Manual de-laboratorio-fisica-general

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
MANUAL DE
LABORATORIO DE
FÍSICA GENERAL
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS,
INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA ELECTRÓNICA,
INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL,
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA NAVAL,
INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA AERONÁUTICA,
INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA DE
SOFTWARE, INGENIERÍA DE TRANSPORTE
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima – Perú

2
© MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL
Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS : Lic. José SANTA CRUZ DELGADO
Diseño y Diagramación: Julia Saldaña Balandra
Soporte académico : Instituto de Investigación
Producción : Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.

“El presente material contiene una compilación de obras de Física
General publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo
del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser
empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la
Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos
en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto
Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

Presentación
El presente Manual está diseñado teniendo en cuenta la teoría
cognoscitiva de construcción del conocimiento, tomando como base los
fundamentos teóricos impartidos en aula, en el curso de Física General.
En este marco, es grato presentar a los estudiantes de Ingeniería el
presente documento académico denominado: MANUAL DE LABORATORIO
DE FÍSICA GENERAL, en su primera edición.
Documento en el cual están diseñados claramente las diversas prácticas
experimentales que facilitarán la comprensión de conocimientos; dominio y
manejo de equipos e instrumentos; y uso de materiales en las prácticas
relacionados con los diversos tópicos que se desarrollarán en el Curso de
FÍSICA GENERAL.
La metodología de desarrollo de Prácticas en los diferentes temas
experimentales ha sido establecido, para estudiantes de Ingeniería; teniendo
como base el aprendizaje previo de las ideas teóricas básicas.
Así mismo, como soporte didáctico se ha tomado en cuenta los textos
indicados en la referencia bibliográfica de cada Práctica de Laboratorio; para
facilitar la comprensión de los temas teóricos impartidos en aulas, en
interrelación con las prácticas.
Al cerrar estas líneas el reconocimiento personal al profesor José Santa
Cruz Delgado, quien con constancia, empeño pertinaz y calidad académica ha
propiciado y construido el presente Manual.
Finalmente, el reconocimiento al Licenciado Richard Medina Calderón
por su apoyo en la complementación de algunos experimentos.
Lucio H. Huamán Ureta
Vicerrector de Investigación
"Todo debe hacerse lo más sencillo posible, pero no más simple"
ALBERT EINSTEIN

Índice
EXPERIMENTOS
ANÁLISIS DE FUNCIONES
1. Graficas de Funciones ................................................................... 09
2. Ajuste de Curvas............................................................................ 31
TEORÍA DE MEDICIONES
3. Mediciones, Cálculo de errores y su propagación ......................... 47
MECÁNICA - CINEMÁTICA
4. Movimiento Rectilíneo Uniforme .................................................... 65
5. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado ................................... 75
6. Movimiento Compuesto – Movimiento de un Proyectil .................. 87
7. Movimiento Circular Uniforme........................................................ 97
MECÁNICA - ESTÁTICA
8. Primera Condición de Equilibrio..................................................... 107
9. Segunda Condición de Equilibrio ................................................... 121
10. Centro de Gravedad de Figuras Planas......................................... 131
TRABAJO
11. Trabajo en un Plano Inclinado........................................................ 143
ANEXOS
1. Gráficas y Análisis de Funciones ................................................... 149
2. Mediciones, Cálculo de Errores y su Propagación......................... 169
3. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado............................. 175
4. Fuerza Centrípeta .......................................................................... 181
5. Fuerza Normal y a lo largo de un Plano Inclinado ......................... 189
APÉNDICE
A: Formulario ...................................................................................... 195
B: Prefijos y Unidades ........................................................................ 203
C: Constantes Físicas......................................................................... 211
D: Datos Gráficos ............................................................................... 215
E: Uso del Software Logger Pro ......................................................... 223
F: Glosario.......................................................................................... 229
MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES............................................ 233
REGLAMENTO INTERNO DEL LABORATORIO DE FÍSICA.................... 235

Manual de Laboratorio de Física General
9
GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess Práctica de Laboratorio Nº 01
Tópicos Relacionados
Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente,
constante, pendiente de una recta, función, relación, parábola, hipérbola.
1. Objetivos
1.1 Obtener correctamente gráficas de un conjunto de datos
experimentales, realizar el análisis correspondiente y
descubrir el comportamiento de un fenómeno físico a partir
de estas gráficas.
1.2 Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles
gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogarítmico.
1.3 Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y
hojas de cálculo.
2. Equipos y Materiales
- Tres (03) hojas de papeles gráficos milimetrados.
- Tres (03) hojas de papeles gráficos semilogarítmico.
- Tres (03) hojas de papeles gráficos logarítmicos.
- Una (01) calculadora científica (personal).
- Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m.
3. Fundamento teórico
3.1 Tabla de Datos.- Para investigar la relación entre dos
cantidades físicas en el laboratorio, debemos realizar
mediciones experimentales las cuales nos proporcionarán
por lo menos dos listas de números a los cuales les
llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de
tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el
nombre de Tabla de Datos Experimentales.
3.2 Gráficas.- La función del experimentador es descubrir la
relación que existe entre las dos columnas de una tabla de
datos experimentales. Una forma conveniente de establecer

10
esta relación es mediante una representación gráfica de
tales datos. Para construir una gráfica, debemos ayudarnos
con un plano cartesiano donde la recta horizontal es
denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las
ordenadas.
A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán
necesarios para familiarizarnos con una gráfica:
Función: Una cantidad y (variable dependiente) es función
de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se
determina por el valor de la variable x. Una función se
expresa matemáticamente de la forma ( )y f x= , y nos
dice “ y depende de x ” o “ y es una función de x ”. Como
ejemplo, tomemos el módulo de la velocidad en función del
tiempo, cuya expresión sería ( )v f t= .
Variables: Son las cantidades físicas que intervienen en el
experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar.
Como se mencionó arriba, estas pueden ser:
Variable Independiente: Es la variable que podemos
controlar, y que podemos variar en un proceso
experimental. Dos ejemplos típicos en Física son el
tiempo y la masa.
Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor
depende del que toma la variable independiente.
Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no
cambian nunca durante el experimento ni en la formula o
ecuación planteada.
Papel gráfico milimetrado: Es un papel que en dirección
horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm
de longitud. Por su fácil uso se aplica a todas las funciones
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación
Gráfica).
Papel semilogaritmico: Es un papel que en dirección
vertical esta dividido en segmentos de escala logarítmica y
en dirección horizontal esta dividido en escala milimétrica

11
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están
relacionados por una función de tipo Exponencial:
Papel logarítmico: Es un papel que en dirección horizontal
y vertical está dividido en segmentos en escala logarítmica
con la particularidad de que cada segmento esta en una
proporción de orden 10 con respecto al segmento anterior
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están
relacionados por una función de tipo Potencial:
3.3 Pasos a seguir para construir una gráfica
3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y
coordenadas adecuadas
Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y
las variables independientes paralelos al eje X.
Escogemos una escala de modo que un cuadro sea
múltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera
que la gráfica se lea con facilidad.
Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de
cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva
resultante no este confinada a un área pequeña de la
grafica.
No es esencial que la gráfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por
ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si
debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica.
La división más pequeña de la grafica debe ser menor o
igual al límite de error de los puntos que se localice.
Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y
unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 ó
5 (cinco es recomendado).

12
T (ºC)
t (min)
Calor latente de fusión
Temperatura en función del tiempo
1 mm = 2 s
Escalas
Eje Y:
Eje X:
R. Medina 13/06/06
40 + + + +
+
+
+
12108 14
+
1 mm = 2 ºC
5
10
64 16
+
+
++
+ +
0
2
30
35
15
20
25
Figura Nº 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusión
3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos
en el papel gráfico.
Se deben localizar los puntos determinados
experimentalmente usando líneas horizontales y verticales
en la forma de un signo “+”, que permite considerar una
coordenada cada vez.
Si trazamos mas de una curva en un papel gráfico, se
deben usar diferentes símbolos (líneas “+”, puntos, etc.)
para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes
colores. Hacer una Leyenda respectiva.
GRAFICA Nº 1:

13
3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se verá en el
siguiente laboratorio). (Ver Anexo Nº1: Modelo de
Papeles – Comparación Gráfica)
3.3.4 Preparar el título y la descripción del gráfico.
El titulo se debe colocar dentro del margen del papel gráfico
en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe
incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafica,
además deben estar enumeradas correlativamente. El
contenido exacto de la descripción depende de las políticas
del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura
Nº2)
3.4 Principales Funciones
3.4.1 Función Lineal: Una función es lineal cuando la
variable independiente aparece elevada a la primera
potencia, se representa en la forma:
y m x b= ⋅ + (1)
y
m
x
Δ
=
Δ
, es la pendiente de la recta (2)
b es el intersecto de la recta con el eje y cuando 0x =
3.4.2 Función Cuadrática: Una función es cuadrática
cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado,
se representa de la siguiente manera:
2
y a bx cx= + + (3)
, ,a b c : Constantes.

14
Figura Nº 2: Función lineal
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo (s)
espacio(m)
Δe = 35 m
Δt = 10 s
GRAFICA Nº 2:
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Escala:
tiempo (s) : 1 cm < > 2 s
espacio (m) : 1 cm < > 5 m
b
Donde:
m = 3.5
b = 4.6

15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Figura Nº 3: Función Cuadrática
Un ejemplo de Función Cuadrática es el descrito por la
trayectoria del movimiento de proyectiles
En la Figura Nº 4 se muestra un caso especial de la
ecuación (3), cuando 0a = , 0b = y c es una
GRAFICA Nº 3:
Curva Parabólica (Función Cuadrática)
Y = 2 – X + 2 X2
Donde:
a = 2
b = -1
c = 2
Escala:
X (u1) : 1 cm < > 1 u1
Y (u2) : 1 cm < > 5 u2

16
constante, entonces la ecuación (3) es equivalente a la
función
n
y kx= , cuando n=2 y k c=
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tiempo ( s )
espacio(cm)
Figura Nº 4: Función Cuadrática - Potencial
Un ejemplo de Función Cuadrática - Potencial es el descrito
por un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente
Variado, cuando el móvil tiene una velocidad inicial igual a
GRAFICA Nº 4:
Curva Parabólica (Función Cuadrática - Potencial)
e = 1.2 t2
Donde:
a = 0
b = 0
c = 1.2
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 5 s
y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm

17
cero y parte del origen de coordenadas, es decir :
2
2
a
y x= ⋅ , donde a es la aceleración del móvil.
3.4.3 Función Potencial: En este tipo de función x esta
elevado a una exponente constante. Se representa de la
siguiente manera:
n
y kx= (4)
Justificación: Tomando logaritmos a ambos lados de
n
y kx= obtenemos:
( )log log logy k n x= + ⋅ (5)
Haciendo un cambio de variable logY y= , logX x= y
logB k=
De (5) obtenemos una relación lineal:
Y B n X= + ⋅ (6)
Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con
pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y
no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la
función, es de utilidad el papel gráfico log-log (logarítmico),
donde al graficar allí cualquier conjunto de datos o función
de la forma
n
y kx= , obtendremos una línea recta como
curva trazada y calcularíamos la pendiente y la intersección
como si estuviésemos trabajando con un papel grafico
milimetrado. (Ver Figura Nº 4 y 5)

18
1
10
100
1000
1 10 100
tiempo (s)
espacio(cm)
Figura Nº 5 : Función Cuadrática en papel grafico log-log (Logarítmico)
Observación: Para calcular la pendiente se escogen dos
puntos sobre la recta y evaluando es:
12
12
loglog
loglog
xx
yy
n
−
−
= (7)
GRAFICA Nº 5:
Función Cuadrática - Potencial

19
con (x1 , x2), (y1 , y2) leídos directamente sobre el papel
logarítmico. El intercepto de la recta es ( )logB k= se lee
directamente sobre el papel logarítmico
3.4.4 Función Exponencial: Una función es exponencial
cuando la variable independiente aparece como exponente
de algún numero:
0
bx
y y e= (8)
En la ecuación (8) e es la base de los logaritmos
neperianos y su valor es
2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente,
b es una constante.
Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la
parábola depende del signo de x . Para la Figura Nº 6,
estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este
caso el signo de x es negativo.
Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad
de la parábola depende del signo de la constante b. Para la
Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial,
en este caso el signo de b es negativo.
La función exponencial tiene la propiedad siguiente:
dy
b y
dx
= ⋅ (9)
Cualquier múltiplo constante de la función exponencial
bx
e tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b
veces la función misma.
Para intervalos xΔ largos, la ecuación (9) implica:
y
b y
x
Δ
= ⋅
Δ
(10)

20
Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un
decaimiento exponencial y la ecuación (8) adopta la
siguiente forma:
0
b x
y y e
− ⋅
= (11)
Un tipo especial de papel hace que el análisis de
crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho más
simple (papel semilogaritmico).

21
Figura Nº 6 : Función Exponencial – Decreciente (Papel milimetrado)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tiempo (horas)
Actividad(%)
GRAFICA Nº 6:
Desintegración Radiactiva del Cesio 137
A(t) = 100 e-0.5 t
Escala:
X = t (s) : 1 cm < > 1 h
y = A (%) : 1 cm < > 10 %
Donde:
yo = 100
b = -0.5

22
Justificación: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuación
(8), obtendremos:
( ) ( ) ( )0
log log logy y bx e= + (12)
Haciendo un cambio de variables: logY y= , ( )0
logB y=
y ( ). logm b e= , la ecuación (12) toma la siguiente forma:
.Y B m x= + (13)
El grafico de Y vs. x es una línea recta con pendiente
positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es
negativa.

23
1
10
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tiempo (horas)
Actividad(%)
Figura Nº 7 : Función Exponencial – Decreciente graficado en papel semilogaritmico,
observar que el resultado es una función lineal.
GRAFICA Nº 7:
Desintegración Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico)
Escala:
X = t (s) : 1 cm < > 1 h

24
Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la
cual, el eje vertical es graduado en forma logarítmica
(potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma
decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener
que calcular ningún logaritmo a los datos. En dicho papel ya
se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuación
(13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y
b de la ecuación (8) de la siguiente manera:
0
10B
y = y
log
m
b
e
= (14)
Observación: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se
gráfica en papel semilogarítmico, se localiza la pareja de
puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo
de "y" pues el papel semilogarítmico lo hace de modo gráfico
y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par
ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una
escala milimetrada y el eje vertical a una escala logarítmica.
Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos
ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma
que cada ciclo debe terminar en un número 10 veces mayor
que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10,
debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina
en 1000. El número de ciclos necesario estará dado por el
número de potencias de 10 que abarquen los valores de "y"
El valor de la pendiente m en el papel semilogarítmico se
calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por
donde pase la recta, y evaluando es:
12
12 loglog
xx
yy
m
−
−
= (15)
El intercepto de la recta es ( )0
logB y= .

25
4. Procedimiento
Se graficarán y analizarán los resultados de tres experimentos:
4.1 La posición de un automóvil que baja por la pendiente de
una colina fue observada en diferentes tiempos y los
resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en
metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en
línea recta a velocidad constante en función del tiempo
expresado en segundos.
Tabla N° 1
4.2 Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que
se mueve en línea recta con aceleración constante en
función del tiempo expresado en segundos.
Tabla N° 2
t (s) e (m)
1,0 1,00
2,2 4,84
3,4 11,56
4,4 19,36
5,9 34,81
7,1 50,41
t ( s ) e ( m )
1.1 8.45
2.9 14.75
4.1 18.95
6.6 27.70
8.0 32.60
9.8 38.90
10.5 41.35
12.1 46.95
13.9 53.25
15.5 58.85

26
4.3 Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día
uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018
núcleos.
Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para
distintos días se muestran en la tabla Nº 3.
Tabla N° 3
t (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15
A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas:
I. En papel milimetrado los valores de las Tablas N° 1,
N°2 y N°3.
II. En papel logarítmico los valores de las Tablas N° 1, N°2
y N°3.
III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N°
1, N°2 y N°3.
5. Cuestionario
5.1 Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del
procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación
de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las
ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora
científica para ello).
5.2 Según la tabla N° 3: ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día
cero)? y ¿Cuántos núcleos quedarán por desintegrar el día
N° 7?
5.3 Calcule el valor de E paso a paso para cada factor;
Primero: realizar el cálculo para cada factor con
aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, Ver
Anexo Nº2). Segundo: realizar el cálculo para cada factor
con todos los decimales que pueda dar la calculadora que
esta usando.

27
( ) ( )
( )
3 2
ln1000 log arcos 0.25 .( 37 )
.arctan 10
e sen
E
π
⋅ ⋅ − °
=
5.4 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una
línea recta y grafíquelas en papel milimetrado.
Adicionalmente grafique estos datos usando el software
Logger Pro del laboratorio de física.
5.5 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una
curva parabólica y grafíquelas en papel milimetrado.
Adicionalmente grafique estos datos usando el software
Logger Pro del laboratorio de física.
5.6 Busque información sobre la existencia de otros papeles,
además del milimetrado , logarítmico y semilogaritmico
5.7 ¿Cuáles son las características de una función?, explique.
5.8 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6. Observaciones
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -
7. Conclusiones
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

28
8. Sugerencias
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9. Referencias
9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B.
Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7
– 19.
9.2 Tópicos de Cálculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. “San Marcos”,
Lima, Perú, 1990 Cap. 2, pág. 47-100.
9.3 Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2
ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch.
2, Pg., 28-39.
"Una gráfica puede decir más que mil palabras."
ANONIMO

29
Figura Nº 8: Formas de Relieve y Curvas de Nivel. Las Curvas de Nivel dan
información de altitudes. Su configuración nos da información muy precisa de su
relieve. Se debe observar que: a) Las curvas de nivel mas próximas al centro
significan declives mas elevados, mientras que las curvas de nivel más alejadas
significan zonas de pendientes más suaves; b) Las curvas de nivel concéntricos con
las montañas más altas en el centro representan colinas, si se esta mas alejado del
centro, tenemos una zona deprimida. El ejemplo de la figura se tiene dos montañas
con formas muy diferentes. La derecha tiene mayores altitudes; se señala en la parte
superior, el aumento de pistas y cierta asimetría. La parte superior de la izquierda
tiene una forma más redondeada, menor altitud, pero aún en presencia de un alivio
asimétrico: hay una diferencia de pistas entre las dos montañas.

31
AAjjuussttee ddee ccuurrvvaass Práctica de Laboratorio Nº 02
Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinantes, asíntotas,
interpolación, extrapolación, sumatorias.
1. Objetivos
1.1 Encontrar la función matemática que relaciona a dos cantidades
físicas medidas experimentalmente.
1.2 Hacer uso de la técnica de linealización por el método de
mínimos cuadrados.
1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones
a la ecuación de ajuste calculada.
2. Equipos y materiales
- Seis (06) hojas milimetradas.
- Un (01) lápiz de carbón N°2
- Una (01) regla de 30 cm.
- Una (01) Calculadora Científica (personal).
En el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas
variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo
analizarlo simultáneamente. Para facilitar el análisis elegimos dos de
estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una
tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función que
mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser
lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa a
continuación:

32
Figura. Nº 1:
Función Lineal
Figura. Nº 2:
Función Parabólica
Figura. Nº 3:
Función Exponencial
3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relación
matemática que mejor se aproxima a los resultados del
fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la
función a la que se aproxime la distribución de puntos
graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:
a) Función Lineal : y b m x= + ⋅
b) Función Parabólica o cuadrática :
2
y a b x c x= + ⋅ + ⋅
c) Función Cúbica :
2 3
y a b x c x d x= + ⋅ + ⋅ + ⋅
d) Función Polinomial :
2
0 1 2
n
ny a a x a x a x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅
e) Función exponencial :
x
y A B= ⋅
f) Función Potencial :
B
y A x= ⋅
g) Función Elíptica :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
h) Función Hiperbólica :
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
i) Otras.
En todas estas expresiones x e y representan variables,
mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros
a determinar.
X
Y
X
Y
X
Y

33
Una vez elegida la función se determina las constantes de tal
manera que particularicen la curva de los fenómenos observado.
3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso
de medición se organizan en tablas. Las tablas así formadas no
informan acerca del tipo de relación existente entre una
magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichas
relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de
ejes coordenados.
a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla.
b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas
conocidas.
Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de los
puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas
mediante el método de mínimos cuadrados y para datos cuya
tendencia sea una línea recta se puede usar también el método
grafico.
Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de
puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo
como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el
trabajo. En el Laboratorio de Física disponemos del software
para el procesamiento de datos y graficas Logger Pro.
3.3 Método de los mínimos cuadrados.-
Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . ,
(Xa , Ya) la idea es construir una función F(x) de manera que
minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver
Figura. Nº 4), es decir:
S = D1
2 + D2
2 + D3
2 + . . . + Dn
2 sea un número mínimo.
Nota:
- Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se
tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.
- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas
extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los
valores medidos.

34
Figura Nº 4: Desviaciones en un ajuste de mínimos cuadrados
3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL
- Método Geométrico
Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas
solo a la primera potencia.
Una función lineal que relacione “x” con “y” se representa
algebraicamente como:
y b m x= + ⋅ (1)
Donde “b” y “m” son constantes.
Figura Nº 5: Función ajustada geométricamente
X1 X2 X3 X4
Y2
Y1
Y3
Yn
D3
D2D1
Y
Y2
Y1
ΔY
ΔX
X1 X2 X
b

35
En la figura Nº 5 se muestra una gráfica de los valores de “X” e
“Y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada.
La constante “m” es la pendiente de la recta.
Donde: b resulta de la intersección de la recta con la
ordenada
y
m
x
Δ
=
Δ
(2)
ΔX = X2 – X1
ΔY = Y2 – Y1
- Recta Mínima Cuadrática
La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos:
(X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuación:
y b m x= + ⋅ (3)
Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos
siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.
∑∑ += ii XmbNY , (4)
∑ ∑ ∑+= 2
iiii XmXbYX (5)
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
( )
( )2 2
i i i i
i i
n x y x y
m
n x x
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(6)
( )
2
i i i i i
2 2
i i
x y x x y
b
n x x
−
=
−
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
(7)
Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:

36
TABLA N° 1: Tabla de datos
i ix iy i ix y⋅ 2
ix
1 1x 1y 1 1x y⋅ 2
1x
2 2x 2y 2 2x y⋅ 2
2x
n nx ny n nx y⋅ 2
nx
n∑ ix∑ iy∑ i ix y⋅∑ 2
ix∑
Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada
columna de datos.
Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7)
respectivamente.
Ejemplo Nº 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el
método de mínimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6);
(8,7) y (12,9).
Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos:
TABLA N° 2: Tabla de datos Experimentales
X Y X . Y X2
1 2 2 1
2 3 6 4
5 5 25 25
6 5 30 36
7 6 42 49
8 7 56 64
12 9 108 144
∑Xi= 41 ∑Yi= 37 ∑YiXi = 269 ∑ Xi
2 = 323

37
N (número de datos) = 7
Obteniendo :
∑ ∑ ∑ ∑ ==== 323,269,37,41 2
iiiii XYXYX
Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y
resolviendo el sistema se tiene:
a = 1,590 b = 0,631
Por lo tanto la recta tiene por ecuación: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X
Al extrapolar (extender la gráfica a ambos lados), es posible
determinar los valores de Y para X cercanos y externos al
intervalo de valores medidos (Ver Figura. Nº 6).
Figura Nº 6: Función ajustada por mínimos cuadrados
3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL
- Parábola Mínima Cuadrática.- Para este caso el ajuste se hará
a una función parabólica.
F(x) = Y = a + b X + c X2 (8)
10 --
9 --
8 --
7 --
6 --
5 --
4 --
3 --
2 --
1 --
0 .
0 2 4 6 8 10 12 14
X
Y

38
Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los
coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el
caso de la recta mínimo cuadrático, tratando que:
S = D1
2 + D2
2 + D3
2 + . . . + Dn
2 tome el valor mínimo.
Así resulta:
∑∑∑ ++= 2
iii XcXbaNY (9)
∑∑ ∑ ∑ ++= 32
iiiii XcXbXaYX (10)
∑∑ ∑ ∑ ++= 4322
iiiii XcXbXaYX (11)
Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9,
10 y 11.
- Función Potencial: Una función potencial es de la forma:
B
Y A X= ⋅ (12)
Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos
lados y obtener:
log log logY A B X= + ⋅ (13)
Y si reemplazamos:
logy Y= , b B= , logx X= y loga A= (14)
Obtenemos la ecuación de la recta y a b x= + ⋅ , la cual tratada
como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:

39
( )
( ) ( )
2
22
log log (log log ) log
log log
X Y X Y X
a
n X X
⋅ − ⋅ ⋅
=
⋅ −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
(15)
( ) ( )
( ) ( )
22
(log log ) log log
log log
n X Y X Y
b
n X X
⋅ ⋅ − ⋅
=
⋅ −
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(16)
- Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma:
Y = ABX ó Y = A eBX (17)
Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.
A) Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales
log Y = log A + (log B) X (18)
Haciendo las equivalencias siguientes:
y = log Y a = log A b = log B x = X (19)
Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las
ecuaciones (6) y (7)
B) Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural (*)
InY = InA + BX (20)
Ahora las equivalencias son las siguientes:
y = InY a = InA b = B x = X (21)
Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las
ecuaciones (6) y (7)

40
Obs: El papel logarítmico (escala en potencias de 10) esta
relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con
lo cual, en el item B) aplicando la función logarítmico
natural a la ecuación Y = A eBX para la linealizacion no
seria apropiada graficarla en papel logarítmico.
Ejemplo Nº 2: Realizar el ajuste a una parábola por
mínimos cuadrados para los siguientes datos
experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12);
(7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los cálculos
necesarios para expresar las ecuaciones normales se
disponen en la siguiente tabla:
TABLA N° 3: Tratamiento de datos
X Y XY X2 X2Y X3 X4
1,50 3,00 4,50 2,25 6,75 3,37 5,06
3,49 7,10 24,78 12,18 86,48 42,51 148,35
4,80 9,50 45,60 23,04 218,88 110,59 530,84
6,00 12,00 72,00 36,00 432,00 216,00 1296,00
7,14 11,80 84,25 50,98 601,56 363,99 2598,92
8,20 10,80 88,56 67,24 726,19 551,37 4521,22
9,10 10,30 93,73 82,81 852,94 753,57 6857,50
=∑ iX
40,23
=∑ iY
64,50
=∑ iiYX
413,42
=∑ 2
iX
274,50
=∑ ii YX 2
2924,80
=∑ 3
iX
2041,41
=∑ 4
iX
15957,89
Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene:
64,50 = a 7 + b 40,23 + c 274,50
413,42 = a 40,23 + b 274,50 + c 2041,41
2924,80 = a 274,50 + b 2041,41+ c 15957,89

41
Al resolver las ecuaciones obtenemos:
a = - 2,67 b = 3,96 c = - 0,28
Con estos valores, la ecuación de la parábola mínima cuadrática
será:
F(x) = - 2,67 + 3,96 x – 0,28 X2
Lo cual se muestra en la figura Nº 7
Figura Nº 7: Función cuadrática ajustada
4. Procedimiento
Se analizarán los resultados de tres experimentos:
4.1 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.
4.2 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.
14 --
12 --
10 --
8 --
6 --
4 --
2 --
0 .
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
X
Y

42
Tabla N° 4 Tabla N° 5
X Y X Y
1,0 2,5 -6,1 42,5
2,3 6,4 -5,4 31,3
3,6 9,0 -4,2 17,6
4,9 13,4 -2,8 6,4
6,2 18,0 -2,8 6,4
7,5 20,3 -1,7 3,0
8,8 22,0 -0,6 0,8
10,1 25,1 0,5 0,7
11,4 31,0 1,6 2,2
12,7 32,2 2,7 7,9
3,8 15,1
4,8 24,0
6,0 41,0
A partir de los datos anteriores realice lo siguiente:
I. Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N° 4 y de
la Tabla N° 5.
II. Usando el método de mínimos cuadrados halle la función que
mejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N° 4
y en la tabla N° 5.
III. De la tabla Nº 3 del paso 4.3 del experimento Nº 1 titulado:
“Grafica de funciones”, ajuste la grafica trazada usando
mínimos cuadrados (Ojo esta función es exponencial
decreciente).
Obs: No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y
las graduaciones.
5. Cuestionario.-
5.1 ¿Qué entiende usted por desviación en el ajuste de una curva?
5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.

43
5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, de
algunos ejemplos
5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden ser
ajustados a una recta, una parábola y una exponencial, y hacer
el respectivo ajuste por Mínimos Cuadrados.
6. Observaciones.-
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7. Conclusiones.-
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8. Sugerencias.-
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

44
9. Referencias bibliográficas.-
9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich,
Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.
9.2 Tópicos de Cálculo I, Máximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima,
Perú, 1990 Cap. 1
9.3 Teoría y problemas de Estadística, Murray R. Spiegel, McGraw
Hill, México D.F., México, 1982, Cap. 13, Pág. 217 - 240.
"La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entre el pasado y el futuro."
José Ingenieros

45
Figura Nº 8: Fractales; Son una categoría de aproximación a un cuerpo o evento
para entender su naturaleza y dinámica. Los cuerpos “fractales” están formados
por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Su origen, latín
"fractus”, es reciente, lo propuso el matemático francés Benoit Mandelbrot en
1975, pero el concepto era conocido dentro de teoría de sistemas. Como
aproximación matemática consiste en crear “fragmentos irregulares”
representados en sistemas de ecuaciones parametrizados que poseen la
propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como
una réplica a escala reducida del todo, pero son curvas no derivables por ser
infinitamente fracturadas. Desde la perspectiva geométrica, un fractal es un
objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas.

47
MEDICIONES
MMeeddiicciioonneess,, ccaallccuulloo ddee eerrrroorreess yy ssuu pprrooppaaggaacciióónn
Práctica de Laboratorio Nº 03
Tópicos relacionados
Aproximación, incertidumbre, error, medición, vernier, micrómetro, longitud,
tiempo, masa, calibración, balanza de precisión, Precisión, Exactitud.
1. Objetivos
1.1 Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el
resultado de una medida realizada.
1.2 Reconocer los diferentes tipos de error que existen y evaluar el
error sistemático para cada tipo de medición.
1.3 Desarrollar una conciencia del “error” como algo ineludible
asociado a las mediciones hechas notando que los errores
siempre estarán presentes en los procesos de medición.
1.4 Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una
medición indirecta.
2 Equipos y materiales
- Un (01) paralelepípedo de madera
- Una (01) canica de vidrio o porcelana
- Un (01) cilindro de aluminio
- Una (01) regla graduada, 1m, 1/1000 m
- Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.05mm.
- Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.02mm.
- Un (01) Modelo de Nonio (1/10 mm) de madera.
- Un (01) Cronómetro, 11 h, 59 m, 59 s, 1/100 s
- Un (01) Micrómetro, 25*1mm/0.5mm

48
3 Fundamento teórico
La FISICA es una ciencia que se basa en la capacidad de observación
y experimentación del mundo que nos rodea. La superación de los
detalles prácticos que hacían difícil la medición precisa de alguna
magnitud física, dio lugar a los avances en la historia de esta Ciencia.
Por ejemplo; cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo
ponemos en contacto con un termómetro, y cuando están juntos,
algo de energía o “calor” se intercambia entre el cuerpo y el
termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la
temperatura del cuerpo, afectando así, a la misma cantidad que
deseamos medir. Además todas las mediciones son afectadas en
algún grado por errores experimentales debido a las imperfecciones
inevitables del instrumento de medida (errores sistemáticos), o las
limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores personales),
que deben registrar la información o dato.
Por eso cuando un investigador tecnológico y científico diseña su
técnica de medición procura que la perturbación de la cantidad a
medirse sea más pequeña que el error experimental.
3.1 MEDICIÓN
Técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una
propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha
adoptado como unidad. La mayoría de las mediciones efectuadas en
laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa,
tiempo, ángulo o voltaje.
En todo proceso de medición se debe tener en cuenta lo siguiente:
a. El objeto o fenómeno cuyas dimensiones se requieren medir.
b. El instrumento de medición (ejm: regla milimétrica, cronómetro,
probeta).
c. La unidad de medida, el cual está incluida en el instrumento de
medición (mm, s, ml).
Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas
magnitudes vectoriales y tensoriales.

49
EXPRESIÓN GENERAL DE LA MEDICIÓN:
- Cuando se realiza una sola medición, el resultado lo podemos
expresar:
XXX Δ±= 0
(1)
- Donde X0 es el valor leído en el instrumento y ΔX es el error
absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura
mínima que se puede hacer con el instrumento, aproximación o
precisión del instrumento).
2
lm
X =Δ (2)
- Si se realiza varias veces la medición, el resultado se puede
expresar
dXXX ±= (3)
- Donde X es el valor probable dado por la media aritmética de
las mediciones y dX es el promedio de las desviaciones o
errores.
3.2 TIPO DE MEDICIONES
Medición Directa: Es la que se obtiene directamente por observación
al hacer la comparación del objeto con el instrumento de medición o
patrón.
Ejemplo: La determinación del volumen de un objeto, usaremos la
probeta graduada; la evaluación del tiempo de caída de una moneda
al piso desde una altura dada, con el cronómetro; etc.
Medición Indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar
fórmulas matemáticas y cantidades físicas derivadas que son función
de una serie de medidas directas.
Ejemplo Para hallar la velocidad, mediante la fórmula v = x / t
donde x es el espacio o longitud recorrido por el móvil y t es el tiempo
transcurrido.

50
Figura Nº 1: Calibrador Vernier o Pie de Rey
3.3 EXACTITUD Y PRECISION DE UNA MEDICION
Todo experimento debe planearse de manera que siempre dé la
información deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por
lo tanto deberá cuidarse de la exactitud y/o precisión aceptable de los
datos.
EXACTITUD: La exactitud indica el grado en que los datos
experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o
considerados verdaderos idealmente.
La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental.
Estrictamente hablando el único tipo de medición totalmente exacto
es el contar objetos. Todas las demás mediciones contienen errores y
expresan una aproximación de la realidad.
PRECISION: La precisión expresa el grado con que un valor
experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir,
cuan cerca esta del valor medio del conjunto de sus medidas.
En los instrumentos la precisión se puede determinar por la mínima
medida con que se puede llevar a cabo la medición, es decir, es la
aproximación del mismo, y esto representa la calidad del instrumento,
por cuanto la medición que hagamos con dicho instrumento, poseerá
muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado
una medición de alta precisión.

51
3.4 TEORÍA DE ERRORES
ERROR:
Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medición y
el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal
cualitativamente.
También se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de
diversas maneras, siendo las más usuales: la desviación estándar, la
desviación promedio, etc.
Clases de error
Errores sistemáticos: Estos son determinables y corregibles si se sabe
bien la física del proceso. Los principales son:
1 Errores teóricos: Son debido a las aproximaciones
concernientes a las ecuaciones o relaciones que podrían ser
muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la
calibración de los instrumentos o en la determinación de
mediciones indirectas.
Ejemplo: Determinación del periodo de un péndulo para ángulos
pequeños donde senθ ≈ θ.
Aquí en la solución de la ecuación diferencial se usa la
aproximación de la solución en serie:
2 41 9
2 1 ...
4 64 2
θ⎛ ⎞
= π + θ+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
l
T sen sen
g
(4)
y que se calcula como 0 2= π
l
T
g
(5)
Considerando algunos valores de θ y senθ:

52
Tabla Nº 1: Error de θ en radianes y senθ (usando la ecuación Nº15)
o
θ
(Valor Exacto)
θ (radianes) Sen θ
Error Relativo
Porcentual
( % )
5 0.08727 0.08716 0.13
10 0.17453 0.17365 0.51
15 0.26180 0.25882 1.15
2 Errores instrumentales: Estos vienen especificados por el
fabricante del instrumento y son etiquetados como “Límite de
precisión” o “Límite de error”. Es decir el error debido al
instrumento será igual a la cuenta mínima o la lectura más
pequeña que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura
será igual a la medición ± UNA DIVISION de la mínima escala
del instrumento.
3 Errores ambientales: Estos errores no son tan fáciles de evitar
debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los
factores ambientales mas importantes que se deben de
considerar son la temperatura, la presión y la humedad. Debido
a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlar el
ambiente (en una región o tiempo limitado).
4 Errores de observación: Tiene su origen en la postura que toma
el operador para la lectura de la medición resultando en
lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes.
La posición correcta, una atención cuidadosa, la revisión del
equipo y la comparación de un observador con otro son
comunes para reducir o eliminar este error.
Errores aleatorios: Escapan del control del experimentador. Son
originados básicamente por la interacción del ambiente con el
sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores
sistemáticos hayan sido minimizados, balanceados o corregidos.
Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos.
3.5 DESVIACION ESTÁNDAR
Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medición
consideramos que cuando hagamos una sola medición el error

53
absoluto estará representado solamente por la mitad de la
aproximación (lectura mínima del instrumento).
1
( . .)
2
x lect mínΔ = (6)
Donde la aproximación, sensibilidad o lectura mínima es la división
más fina del instrumento. En el caso de la regla milimetrada la
mínima lectura será 1/1000 m.
Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa
como ( )x , la incertidumbre en la medición crece y el error absoluto
estará en función del valor promedio de ( )x y de la siguiente variable:
n
2
2 2 2 i
1 2 n i 1
(x x )
(x x ) (x x ) ... (x x )
n n
σ =
−
− + − + + −
= =
∑
(7)
Aquí x es el valor promedio leído con el instrumento de medición y
σ es la desviación estándar. A veces aparece en el denominador
(n-1) en vez de n, por que el valor resultante representa un mejor
estimador de la desviación típica de una población de la que se ha
tomado una muestra. Para valores n > 30, prácticamente no hay
diferencia entre las dos definiciones.
El error absoluto se calculará con ayuda de la siguiente fórmula:
2
0
1
( )
( 1)
n
i
iX
X X
X
n nn
σ
Δ =
−
= =
−
∑
(8)
Finalmente la fórmula de expresar el resultado de una medición
directa será:
X X X= ± Δ (9)
Donde:
X : Resultado de la medición.
X : Valor más probable.
XΔ : Error absoluto.

54
Además se debe considerar que:
a) X llamado valor medio o promedio, se obtiene de la siguiente
manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el
valor medio o promedio se calculará por:
n
X
X
n
i
i∑=
= 1
(10)
b) Desviación (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de
una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor
absoluto.
d X = | Xi – X | (11)
c) Desviación media (dX0):
n
XX
dX
n
i
i∑=
−
= 1
(12)
donde:
XXXXXXXX ni −++−+−=−∑ .........21
y n es el número de mediciones.
3.6 El error relativo ( rE ):
Representa el error absoluto por unidad de medición. Nos indica la
fracción del error absoluto respecto al valor promedio:
r
X
E
X
Δ
= (13)
3.7 El error relativo porcentual ( (%)rE ):
Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador
anterior dado en porcentaje:

55
(%) 100 %rel
X
E
X
Δ⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
(14)
Si tenemos un valor Xref considerado “valor teórico” o valor de
referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de
mediciones directas o indirectas, podemos comparar nuestro
resultado con la siguiente formula:
( )exp
(%) 100 %ref
rel
ref
X X
E
X
−
= ⋅ (15)
En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a
menudo esta formula (15) para comparar diferentes cantidades
físicas (espacio, tiempo, masas, aceleraciones, coordenadas,
densidades, etc.) y poder dar conclusiones en función a este
resultado.
3.8 PROPAGACIÓN DEL ERROR O INCERTIDUMBRE
Se presenta en caso de todas las mediciones indirectas.
Por ejemplo, para calcular el área total de un cilindro, se debe medir
el diámetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones
directas, evidentemente estas mediciones están afectadas de
errores. Al reemplazar los valores en la fórmula para calcular el área
procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores
que traen como consecuencia la propagación de errores.
Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido fórmulas
a través de la matemática superior, que se presentan más adelante
en forma práctica.

56
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN DIRECTA:
Si para determinar el valor de una
magnitud es necesario realizar
una adición o sustracción el
ERROR ABSOLUTO TOTAL está
dado por la SUMA de los errores
absolutos de los términos que
intervienen en la operación.
Por ejemplo según la figura Nº 2,
para determinar la longitud total,
se tendrá
Figura Nº 2: Tarjeta recortada
L1 = L01 ± ΔL01 L0t = L01 + L02
Lt = L0t ±
ΔL0t
L2 = L02 ± ΔL02 Δ L0t = ΔL01 + ΔL02
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN INDIRECTA:
Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una fórmula ya sea
en forma de producto, cociente o una combinación de ambos, el
ERROR RELATIVO TOTAL está dado por la suma de los errores relativos
de los términos que intervienen en la fórmula.
Por ejemplo para determinar
el volumen del objeto
ilustrado en la figura Nº 3,
se realizará el siguiente:
Vo = ao . bo . co
a = ao ± Δao
b = bo ± Δbo
c = co ± Δco
Figura Nº 3: Volumen de un Paralelepípedo
L2
L1
Lt
b
c
a

57
ΔV/V0 = Δa0/a0 + Δb0/b0 + Δc0/c0
(ver Anexo sobre mediciones y errores)
Cuando se realiza una medición indirecta (para lo cual se usa alguna
formula matemática) como por ejemplo hallar el volumen de un cono,
se medirán el radio de la base y la altura, pero en estas mediciones
se introducen errores, por lo que estos errores se propagaran, hasta
en el volumen calculado.
Tabla N° 2: Formulas para la propagación de errores
Tipo de Calculo Ejemplo* Error Propagado en X
Suma o resta x p q r= + − 2 2 2
x p q rΔ = Δ + Δ + Δ
Multiplicación
o división x p*q / r=
2 2 2
p qx r
x p q r
Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Elevar a una
potencia
y
x p=
px
y
x p
ΔΔ
= ⋅
*p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son pΔ , qΔ y
rΔ ; respectivamente, y es una constante.

58
3.9 INSTRUMENTOS DE MEDIDA
Figura Nº 4: Partes del Micrómetro
Figura Nº 5: Forma de hacer mediciones con el Micrómetro

59
Figura Nº 6: Nonio del Calibrador Vernier o Pie de Rey
Figura Nº 7: La lectura es 32.85 mm en este Calibrador Vernier o Pie de Rey

60
4. Procedimiento
4.1 Haga un reconocimiento y describa cada uno de los
instrumentos de medición que el grupo recibe, anoten la lectura
mínima así como el cálculo del error asociado a los instrumentos en
la tabla que se muestra ha continuación:
Tabla N° 3: Lectura mínima y el error asociado a cada instrumento
INSTRUMENTO APROXIMACIÓN
ERROR ABSOLUTO
ASOCIADO
Regla de madera (uso del docente)
Regla milimétrica de metal
Wincha de 5 m
Modelo de nonio de madera
Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened)
Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A)
Micrómetro de Metal
Balanza de Tres barras
Cronómetro analógico
Cronómetro digital
Termómetro
CASO I:
4.2 Tome un paralelepípedo de madera y mida sus tres
dimensiones como se muestra en la Figura Nº 3 con:
• Una regla de metal graduada en milímetros
• Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso)
Y anótelos en la tabla N° 4:
4.3 De acuerdo a lo anterior, determine
• El área total
• El volumen total
Y anótelos en la tabla N° 4.

61
Tabla N° 4: Datos experimentales para el paralelepípedo
Con la regla Con el Vernier
Mida : X X X= ± Δ X X X= ± Δ
Largo a
Ancho b
Alto c
A (Área)
V (Volumen)
CASO II:
4.4 Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su
diámetro con:
• Un calibrador vernier (el mas Preciso)
• Un micrómetro
Y anótelos en la tabla N° 5:
4.5 Con los datos del diámetro medido llene la tabla Nº 5 y repita el
cálculo del paso 4.3, para la canica
Tabla N° 5: Datos experimentales para la canica
Con el Vernier Con el Micrómetro
Mida : X X X= ± Δ X X X= ± Δ
Diámetro D
Radio r
A (Área)
V (Volumen)
Observación: No se olvide de colocar las unidades en todos los
cálculos, así como hacer un correcto redondeo y usar los decimales
apropiadamente.

62
5. Cuestionario
5.1 Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador Vernier hubiese tenido
100 divisiones ¿Cuál será la aproximación y el error absoluto
que usted cometería al usar este Vernier?.
5.2 Si un cronómetro tiene una aproximación de una centésima de
segundo (0,01 s). ¿Cuál será la medición si registrara 32,54 s?
5.3 De cinco ejemplos de cantidades física que pueda determinarse
en forma directa y también en forma indirecta.
5.4 ¿Qué otros errores además de los indicados puede usted
asociar a las mediciones directas?
5.5 Medir la frecuencia de latidos del corazón o del pulso de cada
uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronómetro
digital. Expresar esta medición con sus respectivos errores para
cada uno.
5.6 ¿Con qué instrumento usted mediría el espesor de una hoja de
cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera
posible de cómo mediría dicho espesor.
6. Observaciones.-
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7. Conclusiones.-
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

63
8. Sugerencias.-
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9. Referencias bibliográficas.-
9.1 Meiners - Eppenstein – Moore: Experimentos de Física, John
Wiley & Sons Inc, 2nd edition, March 1, 1987, N. Y., EEUU, Cap. 1,
pág. 13 - 59.
9.2 Murray R. Spiegel; Estadística, Editorial Andes, 1ra. Ed., 1982,
Bogotá, Colombia, Cap. I, Pág. 1-11.
9.3 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R.
y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1985, Wilmington,
Delaware, EEUU, Cap. I.
9.4 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 1, Pág.
15-27.
9.5 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R.
A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México
D.F., México, Cap. 1, pág. 1 -10.
"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho
señaló un avance indudable en la investigación científica."
EINSTEIN e INFELD

64
Figura Nº 8: Esquema básico de un microscopio de efecto túnel
Richard Feynman, premio Nobel de Física en 1965, durante una conferencia
celebrada en el Instituto de Tecnología de California (CalTech), en 1959, titulada "Hay
mucho espacio ahí abajo", pronosticó que, tarde o temprano, se podrían mover los
átomos de manera individual, y construir configuraciones diferentes de las que
existen en la naturaleza. En 1982, Heinrich Rohrer y Gerd Binnig, dos científicos del
laboratorio IBM de Zurich, idearon el microscopio de efecto túnel, y abrieron las
puertas a este tipo de manipulación. Debido a su invento, en 1986 fueron
galardonados con el premio Nóbel de Física. Este sistema basa su funcionamiento en
un efecto cuántico que ocurre en distancias menores a la milmillonésima parte de un
metro (10-9 m = 1 nm, un nanómetro). El control de este tipo de fenómeno es lo que
nos permite hacer topografía de superficies a nivel atómico.
De la Figura: En una instalación cuyo fin es tomar medidas en escala atómica es
necesario que el elemento que se usa como sonda de medida tenga una resolución
de esa misma escala. En un microscopio de efecto túnel la sonda es una punta
conductora, p. ej. de Wolframio. La punta se trata para eliminar los óxidos y para que
sea lo más afilada posible, idealmente que en el extremo aparezca un solo átomo. La
instalación consiste en un circuito eléctrico en el que están incluidas la muestra y la
punta de medida.
Fuente: http://www.unizar.es/ina/equipos/microscopioSTM.htm

65
MECÁNICA
MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillíínneeoo UUnniiffoorrmmee
Práctica de Laboratorio Nº 04
Trayectoria, Móvil, tiempo y velocidad, Movimiento de traslación de una
masa puntual, Mediciones, graficas
1. OBJETIVOS
1.1 Reconocer el movimiento rectilíneo uniforme.
1.2 Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una
trayectoria s dada.
1.3 Calcular el módulo de la velocidad del cuerpo.
2. EQUIPOS Y MATERIALES
- Un (01) Móvil, 343 g
- Una (01) pila de 1.5 V R6 “AA”
- Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc.
- Una (01) regla de metal de 100 cm.
- Una (01) Calculadora Científica (personal).
- Una (01) Cinta adhesiva
3. FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando la trayectoria de un móvil es rectilínea y en ausencia de aceleración,
el movimiento se llama Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
El desplazamiento puede, en principio relacionarse con el tiempo mediante
la relación ( )x f t= . Aquí x puede ser negativa o positiva.

66
Figura Nº 1: Movimiento Rectilíneo
Ahora supongamos que en un tiempo t , el objeto está en A , siendo
OA x= , y que luego, más tarde, en un tiempo t ' , se encuentra en
B, siendo OB x'= .
Entonces el valor de la velocidad1 media se define como:
m
x ' x x
v
t ' t t
− Δ
= =
− Δ
(1)
Donde: xΔ : Desplazamiento del móvil
tΔ : Tiempo transcurrido.
En general, si una masa puntual cubre distancias iguales sΔ en
intervalos iguales de tiempo tΔ , entonces el valor de su velocidad
será:
s
v
t
Δ
=
Δ
(2)
y tiene un valor constante. Para determinar el valor de la velocidad, se
escoge un intervalo de tiempo arbitrario tΔ en el cual medimos la
distancia sΔ .
1
En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por
eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a
su valor numérico la rapidez.

67
Grafica Nº 1: Grafica de la posición en función del tiempo
En la grafica Nº 1 observamos que la velocidad se puede determinar
a partir de la tangente del ángulo θ
x
m tan v
t
θ
Δ
= = =
Δ
(3)
Donde m es la pendiente de la recta a la cual se pueden ajustar datos
experimentales por el método de mínimos cuadrados:
x b m.t= + (4)
t t’
x’
x
θ
Δx
Δt
X
t
0

68
Figura Nº 2: Móvil empleado en este laboratorio
En el experimento, se medirá espacios y tiempos para el movimiento
uniforme con un cronómetro para intervalos de distancias iguales.
Figura Nº 3: Sistema experimental para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Movimiento
Cronómetro
Móvil
cm
Inicio Final

69
4. PROCEDIMIENTO:
4.1 Alinear el carril horizontalmente y montar el equipo como se ve en la
Figura Nº 3.
4.2 Para hacer las graduaciones de las longitudes puede usar la regla de
metal o pegar cinta adhesiva sobre la mesa. No se olvide definir el
punto inicial y final.
4.3 Encienda el carrito (móvil) y colóquelo sobre la marca inicial,
simultáneamente encienda el cronometro; cuando el móvil haya
recorrido 10 cm detener el reloj y hacer la anotación respectiva en la
tabla Nº 1.
4.4 Repita el procedimiento anterior dos veces más y registre sus datos
en la tabla Nº 1.
4.5 Repita los pasos 4.3 al 4.4 incrementando el espacio recorrido en 10
cm desde el punto inicial de partida. Anote sus datos en la tabla Nº 1.
(Obs: el profesor puede indicar espacios recorridos diferentes).
4.6 Calcule el valor de la velocidad del móvil para el recorrido y el
promedio del tiempo empleado, use la ecuación (2).
4.7 Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla Nº 1 de espacio
recorrido y el promedio del tiempo, use una escala apropiada.
4.8 De la grafica anterior, calcule el valor de la velocidad del móvil por el
método grafico, use la ecuación (3).
4.9 Calcule la ecuación de movimiento usando el método de mínimos
cuadrados a la ecuación (4) para los datos del espacio recorrido y el
promedio del tiempo empleado.

70
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo uniforme
(MRU)
Espacio recorrido
(cm)
Tiempos
(s)
Promedio
Tiempo
(s)
Velocidad
(m/s)
X 1t 2t 3t t v
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5. CUESTIONARIO
5.1 En el caso de movimiento rectilíneo uniforme, la trayectoria recorrida y
el tiempo son proporcionales? , explique.
5.2 Calcule el error relativo porcentual considerando la velocidad obtenida
por el método de ajustes de mínimos cuadrados y las velocidades
obtenidas en los pasos 4.6 y 4.8.
5.3 De tres ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme. Detalle.
5.4 Grafique los datos de la tabla Nº 1 y haga el ajuste respectivo usando
el software Logger Pro
5.5 Experimente usted (para cada integrante de su grupo), calculando la
velocidad promedio al caminar durante su vida cotidiana. Explique en
detalle su experimento.

71
5.6 Calcular la velocidad del móvil empleando el método grafico para la
grafica Nº 2.
Grafica Nº 2: Espacio recorrido en función del tiempo
6. OBSERVACIONES
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7. CONCLUSIONES
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

72
8. SUGERENCIAS
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9. REFERENCIAS
9.1 Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986,
pág. 87.
9.2 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.
Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F.,
México, Cap. 2, pág. 31 - 37.
“Todo lo que se mueve es movido por otro.”
Aristóteles (384 AC-322 AC)
Filósofo griego

73
Figura Nº 4: Se denomina tren de alta velocidad al medio de transporte que circula por una
vía diseñada para él (línea de alta velocidad) y que alcanza, de manera estándar,
velocidades más altas que un tren convencional. Actualmente se utilizan trenes con una
velocidad superior a 250 km/h, y con velocidad promedio (o velocidad comercial) también
elevada, que les permite competir con el transporte aéreo para distancias medias, del orden
de los cientos de kilómetros. En todos los casos se trata de vehículos y vías férreas
desarrolladas en forma unitaria, dado que las velocidades alcanzadas requieren de técnicas
específicas.
Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren
bala o Shinkansen en la década de 1960. Todo empezó a mediados de los años cincuenta,
cuando pensaron en construir una nueva línea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos
principales ciudades del país, para resolver el problema de la saturación de la línea
existente con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki,
Hitachi y Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran
desde 1964 las principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300
kilómetros por hora. Hoy el país, con 2.100 kilómetros cubiertos, tiene la mayor red de alta
velocidad del mundo.

75
MECÁNICA
MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillíínneeoo UUnniiffoorrmmee AAcceelleerraaddoo
Práctica de Laboratório Nº 05
Tópicos relacionados
Trayectoria, distancia recorrida, desplazamiento, rapidez, velocidad,
aceleración.
1. Objetivos
1.1 Determinar el valor de la velocidad1 media e instantánea de un
móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado.
1.2 Determinar la aceleración de un móvil con movimiento rectilíneo
uniforme variado.
1.3 Determinar las ecuaciones de movimiento de un móvil.
2. Equipos y materiales
- Un (01) módulo para MRUV (Leybold)
- Una (01) fuente de poder AC/DC
- Un (01) riel de metal
- Un (01) enchufe con cable de extensión
- Un (01) calibrador Vernier (preedición 0,02 mm)
- Dos (02) trozos de cinta metálica (Aprox. 0.5 m c/u)
- Tres (03) hojas de papel milimetrado.
Movimiento.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al
transcurrir el tiempo, respecto a un Sistema de Referencia.
Consideremos que un móvil se desplaza en la dirección x+ de un
sistema coordenadas cartesianas; entonces su posición en cualquier
instante, estará dado por una relación funcional ( )x f t= .
1
En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por
eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su
valor numérico.

76
Figura Nº 1: Móvil desplazándose a lo largo de una línea recta
Figura Nº 2: Gráfica espacio recorrido en función del tiempo
-x
x
O
x1
t1
x2
t2
Δx
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tiempo ( s )
espacio(cm)
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 5 s
y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm
GRAFICA Nº 1:
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado
(espacio como función del tiempo)

77
Velocidad media.- Se define como la razón del desplazamiento al
intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por 2 1x x xΔ = − , el
desplazamiento desde la posición inicial 1x hasta la posición final
2x ; y por 2 1t t tΔ = − , el tiempo transcurrido, entonces la velocidad
media es expresa por
2 1
2 1
m
x x x
t t t
υ
Δ −
= =
Δ −
(1)
Velocidad instantánea.- Es la velocidad de un cuerpo en un
determinado punto de su trayectoria y en un instante dado. Si el
intervalo de tiempo en la ecuación (1) se toma cada vez más
pequeño, la posición final 2x estará más y más próxima a la posición
inicial 1x , es decir xΔ se irá acortando y la velocidad media tenderá
a tomar la magnitud, dirección y sentido de la velocidad del cuerpo en
1x (tangente a la trayectoria). En la ecuación (1) cuando tΔ tiende a
cero, la velocidad instantánea es:
dx
dt
υ = (2)

78
Figura Nº 3: Gráfica velocidad en función tiempo
Aceleración media.- Se define como la razón de la variación de la
velocidad instantánea al intervalo de tiempo transcurrido. Si
denotamos por 2 1υ υ υΔ = − , la variación de la velocidad
instantánea desde la posición inicial 1x hasta la posición final 2x ;
y por 2 1t t tΔ = − , el tiempo transcurrido, entonces la aceleración
media se expresa por
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tiempo ( s )
velocidad(m/s)
GRAFICA Nº 2:
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado
(Velocidad como función del tiempo)
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 1 s
y = v (m/s) : 1 cm < > 5 m/s
(m/s)tv 4.3 +=

79
2 1
2 1
ma
t t t
υ υ υΔ −
= =
Δ −
(3)
Aceleración instantánea.- Es la tendencia al cambio de velocidad de
un cuerpo en un instante dado y en un punto de su trayectoria.
d
a
d t
υ
= (4)
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Es aquel movimiento en el cual un móvil describe como trayectoria
una línea recta, variando uniformemente la velocidad.
Obs: En la Figura Nº 1 muestra que la aceleración es constante, por lo
tanto, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea.
Además se observa que el incremento de la velocidad se da con el
incremente del tiempo, este movimiento se denomina Movimiento
Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Algunas ecuaciones básicas del movimiento rectilíneo uniformemente
variado en forma escalar:
21
. .
2
i ix x v t a t= + ± (5)
.f iv v a t= ± (6)
2 2
2 .f iv v a x= ± (7)
4. Procedimiento
4.1 Arme el equipo tal como se muestra en la Figura Nº 4 , 5 y 6

80
Figura Nº 4: Sistema experimental para el MRUA
4.2 Conectar la fuente de voltaje a 220 VAC . (no encienda la fuente,
espere la indicación del profesor)
4.3 Conectar el cabezal (chispero) con la fuente de voltaje (en los
bornes de color negro de 12 VAC) (ver Figura Nº 4)
Figura Nº 5: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el móvil)
4.4 Coloque el riel de metal a una altura de 3 cm, use el bloque
escalonado para ello.
4.5 Doblar correctamente el papel metálico en los extremos de tal
manera que la parte metálica haga un contacto directo con el
registrador de tiempo y con la pinza que sujeta al carrito.
α

81
Figura Nº 6: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el cabezal)
4.6 Suelte el móvil desde la parte mas alta del riel, luego de haber
encendido la fuente y el interruptor del chispero (registrador de
tiempo a una frecuencia de 10 Hz), cuando el carrito llegue al
extremo opuesto del riel debe apagar el interruptor del
registrador de tiempo.
4.7 Observar que sobre la tira de papel metálico han quedado
registrados una serie de puntos a intervalos en el tiempo de 0,1
s (ver Figura Nº 7).
4.8 Asignar al instante t = 0 en el cual se produjo el primer punto de
la distancia recorrida como x = 0. La posición de los otros
puntos se medirán en mm con respecto a este primer punto (ver
Figura Nº 7).
Figura Nº 7: Ejemplo del registro de datos sobre la Cinta Metálica

82
4.9 Llene los datos en la Tabla Nº 1
Tabla Nº 1: Datos experimentales para el MRUA
Altura del bloque escalonado h = 3 cm ; α =
Tiempo (s) 0xxd ii −= (m)
1 0,1 01 xx − =
2 0,2 02 xx − =
3 0,3 03 xx − =
4 0,4 04 xx − =
5 0,5 05 xx − =
6 0,6 06 xx − =
7 0,7 07 xx − =
8 0,8 08 xx − =
9 0,9 09 xx − =
10 1,0 010 xx − =
4.10 Repita los procedimientos del 4.4 al 4.9 para diferentes alturas
que indique el profesor construyendo las tablas que necesite.
Obs: No se olvide de aplicar la teoría de mediciones, errores y su
propagación
5. Cuestionario
5.1 Grafique en papel milimetrado la distancia recorrida d vs. t , el
módulo de la velocidad (υ ) vs. el tiempo (t) y la distancia
recorrida d vs. 2
t .

83
5.2 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los
datos de la distancia d y t , y encuentre ( )d f t= .
5.3 Utilizando la función ajustada d vs. t , hallar el tiempo
necesario para que el móvil recorra 35 cm. a partir del punto
inicial.
35t = ---------------------------------- s
5.4 A partir de la gráfica de la función resultante del ajuste, halle las
velocidades geométricamente para cada promedio de tiempo.
Para ello usted debe trazar una recta tangente a la curva y la
pendiente de la recta le dará la velocidad instantánea en este
punto. Registre sus cálculos en una tabla.
5.5 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los
datos de υ vs. t , y encuentre ( )f tυ = .
5.6 ¿Cuál es el valor de la aceleración?
6. Observaciones.-
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7. Conclusiones.-
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

84
8. Sugerencias.-
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9. Referencias bibliográficas
9.1 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton
R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987,
Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 8, Pág. 8-1 y 8-9.
9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 5,
Pág. 87-93.
9.3 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc
Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 4, Pág. 27-38.
9.4 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young,
R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998,
México D.F., México, Cap. 2, pág. 31 -51.
"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los
filósofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él
que hasta ahora han pasado inadvertido."
GALILEO GALILEI

85
Figura Nº 8: El Transbordador Discovery. La propulsión es un sistema capaz de imprimir
velocidad creciente o aceleración a un cuerpo, mediante un dispositivo que expele materia
(denominado motor cohete). El concepto 'propulsión' puede ser usado con otros muchas
palabras, tales como: chorro, de cohete o nave espacial, de esta forma se tiene 'propulsión
a chorro', 'propulsión de cohetes', o 'propulsión de nave espacial' etc. La propulsión de las
naves espaciales se usa para cambiar la velocidad de las naves espaciales y los satélites
artificiales. Existen diferentes métodos. Cada método tiene sus propias ventajas y
desventajas, de esta forma la propulsión de las naves espaciales es un área de gran
investigación. La mayoría de las naves se empujan mediante el calor de una reacción en
cadena que se expele por un orificio a muy alta velocidad. Este tipo de motor se denomina
motor cohete.
Todos las naves espaciales hoy en día emplean cohetes (tanto bipropelentes o de cohete de
combustible sólido) para la fase de lanzamiento, algunos tienen aberturas que mezclan el
aire en una cámara (tales como el Cohete pegaso y el SpaceShipOne) en sus primeras
etapas

87
MECÁNICA
MMoovviimmiieennttoo CCoommppuueessttoo
MMoovviimmiieennttoo ddee uunn PPrrooyyeeccttiill Práctica de Laboratorio Nº 06
Trayectoria, Móvil, Movimiento de Traslación de una Masa Puntual, Trayectoria
parabólica, Movimiento Rectilíneo Uniforme, Movimiento de Caída Libre, Balística.
1. OBJETIVOS
- Reconocer el movimiento parabólico.
- Determinar la ecuación de movimiento de un proyectil.
- Analizar el alcance máximo y la altura máxima en un movimiento
parabólico.
- Un (01) Tablero blanco (60 x 50 cm) (Pizarra acrílica)
- Una (01) Prensa (Clamp)
- Un (01) Equipo de lanzamiento de proyectil
- Una (01) regla metálica de 100 cm ó Wincha
- Un (01) cinta adhesiva
- Una (01) Hoja de papel blanco
- Una (01) Hoja de papel carbón
Movimiento Parabólico.- Cuando disparamos un proyectil desde el cañón de
lanzamiento, este se ve obligado a caer por la acción de la gravedad pese a
seguir yendo hacia delante, hasta tocar el suelo a cierta distancia del cañón.
En general, un proyectil describe una trayectoria característica llamada
parabólica, cuyos parámetros dependen del ángulo de lanzamiento, de la
aceleración debida a la gravedad en el lugar de la experiencia y de la
velocidad inicial; con la que se lanza.
Si el origen del sistema de coordenadas se ubica necesariamente en el
punto central de la bola durante el disparo, se obtendrán las siguientes
relaciones:

88
0v
y
x0
ϕ
g
ϕcos0vvx = (1)
ϕsenvvy 0= (2)
tvx x .= (3)
2
.
2
1
. tgtvy y
−= (4)
A partir de la ecuación (3) se sigue directamente que , con lo
que se puede eliminar el tiempo de la ecuación (4),
resultando:
2
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
xx
y
v
x
g
v
x
vy (5)
Si, en la ecuación obtenida, se eliminan aun las magnitudes xv
y yv
,
empleando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
2
22
0
.
cos2
.tan x
v
g
xy
ϕ
ϕ −= (6)
Esta es la ecuación de la trayectoria de un proyectil que es lanzado con una
velocidad inicial V0 y bajo un ángulo ϕ . En esta ecuación se desconoce la
velocidad inicial 0v y el ángulo ϕ (en la parte experimental estos valores
serán manejados a criterio del experimentador). Para los diferentes
experimentos, se determina 0v (m/s).
Figura Nº 1: Gráfica del Movimiento Parabólico
h
R
x
vxt /=

89
La ecuación (6) es válida si:
a) el alcance es suficientemente pequeño
b) la altura es suficientemente pequeña como para despreciar la
variación de la gravedad con la altura
c) la velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequeña para
despreciar la resistencia del aire
Combinando las ecuaciones del (1) al (4) obtenemos las siguientes
relaciones de recurrencia:
- Para la altura máxima:
g
senv
h
.2
22
0 ϕ
= (7)
- Para el alcance máximo:
g
senv
R
).2(
2
0 ϕ
= (8)
Figura Nº 2: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación °= 45ϕ para
diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0 (m/s) para tensión de muelle 1; Curva 2:
v0(m/s) para tensión de muelle 2; Curva 3: v0 (m/s) para tensión de muelle 3.
4. PROCEDIMIENTO:
4.1 Arme el sistema experimental como se indica en la Figura Nº 3
Primera parte:
4.2 Elija un ángulo de disparo (0°- 90°) y una tensión de muelle (1, 2 o
3) con el cual se pueden alcanzar tres velocidades diferentes.
4.3 Antes de colocar el tablero perpendicularmente al área de trabajo
(mesa), debe hacer un lanzamiento de la esfera para obtener el
alcance máximo (R).

90
4.4 Coloque sobre el tablero la hoja de papel blanco y sobre esta la hoja
de papel carbón.
4.5 Coloque el tablero perpendicularmente al área de trabajo (mesa) justo
a las distancias (R/6), (2R/6), (3R/6), (4R/6) y (5R/6), y proceda
hacer un lanzamiento para cada distancia.
4.6 En todos los casos el impacto de la esfera dejara una marca sobre el
papel blanco.
4.7 Se tomara como dato la altura de la mesa de trabajo al punto de
impacto ( my ) y la distancia del cañón de disparo a la pizarra de pared
blanca ( mx ).
4.8 Complete la Tabla N° 1.
4.9 Elija otras condiciones iniciales (tres como mínimo, según lo indique el
profesor), repitiendo los pasos (4.2 al 4.7) y proceda anotar los datos
en tablas similares a la Nº 1.
4.10 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (6),
despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 1, según la
pregunta 5.4 del cuestionario.
Figura Nº 3: Sistema experimental de lanzamiento de un proyectil describiendo el
movimiento parabólico

91
Tabla N° 1: Datos del Movimiento Parabólico
Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) = ; Angulo de disparoϕ = º
Nº
Distancia de lanzamiento
mx (m)
Altura de la pared
my (m)
Velocidad
0v (m/s)
1 R = 0 0 ¿?
2 R/6 =
3 2R/6 =
4 3R/6 =
5 4R/6 =
6 5R/6 =
7 R =
Segunda parte:
4.11 Retire la pizarra de la mesa de trabajo.
4.12 Manteniendo fijo la tensión del muelle (1, 2 o 3) para un ángulo de
disparo de 10º proceda hacer un lanzamiento de la esfera y mida el
alcance máximo (R).
4.13 Repita el procedimiento anterior variando el ángulo de 10º en 10º
hasta llegar a 80º, mida sus respectivos alcances ( R ) y registre sus
datos en la Tabla Nº 2.
4.14 Desinstale el sistema experimental y devuélvalo conforme y tal se le
entrego.
4.15 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (8),
despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 2.

92
Tabla Nº 2: Datos del Movimiento Parabólico para ángulos diferentes
Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) =
Nº Angulo de disparoϕ
Alcance Máximo
R (m)
Velocidad
0v (m/s)
1 10º
2 20º
3 30º
4 40º
5 50º
6 60º
7 70º
8 80º
CONSIDERACIONES: En el montaje experimental en la Figura Nº 3. Si la bola
aterriza directamente sobre la placa de trabajo, se debe tomar en cuenta
una altura de disparo de 0y =2.5cm. Durante el lanzamiento contra una
pared vertical (tablero blanco) se debe restar de la distancia horizontal
“punto de dispara hasta la pared” el radio de la bola (1.25 cm) para, de esta
manera, obtener el valor de medida de distancia mx . El valor de medida de
altura my se obtiene de la distancia que va del “punto de impacto en la
pared hasta la placa de la mesa” menos 3.75 cm.

93
Figura Nº 4: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación Φ para
diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0=5.3 m/s; Curva 2: v0=4.1 m/s; Curva
3: v0=3.1 m/s
5. CUESTIONARIO
5.1 Utilice los datos de la Tabla Nº 1, para graficar en papel milimetrado Y
vs X.
5.2 Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola a partir de los datos
de la tabla Nº 1 use el ajuste por mínimos cuadrados para ello.
5.3 Compare el coeficiente de x al cuadrado de la ecuación de la
trayectoria calculada en la pregunta anterior con el coeficiente de x al
cuadrado de la ecuación (6) y determine 0v .
5.4 En Lima el valor de la gravedad tiene un valor igual a 9,78 m/s2.
Determine la velocidad inicial 0v con la cual la bola pasa por el origen
de las coordenadas use la ecuación (6) para ello y los datos de la
tabla Nº 1.
5.5 ¿En qué punto la bola chocará contra el suelo? ¿En qué tiempo?
5.6 ¿Qué velocidad lleva la bola un instante antes de chocar contra el
suelo? Exprese su resultado en forma vectorial.
R (m)
ϕ ( º )

94
5.7 Utilice los datos de la Tabla Nº 2, para graficar en papel milimetrado R
vs ϕ .
5.8 Encuentre la ecuación que gobierna la grafica anterior, use el
software Logger Pro para ello a partir de los datos de la tabla Nº 2 .
5.9 ¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su
experimento?
6. Observaciones.-
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7. Conclusiones.-
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8. Sugerencias.-
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

95
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
9.1 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.
Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F.,
México, Cap. 3, pág. 61 – 76
9.2 Física, Raymond A. Serway, McGraw Hill, Cuarta edición, 1997, Cap.
4, pág. 74 – 85
" Las ciencias aplicadas no existen, sólo las aplicaciones de la ciencia."
LOUIS PASTEUR (1822-1895) Químico y
microbiólogo Francés
Figura Nº 5: Exposición de destellos múltiples de un jugador de tenis ejecutando un golpe
de derecha. Observe que la bola sigue una trayectoria parabólica característica de un
proyectil. Estas fotografías pueden utilizarse para estudiar la calidad del equipo deportivo y
el rendimiento de un atleta.

97
MECÁNICA
MMoovviimmiieennttoo CCiirrccuullaarr UUnniiffoorrmmee Práctica de Laboratorio Nº 07
Trayectoria, Móvil, tiempo, velocidad tangencial, velocidad angular, aceleración
angular, Fuerza Centrípeta, Movimiento rotacional de una masa puntual,
Mediciones, graficas
1. OBJETIVOS
1.1 Reconocer el movimiento circular uniforme.
1.2 Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una
trayectoria circular.
1.3 Determinar el periodo de un cuerpo en movimiento circular
1.4 Calcular el módulo de la velocidad angular de un cuerpo con
trayectoria circular.
- Un (01) modulo de movimiento circular
- Un (01) Juego de masas (10, 20, 50, 100 y 150 g)
- Un (01) porta pesa
- Una (01) Balanza de tres brazos marca Ohaus
- Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc.
- Una (01) regla de metal de 100 cm.
El movimiento circular es común en la naturaleza y en nuestra experiencia
diaria. La Tierra gira en una órbita casi circular alrededor del Sol; la Luna
alrededor de la Tierra. Las ruedas giran en círculos, los coches describen
arcos circulares cada vez que doblan una esquina, etc.
El movimiento Circular se da cuando el móvil describe una trayectoria
circunferencial.

98
Figura Nº 1: Movimiento Circular uniforme
En la figura Nº 1 se observa que el ángulo θ subtiende un arco s recorrido
por el móvil en un tiempo t, entonces la velocidad lineal V esta dada por:
t
s
V = (1)
y de la relación trigonometrica rs .θ= reemplazando en la ecuación (1),
tenemos:
t
r
V
.θ
= (2)
Entonces a la relación:
t
θ
ω = (3)
se le define como la velocidad angular ( ω ) y esta dada por la relación entre
el desplazamiento angular ( θ ) ocurrido en un tiempo ( t ) dado.
La relación entre la velocidad lineal tangencial y la velocidad angular es:
rV .ω= (4)
de la relación (3), si el ángulo barrido es 2 π entonces el tiempo empleado
para esa revolución es el periodo T y la ecuación (3) queda :
f
T
..2
.2
π
π
ω == (5)
donde f es la frecuencia ( s-1 o Hz).
θ
V
V
V V
r
s t
ω0

99
En el lenguaje común diríamos que si el módulo de la velocidad lineal es
constante, no existe aceleración, pero como la velocidad no sólo posee
módulo, sino dirección, en este caso cuando un cuerpo describe una
trayectoria circunferencial, la dirección está variando constantemente, y
debido a esto la partícula también sufre aceleración.
Newton fue uno de los primeros en reconocer la importancia del movimiento
circular. El demostró que cuando una partícula se mueve con velocidad
constante “v” según un círculo de radio “r”, posee una aceleración dirigida
hacia el centro del círculo. Esta aceleración se llama Aceleración Centrípeta,
es decir:
r
v2
=c
a (6)
Como esta aceleración actúa sobre la masa “M” de la partícula, tendremos
LA FUERZA CENTRIPETA
cc MaF = (7)
Reemplazando las ecuaciones (4) en (6) y luego en (7), tenemos:
rM
Fc
.
=ω (8)
Lo cual implica, si conociendo la fuerza centrípeta la masa y el radio de giro
podemos conocer la velocidad angular.
4. PROCEDIMIENTO:
1. Disponga el sistema experimental como se muestra en la Figura Nº 2:
2. Mediante la balanza mida la masa M, anótelo.
M = ________
3. Usando la varilla delgada con su base como indicador del dispositivo
mecánico, elija un radio r, mida este y anote su valor. Ajuste los
tornillos de sujeción.
r = ________
Este experimento lo realizaremos en dos partes:
4. Determinación de la magnitud de la Velocidad angular efectuando
mediciones de tiempo: y revoluciones completas

100
1. Desajuste el tornillo del eje de soporte y deslice la varilla de soporte
de la masa M, hasta que el indicador coincida con el extremo inferior
de la masa que termina en punta. Ajuste el tornillo.
2. En la misma varilla de soporte de la masa M, existe un contrapeso,
deslícelo hasta que se ubique a la misma distancia de la masa,
respecto al eje de soporte, con la finalidad de lograr equilibrio al
momento de rotación. Ajuste el tornillo del contrapeso.
3. El eje del soporte también posee un resorte, el cual debe conectarse a
la masa M, conecte el resorte a la masa.
4. Usando el eje de soporte, haga girar la masa M hasta lograr que
coincidan el indicador y el extremo inferior de la masa, manténgalo
girando mediante impulsos suaves al eje, para lograr el movimiento
circular con el radio “r”, entonces habremos logrado
aproximadamente un movimiento circular uniforme en un plano
horizontal, tal como se muestra en la figura
Figura Nº 2: Modulo de Movimiento Circular
5. Usando el cronómetro, mida el tiempo que demora la masa M es
efectuar 5, 10 y 15 revoluciones, llene las tabla Nº 1, y determine el
valor de la frecuencia, que se evalúa mediante:
t
N
totaltiempo
esrevoluciondenº
f == (9)

101
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento circular uniforme
(MCU)
Número
Revoluc
(Rev)
Tiempos
(s)
Promedio
Tiempo
(s)
Periodo
(s)
Frecuencia
(s-1)
Velocidad
angular
(Hz)
θ 1t 2t 3t t T f ω
5
10
15
Promedios:
6. Usando la ecuación (5) calcule la velocidad angular, anote sus
resultados en la Tabla Nº 1.
Figura Nº 3: Sistema experimental para
determinar la Fuerza Centrípeta
T
Fr
F
Mg
mg

102
5. Cuantificando la Fuerza Centrípeta en condiciones ESTÁTICAS:
1. Observe la figura Nº 3, mediante una cuerda atada a la masa M,
y que pase por la polea. En el extremo libre coloque el porta
pesas, ahora agregue masas en el porta, de tal manera que
estire al resorte hasta que el extremo inferior de la masa M
coincida con el indicador como si “rotara”
2. Trazando el Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L) que se Observa
en la figura Nº 4, en el “estado de equilibrio”, se cumple que:
TgTTF +++= M21r (10)
En una breve demostración (Usando método de la componentes
vectoriales) nos lleva a calcular que
T = Fr
Donde T es la fuerza ejercida por la cuerda ligada a la porta
pesas.
Figura Nº 4: Diagrama de Cuerpo Libre
Teniendo en cuenta que la fuerza del resorte Fr (estado
estático) es la Fuerza centrípeta FC (estado dinámico) del
procedimiento 4, siendo esta la fuerza que produce el
movimiento circular. Basándonos en este criterio, se tendrá
entonces que:
T = Fc = m.g (11)
FrT
T1
T2
Mg

103
3. Usando la ecuación (8) calcule la velocidad angular, anote sus
resultados en la Tabla Nº 2. Observe que ω = ωref en esta
ecuación para la tabla Nº 2.
Tabla N° 2: Calculo de la Fuerza Centrípeta y Comparación de resultados
Ensayos
r
(cm)
Δr
(cm)
M
(g)
ΔM
(g)
m
(g)
Δm
(g)
FC
(N)
ΔFC
(N)
ωref
(s-1)
Δωref
(s-1)
Erel
(%)
1
2
3
Donde: r = radio de giro;
Δr = error de radio;
f =frecuencia;
Δf = error de Frecuencia
FC = Fuerza centrípeta;
ΔFC = error de la fuerza centrípeta
m = masa en el porta pesa,
Fc = mg (con g = 9,8 m/s2 )
Erel (%) = error relativo porcentual calculado con
respecto a la velocidad angular (ω)
6 Calcule también el error relativo porcentual entre la velocidad
angular calculado en el procedimiento 4.5 (experimental) y la
velocidad angular calculado en el procedimiento 5.3 (de
referencia), registre sus datos en la tabla Nº 2
(%).100(%)Erel
ref
ref
ω
ωω −
= (12)
7 Repita los procedimientos del 3 al 6 para otros radios de giros,
en total tres ensayos. Registre sus datos en la tabla Nº 2

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