Maquinaria Agricola utilizada en la produccion de Piña.pdf
E&M 3.02 CORRIENTE Y RESISTENCIA ELÉCTRICA.pdf
1. 3.3 FUERZA ELECTROMOTRIZ
Fuente de fuerza electromotriz
Una fuente de fuerza electromotriz, comúnmente referida como 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑒𝑚, es un
dispositivo o equipo que sirve para generar y mantener un flujo de corriente eléctrica
cuando se conecta a un circuito eléctrico. Específicamente, una fuente 𝑓𝑒𝑚 provee la
diferencia de potencial o voltaje que genera el campo eléctrico que ejercerá la fuerza
eléctrica para mover, en forma continua, los portadores de carga a través de todos los
componentes del circuito a ser alimentado. Simbológicamente, la fuente 𝑓𝑒𝑚 se representa
en forma tal que, sean identificables las posiciones eléctricas del mayor y menor potenciales
eléctricos. En la figura 3.15 se considera que la corriente 𝐼 que alimenta al circuito sale de
la fuente con polaridad (+) cuyo potencial es 𝑉𝐵. La misma cantidad de corriente que sale
del circuito entra a la fuente con polaridad (-) de menor potencial 𝑉𝐴. Es de considerar
también que, el flujo de corriente en circuito cerrado se debe ser tal que, la misma cantidad
de corriente dentro de la fuente es, solo que, en sentido opuesto, es decir, fluye de menor a
mayor potencial.
. Algunos ejemplos de fuentes 𝑓𝑒𝑚 son los acumuladores para autos, las baterías
convencionales de pilas secas o de pilas electroquímicas como en los acumuladores para
autos electroquímicas, las celdas fotovoltaicas o solares, etc. Todos estos dispositivos
funcionan bajo las leyes principios del electromagnetismo y se diseñan y construyen de tal
forma que establezcan la diferencia de potencial o voltaje fijo entre sus posiciones de
conexión o contacto, comúnmente llamados electrodos.
Figura 3.15 Fuente de fuerza electromotriz
alimentando un circuito o sistema eléctrico.
Una 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑒𝑚 puede consistir de un conjunto de pilas voltaicas conectadas en serie
denominada. A esta fuente comúnmente se le conoce como 𝒃𝒂𝒕𝒆𝒓í𝒂
2. Batería básica
Una batería básica de una sola pila se constituye de dos barras o láminas de diferente metal
sumergidas en una solución acida o electrolítica. A dichas barras o laminas metálicas se les
denomina electrodos. Ambos metales se disuelven lentamente (uno más que el otro) de tal
forma que sus fragmentos entran a la solución como iones positivos haciendo que ésta
adquiera un potencial positivo. Ambas barras o láminas al disolverse, retienen electrones y
quedan cargadas negativamente; una más negativa que la otra. Consecuentemente, ambas
láminas adquieren potenciales negativos diferentes de forma tal que, aquella con potencial
menos negativo (𝑉𝐵) se le atribuye el signo positivo (+) y aquella con potencial más negativo
(𝑉𝐴) se le atribuye el signo negativo (−), ver figura 3.16.
Figura 3.16 Funcionamiento de una batería conectada a un circuito.
Reafirmando, a la diferencia de potencial o voltaje entre los polos de una batería, o de
cualquier fuente de corriente continua se denomina “fuerza electromotriz”, la cual, es
común denotar por la sigla ℰ. Rigurosamente, ℰ es el voltaje que genera y mantiene el
campo eléctrico 𝑬 que ejerce la fuerza motriz sobre los portadores de conducción a través
de todos los componentes del circuito conectado a la fuente. Esta es la razón por la cual se
dice que “la función de la fuerza electromotriz ℰ es generar y mantener el campo eléctrico
la fuerza motriz en los portadores de caga a través de todo el circuito”. Es así que, al
dispositivo, equipo o sistema que satisfaga esta función, se denomina “fuente de fuerza
electromotriz”. En general, la diferencia de potencial o voltaje de una fuente como la batería
mostrada en la figura 3.16 es
3. ℰ = 𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝑉+ − 𝑉
− 3.38
Donde,
(𝑉𝐵 = 𝑉+) > (𝑉𝐴 = 𝑉
−).
Resulta obvio que los iones positivos de la solución electrolítica propicien un potencial
mayor que ambos electrodos laminares, por lo tanto, dentro de la batería las diferencias de
potencial entre la solución y cada electrodo son
𝑉𝑠𝑜𝑙 − 𝑉+ = ∆𝑉+
𝑉𝑠𝑜𝑙 − 𝑉
− = ∆𝑉
−
Entonces, la diferencia de estas diferencias de potencial es
∆𝑉+ − ∆𝑉
− = (𝑉𝑠𝑜𝑙 − 𝑉+) − (𝑉𝑠𝑜𝑙 − 𝑉
−) = −(𝑉+ − 𝑉
−) = −ℰ
Este voltaje negativo indica que, adentro de la batería los portadores de conducción al ser
positivas, dan lugar al efecto opuesto al que producen los electrones afuera de la batería.
Se puede probar que, al sumar el voltaje dentro de la batería con el voltaje que alimenta al
circuito resulta igual a cero. Esto, tal y como se trata en el apartado 3.5, es consecuencia
del principio de conservación de la energía potencial en circuitos conocida como Ley de
Mallas o Segunda Ley de Kirchhoff.
Como ya se ha tratado, así como ocurre en la representación simbólica de elementos
variables como ocurre con los capacitores y resistores variables, una fuente 𝑓𝑒𝑚 variable
se representa cruzando su símbolo con un flecha, esto es
4. 3.4 ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA
Energía y potencia de un resistor. Ley de Joule
En la figura 3.17, el extremo izquierdo del resistor (A) está a mayor potencial que su extremo
derecho (B), por lo tanto, la corriente 𝐼 fluye del extremo A al B del resistor. La diferencia
de potencial o voltaje en el resistor es
∆𝑉 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∆𝑉
Donde, el signo menos confirma que la carga fluye a través del resistor conforme disminuye
el voltaje , en este caso del potencial 𝑉𝐴 al potencial 𝑉𝐵. Obsérvese la recta decayendo
linealmente del extremo A al extremo B del resistor (ignorar el voltaje V’B-V’A en dicha
figura)
V’A V’B I´ →
Figura 3.17 El voltaje en un resistor decae en el sentido de la corriente eléctrica.
La fuente con líneas a trazos implicaría un voltaje en ascenso en sentido opuesto
a la corriente.
Como el extremo izquierdo del resistor está a al potencial 𝑉𝐴 y su extremo derecho está la
potencial 𝑉𝐵, es de esperar que, el cambio de energía potencial que experimenta una carga
∆𝑄 al pasar del extremo 𝐴 al extremo 𝐵 del resistor es
𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = ∆𝑄𝑉𝐵 − ∆𝑄𝑉𝐴 = ∆𝑄(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
5. Como (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴) = −∆𝑉, el cambio de energía potencial que experimenta la carga ∆𝑄 al
atravesar el resistor es
∆𝑈 = −∆𝑄∆𝑉 3.39
Donde, el signo negativo reafirma que la carga ∆𝑄 pierde energía potencial cuando fluye
de mayor a menor potencial (de 𝑉𝐴 𝑎 𝑉𝐵). De acuerdo al Principio Conservación de la
Energía, dicha carga pierde energía potencial mientras gana energía cinética conforme se
mueve a través del resistor. Esta ganancia de energía cinética tiene que ver con la energía
térmica interna, debido a las colisiones de las cargas de conducción con la red cristalina del
material. En este mismo sentido, siendo ∆𝑄 la carga que fluye a través del resistor en el
intervalo de tiempo ∆𝑡, entonces, la 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 que se consume como calor es
𝑃
̅ = −
∆𝑈
∆𝑡
= −
−∆𝑄∆𝑉
∆𝑡
= ∆𝑉
∆𝑄
∆𝑡
Considerando que ∆𝑉 = 𝑉 es constante, entonces
𝑃
̅ = 𝑉
∆𝑄
∆𝑡
3.40
Así, la “potencia instantánea” es
𝑃 = lim
∆𝑡→0
(𝑉
∆𝑄
∆𝑡
) = 𝑉
𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑃 = 𝑉𝐼 3.41
Es común referirse a la 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. Sabiendo
que 𝑉 = 𝑅𝐼, 𝐼 =
𝑉
𝑅
, entonces, la potencia del resistor también se expresa como
𝑃 = 𝑅𝐼2
= 𝑉2
/𝑅 3.42
Una forma optativa de contrarrestar pérdidas de energía en el resistor, podría ser
conectando al resistor 𝑅 una fuente como se muestra en líneas a trazos en la figura 3.17.
El voltaje aplicado sería V’B - V’A generando una corriente I’ opuesta a la corriente I que
genera el voltaje VB-VA. Observar que el flujo total de corriente en 𝑅 se podría reducir o
anularse si es necesario.
6. En electromagnetismo, las ecuaciones 3.41 y 3.42 cumplen con la “𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒”, debido
a que la pérdida de energía en el resistor se debe a que, durante la conducción, su
temperatura aumenta y se disipa en su entorno. Este efecto también se conoce como
𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 óℎ𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒.
Energía y potencia de una Fuente 𝒇𝒆𝒎
Supóngase un circuito constituido por una fuente 𝑓𝑒𝑚 conectada a una resistencia 𝑅.
Normalmente, toda fuente 𝑓𝑒𝑚 durante su funcionamiento útil presenta cierto efecto
resistivo al paso de la corriente. Dicho efecto se representa por una pequeña resistencia 𝑟𝑖
denominada resistencia interna de la fuente. El análisis experimental demuestra que debe
haber cierta disminución en el voltaje real de la fuente. En el circuito de la figura 3.18a, la
corriente circula en sentido tal que emerge del electrodo positivo de la fuente, en este caso
contrario a las manecillas del reloj, como indica la flecha.
Figura 3.18 a) Circuito fuente 𝑓𝑒𝑚-resistencia de carga 𝑅,
b) representación de los cambios de voltaje del circuito.
En la gráfica 3.18b, se muestra el comportamiento del voltaje a lo largo del circuito cerrado
y, su equivalentemente en forma extendida, iniciando en el punto “a” y terminando en ese
mismo punto del circuito. Partiendo de este punto, el flujo de carga cruza la fuente de
menor a mayor potencial y en seguida cruza la resistencia interna de mayor a menor
potencial. Como el voltaje de la fuente ℰ va en ascenso y, el voltaje en la resistencia
interna es −𝑟𝑖𝐼 va en descenso, entonces, el voltaje entre los puntos a y b del circuito es
𝑉+ − 𝑉
− = ℰ − 𝑟𝑖𝐼 3.43
Por consiguiente, el voltaje real que la fuente suministra al resistor 𝑅 es
7. 𝑉+ − 𝑉
− = 𝑉𝑅 = 𝑅𝐼 = ℰ − 𝑟𝑖𝐼 3.44
Con esto, el voltaje real de la fuente 𝑓𝑒𝑚 es
ℰ = 𝐼(𝑅 + 𝑟𝑖) 3.45a
Y, la corriente real que circula a través de todo el circuito es
𝐼 =
ℰ
𝑅+𝑟𝑖
3.45b
Multiplicando por 𝐼 a ecuación 3.45a, la potencia que la fuente entrega al circuito es
𝑃ℰ = ℰ𝐼 = 𝐼2(𝑅 + 𝑟𝑖) = 𝐼2
𝑅 + 𝐼2
𝑟𝑖 = 𝑃𝑅 + 𝑃
𝑟 3.46
Se infiere que, la potencia de salida de la fuente es igual a potencia que se disipa como calor
en el resistor, esto es
𝑃𝑆𝑎𝑙 = 𝑃𝑅 = 𝑅𝐼2
3.46a
Y, la potencia que se consume en la resistencia interna 𝑟𝑖 de la fuente es
𝑃
𝑟 = 𝑟𝑖𝐼2
3.46b
Es por esto que, durante su uso, cualquier batería o fuente 𝑓𝑒𝑚 también experimente un
calentamiento.
Ejercicio 3.8
Se dispone de una batería de 24 𝑉 y resistencia interna 𝑟 = 0.05 𝛺. Si sus terminales
alimentan a una carga de resistencia 3.95 𝛺. Determinar (a) la corriente del circuito y el
voltaje entre las terminales de la batería, (b) las potencias entregadas al resistor y a la
resistencia interna, así como la potencia de salida de la batería. (c) Sí al final de su vida útil,
se considera que la resistencia interna de la batería aumente a 2.45 Ω, ¿en qué porcentaje
reduce la capacidad de la batería para entregar potencia a la resistencia de carga?
Solución:
a) ℰ = 24 𝑉, 𝑟 = 0.05 𝛺, 𝑅 = 3.95 𝛺, ver figura 3.8.
𝐼 =
ℰ
𝑅+𝑟
=
24
3.95+0.05
= 6 𝐴
8. 𝑉 = ℰ − 𝑟𝐼 = 24 − 0.05(6) = 23.7 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑉 = 𝑅𝐼 = (3.95)(6) = 23.7 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
b) 𝑃𝑅 = 𝐼2
𝑅 = (36)(3.95) = 142.2 𝑊
𝑃𝑟 = 𝐼2
𝑟 = (36)(0.05) = 1.8 𝑊
𝑃𝑆𝑎𝑙 = 𝑃𝑅 = 𝑉𝐼 = (ℰ − 𝐼𝑟)𝐼 = ℰ𝐼 − 𝑟𝐼2
= 142.2 𝑊
O bien, como 𝑃ℰ = 𝐼ℰ = 𝑃𝑅 + 𝑃𝑟, entonces
𝑃𝑅 = 𝑃ℰ − 𝑃𝑟 = 144 − 1.8 = 142.8 𝑊
c) ℰ = 24 𝑉, 𝑟 = 2.45 𝛺, 𝑅 = 3.95 𝛺
𝐼 =
ℰ
𝑅+𝑟
=
24
3.95+2.45
= 3.75 𝐴
𝑉 = 𝑅𝐼 = 14.8125 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑃ℰ = (3.75)(24) = 90 𝑊 → 100%
𝑃𝑅 = 𝐼2
𝑅 = (3.752)(3.95) = 55.547 𝑊 → 61.72 % 𝑑𝑒 𝑃ℰ
𝑃𝑟 = 𝐼2
𝑟 = (3.752
)(2.45) = 34.453 𝑊 → 38.28 % 𝑑𝑒 𝑃ℰ
Esto es, el 61.72 % de la potencia de la batería es entregado a la resistencia de carga 𝑅.
Significa que, el aumento de la resistencia interna por desgate de la batería, su capacidad
para entregar potencia a la resistencia 𝑅 reduce en un 38.28 %. Para un porcentaje mayor
habrá que valorar la sustitución de la batería.
9. 3.5 LEYES DE KIRCHHOFF, CIRCUITOS DE C.D.
El análisis y diseño circuitos eléctricos requiere antes que nada del conocimiento de las
propiedades y principios físicos que intervienen en todos los elementos que lo constituyen.
Para que en cada elemento de un circuito fluya la corriente deseada se requiere que el
voltaje aplicado al elemento sea el apropiado. Fundamentalmente, son dos los principios
que intervienen para dar solución a tal requerimiento. Tales principios se conocen como
Leyes de Kirchhoff, así llamadas en honor a su autor; el Físico alemán Gustav Kirchhoff
(1824-1887). Kirchhoff enfocó sus Leyes a los conceptos fundamentales de circuitos
eléctricos denominados 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠.
Ley de Nodos. Primera Ley de Kirchhoff
Nodo es un punto en el circuito del cual, se derivan más de dos corrientes, ver figura 3.19.
La ley de Nodos se basa en el principio de conservación de la carga y por el hecho de que,
en cualquier nodo resulta imposible almacenar carga eléctrica. Es decir, el flujo de corriente
que entra a un nodo tiene que salir de él, en la misma cantidad.
Figura 3.19 Nodo de un circuito
Es por esto que, la Ley de Nodos establece que:
“La suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de corrientes que
salen de él”, esto es
∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡 = ∑ 𝐼𝑠𝑎𝑙 3.47a
∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡 − ∑ 𝐼𝑠𝑎𝑙 = 0 3.47b
Ley de Mallas. Segunda Ley de Kirchhoff
Una malla es la parte de un circuito cuyos componentes se conectan a lo largo de una
trayectoria cerrada. Para ilustrar, la figura 3.20 muestra un circuito con dos nodos y tres
mallas.
10. Figura 3.20 circuito de tres mallas y dos nodos.
En este caso, los nodos y mallas en el circuito son:
Nodos: puntos E y B
Mallas: (1) trayectoria ABEFA
(2) trayectoria DCBED
(3) trayectoria ABCDEFA o, ACDFA
La 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 se sustenta en el principio de conservación de la energía potencial
eléctrica en virtud de que, cuando una carga 𝑞 fluye a lo largo de cualquier malla de un
circuito, pierde energía en unos componentes en la misma cantidad que la gana en el resto
de componentes que la constituyen. El principio de conservación de la energía establece
que, la suma de cambios de energía potencial de una carga 𝑞 fluyendo en un circuito
cerrado (malla) es igual a cero. No obstante, en el análisis y diseño de circuitos, convine
mejor tratar con diferencias de potencial o voltaje que con diferencias de energía potencial.
Esto se sustenta en la relación conceptual que existe entre la energía potencial y el potencial
eléctrico. Esto es,
∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 => ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
=
𝑞∆𝑉
𝑞
=
𝑞𝑉
𝑞
= 𝑉
La Ley de Mallas establece que:
“la suma de cambios de voltajes a través de todos los componentes de cualquier
malla de un circuito cerrado es igual a cero”, esto es
∑ 𝑉𝑖 = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉
𝑛 = 0 3.48
Donde 𝑉𝑖 representa el cambio de potencial o voltaje a través de cada componente en el
recorrido analítico de la malla.
11. Las siguientes consideraciones permiten determinar correctamente el signo de la
diferencia de potencial o voltaje en elementos básicos de circuitos:
Figura 3.21a. Si un resistor 𝑅 se analiza (de 𝐴 a 𝐵) en el sentido de la corriente (de
mayor a menor potencial) su diferencia de potencial o voltaje disminuye en un valor
– 𝑅𝐼. Por el contrario, si se analiza (de 𝐴 a 𝐵) en sentido opuesto a la corriente (de
menor a mayor potencial) su cambio de voltaje aumenta en un valor +𝑅𝐼.
Figura 3.21a Cambio de voltaje en un resistor
Figura 3.21b. Si un capacitor en proceso de carga (𝐼 ≠ 0) o completamente cargado
(𝐼 = 0), se analiza de 𝐴 a 𝐵 en sentido de la polaridad (+) 𝑎 (−), su cambio de
voltaje es 𝑉𝐶 = −
𝑄
𝐶
y, si se analiza en sentido de la polaridad (– ) 𝑎 (+), su cambio
de voltaje 𝑉𝐶 = +
𝑄
𝐶
.
Figura 3.21b Cambios de voltaje en un capacitor
Figura 3.21c. Si una fuente 𝑓𝑒𝑚 se analiza de 𝐴 a 𝐵 en sentido de la polaridad
(– ) 𝑎 (+) el voltaje es 𝑉ℰ = ℰ − 𝑟𝐼 y, si se analiza en sentido de la polaridad
(+) 𝑎 (−), el voltaje es 𝑉ℰ = −ℰ − 𝑟𝐼 = −(ℰ + 𝑟𝐼), siendo 𝑟 la resistencia interna
de la fuente.
Figura 3.21c Cambio de voltaje en una fuente 𝑓𝑒𝑚
Hay circunstancias en que, la resistencia interna es tan pequeña que suele despreciarse. En
este caso 𝑉
𝑟 = 𝑟𝐼 = 0 y, entonces, 𝑉ℰ = ℰ.
12. Las siguientes consideraciones permiten resolver circuitos mediante las Leyes de Kirchhoff
1.- Asignar los puntos en todo el circuito que permitan identificar los nodos y trayectorias
de análisis en cada una de sus mallas.
2.- Asignar sentido a las corrientes en cada rama del circuito considerando que, éstas fluyen
de mayor a menor potencial y, que una rama siempre va de nodo a nodo.
3.- Asignar las trayectorias de las mallas a analizar, usando los puntos y trayectorias del
punto 1.
4.-Establecer el sistema de ecuaciones a resolver de acuerdo a las Leyes de Kirchhoff.
5.-Sí al resolver, alguna corriente resulta negativa, se debe reasignar el sentido opuesto de
dicha corriente y resolver nuevamente.
Ejercicio 3.9
Hallar todas las corrientes que circulan por el circuito mostrado en la siguiente
figura. Suponer los siguientes valores de sus componentes: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅4 =
100 𝛺, ℰ1 = 6 𝑉, ℰ2 = 12 𝑉.
Solución
Asignando los puntos a, b, c, d y e se identifican nodos y mallas. Las trayectorias de análisis
de recorrido y sentidos de las corrientes se proponen como se muestra en la figura 3.21.
Figura 3.21 Circuito eléctrico ejercicio 3.9
Nodo c: 𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2 (1)
Malla 1: Trayectoria. abca ℰ1 − 𝑅1𝐼1 − 𝑅3𝐼3 = 0
6 − 100𝐼1 − 100𝐼3 = 0 (2)
13. Malla 2: Trayectoria acdea 𝑅3𝐼3 + 𝑅2𝐼2 − ℰ2 + 𝑅4𝐼2 = 0
100𝐼3 + 200𝐼2 − 12 = 0 (3)
Sustituyendo (1) en (2) 6 − 100𝐼1 − 100𝐼1 − 100𝐼2 = 0
6 − 200𝐼1 − 100𝐼2 = 0 (4)
Sustituyendo (1) en (3) 100𝐼1 + 100𝐼2 + 200𝐼2 − 12 = 0
100𝐼1 + 300𝐼2 − 12 = 0 (5)
Multiplicando la ecuación (5) por 2 y sumando con la ecuación (4)
200𝐼1 + 600𝐼2 − 24 = 0
−200𝐼1 − 100𝐼2 + 06 = 0
500𝐼2 − 18 = 0
𝐼2 = 0.036 𝐴 (6)
Sustituyendo (6) en (4) 𝐼1 = 0.012 𝐴 (7)
Sustituyendo (6) y (7) en (3) 𝐼3 = 0.048 𝐴 (8)
Se recomienda comprobar los valores calculados sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones (1) a (5).
3.6 CIRCUITO 𝑹𝑪
En la figura 3.22 se muestra un circuito serie simple constituido de un resistor 𝑅, un
capacitor 𝐶, un Interruptor s y una fuente 𝑓𝑒𝑚 de voltaje ℰ de resistencia interna
despreciable. Al colocar el interruptor 𝑠 en “a” (𝑡 = 0), la corriente 𝐼 empieza a fluir y el
capacitor a cargarse. Una vez que el capacitor adquiere sus cargas ±𝑄, entre sus placas se
establece el voltaje máximo 𝑉𝐶 =
𝑄
𝐶
y la corriente deja de fluir por todo el circuito, lo cual,
ocurre cuando 𝑡 = ∞. Ahora, al pasar el interruptor “s” a la posición “b” nuevamente
empieza a fluir la corriente y el capacitor a descargarse hasta que, tanto la corriente como
el voltaje en el capacitor desaparecen.
Figura 3.22 Circuito de carga de un capacitor
14. Corriente de Carga del Circuito 𝑹𝑪
Inicialmente el capacitor debe estar totalmente descargado. Para esto es necesario
mantener el interruptor 𝑠 el tiempo suficiente en la posición b. Cuando el interruptor s se
coloca en la posición a, la fuente 𝑓𝑒𝑚 comienza a suministrar corriente al circuito y, a cargar
al capacitor. Si se toman mediciones en el circuito con un multímetro, es fácil comprobar
que mientras fluye la corriente 𝐼 (disminuyendo gradualmente hasta reducirse a cero), el
capacitor está adquiriendo un voltaje 𝑉
𝑐 (aumentando gradualmente desde cero hasta su
valor máximo). Para demostrar esto, apliquemos la Ley de Mallas mientras se carga el
capacitor, esto es
ℰ − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐶 = 0 3.49a
ℰ − 𝑅𝐼 −
𝑄
𝐶
= 0 3.49b
Considerando que, durante el proceso de carga, del capacitor, las variables son 𝐼 = 𝑓(𝑡),
𝑄 = 𝑓(𝑡) y 𝑉
𝑐 =
𝑄
𝐶
= 𝑓(𝑡) y son constantes 𝑅, 𝐶 y ℰ. Al derivar respecto a 𝑡 y transponer
términos se obtiene
−𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
−
1
𝐶
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
−
𝐼
𝐶
= 0
𝑑𝐼
𝐼
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡 = 0
Integrando desde 𝐼0 a 𝐼 y, desde 0 hasta 𝑡, se obtiene
∫
𝑑𝐼
𝐼
= −
1
𝑅𝐶
∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
𝐼
𝐼0
𝑙𝑛
𝐼
𝐼0
= −
𝑡
𝑅𝐶
=>
𝐼
𝐼 0
= 𝑒−𝑡/𝑅𝐶
Así, la “𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎” en el circuito 𝑅𝐶 es
𝐼(𝑡) = 𝐼0𝑒−𝑡/𝑅𝐶
3.50a
Es fácil comprobar que, la corriente de carga es máxima cuando 𝑡 = 0 y es nula cuando 𝑡 =
∞. Para obtener el valor máximo de la corriente en términos conocidos, se puede recurrir
a la ecuación 3.49b de forma tal que, como en 𝑡 = 0 la carga 𝑄 = 0 entonces
ℰ − 𝑅𝐼 −
𝑄
𝐶
= ℰ − 𝑅𝐼0 −
0
𝐶
= 0
𝐼0 =
1
𝑅
ℰ 3.50b
Es así que, la ecuación 3.50a también se puede expresar como
15. 𝐼(𝑡) =
ℰ
𝑅
𝑒−𝑡/𝑅𝐶
3.50c
Esta ecuación predice el valor de la corriente en el circuito 𝑅𝐶 en cualquier instante. Al
graficar 𝐼 contra 𝑡 resulta una variación como se muestra en la figura 3.23. Observar que en
𝑡 = 0 𝐼 es máxima y es nula cuando 𝑡 = ∞. Por regla general, todo exponente debe ser
adimensional, así que, el producto 𝑅𝐶 del exponencial de la ecuación 3.50c debe ser la
unidad del tiempo, esto es
[𝑅𝐶] = 𝛺 ∙ 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 3.51
Al producto 𝑅𝐶 se le conoce como “constante de tiempo 𝑹𝑪” del circuito. Conforme a la
ecuación 3.50c, si 𝑅𝐶 es muy grande entonces la corriente de carga disminuye con lentitud
pero y si es pequeña la corriente disminuye con mayor rapidez.
Figura 3.23 corriente de carga de un capacitor
En función del tiempo.
La 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑅𝐶 se define cuando el exponente de la base 𝑒 es igual a uno. Esto
es, cuando 𝑡
𝑅𝐶
= 1 (𝑡 = 𝑅𝐶), implica que la corriente disminuye en un factor 𝑒−1
= 0.37 de su
valor máximo 𝐼0 =
ℇ
𝑅
. Es decir, la corriente decae en un factor 0.37 de su valor máximo 𝐼0
cuando 𝑡 = 𝑅𝐶 segundos. En la figura 3.23 se muestra la variación de la corriente en
constantes de tiempo 𝑅𝐶. Observar cómo, en cada intervalo de tiempo 𝑅𝐶, la corriente de
carga reduce en un factor 0.37 del que le precede. En la práctica, la corriente de carga
disminuye exponencialmente y deja de fluir cuando ya han transcurrido infinidad de
constantes de tiempo (𝑡 = ∞).
Carga del Capacitor
16. Mientras la corriente fluye en el circuito, el capacitor se está cargando. Al sustituir 𝐼 por
𝑑𝑄
𝑑𝑡
en la ecuación 3.50c y, despejando 𝑑𝑄 se obtiene
𝑑𝑄 =
ℰ
𝑅
(𝑒−
𝑡
𝑅𝐶)𝑑𝑡
Integrando desde una carga 𝑄0 = 0 en 𝑡 = 0 hasta una carga 𝑄(𝑡)
∫ 𝑑𝑄 =
ℰ
𝑅
∫ (𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 )𝑑𝑡
𝑡
0
𝑄
0
𝑄(𝑡) = 𝐶ℰ(1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 ) 3.52
Esta ecuación predice el valor de la carga del capacitor en cualquier instante, ya sea en
segundos o constantes de tiempo 𝑅𝐶. Al graficar 𝑄 contra 𝑡 resulta una variación en
aumento como se muestra en la figura 3.24a. Observar que, en 𝑡 = 𝑅𝐶 segundos, la carga
que adquiere el capacitor es 𝑄 = 𝐶ℰ(1 − 0.37) = 0.63𝐶ℰ. En este caso, la constante de tiempo
también se define cuando la carga en el capacitor alcanza el 63 % de su valor máximo. Así,
los valores nulo y máximo de la carga son tales que, en 𝑡 = 0 𝑄0 = 𝐶ℰ(1 − 𝑒0) = 0 y en
𝑡 = ∞ y, la carga máxima es 𝑄∞ = 𝐶ℰ(1 − 𝑒−∞) = 𝐶ℰ.
Figura 3.24 Variación temporal RC. Condición de: a) carga, b) voltaje.
17. Voltaje de Carga del Capacitor
El voltaje del capacitor en cualquier instante es 𝑉𝐶 =
𝑄(𝑡)
𝐶
. De la ecuación 3.52, el voltaje en
el capacitor como función del tiempo es
𝑉𝐶(𝑡) = ℰ(1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶) 3.53
Esto es, el voltaje de carga también tiene una variación exponencial en aumento, como
sucede con la carga del capacitor, ver figura 3.24b. Al comparar las expresiones 3.52 y 3.53,
con sus respectivas graficas 3.24a y 3.24b, resulta claro que la carga y el voltaje en el
capacitor tienen el mismo comportamiento con respecto al tiempo. Observar también que,
en 𝑡 = 𝑅𝐶 el voltaje de carga del capacitor alcanza el 63 % de su valor máximo.
Descarga del Capacitor
Después de que el capacitor se ha cargado al máximo con el interruptor s colocado el tiempo
suficiente (figura 3.22) y, a partir de entonces, el interruptor s se coloca en la posición 𝑏 es
de esperar que empiece a fluir a través del circuito la corriente de descarga dada por 𝐼 =
−
𝑑𝑄
𝑑𝑡
desde valor máximo 𝐼0 =
ℰ
𝑅
(en 𝑡 = 0). A partir de ese mismo instante, el capacitor
comienza a descargarse desde su valor máximo 𝑄0 = 𝐶ℰ. También es de esperar que después
de un tiempo 𝑡 = 𝑛𝑅𝐶 = ∞, tanto la corriente en el circuito como la carga en el capacitor
prácticamente desaparecen, lo cual, se demuestra en el siguiente análisis.
Figura 3.25 circuito de descarga del capacitor
Por 2ª Ley de Kirchhoff, en el circuito de la figura 3.22 con el interruptor s en b se tiene
−𝑅𝐼 + 𝑉𝐶 = 0
18. −𝑅(−
𝑑𝑄
𝑑𝑡
) +
𝑄
𝐶
= 0 3.54
Transponiendo términos e integrando se obtiene
∫
𝑑𝑄
𝑄
𝑄
𝑄0
= − ∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑡
0
𝑙𝑛
𝑄
𝑄0
= −
𝑡
𝑅𝐶
𝑄(𝑡) = 𝑄0𝑒−𝑡/𝑅𝐶
3.55a
esto es, durante la descarga del capacitor 𝑄 disminuye exponencialmente desde un valor
máxima 𝑄0 en 𝑡 = 0 y, es cero cuando 𝑡 = ∞. Ahora, sustituyendo 𝑄0 = 𝐶ℰ, se obtiene
𝑄(𝑡) = 𝐶ℰ𝑒−𝑡/𝑅𝐶
3.55b
Al derivar 𝑄 respecto a 𝑡 se obtiene la corriente durante la descarga, esto es
𝐼(𝑡) = −
ℰ
𝑅
𝑒−𝑡/𝑅𝐶
3.56
El signo menos indica que la corriente de descarga es contraria a la corriente de carga. Al
graficar 𝑄 e 𝐼 contra 𝑡, los respectivos comportamientos de ambas magnitudes resultan
como se muestran en las figuras 3.26 y 3.27.
Figura 3.26 Variación de la descarga Figura 3.27 variación de la corriente
En el capacitor del circuito 𝑅𝐶 de descarga en el circuito 𝑅𝐶
19. Energía en el Circuito 𝑹𝑪
Mientras fluye la corriente en el circuito 𝑅𝐶, en un instante 𝑡 dado, la carga en el capacitor
es 𝑞 y su voltaje de carga es 𝑉𝐶 =
𝑞
𝐶
. En seguida, cuando se agrega al capacitor una carga
adicional 𝑑𝑞, su energía potencial se incrementa en la cantidad
𝑑𝑈 = 𝑉𝐶𝑑𝑞 =
𝑞
𝐶
𝑑𝑞
Integrando desde 0 a su valor máximo 𝑄, la energía en el capacitor también varía desde
cero a su valor máximo 𝑈, esto es
∫ 𝑑𝑈
𝑈
0
= ∫
𝑞𝑑𝑞
𝐶
𝑄
0
Es así que, la energía total en el capacitor es
𝑈 =
𝑄2
2𝐶
3.57a
𝑈 =
1
2
𝐶ℰ2
3.57b
Por otra parte, de acuerdo a la ecuación 3.42, la potencia que se disipa en el resistor es
𝑃 = 𝑅𝐼2
=
ℰ2
𝑅
𝑒−2𝑡/𝑅𝐶
Como 𝑃 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
, entonces 𝑑𝑈 = 𝑃𝑑𝑡 y, la energía consumida en forma de calor en el resistor
durante la energización del capacitor es
∫ 𝑑𝑈 = ∫ 𝑃𝑑𝑡
𝑡
0
𝑈𝑅
0
𝑈𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝑡
𝑡
0
=
ℰ2
𝑅
∫ 𝑒−2𝑡/𝑅𝐶
∞
0
𝑑𝑡
𝑈𝑅 =
1
2
𝐶ℰ2
3.58
Combinando las ecuaciones 3.57b y 3.58, la energía que abastece la fuente 𝑓𝑒𝑚 al circuito
𝑅𝐶 es
𝑈 = 𝑈𝐶 + 𝑈𝑅 = 𝐶ℰ2
3.59
20. Se deduce entonces que, la energía que suministra la fuente 𝑓𝑒𝑚 se distribuye por igual en
el resistor 𝑅 (que se consume como calor) y en el capacitor 𝐶 como energía potencial.
Ejercicio 3.10
El circuito de carga mostrado en la figura 3.28, tiene parámetros cuyos valores son
ℰ = 24 𝑉, 𝑅 = 1 𝑀𝛺, 𝐶 = 1 𝜇𝐹. (a) Calcular la constante de tiempo 𝑅𝐶, la carga y la
energía máximas en el capacitor, la energía disipada en el resistor y la energía que abastece
la fuente 𝑓𝑒𝑚. (b) ¿Qué tiempo le lleva al capacitor alcanzar el 99.9% de su carga máxima?
(c) conforme a los incisos a y b resolver para 𝑅= 1 KΩ, 𝐶 = 1 𝜇𝐹, (d) conforme a los mismos
incisos, resolver para 𝑅 = 1𝑀Ω, 𝐶 = 1 𝑛𝐹. Compare valores.
Figura 3.28 circuito 𝑅𝐶, ejercicio 3.10
Solución:
a) 𝑅 = 1𝑀𝛺, 𝐶 = 1𝜇𝐹, ℰ = 24 𝑉
𝑅𝐶 = (1𝑀𝛺)(1𝜇𝐹) = 1 𝑠
𝑄∞ = 𝐶ℰ = (1𝜇𝐹)(24𝑉) = 24 𝜇𝐶
𝑈𝐶 =
1
2
𝐶ℰ2
=
1
2
(10−6
𝐹)(24 𝑉)2
= 2.88𝑥10−4
𝐽
𝑈𝑅 = 𝑈𝐶
𝑈ℰ = 𝐶ℰ2
= 5.76𝑥10−4
𝐽
b) 𝑄 = 0.999𝑄∞ = 𝑄∞ (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶)
𝑒−𝑡/𝑅𝐶
= (1 − 0.999)
𝑡 = −𝑅𝐶𝑙𝑛(0.001) = 6.9078 𝑠
c) 𝑅 = 1𝐾𝛺, 𝐶 = 1𝜇𝐹
𝑅𝐶 = (103
𝛺)(10−6
𝐹) = 1 𝑚𝑠
