1 27 21 25
2 31 33 35
3 42 39 39
4 38 41 37
5 45 46 45

Planteamiento de Hipótesis
Filas o Bloques
Ho: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5 (No hay diferencia entre niveles de experiencia)
H1: Por lo menos un nivel de experiencia produce efectos diferentes.
Columnas o Tratamientos.
Ho: μA = μB = μC(No hay diferencia entre tipos de sistemas)
H1: Por lo menos un sistema es diferente.

Datos
• Este caso también se denomina sin
repetición o con una sola muestra
por fila.
Sistemas
(tratamientos)
Nivel de
experiencia
(filas)
1 2 3
1 27 21 25
2 31 33 35
3 42 39 39
4 38 41 37
5 45 46 45

Datos
Sistemas
(tratamientos)
Nivel de
experiencia
(filas)
1 2 3
1 27 21 25
2 31 33 35
3 42 39 39
4 38 41 37
5 45 46 45
𝒙 =36.267
N = 15
Número
de Filas
L = 5
Número de Columnas
o Tratamiento
k = 3
𝝈𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟕. 𝟑𝟑𝟒𝟓

Sistemas (tratamientos)
Nivel de
experiencia
(filas)
1 2 3 ni 𝒙𝒊 si
1 27 21 25 3 24.333 3.055
2 31 33 35 3 33 2.
3 42 39 39 3 40 1.732
4 38 41 37 3 38.667 2.082
5 45 46 45 3 45.333 0.577
nj 5 5 5
𝒙𝒋 36.6 36 36.2
sj 7.503 9.592 7.294
Número
de Filas
L = 5
Número de
Columnas o
Tratamiento
k = 3
𝒙 =36.267
N = 15
𝝈𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟕. 𝟑𝟑𝟒𝟓
Datos

Sumatorias:
Filas o Bloques:
SCBL= 𝒏𝑖(𝒙𝑖 − 𝒙)𝟐
SCBL = 3(24.33-36.267)2 + 3(33--36.267)2 + 3(40-36.267)2 + 3(38.667-36.267)2 +
3(45.33-36.267)2
SCBL = 764.944
Columnas o Tratamientos:
SCTR= 𝒏𝑗(𝒙𝑗 − 𝒙)𝟐
SCBL = 5(36.6-36.267)2+5(36-36.267)2+5(36.2-36.267)2
SCTR = 0.933
Total:
SCT= 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
2
∗ 𝑁 , donde; 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
2
= (7.335)2 = 53.796
SCT = (53.796)(15)
SCT = 806.933
Suma de Cuadrados del
Error:
SCE = SCT-(SCBL+SCTR)
SCE = 806.933-(764.944+0.933)
SCE = 41.056

Tabla ANOVA 2 factores
Origen de las
Entre Bloques
Entre filas
SCB =764.944 L-1 CMBL=
𝑆𝐶𝐵𝐿
𝐿−1
𝐶𝑀𝐵𝐿
𝐶𝑀𝐸
Entre
Muestras
o
Tratamientos
Entre columnas
SCTR =0.933 K-1 CMTR=
𝑆𝐶𝑇𝑅
𝐾−1
𝐶𝑀𝑇𝑅
𝐶𝑀𝐸
Por el Error
SCE =SCT-
(SCBL+SCTR)
L*K CME=
𝑆𝐶𝐸
𝐿∗𝐾
Total 806.933 N-1




=
=
=


Tabla ANOVA 2 factores

Origen de
variaciones
SC gl CM F Fcrit
Entre Bloques
Entre filas SCB =764.933 4 191.233 37.253 3.8379
Tratamientos
Entre columnas
SCTR = 0.933 2 0.467 0.0909 4.4590
Dentro de los
grupos
Por el Error
SCE = 41.067 8 5.133
Total SCT=806.933 14
3.8379
4.4590
𝑔𝑙𝑛𝑢𝑚 = 4
𝑔𝑙𝑑𝑒𝑛 = 8
α = 0.05
α = 0.05
Reglas de decisión

Conclusiones
Origen de
variaciones
SC gl CM F Fcrit
Entre Bloques
Entre filas SCB =764.933 4 191.233 37.253 3.8379
Tratamientos
Entre columnas
SCTR = 0.933 2 0.467 0.0909 4.4590
Dentro de los
grupos
Por el Error
SCE = 41.067 8 5.133
Total SCT=806.933 14
3.8379
Rechazamos Ho
4.4590
α = 0.05
α = 0.05
No rechazamos Ho

Pruebas Post Hoc
• Solo en el caso de las Filas o
Bloques se ha probado diferencias
y se puede afirmar que el nivel de
experiencia si incide en la
calificación.
• Debe realizarse pruebas en pares
de Bonferroni para determinar cual
o cuales de las medias son
diferentes

ANOVA de dos factores
(ANOVA)
ANOVA de dos vía o
factores
(Two-ways)
ANOVA de una vía o
factor
(one-way)
Modelo aditivo
(sin interacción)
FACTOR 1
A B C
FACTOR
2
E
3.2
3.4
2.3
2.6
3.4
3.6
F
4.2
3.9
2.7
3.4
3.9
2.9
G
4.1
4.0
4.1
3.8
4.0
4,3
H
3.9
3.6
3.8
4.6
2.3
2.6
I
3.7
3.2
3.6
4.2
3.5
3.7

Diseño del modelo ANOVA de dos factores
con interacción

Origen de las
Filas
Entre filas
SCFil L-1 CMBL=
𝑆𝐶𝐵𝐿
𝐿−1
𝐶𝑀𝐹𝑖𝑙
𝐶𝑀𝐸
Columnas
Entre columnas
SCCol K-1 CMTR=
𝑆𝐶𝑇𝑅
𝐾−1
𝐶𝑀𝐶𝑜𝑙
𝐶𝑀𝐸
Iteracción SCI (L-1)(K-1) CMI=
𝑆𝐶𝐼
(𝐿−1)(𝐾−1)
𝐶𝑀𝐼
𝐶𝑀𝐸
Error
Por el Error
SCE gl=glt-(Σgl) CME=
𝑆𝐶𝐸
𝑔𝑙
Total SCT N-1
Diseño del modelo ANOVA de dos factores
con interacción

Ejemplo
• Se quiere probar dos nuevos fármacos somníferos. Se mide el
tiempo de respuesta y se obtiene:
Fármaco
A
Fármaco
B
Placebo
C
Mujer 34 27 25
33 30 19
28 29 26
41 29 30
43 32 28
Hombre 32 31 21
35 32 28
36 29 17
34 26 30
38 29 26
 ¿Hay diferencia entre los tiempos de respuesta entre los fármacos
A, B y un grupo placebo?
 El sexo de los pacientes influye de alguna manera

Planteamiento de Hipótesis
FACTOR A
Ho: μmujer = μhombre
H1: Por lo menos una media es diferente.
FACTOR B
Ho: μA = μB = μC
INTERACCIÓN AB
Ho: No existe interacción entre sexo y fármaco
H1: Existe interacción entre sexo y fármaco

El resultado de la tabla ANOVA es:
Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
los cuadrados F Probabilidad
Valor crítico
para F
Muestra 3.333 1 3.333 0.206 0.654 4.260
Columnas 545.067 2 272.533 16.875 2.654E-05 3.403
Interacción 1.8667 2 0.933 0.058 0.944 3.403
Dentro del
grupo
387.6 24 16.15
Total 937.867 29

Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
Valor crítico
para F
Muestra 3.333 1 3.333 0.206 0.654 4.260
Columnas 545.067 2 272.533 16.875 2.654E-05 3.403
Interacción 1.8667 2 0.933 0.058 0.944 3.403
Dentro del
grupo
387.6 24 16.15
Total 937.867 29
En el caso de la comparación de acuerdo al sexo;
Valor P = 0.654 > α = 0.05.
No se rechaza Ho, por lo que se puede aceptar que no existe influencia alguna del sexo.
Ho: μmujer = μhombre

Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
Valor crítico
para F
Muestra 3.333 1 3.333 0.206 0.654 4.260
Columnas 545.067 2 272.533 16.875 2.654E-05 3.403
Interacción 1.8667 2 0.933 0.058 0.944 3.403
Dentro del
grupo
387.6 24 16.15
Total 937.867 29
En el caso de Tipo de fármaco;
Valor P = 0.00002654 < α = 0.05.
Se rechaza Ho, por lo menos una media es diferente, se concluye que el tipo de
fármaco genera efecto sobre el tiempo.
Ho: μA = μB = μC

Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
Valor crítico
para F
Muestra 3.333 1 3.333 0.206 0.654 4.260
Columnas 545.067 2 272.533 16.875 2.654E-05 3.403
Interacción 1.8667 2 0.933 0.058 0.944 3.403
Dentro del
grupo
387.6 24 16.15
Total 937.867 29
En el caso de la interacción Tipo de fármaco-sexo:
Valor P = 0.944 > α = 0.05.
No se rechaza Ho, no existe diferencias ocasionadas por la interacción.
Ho: No existe interacción entre sexo y fármaco
H1: Existe interacción

APLICACIÓN CON R
Supóngase un estudio clínico que analiza la eficacia de un
medicamento teniendo en cuenta dos factores, el sexo (masculino y
femenino) y la juventud (joven, adulto). Se quiere analizar si el efecto
es diferente entre alguno de los niveles de cada variable por si sola o
en combinación.
Este estudio implica comprobar si el efecto medio del fármaco es
significativamente distinto entre alguno de los siguientes grupos:
hombres, mujeres, jóvenes, adultos, hombres jóvenes, hombres
adultos, mujeres jóvenes y mujeres adultas.
En R se puede realizar este tipo de ANOVA con las funciones:
• Modelo aditivo: aov(variable_respuesta ~ factor1 + factor2, data)
• Modelo con interacción: aov(variable_respuesta ~ factor1 x factor2, data)

APLICACIÓN CON R
Generamos la data en el script dado que no se cuenta con un archivo adicional.
Visualizamos las seis primeras filas del dataframe datos.

APLICACIÓN CON R
Luego generaremos los diagramas “Box-plot” para identificar posibles diferencias significativas,
asimetrías, valores atípicos y homogeneidad de varianza entre los distintos niveles. Se acompaña
a los gráficos de la media y varianza de cada grupo; previo llamado a la librería ggplot2.

APLICACIÓN CON R
Para visualizar p1 y p2 en una sola línea. También visualizaremos p3.

APLICACIÓN CON R
También calcularemos la media y desviación estándar para
cada nivel de los factores.
De la misma manera calcularemos la media y
desviación estándar de la interacción.
A partir de la representación gráfica y el cálculo de las medias se
puede intuir que existe una diferencia en el efecto del fármaco
dependiendo de la edad y también del sexo. El efecto parece ser
mayor en mujeres que en hombres y en adultos que en jóvenes, si
bien la significancia se tendrá que confirmar con el ANOVA. La
distribución de las observaciones de cada nivel parece simétrica con
la presencia de un único valor atípico. A priori parece que se
satisfacen las condiciones necesarias para un ANOVA, aunque
habrá que confirmarlas estudiando los residuos.

APLICACIÓN CON R
Es posible identificar posibles interacciones de los dos factores de forma gráfica mediante lo que se
conocen como “gráficos de interacción”. Si las líneas que describen los datos para cada uno de los
niveles son paralelas significa que el comportamiento es similar independientemente del nivel del factor,
es decir, no hay interacción.
Podemos utilizar el código base de R
En la sgte ppt usaremos la librería ggplot2.

APLICACIÓN CON R
Se observa una clara interacción entre ambos factores. La respuesta al fármaco es distinta entre adultos y jóvenes, y de
tendencia inversa dependiendo del sexo. En mujeres, la respuesta es mayor cuando son jóvenes que cuando son adultas y en
hombres mayor cuando son adultos y menor cuando son jóvenes. El ANOVA permitirá saber si las diferencias observadas son
significativas.

APLICACIÓN CON R
El ANOVA permitirá saber si las diferencias observadas son
significativas.
Es importante también analizar el tamaño del efecto, para ello
utilizaremos la librería effectisize.
El análisis de varianza no encuentra
diferencias significativas en el efecto
del fármaco entre hombres y mujeres
(factor sex) pero sí encuentra
diferencias significativas entre
jóvenes y adultos y entre al menos
dos grupos de las combinaciones de
sexo y edad, es decir, hay
significancia para la interacción. El
tamaño del efecto η2 es grande tanto
para edad como para la interacción
de edad y sexo.
Importante: El orden en el que se
multiplican los factores no afecta
únicamente si el tamaño de los
grupos es igual, de lo contrario sí
afecta.

APLICACIÓN CON R
Para poder dar por válidos los resultados del ANOVA es necesario verificar que se satisfacen las
condiciones de un ANOVA.
Los residuos muestran la misma varianza para los distintos niveles (homocedasticidad) y se distribuyen de
forma normal. La observación número 15 tiene un residuo atípicamente grande. Sería conveniente repetir
el ANOVA sin esta observación para comprobar el impacto.

ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx

ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx

Similar a ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx (20)

Más de JOSUEGUTIERREZLLANTO1

Más de JOSUEGUTIERREZLLANTO1 (7)

Último

Último (20)

ANOVA DE UNO Y DOS FACTORES.pptx