ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS

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Computers and Structures, Inc.
Berkeley, California, USA
Primera Edición en Español
Análisis
Estático y Dinámico
de Estructuras
Un Enfoque Físico
Con Énfasis en Ingeniería Sísmica
Edward L. Wilson
Profesor Emérito de Ingeniería Estructural
Universidad de California en Berkeley
Traducción
www.morrisoningenieros.com
Revisión Técnica
Ing. Carlos A. Prato, Ph.D.
Profesor Titular Plenario del Departamento de Estructuras
Universidad Nacional de Córdoba, Argentina
Ing. Fernando Gonzalo Vásquez, Ph.D.
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Ingeniería, Perú
Ing. Alberto Guzmán De La Cruz, Ph.D.
Coordinador del Area de Estructuras
Universidad Politécnica de Puerto Rico, Puerto Rico
Ing. Emilio Cruz Herasme, M.Sc.
Profesor Asociado
Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña, República Dominicana

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publicación puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningún
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SAP90, SAP2000, SAFE, FLOOR y ETABS son marcas registradas de
ISBN 0-000000-00-0

LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL
EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES
Que Tienen Propiedades Que Sólo Pueden Ser Estimadas
PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES
Que Sólo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente
QUE SOPORTAN FUERZAS
Que No son Conocidas con Precisión
DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON
EL PÚBLICO SEA SATISFECHA.
Adoptado de un Autor Anónimo

Análisis Estático y Dinámico de Estructuras
Edward L. Wilson, D. Ing.
El Profesor Wilson posee más de 45 años de experiencia profesional en la Ingeniería
Civil, Mecánica y A eroespacial. Fue P rofesor de I ngeniería E structural d e l a
Universidad d e C alifornia e n B erkeley dur ante e l p eríodo d e 1965 a l 1991 , y ha
publicado más de 180 artículos y libros. Sus aportes a la investigación y al desarrollo
le ha n cosechado numerosos p remios, incluyendo su elección a la A cademia
Nacional de Ingeniería en el año 1985.
En e l a ño 1961, el P rofesor W ilson e scribió e l p rimer pr ograma a utomatizado de
computadora de análisis de elementos finitos, y fue quien originó el desarrollo de la
serie de programas de computadora CAL, SAP y ETABS. Estos programas s on
conocidos por su precisión y velocidad, y su empleo de algoritmos numéricos muy
eficientes y elementos finitos precisos. Durante los últimos diez años, Ed Wilson ha
trabajado como Consultor Senior de la CSI en la programación y la documentación
de dichos nuevos métodos de análisis estructural computacional.
El principal objetivo de este libro es resumir el desarrollo teórico de los elementos
finitos y los métodos numéricos empleados en las últimas versiones de los programas
SAP y ETABS. La mayoría de los elementos y métodos numéricos que se usan en
estos programas son nuevos, y no se presentan en libros de texto actuales sobre el
análisis estructural. Además, este libro resume l as ecuaciones fundamentales de l a
mecánica.

Se r equieren conocimientos m atemáticos m ínimos pa ra comprender p lenamente e l
material presentado en este libro. Sin embargo, es imprescindible una comprensión
del c omportamiento f ísico de e structuras. N o s e r equieren c onocimientos de
programación de computadoras.
Se presenta un nuevo elemento de CÁSCARA cuadrilateral con grados de libertad de
rotación normales, el cual es preciso para placas finas y gruesas, y cáscaras. Por lo
tanto, se pueden conectar los elementos de cáscara fácilmente a los elementos
clásicos de PÓRTICO. Se puede utilizar el elemento SOLIDO tridimensional para
modelar tanto líquidos como sólidos.
Se pr esenta el an álisis d inámico como una e xtensión lógica de l análisis es tático
donde se agregan fuerzas de inercia y amortiguamiento para satisfacer el equilibrio
en cada punto cronológico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR,
por sus si glas en inglés) en un análisis d inámico produce resultados m ucho más
precisos que el empleo de los autovectores dinámicos exactos.
El uso de vectores LDR permite que se extienda el método clásico de superposición
modal al análisis dinámico no-lineal, utilizando el método de Análisis Rápido No-
Lineal (FNA, por sus siglas en inglés). Este nuevo método de análisis dinámico no-
lineal permite que estructuras con un número limitado de elementos no-lineales sean
analizadas casi en el mismo tiempo de computación que lo que se requiere para un
análisis dinámico de la misma estructura.
Este libro es de lectura obligatoria para todo investigador y profesional que trabaja
en el campo de la ingeniería estructural moderna.

Prólogo de la Cuarta Edición
Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de Julio del 2000. A
juzgar por los comentarios de los lectores, el libro ha sido muy exitoso desde la
publicación de la primera edición en 1998. De todas formas, todos l os libros técnicos
tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos periódicamente.
Ha sido agregado el Capítulo 23 acerca de la interacción fluido-estructura de los tipos de
cargas durante t erremotos. E n es te ca pitulo e sta d emostrado q ue el elemento SOLID
tridimensional en SAP2000 puede ser utilizado para modelar fluidos interactuando con
estructuras sólidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los
fluidos. Un Pequeño modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para
aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta sísmica de los
sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con
el programa SAP2000. Por tanto, la necesidad de utilizar programas para objetivos
específicos p ara es ta clase de problemas ha si do eliminado. A demás, ya n o es
requerida la adición de aproximación de masa.
Esta edición puede ser utilizada como un libro de referencia básica por el elemento
tecnología y el método numérico utilizado en SAP2000, ETABS y SAFE. De todos
modos estos programas contienen muchas opciones practicas que no son cubiertas en
el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construcción,
análisis de pushover, y degradación de la rigidez de los elementos. Muchos de estos
temas est án disponibles en la p agina w eb www.csiberkeley.com
o www.edwilson.org.
Si usted tiene alguna pregunta teórica relacionada con el material presentado en este
libro me puede contactar a t ravés de correo electrónico en ed-wilson1@juno.com.
Para preguntas relacionadas con el uso de los programas de computadoras por favor
contacte a CSI.
Edward L. Wilson
Agosto 2004

Prólogo de la Tercera Edición
Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de julio del
2000. L a mayor parte del material nuevo ha sido agregado en respuesta a las
preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE.
El Capítulo 22 ha sido escrito acerca del empleo directo de cargas sísmicas por
desplazamiento absolutos que actúan en la base de la estructura. Varios tipos
nuevos de er rores numéricos han s ido identificados para ca rgas de
desplazamiento ab soluto. Primero, l a naturaleza f undamental de la ca rga por
desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleración
en la base empleada tradicionalmente en l a i ngeniería s ísmica. Segundo, s e
requiere u n intervalo de i ntegración menor para de finir los desplazamientos
sísmicos y p ara resolver l as ecu aciones d el equilibrio d inámico. Tercero, s e
necesita de un núm ero elevado de modos para que la carga de desplazamiento
absoluta arroje la misma precisión que la producida cuando una aceleración en la
base es utilizada como carga. Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se
aplica para la carga de desplazamiento absoluto. Finalmente el amortiguamiento
modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la
carga por aceleración.
Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido
en el capítulo 13 un m étodo de or den superior d e integración b asado en u na
variación cúbica de las cargas con respecto al lapso. Adicionalmente, los factores
por participación estático y dinámico han sido definidos para permitir al ingeniero
estructural m inimizar los errores as ociados c on c argas por desplazamiento.
Adicionalmente el capítulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para
ilustrar el efecto físico del amortiguamiento modal en los resultados del análisis
dinámico.
El Apéndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas
ha sido actualizado. H oy e s pos ible c omprar un a c omputadora pe rsonal por
aproximadamente $1 ,500.00 que e s 2 5 v eces m ás r ápida que la CRAY d e
$10,000,000 producida en 1974.
Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresión. Por favor
envíe sus comentarios y preguntas ed@csiberkeley.coma .
Edward L. Wilson
Agosto 2000

Comentarios Personales
Mi profesor de física de primer año de la universidad advertía dogmáticamente a la
clase “no usen una ecuación que no puedan demostrar”. El mismo instructor una vez
declaró “Si una persona tiene cinco minutos para resolver u n problema del cual
dependiera su vida, el individuo debe de emplear tres minutos leyendo y entendiendo
claramente el pr oblema”. En los ú ltimos cuarenta años e sta simple observación
práctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofía haya sido transmitida a
mis est udiantes. Con respecto a la i ngeniería estructural m oderna uno pu ede
reformular esas observaciones como “no utilicen un programa de análisis estructural
a menos que usted entienda completamente la teoría y aproximaciones contenidas en
el pr ograma” y “ no ha ga un m odelo d e c omputadora hasta que l as cargas,
propiedades de l os m ateriales y c ondiciones de frontera no estén claramente
definidos.”
Por lo tanto, el propósito principal de este libro es presentar los antecedentes teóricos
necesarios de manera que el usuario de programas de computadoras para el análisis
estructural pueda e ntender l as ap roximaciones bá sicas implementadas dentro de l
programa, verifique y asuma su responsabilidad profesional de los resultados. Se
asume que el lector tiene conocimientos de estática, mecánica de sólidos y análisis
estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo
con una licenciatura en Ingeniería Civil o Mecánica. Notación matricial y vectorial
elementales son definidos en los apéndices y son usados profusamente. Antecedentes
en notación tensorial y variables complejas no son requeridos.
Todas l as ecuaciones son desarrolladas usando un enfoque físico puesto que este
libro está escrito para estudiantes y profesionales de la ingeniería, y no pa ra mis
colegas académicos. El análisis estructural tridimensional es relativamente simple
debido a l a a lta v elocidad de l a computadora m oderna. P or l o t anto, todas l as
ecuaciones son presentadas en forma tridimensional, y se incluyen automáticamente
las pr opiedades de los materiales anisotrópicos. N o se r equieren antecedentes de
programación de com putadoras para ut ilizar un pr ograma de c omputadora
inteligentemente. Sin embargo, algoritmos numéricos detallados han sido dados para
que el lector entienda completamente los métodos computacionales que se resumen
en e ste l ibro. Los apéndices contienen un sumario elemental de los métodos
numéricos usados; sin embargo, no debería ser necesario emplear tiempo adicional
leyendo artículos de investigación para entender la teoría presentada en este libro.
El autor ha desarrollado y p ublicado muchas t écnicas de computación para el a nálisis
estático y dinámico de estructuras. Ha sido motivo de satisfacción personal el hecho de
que muchos profesionales de la ingeniería hayan encontrado ú tiles estos m étodos d e
computación. Por lo tanto, una razón por la cual compilar este libro teórico y de aplicación

es co nsolidar en una p ublicación dicha investigación y d esarrollo. Adicionalmente, e l
reciente d esarrollado an álisis n o lineal rápido (FNA), y ot ros m étodos numéricos s on
presentados en detalle por primera vez.
Las leyes fundamentales de la física, que son la base del análisis estático y dinámico de
estructuras, tienen más de 100 años de edad. Por lo tanto, cualquiera que crea que haya
descubierto un principio nuevo de mecánica, es víctima de su propia ignorancia. Este libro
contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo
de programas de análisis estructural.
El análisis estático y dinámico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de
computadoras personales económicas. Sin embargo, el campo de la ingeniería estructural,
en mi opinión, nunca será automatizado. La idea de que un sistema experto de programas
de c omputadoras con in teligencia ar tificial r eemplazará la c reatividad hum ana e s un
insulto a todos los ingenieros estructurales.
El material en este libro ha evolucionado a través de lo últimos 35 años con la ayuda
de mis antiguos estudiantes y colegas profesionales. Sus contribuciones s on
reconocidas. Ashraf H abibullah I qbal S ubarwardy, R obert M orris, S yed H asanain,
Dolly Gurola, Marilyn Wilkes y Randy Corson de Computers and Structures, Inc.,
merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustaría agradecer al gran
número de i ngenieros es tructurales que ha n usado la ser ie de p rogramas T ABS y
SAP. Ellos han provisto la motivación para esta publicación.
El material presentado en la primera edición de Análisis Dinámico Tridimensional de
Estructuras está inc luido y actualizado en e ste l ibro. E spero a nsiosamente por
comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material
en futuras ediciones de este libro.
Edward L. Wilson
Agosto 2004

CONTENIDO
1. Propiedades de los Materiales
1.1 Introducción
1.2 Materiales Anisotrópicos
1.3 Uso de las Propiedades de los Materiales en Programas de Computadora
1.4 Materiales Ortotrópicos
1.5 Materiales Isotrópicos
1.6 Deformación en el Plano en Materiales Isotrópicos
1.7 Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrópicos
1.8 Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos
1.9 Velocidades de Onda de Cortante y Compresión
1.10 Propiedades de Materiales Axisimétricos
1.11 Relaciones de Fuerza-Deformación
1.12 Resumen
1.13 Referencias
2. Equilibrio y Compatibilidad
2.1 Introducción
2.2 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio
2.3 Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos
2.4 Requisitos de Compatibilidad
2.5 Ecuaciones de Desplazamiento de Deformación
2.6 Definición de Rotación
2.7 Ecuaciones en la Frontera entre Materiales
2.8 Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos
2.9 Estructuras Estáticamente Determinadas
2.10 Matriz de Transformación de Desplazamientos
2.11 Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento
2.12 Solución de Sistemas Estáticamente Determinados

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOii
2.13 Solución General de Sistemas Estructurales
2.14 Resumen
2.15 Referencias
3. Energía y Trabajo
3.1 Introducción
3.2 Trabajo Virtual y Trabajo Real
3.3 Energía Potencial y Energía Cinética
3.4 Energía de Deformación
3.5 Trabajo Externo
3.6 Principio de Energía Estacionaria
3.7 Método de la Fuerza
3.8 Ecuación de Movimiento de Lagrange
3.9 Conservación del Momento
3.10 Resumen
3.11 Refererencias
4. Elementos Unidimensionales
4.1 Introducción
4.2 Análisis de un Elemento Axial
4.3 Elemento de Pórtico Bidimensional
4.4 Elemento de Pórtico Tridimensional
4.5 Liberación del Extremo del Elemento
4.6 Resumen 4-13
5. Elementos Isoparamétricos
5.1 Introducción 5-1
5.2 Ejemplo Sencillo Unidimensional
5.3 Fórmulas de Integración Unidimensionales
5.4 Restricción sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios
5.5 Funciones de Formas Bidimensionales
5.6 Integración Numérica en Dos Dimensiones
5.7 Funciones de Forma Tridimensionales

CONTENIDO iii
5.8 Elementos Triangulares y Tetraédricos
5.9 Resumen
5.10 Referencias
6. Elementos Incompatibles
6.1 Introducción
6.2 Elementos con Cortante Fijo
6.3 Adición de Modos Incompatibles
6.4 Formación de la Matriz de Rigidez del Elemento
6.5 Elementos Bidimensionales Incompatibles
6.6 Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles
6.7 Elementos Tridimensionales Incompatibles
6.8 Resumen
6.9 Referencias
7. Condiciones de Bordes y Restricciones Generales
7.1 Introducción
7.2 Condiciones de Frontera de Desplazamientos
7.3 Problemas Numéricos en el Análisis Estructural
7.4 Teoría General Asociada a las Restricciones
7.5 Restricciones sobre el Diafragma del Piso
Restricciones Rígidas
Uso de Restricciones en Análisis de Viga-Losa
Uso de Restricciones en el Análisis de Muro de Cortante
Uso de Restricciones para Transiciones de Malla
Multiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad
Resumen
8. Elementos de Flexión en Losa
8.1 Introducción
8.2 El Elemento Cuadrilateral
8.3 Ecuaciones Deformación-Desplazamiento
8.4 La Rigidez del Elemento Cuadrilateral

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOiv
8.5 Satisfaciendo la Prueba de Grupo
8.6 Condensación Estática
8.7 Elemento de Flexión en Placa Triangular
8.8 Otros Elementos de Flexión de Placa
8.9 Ejemplos Numéricos
8.9.1 Un Elemento Viga
8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple
8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple
8.9.4 Evaluación de Elementos de Flexión en Placa Triangular
8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsión en Vigas
8.10 Resumen
8.11 Referencias
9. Elemento de Membrana con Rotaciones Normales
9.1 Introducción
9.2 Suposiciones Básicas
9.3 Aproximación de Desplazamiento
9.4 Introducción de Rotación de Nodo
9.5 Ecuaciones de Deformación - Desplazamiento
9.6 Relación Esfuerzo - Deformación
9.7 Transformación Relativa a Rotaciones Absolutas
9.8 Elemento de Membrana Triangular
9.9 Ejemplo Numérico
9.10 Resumen
9.11 Referencias
10. Elementos de Cáscara
10.1 Introducción
10.2 Un Simple Elemento de Cáscara Cuadrilateral
10.3 Modelos de Cáscaras Curvos con Elementos Planos
10.4 Elementos de Cáscara Triangulares
10.5 Elementos Sólidos para Análisis de Cáscaras
10.6 Análisis de Bóveda de Cañón Scordelis-Lo
10.7 Ejemplo de Cáscara Hemisférica

CONTENIDO v
10.8 Resumen
10.9 Referencias
11. Rigidez Geométrica y Efectos P-Delta
11.1 Definición de Rigidez Geométrica
Análisis Aproximado de Pandeo
Análisis P-Delta de Edificios
Ecuaciones para Edificios Tridimensionales
Magnitud de Efectos P-Delta
Análisis P-Delta usando Programa de Computo sin Modificación
Longitud Efectiva – Factores K
Formulación General de la Rigidez Geométrica
Resumen
Referencias
12. Análisis Dinámico
12.1 Introducción
12.2 Equilibrio Dinámico
12.3 Método de Solución Paso a Paso
12.4 Método de Superposición Modal
12.5 Análisis Espectral
12.6 Solución en el Dominio de Frecuencia
12.7 Solución de Ecuaciones Lineales
12.8 Respuesta Armónica no Amortiguada
12.9 Vibración Libre no Amortiguada
12.10 Resumen
12.11 Referencias
13. Análisis Dinámico Utilizando la Superposición de Modo
13.1 Ecuaciones a Resolver
13.2 Transformación a Ecuaciones Modales
13.3 Respuesta Debida a Condiciones Iniciales
13.4 Solución General Debido a Carga Arbitraria

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOvi
13.5 Solución para Cargas Periódicas
13.6 Factores de Masa Participante
13.7 Factores de Participación de Cargas Estáticas
13.8 Coeficientes de Participación de Carga Dinámica
13.9 Resumen
14. Cálculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa
14.1 Introducción
14.2 Método de Búsqueda del Determinante
14.3 Chequeo de Secuencia Sturm
14.4 Iteración Inversa
14.5 Ortogonalización de Gram-Schmidt
14.6 Iteración en el Sub-espacio
14.7 Solución de Sistemas Singulares
14.8 Generación de Vectores Ritz Dependientes de Carga
14.9 Explicación Física del Algoritmo LDR
14.10 Comparación de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz
14.11 Corrección para Truncado de Modos Superiores
14.12 Respuesta Sísmica en la Dirección Vertical
14.13 Resumen
14.14 Referencias
15. Análisis Dinámico con Carga Sísmica de Espectro de Respuesta
15.1 Introducción
15.2 Definición de un Espectro de Respuesta
15.3 Cálculo de Respuesta Modal
15.4 Curvas Típicas del Espectro de Respuesta
15.5 Método CQC de Combinación Modal
15.6 Ejemplo Numérico de Combinación Modal
15.7 Espectros de Diseño
15.8 Efectos Ortogonales en el Análisis Espectral
15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales
15.8.2 El Método General CQC3

CONTENIDO vii
15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales
15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales
15.9 Limitaciones del Método de Espectro de Respuesta
15.9.1 Cálculos de las Deriva de Piso
15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas
15.9.3 Revisión de Diseño para Vigas de Acero y Concreto
15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos
15.10 Resumen
15.11 Referencias
16. Interacción Suelo Estructura
16.1 Introducción
16.2 Análisis de Respuesta de Sitio
16.3 Cinemática o Interacción Suelo Estructura
16.4 Respuesta debido a Movimientos Múltiples de Apoyos
16.5 Análisis de Presa de Gravedad y Fundación
16.6 Aproximación de Fundación sin Masa
16.7 Condiciones Aproximadas de Radiación de Frontera
16.8 Uso de Resortes en la Base de una Estructura
16.9 Resumen
16.10 Referencias
17. Modelado en Análisis Sísmico Cumpliendo con Códigos de
Edificaciones
17.1 Introducción
17.2 Modelo Computarizado Tridimensional
17.3 Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales
17.4 Análisis Dinámico Tridimensional
17.4.1 Cortante Dinámico de Cortante Base
17.4.2 Definición de Direcciones Principales
17.4.3 Efectos Direccionales y Ortogonales
17.4.4 Método Básico de Análisis Sísmico
17.4.5 Escalando Resultados
17.4.6 Desplazamientos Dinámicos y Fuerzas de Elementos
17.4.7 Efectos por Torsión

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOviii
17.6 Resumen del Método de Análisis Dinámico
17.7 Resumen
17.8 Referencias
18. Análisis No-Lineal Rápido
18.1 Introducción
18.2 Estructuras que Tengan un Número Limitado de Elementos No-Lineales
18.3 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio
18.4 Cálculo de Fuerzas No-Lineales
18.5 Transformación a Coordenadas Modales
18.6 Solución de Ecuaciones Modales No-Lineales
18.7 Análisis Estático No-Lineal para Estructura de Pórtico
18.8 Análisis Dinámico No-Lineal para Estructura de Pórtico
18.9 Análisis Sísmico de Tanque Elevado de Agua
18.10 Resumen
19. Amortiguamiento Viscoso Lineal
19.1 Introducción
19.2 Disipación de Energía en Estructuras Reales
19.3 Interpretación Física del Amortiguamiento Viscoso
19.4 El Amortiguación Modal Viola Equilibrio Dinámico
19.6 Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa
19.7 Cálculo de Matriz Ortogonal de Amortiguamiento
19.8 Estructuras con Amortiguamiento No-Clásico
19.9 Disipación No-Lineal de Energía
19.10 Resumen
19.11 Referencias
20. Análisis Dinámico Utilizando la Integración Numérica
20.1 Introducción
20.2 Familia de Métodos Newmark
20.3 Estabilidad del Método Newmark

CONTENIDO ix
20.4 El Método de la Aceleración Promedio
20.5 El Factor de Wilson
20.6 Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez
20.7 Método Hilber, Hughes y Taylor
20.8 Selección de un Método de Integración Directa
20.9 Análisis No-Lineal
20.10 Resumen
20.11 Referencias
21. Elementos No-Lineales
21.1 Introducción
21.2 Elemento General Tridimensional de Dos Nudos
21.3 Elemento de Plasticidad General
21.4 Diferentes Propiedades Positivas y Negativas
21.5 Elemento Brecha Bilineal de Tensión-Fluencia
21.6 Elemento No-Lineal Brecha-Choque
21.7 Elementos de Amortiguamiento Viscoso
21.8 Elemento Tridimensional Fricción-Brecha
21.9 Resumen
22. Análisis Sísmico Utilizando Carga de Desplazamiento
22.1 Introducción
22.2 Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento
22.3 Uso de Desplazamientos Pseudo-Estáticos
22.4 Solución de Ecuaciones de Equilibrio Dinámico
22.5.1 Estructura de Ejemplo
22.5.2 Carga Sísmica
22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero
22.5.4 Análisis Sísmico Para Amortiguamiento Finito
22.5.5 Efecto del Truncamiento de Modos
22.6 Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz
22.7 Solución usando Integración Paso-a-Paso
22.8 Resumen

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOx
23. INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA
23.1 Introducción
23.2 Interacción Fluido-Estructura
23.3 Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundación
23.4 Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presión De Poro Del Agua
23.5 Cálculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000
23.6 Selección Del Valor De La Rigidez Del Elemento “Gap”
23.7 Ecuaciones Fundamentales De La Dinámica De Fluidos
23.8 Relación Entre Presión Y Velocidad
23.9 Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales
23.10 Condiciones De Frontera De Irradiación
23.11 Modos De Oleaje De La Superficie
23.12 Propagación Vertical De Las Ondas
23.13 El Documento Westergaard
23.14 Análisis Dinámico De Emblases Rectangulares
23.15 Fronteras Absorbedoras De Energía Del Embalse
23.16 Formulaciones Relativa Vs Absoluta
23.17 Efecto Del Escalón De La Compuerta En La Presión
23.18 Análisis Sísmico De Compuertas Radiales
23.19 Observaciones Finales
23.20 Referencias
Apéndice A Notación de Vector
A.1 Introducción
A.2 Producto Vectorial
A.3 Vectores para Definir un Sistema Referencia Local
A.4 Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales

CONTENIDO xi
Apéndice B Notación de Matricial
B.1 Introducción
B.2 Definición de notación Matricial
B.3 Transpuesta de una Matriz y Multiplicación Escalar
B.4 Definición de una Operación Numérica
B.5 Programación de Productos Matriciales
B.6 Orden de Multiplicación de Matriz
B.7 Resumen
Apéndice C Solución o Inversión de Ecuaciones Lineales
C.1 Introducción
C.2 Ejemplo Numérico
C.3 Algoritmo de Eliminación Gauss
C.4 Solución de un Sistema General de Ecuaciones Lineales
C.5 Alternativa de Pivotaje
C.6 Inversión de Matrices
C.7 Interpretación Física de Inversión de Matricial
C.8 Eliminación Parcial Gauss, Condensación Estática y de Sub-estructura
C.9 Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil
C.10 Factorización LDL
C10.1 Triangularización o Factorización de la Matriz A
C10.2 Reducción por Adelantado de Matriz b
C10.3 Cálculo de X por Substitución Regresiva
C.11 Cancelación Diagonal y Precisión Numérica
C.12 Resumen
C.13 Referencias
Apéndice D El Problema de Autovalores
D.1 Introducción
D.2 El Método Jacobi

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICOxii
D.3 Cálculo de Esfuerzos Principales 3d
D.4 Solución del Problema General de Valores Característicos
D.5 Resumen
Apéndice E Transformación de Propiedades de Materiales
E.1 Introducción
E.2 Resumen
Apéndice F Un Elemento de Viga en Base a Desplazamiento con
Deformaciones a Cortante
F.1 Introducción
F.2 Suposiciones Básicas
F.3 Área Efectiva de Cortante
Apéndice G Integración Numérica
G.1 Introducción
G.2 Cuadratura Unidimensional Gauss
G.3 Integración Numérica en Dos Dimensiones
G.4 Una Regla Bidimensional de Ocho Puntos
G.5 Una Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos
G.6 Una Regla de Integración de Cinco Puntos
G.7 Reglas de Integración Tridimensional
G.8 Integración Selectiva
G.9 Resumen
Apéndice H Velocidad de Sistemas De Computadora
H.1 Introducción
H.2 Definición de Una Operación Numérica
H.3 Velocidad de Diferentes Sistemas de Computadoras
H.4 Velocidad de Sistemas de Computadoras Personales
H.5 Sistemas Operativo de Enlace
H.6 Resumen

CONTENIDO xiii
Apéndice I Método del Mínimo Cuadrado
I.1 Ejemplo Simple
I-2 Formulación General
I-3 Cálculo de Esfuerzos Dentro de Elementos Finitos
Apéndice J Registros Consistentes de Aceleración y Desplazamiento
Sísmicos
J.1 Introducción
J.2 Registros de Aceleración del Terreno
J.3 Cálculo de Registros de Aceleración por Registros de Desplazamiento
J.4 Creación de un Registro Consistente de Aceleración
J.5 Resumen
Índice

1.
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
Las Propiedades de los Materiales Deben Ser Evaluadas
Mediante Pruebas de Laboratorio o de Campo
1.1 INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones fundamentales de la mecánica estructural pueden ser clasificadas
en tres categorías [1]. En primer lugar, la relación esfuerzo-deformación contiene
información s obre l as propiedades de los materiales que de ben ser ev aluadas
mediante expe rimentos d e l aboratorio o d e c ampo. E n s egundo l ugar, l a
estructura global, c ada e lemento, y c ada pa rtícula infinitesimal de ntro de cada
elemento deben estar en equilibrio de f uerzas e n su pos ición de formada. En
tercer l ugar, se deben cumplir las condiciones de com patibilidad de
desplazamientos.
De cum plirse l as tres ec uaciones en todo momento, se s atisfacen de m anera
automática otras c ondiciones. Por e jemplo, e n c ualquier m omento da do, el
trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energía cinética y de
deformación almacenada d entro del s istema est ructural, más cua lquier e nergía
que ha ya sido di sipada por el si stema. El trabajo virtual y los pr incipios d e
variación son de un v alor i mportante en la de rivación matemática de ciertas
ecuaciones; sin e mbargo, no c onstituyen ecuaciones fundamentales de la
mecánica.
1.2 MATERIALES ANISOTRÓPICOS
Las relaciones l ineales es fuerzo-deformación contienen las co nstantes d e l as
propiedades de m ateriales, que únicamente pueden ser ev aluadas a través de
experimentos de l aboratorio o de c ampo. Las p ropiedades m ecánicas para l a
mayoría de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se

1-2 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
definen en función de tres números: el módulo de elasticidad E, la relación de
Poisson ν, y el coeficiente de dilatación térmica α. Además, el peso específico w
y la densidad ρ se consideran propiedades fundamentales de los materiales.
Antes del desarrollo del método del elemento finito, la mayoría de las soluciones
analíticas en la mecánica de sólidos se limitaban a los m ateriales i sotrópicos
(propiedades i guales en t odas d irecciones) y hom ogéneos ( las m ismas
propiedades en todos los puntos de ntro de l s ólido). Desde l a i ntroducción del
método de elemento finito, ya no existe esta limitación. Por lo tanto, es razonable
comenzar c on una de finición de m aterial a nisotrópico, qu e pue de s er m uy
diferente en cada elemento de una estructura.
La de finición d e los esfuerzos positivos, en referencia a un sistema 1-2-3
ortogonal, se presenta en la Figura 1.1.
Figura 1.1 Convención de los Esfuerzos Positivos
1
2
3
2
σ
3
σ
1
σ 21
τ
23
τ
31
τ
12
τ
32
τ13
τ

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1-3
Por de finición, t odos los esfuerzos vienen dados en uni dades de fuerza-por-
unidad de área. En notación matricial, los seis esfuerzos independientes pueden
ser definidos mediante:
[ ]233121321 τττσσσ=T
f (1.1)
Del e quilibrio, τ12 = τ21, τ31 = τ13 y τ32 = τ23. Las s eis de formaciones
correspondientes de ingeniería son:
[ ]233121321 γγγεεε=T
d (1.2)
La forma más general de la relación tridimensional esfuerzo-deformación para
materiales estructurales lineales sujetos tanto a los esfuerzos mecánicos como a
cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial como [2]:




















∆+






















































−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
=




















23
31
21
3
2
1
23
31
21
3
2
1
65
65
4
64
3
63
2
62
1
61
6
56
54
54
3
53
2
52
1
51
6
46
5
45
43
43
2
42
1
41
6
36
4
35
4
34
32
32
1
31
6
26
5
25
4
24
3
23
21
21
6
16
5
15
4
14
3
13
2
12
1
23
31
21
3
2
1
1
1
1
1
1
1
α
α
α
α
α
α
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ννννν
ννννν
ννννν
ννννν
ννννν
ννννν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
T
EEEEEE
EEEEEE
EEEEEE
EEEEEE
EEEEEE
EEEEEE
(1.3)
O en forma matricial simbólica:
aCfd T∆+= (1.4)
La matriz C se conoce como la matriz de correlación, y puede considerarse como
la definición más fundamental de las propiedades de materiales porque todos los
términos pueden ser evaluados directamente a través de sencillos experimentos
de l aboratorio. C ada columna de l a m atriz C representa las de formaciones
causadas por la aplicación de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura
T∆ viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica
las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura.

Los pr incipios bá sicos de e nergía requieren qu e l a m atriz C para m ateriales
lineales sea simétrica. Por lo tanto,
i
ji
j
ij
EE
νν
= (1.5)
Sin embargo, debido a errores de medición o algún pequeño comportamiento no
lineal del material, no se satisface esta co ndición de manera idéntica para l a
mayoría de los materiales. Por ende, esos valores experimentales normalmente
son promediados de manera que los valores simétricos puedan ser aprovechados
en el análisis.
1.3 USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EN
PROGRAMAS DE COMPUTADORA
La ma yoría de l os pr ogramas modernos de c omputadoras para e l análisis d e
elementos finitos exigen que los esfuerzos sean expresados en términos de las
deformaciones y cambios de temperatura. Por lo tanto, se requiere una ecuación
de la siguiente forma dentro del programa:
0fEdf += (1.6)
donde E = C-1
. Por lo tanto, los e sfuerzos térmicos de cero-deformación se
definen como sigue:
aEf0 - T∆= (1.7)
La i nversión num érica d e l a matriz C 6x6 para m ateriales a nisotrópicos
complejos se realiza dentro del programa de computadora. Por lo tanto, no s e
requiere calcular la matriz E en forma analítica según se indica en muchos libros
clásicos sobre la mecánica de sólidos. Además, los esfuerzos térmicos iniciales se
evalúan numéricamente dentro del programa. Por consiguiente, para la mayoría
de los m ateriales an isotrópicos, los da tos b ásicos di gitados se rán veintiuna
constantes elásticas, más seis coeficientes de dilatación térmica.
Además de los esfuerzos térmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos
tipos diferentes de sistemas estructurales. Dichos esfuerzos iniciales pueden ser
el resultado de la fabricación o el historial de la construcción de la estructura. De

conocerse dichos esfuerzos iniciales, éstos pueden ser agregados directamente a
la Ecuación (1.7).
1.4 MATERIALES ORTOTRÓPICOS
El t ipo de m aterial anisotrópico más com ún es aquel en el cua l los esfuerzos
cortantes, actuando en los tres planos de referencia, no provocan deformaciones
normales. Para este c aso espe cial, el m aterial se de fine c omo ortotrópico,
pudiéndose expresarse la Ecuación (1.3) como sigue:




















∆+






















































−−
−−
−−
=




















0
0
0
1
00000
0
1
0000
00
1
000
000
1
000
1
000
1
3
2
1
23
31
21
3
2
1
6
5
4
32
32
1
31
3
23
21
21
3
13
2
12
1
23
31
21
3
2
1
α
α
α
τ
τ
τ
σ
σ
σ
νν
νν
νν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
T
G
G
G
EEE
EEE
EEE
(1.8)
Para el m aterial ortotrópico, la m atriz c tiene nueve c onstantes de materiales
independientes, y existen tres coeficientes de dilatación térmica independientes.
Este tipo de propiedad material es muy común. Por ejemplo, las rocas, el
concreto, la m adera y muchos m ateriales r eforzados c on f ibra e xhiben un
comportamiento or totrópico. S in e mbargo, s e d ebe s eñalar que pr uebas d e
laboratorio indican que la Ecuación (1.8) constituye solamente una aproximación
al comportamiento real de los materiales.
1.5 MATERIALES ISOTRÓPICOS
Un material isotrópico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la
aproximación d e m ayor us o pa ra p ronosticar e l comportamiento de materiales
elásticos lineales. Para materiales isotrópicos, la E cuación (1.3) adopta la
siguiente forma:





















∆+


















































−−
−−
−−
=




















0
0
0
1
1
1
1
00000
0
1
0000
00
1
000
000
1
000
1
000
1
23
31
21
3
2
1
23
31
21
3
2
1
T
G
G
G
EEE
EEE
EEE
α
τ
τ
τ
σ
σ
σ
νν
νν
νν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
(1.9)
Parece que l a m atriz de corr elación posee t res co nstantes de l os materiales
independientes. Se puede demostrar fácilmente que la aplicación de un esfuerzo
cortante pur o de be pr oducir de formaciones pur as de t ensión y de c ompresión
sobre el e lemento si é ste se g ira unos 4 5 grados. Usando e sta restricción, s e
puede demostrar que:
)1(2 ν+
=
E
G (1.10)
Por l o tanto, para m ateriales isotrópicos, se t ienen que de finir sol amente el
módulo de Young E y la relación de Poisson ν. La mayoría de los programas de
computadora usan la Ecuación (1.10) para calcular el módulo de cortante, en el
caso de que no sea especificado.
1.6 DEFORMACIÓN EN EL PLANO EN MATERIALES
ISOTRÓPICOS
En los casos donde 231323131 y,,,, ττγγε son cero, la estructura se enc uentra en
un estado de deformación en el plano. Para este caso se r educe la matriz a un
arreglo de 3x3. Puede co nsiderarse que l as secciones t ransversales de m uchas
presas, túneles y sólidos con una dimensión casi infinita a lo largo del eje 3, se
encuentran en un estado de deformación en el plano para carga constante en el
plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de deformación en el plano, la relación
esfuerzo-deformación es:











∆−






















−
−
−
=










0
1
1
2
21
00
01
01
12
2
1
12
2
1
ETE α
γ
ε
ε
ν
νν
νν
τ
σ
σ
(1.11)
donde
)21)(1( νν −+
=
E
E (1.12)
Para el caso de deformación en el plano, el desplazamiento y la deformación en
la dirección 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuación (1.8) el esfuerzo normal en
la dirección 3 es:
TE ∆−+= ασσνσ )( 213 (1.13)
Es importante notar que a medida que la relación ν de Poisson se acerca a 0.5,
algunos términos en la relación esfuerzo-deformación tienden al infinito. Estas
propiedades reales existen para un material casi incomprensible con un m ódulo
de cortante relativamente bajo.
1.7 ESFUERZO EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS
Si 23133 y,, ττσ son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en
el plano. Para este caso la matriz esfuerzo-deformación se reduce a un arreglo
3x3. El comportamiento como membrana de losas y las estructuras de muro de
cortante puede considerarse en un estado de deformación en el plano para carga
constante en el plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de esfuerzo en el plano, la
relación esfuerzo-deformación es:










∆−






















−
=










0
1
1
2
1
00
01
01
12
2
1
12
2
1
ETE α
γ
ε
ε
ν
ν
ν
τ
σ
σ
(1.14)
donde
)1( 2
ν−
=
E
E (1.15)

1.8 PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS
Muchos materiales isotrópicos diferentes, que tienen un módulo de cortante muy
bajo en c omparación c on su m ódulo de v olumen, pos een u n c omportamiento
parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como sólidos
casi incompresibles. La terminología incompresible es engañosa, puesto que la
compresibilidad, o el módulo volumétrico, de dichos materiales es normalmente
inferior a la de otros sólidos. La relación presión-volumen de un sólido o de un
fluido puede expresarse como sigue:
ελσ = (1.16)
donde λ es e l m ódulo de e xpansión volumétrica del m aterial, q ue debe s er
evaluado m ediante pr uebas de l aboratorio de pr esión-volumen. E l c ambio de
volumen ε es equivalente a ε1+ε2+ε3, y la presión hidrostática σ indica esfuerzo
constante en todas las d irecciones. De la E cuación (1.9) se pue de exp resar e l
módulo volumétrico en términos del módulo de Young y la relación de Poisson
como sigue:
)2-1
E
=
ν
λ
(3
(1.17)
Para l os fluidos, e l m ódulo volumétrico es un a c onstante i ndependiente, la
relación de Poisson es 0.5, y el módulo de Young y el módulo de cortante son
cero. Para l os materiales isotrópicos, e l m ódulo v olumétrico y e l m ódulo d e
cortante se conocen como constantes elásticas de Lame, y deben ser considerados
como propiedades fundamentales de los materiales tanto para sólidos como para
fluidos. De la Ecuación (1.10), l a relación de P oisson y e l m ódulo de Y oung
pueden ser calculados en base a lo siguiente:
26
G
+
G
23
=
λ
λν
−
y G=E )1(2 ν+ (1.18a y 1.18b)
Si e l m ódulo de cortante s e v uelve pe queño en c omparación con e l m ódulo
volumétrico, entonces 5.0≈ν y GE 3≈ . La Tabla 1.1 resume las propiedades
materiales aproximadas de varios materiales comunes.

Tabla 1.1 Propiedades Mecánicas Aproximadas de Materiales Típicos
Material
E
Módulo de
Young
ksi
ν
Relación
de
Poisson
G
Módulo de
Cortante
ksi
λ
Módulo
Volumétrico
ksi
α
Dilatación
Térmica
-6
10×
w
Peso
específico
lb/in3
Acero 29,000 0.30 11,154 16,730 6.5 0.283
Aluminio 10,000 0.33 3,750 7,300 13.0 0.100
Concreto 4,000 0.20 1,667 1,100 6.0 0.087
Mercurio 0 0.50 0 3,300 - 0.540
Agua 0 0.50 0 300 - 0.036
Agua* 0.9 0.4995 0.3 300 - 0.036
* Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar el agua
como un material sólido.
Es aparente que la principal diferencia entre líquidos y sólidos es que los líquidos
poseen un m ódulo de c ortante m uy pe queño en comparación c on e l módulo
volumétrico, y que los líquidos no son incompresibles.
1.9 VELOCIDADES DE ONDA DE CORTANTE Y COMPRESIÓN
La medición de las velocidades de onda de compresión y de corte de materiales,
que utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro método sencillo
que se utiliza frecuentemente para definir las propiedades de los materiales. La
velocidad de la onda compresiva, Vc, y la velocidad de onda de corte, Vs vienen
dadas por:
ρ
λ G2+
=Vc (1.19)
ρ
G
=Vs (1.20)
donde ρ es la densidad del material. Por lo tanto, es posible calcular todas las
demás prop iedades el ásticas d e los materiales is otrópicos a p artir d e estas
ecuaciones. Está claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos
porque el módulo de cortante es cero.

1.10 PROPIEDADES MATERIALES AXISIMÉTRICAS
Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberías, recipientes a presión,
tanques para a lmacenar l íquidos, cohetes, y ot ras estructuras e spaciales, es tán
incluidas en la c ategoría de estructuras axi simétricas. Un g ran núne ro d e
estructuras axi simétricas pos een materiales an isotrópicos. Para el c aso de l os
sólidos axisimétricos que quedan sujetos a c argas no-axisimétricas, la matriz de
correlación, según se define en la Ecuación (1.3), puede expresarse en términos
del sistema de referencia θy, zr como la Ecuación (1.21). Se puede obtener la
solución de e ste caso e special de un s ólido tridimensional expresando l os
desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armónicas.
Luego se expresa la solución como la suma de l os r esultados de una s erie d e
problemas axisimétricos bidimensionales [3].




















∆+






















































−
−
−−−
−−−
−−−
−−−
=




















0
0
1
0000
1
0000
00
1
00
1
00
1
00
1
65
65
6
56
5
43
43
2
42
1
41
4
34
32
32
1
31
4
24
3
23
21
21
4
14
3
13
2
12
1
rz
z
r
z
r
rz
z
r
z
r
rz
z
r
T
EE
EE
EEEE
EEEE
EEEE
EEEE
α
α
α
α
τ
τ
τ
σ
σ
σ
ν
ν
ννν
ννν
ννν
ννν
γ
γ
γ
ε
ε
ε
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(1.21)
1.11 RELACIONES DE FUERZA-DEFORMACIÓN
Las ecua ciones e sfuerzo-deformación que s e pre sentan en las se cciones
anteriores cons tituyen las leyes constitutivas fundamentales d e los materiales
lineales. Sin em bargo, para elementos un idimensionales en l a i ngeniería
estructural, muchas v eces r eformulamos di chas ecuaciones en términos de
esfuerzos y de formaciones. Por e jemplo, pa ra un e lemento uni dimensional
axialmente cargado de l ongitud L y área A , la deformación axial total ∆ y e l
esfuerzo axial P son ∆ = Lε y P = Aσ. Ya que σ = Eε, la relación esfuerzo-
deformación es:

∆= akP (1.22)
donde
L
AE
ka = y se define com o la rigidez axial del elemento. También, s e
puede expresar la Ecuación (1.22) en la siguiente forma:
Pfa=∆ (1.23)
donde
AE
L
fa = y se de fine como la flexibilidad axial d el e lemento. Es
importante notar que los términos de rigidez y flexibilidad no son una función de
la c arga, s ino que dependen solamente de las p ropiedades de l os materiales y
geométricas del elemento.
Para u n e lemento un idimensional de sección transversal cons tante, la f uerza
torsional T en términos de la r otación relativa ϕ entre los ext remos del
elemento viene dada por:
ϕTkT = (1.24)
donde
L
JG
kT = y J es el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de
la rigidez torsional es la flexibilidad torsional.
En el caso de flexión pura de una viga con un e xtremo fijo, la integración de la
distribución de l e sfuerzo t orsional s obre l a sección t ransversal p roduce u n
momento M . La distribución del deformación lineal produce una rotación en el
extremo de la viga de φ . Para esta viga de longitud finita, la relación momento-
rotación es:
φbkM = (1.25)
donde l a r igidez de f lexión
L
EI
kb = . Para una s ección transversal t ípica de la
viga de longitud dx, la relación momento-curvatura en el punto x es:
)()( xEIxM ψ= (1.26)
Estas relaciones fuerza-deformación se consideran fundamentales en los campos
tradicionales del análisis y el diseño estructurales.

1.12 RESUMEN
Las prop iedades de l os materiales de ben ser determinadas a t ravés d e
experimentos. Exámenes c uidadosos de las propiedades de la mayoría de los
materiales estructurales indican que no son isotrópicos ni hom ogéneos. Sin
embargo, constituye u na práctica c omún el u so de la ap roximación isotrópica
para la m ayoría de l os a nálisis. Sin e mbargo, e n el f uturo de l a i ngeniería
estructural, el us o de los m ateriales anisotrópicos compuestos aum entará d e
manera si gnificativa. La r esponsabilidad del i ngeniero es ev aluar l os er rores
asociados con dichas aproximaciones llevando a cabo varios análisis utilizando
diferentes propiedades de los materiales.
Se de be r ecordar qu e e l r esultado obt enido d e u n m odelo c omputarizado
constituye un estimado del com portamiento de l a es tructura r eal. El
comportamiento de la estructura está regido por l as l eyes f undamentales de la
física, y no s e le requiere cumplir con ningún código de construcción o con el
manual de usuario de un programa de computadora.
1.13 REFERENCIAS
1. Popov, E . P . 1990. Engineering M echanics of Solids. Prentice-Hall,
Inc. ISBN 0-13-279258-3.
2. Boresi, A. P. 1985. Advanced Mechanics of Materials. John Wiley &
Sons. ISBN 0-471-88392-1.
3. Wilson, E . L . 1965. “ Structural A nalysis of A xisymmetric S olids.”
AIAA Journal. Vol. 3, pp.2269-2274.

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