Este documento describe los diseños factoriales, que estudian el efecto de varios factores sobre una o más variables de respuesta. Explica que los factores pueden ser cualitativos o cuantitativos, y que es necesario elegir al menos dos niveles para cada factor. Define un diseño factorial como el conjunto de tratamientos que surgen de todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. Describe cómo calcular los efectos principales de cada factor y la interacción entre factores, así como el modelo estadístico y el análisis de varianza para probar hipó

1. Diseños Factoriales
El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias
respuestas o características de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la relación entre los
factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor cómo es esta relación y generar
conocimientoquepermitatomaraccionesydecisionesque mejorenel desempeñodelproceso. Por
ejemplo,unode losobjetivosparticularesmásimportantesque engeneral tieneundiseñofactorial
es determinarunacombinaciónde nivelesde losfactoresenla cual el desempeñodel procesosea
mejor que en las condiciones de operación actuales, es decir, encontrar nuevas condiciones de
operación del proceso que eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la variable de
salida.
Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material,operador, la presencia o
ausenciade una operaciónprevia,etc.) ,o de tipo cuantitativo (temperatura,humedad,velocidad,
presión, etc.). Para poder estudiar la manera en cómo influye cada factor sobre la variable
respuesta,esnecesarioelegiral menosdosnivelesde pruebaparacadauno de ellos.Conel diseño
factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que
pueden formarse con los niveles seleccionados.
Definición de experimento factorial
Un diseñode experimentosfactorial o arreglo factoriales el conjuntode puntosexperimentaleso
tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles
de losfactores.Porejemplo,con k=2 factoresamboscondos nivelesde prueba,se formael diseño
factorial 2x2=22
que consiste de cuatrocombinacionesopuntosexperimentales.Considerandootra
vez k=2 factores, pero ahora con tres niveles y el otro con dos niveles se puede construir 3x2
combinaciones que dan lugar al diseño factorial 3x2.
Más engeneral,lafamiliade diseñosfactoriales2k
consiste en k factores,todoscon dos nivelesde
prueba; la familia de diseños 3k
consiste de k factores cada uno con tres niveles de prueba.
Diseño Factorial 22
Supongamosque se tienendosfactores A: tiempo y B: velocidad,cada uno con dos niveles(bajoy
alto),larespuestaesla cantidad deaditivo. Enel experimento,cadatratamientose corriótresveces
(tres réplicas) lo que da un total de 12 corridas del proceso. Por simplicidad sólo se muestra los
resultados de la primera réplica:
600 1000
17,10 18,76
─ ─
─ ─
16,26 18,16
─ ─
─ ─
Velocidad
Tiempo
3
6

2. Efecto principal y efecto de interacción
El efcto de un factor se define como el cambio observado en la variable respuesta debido a un
cambiode nivel de tal factor.En particularlos efectosprincipales, sonloscambiosenla mediade la
variable respuestadebidoalaacciónindividualde cadafactor.Matemáticamenteel efectoprincipal
de unfactoresla diferenciaentrelarespuestamediaobservadacuandotal factorestuvoensunivel
más altoy larespuestamediaobservadacuandoel factorestuvoensunivelmásbajo.Porejemplo,
para los datos de la tabla anterior están daos por:
Efecto A: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
16.26+18.16
2
−
17.10+18.76
2
= −0.72
Efecto B: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
18.76+18.16
2
−
17.10+16.26
2
= 1.78
Por otro lado, se dice que dos factores interactúan entre sí o que tienen un efecto de interacción
sobre lavariable respuesta,cuandoel efectode unfactordepende delnivel enque se encuentrael
otro. Por ejemplo, los factores tiempo y velocidad interactúan si el efecto del tiempo es muy
diferente en cada nivel de velocidad, o viceversa,si el efecto de la velocidad depende del tiempo.
Veamos esto con los datos:
Efecto A con B bajo: 16.26 – 17.10 = -0.84
Y cuando la velocidad es alta el efecto de A es:
Efecto A con B alto: 18.16 – 18.76 = -0.6
Si estos dos efectos de A en función del nivel B fueran diferentes, entonces eso sería evidencia de
que laelecciónmásconveniente del nivelde A dependedel nivelenque estéByviceversa.Esdecir,
esosería evidenciade que losfactores A yB interactúanentre sí.En lapráctica el cálculodel efecto
de A en cada nivel de Bno se hace,y más biense calculael efectoglobal de lainteracciónentre los
dos factores. El efecto de interacción entre A y B, denotado por AB se calcula como la diferencia
entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el mismo nivel
((bajo,bajo),(alto,alto)),ylarespuestamediacuandolosfactoresse encuentranennivelesopuestos
((bajo,alto),(alto,bajo)).Parael ejemploel efectode lainteracción tiempo x temperaturaestádado
por:
𝐴𝐵 =
17.10 + 18.16
2
−
16.26 + 18.76
2
= 0.12
Los valoresabsolutosde losefectosprincipalesydel efectode lainteracciónsonuna medidade la
magnitud de su efecto sobre la variable respuesta. Así, entre más grande sea el valor absolutode
unefecto,mayorinfluenciatendrásobre lavariable respuesta.Sinembargo,parasabersi losefectos
son estadísticamente significativos se requiere del análisis de varianza.
Ventajas de los diseños factoriales

3. 1. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se
requiera una exploración más completa.
2. Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las
primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa
descartar de manera económica los que son importantes, antes de hacer un estudio más
detallado con los factores que si son importantes.
3. Pueden utilizarse en combinación con diseños de bloques en situaciones en las que no
puede correrse el diseñofactorialcompletobajolasmismas condiciones o circunstancias.
4. La interpretacióny cálculo de los efectos en los experimentos factoriales se puede hacer
con aritmética elemental, en particular cuando cada factor se prueba en dos niveles.
Diseños Factoriales con dos Factores
Considere los factores A y B con a y b (a, b ≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se
puede construirel diseñofactorial ax b que consiste ena x b tratamientos. Se llamaréplica a cada
repeticióncompletadel arreglofactorial.Losdiseñosfactorialesqueinvolucranmenosde 4factores
se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los
efectos de interés, de tal forma que si se hacen n réplicas, el número total de corridas
experimentales es n(a x b).
Modelo Estadístico:
Con un diseño factorial a x b se pueden estudiar los efectos individuales y el efecto de interacción
de ambos factores. En términos estadísticos lo que se afirma es que el comportamiento de la
variable respuesta Y en el experimento con k réplicas se podrá escribir mediante:
𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝛼𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝑖 = 1,2, …, 𝑎 𝑗 = 1,2,… , 𝑏 𝑘 = 1,2,… , 𝑛
Donde 𝜇 eslamediageneral, 𝛼𝑖 eselefectodel i-ésimoniveldelfactorA, 𝛽𝑗 esel efectodelj-ésimo
nivel del factor B, (𝛼𝛽)𝑖𝑗 representael efectode interacciónenla combinaciónij y 𝜀𝑖𝑗𝑘 es el error
aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante 𝜎2 y son
independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se
introducen las restricciones:
∑ 𝛼𝑖 =𝑎
𝑖=1 ∑ 𝛽𝑗 = 0𝑏
𝑗=1 y ∑ (𝛼𝛽)𝑖𝑗 =𝑎
𝑖=1 ∑ (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0𝑏
𝑗=1
Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global.
Hipótesis a evaluar y análisis de varianza

4. Para el Factor A
𝐻0: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 = 0
𝐻1: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 ≠ 0
Ó
𝐻0: 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼 𝑎 = 0
𝐻1: 𝛼𝑖 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖
Para el Factor B
𝐻0: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 = 0
𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 ≠ 0
Ó
𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑏 = 0
𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑗
Para la interacción AB:
𝐻0: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 = 0
𝐻1: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 ≠ 0
Ó
𝐻0:(𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑗
𝐻1:(𝛼𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖𝑗
El ANOVA para un diseño factorial a x b con n réplicas resulta de descomponer la variación total
como:
SST=SSA+SSB+SSAB+SSE
Y la tabla de ANOVA está dada por:

5. Ejemplo:
En un experimentollevadoacabopara determinarcuál de tressistemasde misilesespreferible,se
midióel promediode consumode lospropulsorespara24encendidosestáticos.Se utilizaroncuatro
tipos diferentes de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas de
promedios de consumo en cada combinación de los tratamientos. Los datos aparecen a
continuación:
Ejercicios:
1. Se realizó un estudio con el objetivo de averiguar la estabilidad de la vitamina C en
concentrado de jugo de naranja congelado reconstituido que se almacena en un
refrigerador por un periodo de hasta una semana. Tres tipos de concentrado de jugo de
naranjacongeladose probaronutilizandotresperiodosdiferentesde tiempo.Estosúltimos
se refierenal númerode díasque transcurrendesdeque el jugode naranjase mezclahasta
que se somete a la prueba. Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por litro, se
registraron de la siguiente manera, según se indica en la siguiente tabla.
Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Estadístico
Variación cuadrados libertad medios F
Efecto A SSA a-1 CMA=SSA/(a-1) CMA/CME
Efecto B SSB b-1 CMB=SSB/(b-1) CMB/CME
Efecto AB SSAB (a-1)(b-1) CMAB=SSAB/((a-1)(b-1)) CMAB/CME
Error SSE ab(n-1) CME=SSE/(ab(n-1))
Total SST abn-1
Sistema de
Misiles B1 B2 B3 B4
34,0 30,1 29,8 29,0
32,7 32,8 26,7 28,9
32,0 30,2 28,7 27,6
33,2 29,8 28,1 27,8
28,4 27,3 29,7 28,8
29,3 28,9 27,3 29,2
A3
A2
Tipo de impulsor
A1

6. Utilice un nivel de significancia de 0,05 para probar las hipótesis:
a) No existe diferencia en los contenidos de ácido ascórbico entre las diferentes marcas
de concentrado de jugo de naranja.
b) No existen diferencias en los contenidos de ácido ascórbico debido a los diferentes
periodos de tiempo.
c) Las marcasde concentradode jugode naranjayel númerodedíasque transcurre desde
que el jugo se mezcla hasta que se somete a la prueba no interactúan.
2. Se realizóunestudiopara determinarqué músculosnecesitansujetarseaunprogramade
acondicionamiento de tal forma que se mejore el comportamiento de un jugador en el
serviciotendidoutilizadoentenis.Seprobaroncincomúsculosdiferentes:deltoideanterior,
pectoral mayor,deltoideposterior,deltoidemedioytríceps;encadaunode tresindividuos,
y el experimentadorse llevóa cabo tres vecespara cada combinaciónde tratamiento.Los
datos del electromiograma, registrados durante el servicio fueron los siguientes:
a) Individuos diferentes tienen iguales mediciones de electromiograma.
b) Diferentes músculos no tienen efecto sobre las mediciones electromiográficas.
c) Los sujetos y los tipos de músculos no ineractúan
52,6 54,2 49,2 49,4 42,7 48,8
49,8 46,5 42,8 53,2 40,4 47,6
56,0 48,0 48,8 44,0 49,2 44,0
49,6 48,4 44,0 42,4 42,0 43,2
52,5 52,0 48,0 47,0 48,5 43,4
51,8 53,6 48,2 49,6 45,2 47,6
A3
A2
Tiempo en días
Marca
0 3 7
A1
1 2 3 4 5
32 5 58 10 19
59 1,5 61 10 20
38 2 66 14 23
63 10 64 45 43
60 9 78 61 61
50 0 78 71 42
43 41 26 63 61
54 43 29 46 85
47 47 23 55 95
Músculo
1
2
3
Sujeto

7. 3. Un ingeniero está diseñando una batería para usarse en un aparato que estará sujeto a
variaciones extremas de temperatura. Tiene cuatro opciones para el material de la placa
para la batería, y como sabe que la temperatura afecta la vida de la batería decide probar
trestemperaturas:15°F,70°F,125°F, 85°F, 50°F Se prueban4bateríasencadacombinación
de material y temperaturaylas 128 pruebasse corren enordenaleatorio(completamente
al azar). Los datos son vida (en horas) de las baterías.
a) ¿Qué efectos produce el material y la temperatura en la vida de la batería?
b) Existe un material queproduzcauniformementemáslargavidaalabateríasinimportar
la temperatura?
4. Se estudia el rendimiento de un proceso químico. Se piensa que las dos variables más
importantessonlapresiónylatemperatura.Se seleccionantresnivelesde cadafactor yse
lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas. Los datos del rendimiento son:

8. a) Analice los datos, ¿qué concluye?
b) ¿Bajo qué condiciones debe operarse este sistema?
5. Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza metálica se afecta por la
velocidad de alimentación y la profundidad de corte. Selecciona tres velocidades de
alimentación y cuatro profundidades de corte. Se realiza un experimento factorial y se
obtiene los siguientes resultados:
6. Se describe un experimentoparainvestigarel efectodel tipode cristal y el tipo de fósforo
sobre labrillantezde uncinescopio.Losdatosson lacorriente enmicroamperesnecesaria
para obtener un nivel de brillantez específico. Los datos son los siguientes.
200 215 230
90.4 90.7 90.2
90.2 90.6 90.4
90.1 90.5 89.9
90.3 90.6 90.1
90.5 90.8 90.4
90.7 90.9 90.1
150
160
170
Presión (psig)
Temperatura (°C)
Velocidad de
Alimentación (pulg/min) 0.15 0.18 0.20 0.25
74 79 82 99
64 68 88 104
60 73 92 96
92 98 99 104
86 104 108 110
88 88 95 99
99 104 108 114
98 99 110 111
102 95 99 107
0.20
0.25
0.30
Profundidad de corte (pulg)
Tipo de
Cristal 1 2 3.00
280 300 290
290 310 285
285 295 290
230 260 220
235 240 225
240 235 230
1.00
2.00
Tipo de fósforo