1. FUNDAMENTO., --
DE CINEMATIC-'
Capítulo 2I
•
El azar favorece a la mente preparada.
PASTEUR
2.0 INTRODUCCiÓN
En este capítulo se presentarán las definiciones de algunos términos y conceptos funda-
mentales para la síntesis y el análisis de mecanismos. Se presentarán también algunas
herramientas de análisis muy simples pero poderosas que son útiles en la síntesis de me-
canismos.
2.1 GRADOS DE LIBERTAD(GDL)
Un sistema mecánico puede clasificarse de acuerdo con el número de grados de libertad
(GDL) que posee. El GDL de un sistema es igual al número de parámetros independien-
tes (medidas) que se necesitan para definir univocamente su posición en el espacio en
cualquier instante. Observe que el GDL se define con respecto a un marco de referencia
seleccionado. En la figura 2-1 se muestra un lápiz colocado sobre una hoja en un plano
que tiene un sistema de coordenadas xy. Si este lápiz permanece en el plano del papel se
requieren tres parárnetros (GDL) para definir completamente la posición del lápiz en el
papel, dos coordenadas lineales (x, y) para definir la posición de cualquier punto del lápiz
y una coordenada angular (8) para definir el ángulo que forma ese objeto con respecto al
eje x. El mínimo número de medidas necesarias para definir su posición se muestran en
la figura corno x, y y 8. Este sistema del lápiz en un plano tiene entonces tres GDL.
Observe que los parámetros particulares elegidos para definir su posición no son únicos.
Podría utilizarse un conjunto alterno de tres parárnetros. Hay una infinidad de conjuntos
de parámetros posibles, pero en este caso deben ser tres por conjunto, por ejemplo dos
longitudes y un ángulo, para definir la posición del sistema, ya que un cuerpo rígido en
movimiento plano tiene tres GDL.
24

2. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
FIGURA 2-1
Un cuerpo rígido en un plano tiene tres GOL
Considere ahora el lápiz en un mundo tridimensional. Sosténgalo por encima de la
cubierta de su escritorio y muévalo respecto a él. Se necesitarán entonces seis parámetros
para definir sus seis GDL. Un conjunto paramétrico posible que podría usarse es: tres
longitudes (x, y, z) más tres ángulos (9, <>, p). Cualquier cuerpo rígido en el espacio
tridimensional posee seis grados de libertad. Trate de identificar los seis GDL moviendo
su lápiz o pluma con respecto a la cubierta de su escritorio.
En estos ejemplos el lápiz representa un cuerpo rígido o eslabón, que para los
propósitos del análisis cinemático se supondrá que no experimenta ninguna deformación.
Ésta es una hipótesis conveniente que permite definir con mayor facilidad los movimien-
tos totales del cuerpo. Después puede sobreponerse cualquier deformación debida a car-
gas externas o de inercia a los movimientos cinemáticos para obtener una más completa
y exacta imagen del comportamiento del cuerpo. Pero recuerde que se está frente a una
hoja en blanco en la etapa inicial del proceso de diseño. No se pueden determinar defor-
maciones de un cuerpo hasta definir tamaño, forma, propiedades del material y cargas.
Por consiguiente, en esta etapa se supondrá, para fines de síntesi y análisis cinemáticos,
que los cuerpos cinemáticos son rígidos y sin masa.
2.2 TIPOS DE MOVIMIENTO
Para moverse dentro de un marco de referencia un cuerpo rígido libre tendrá, en el caso
general, un movimiento complejo, el cual es una combinación simultánea de rotación y
traslación. En el espacio tridimensional puede haber rotación alrededor de cualquier eje
(un eje oblicuo, o bien, alguno de los tres ejes principales), así como traslación simultá-
nea, que puede descomponerse en componentes a lo largo de tres ejes. En un plano, o
espacio bidimensional, el movimiento complejo se vuelve una combinación de rotación
2

3. 26
•
DISEÑO DE MAQUINARIA CAPíTULO 2
simultánea con respecto a un eje (perpendicular al plano), y también traslación, descom-
puesta en componentes a lo largo de dos ejes en el plano. Para simplificar, la presente
exposición se limitará al caso de sistemas cinemáticos en el plano (2-D). En el movi-
miento en el plano se definirán estos términos de la siguiente manera:
Rotación pura
el cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento con respecto al
marco de referencia "estacionario". Todos los demás puntos del cuerpo describen arcos
respecto a ese centro. Una línea de referencia trazada en el cuerpo, y que pasa por su
centro, cambia únicamente su orientación angular.
Traslación pura
todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias paralelas (curvas o rectas). Una
línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal pero no su orientación
angular.
Movimiento complejo
es una combinación simultánea de rotación y traslación. Cualquier línea de referencia
trazada en el cuerpo cambiará su posición lineal y su orientación angular. Los puntos en
el cuerpo se moverán en trayectorias no paralelas y habrá en todo momento un centro de
rotación, que continuamente cambiará de ubicación.
La traslación y la rotación representan movimientos independientes del cuerpo.
Cada uno puede presentarse sin el otro. Si se define un sistema de coordenadas bidimen-
sional (2-D) como se muestra en la figura 2-1, los términos en x y y representan las
componentes del movimiento de traslación, y el término 8, la componente de rotación.
2.3 ESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMÁTICAS
La exploración de la cinemática de mecanismos se iniciará con una investigación del
tema de diseño de eslabonamientos. Estos sistemas son los componentes básicos de
todos los mecanismos. Se mostrará en los capítulos siguientes que todas las formas co-
munes de mecanismos (levas, engranes, bandas, cadenas) son de hecho variantes de una
clase común de eslabonarnientos, los cuales se componen de eslabones y juntas.
Un eslabón, como se muestra en la figura 2-2, es (hipotéticamente) un cuerpo rígido
que posee por lo menos dos nodos, que son los puntos de unión con otros eslabones.
Eslabón binario el que tiene dos nodos.
Eslabón ternario
Eslabón cnaternario
el que tiene tres nodos.
el que tiene cuatro nodos.
Una junta es una conexión entre dos o más eslabones (en sus nodos), la cual permite
algún movimiento o movimiento potencial, entre los eslabones conectados. Las juntas
(llamadas también pares cinemáticos) se pueden clasificar de varios modos:
1 Por el tipo de contacto entre los elementos: de línea, de punto o de superficie.
2 Por el número de grados de libertad permitidos en la junta.
3 Por el tipo de cierre de la junta, de fuerza o de forma.
4 Por el número de eslabones conectados (orden de la junta).

4. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
Eslabón binario Eslabón temario Eslabón cuatemario
FIGURA 2-2
Eslabones de diferente orden
Reuleauxlll acuñó el término par inferior para describir juntas con contacto de
superficie (como el de un pasador dentro de su agujero) y el término de par superior
para describir las juntas con contacto de punto o de línea. Sin embargo, si hay holgura o
.espacio libre entre el pasador y su agujero (como debe ser para que haya movimiento),
el contacto de superficie en la junta de pasador es realmente contacto de línea, pues el
pasador toca sólo un "lado" del hueco. Asimismo, a escala microscópica, un bloque
deslizante sobre una superficie plana en realidad tiene contacto sólo en porciones aisladas
de superficie, que son las cimas de las salientes o asperezas de las superficies. La princi-
pal ventaja práctica de los pares inferiores sobre los pares superiores es su mayor capaci-
dad para atrapar lubricante entre las superficies envolventes. Esto es especialmente cierto
para la junta de pasador de rotación. En una junta no envolvente el lubricante se expulsa
con mayor facilidad entre las superficies de un par superior. Como resultado, se prefiere
la junta de pasador para el caso de bajo desgaste y larga duración, aun sobre su relacio-
nada de par inferior, la junta prismática de corredera.
La figura 2-3a) muestra los seis pares posibles inferiores, sus grados de libertad y sus
símbolos de una letra. Los pares de rotación (R) y prismáticos (P) son los únicos pares
inferiores que se usan comúnmente en los mecanismos en un plano. El tornillo (H), cilín-
drico (C), esférico (S), y los pares inferiores planos (F) son todas las combinaciones de la
revolución y/o de los pares prismáticos y se usan en los mecanismos espaciales (3-D).
Los pares R y P son elementos básicos de los demás pares, los cuales son combinaciones
de estos dos, como se muestra en la tabla 2-1.
Una forma más útil de clasificar las juntas (pares) es por el número de grados
de libertad que hay entre dos elementos unidos. La figura 2-3 también muestra ejemplos de
una y dos juntas libres comúnmente encontrada en mecanismos en un plano. En la figura
2-3b) se indican dos formas de una junta plana con una libertad (o par), a saber, una
junta de pasador rotacional (R) y una junta de traslación de corredera (P). A ambas
uniones se les llama juntas completas (es decir, completa = 1 GDL), y son pares inferio-
res. La junta de pasador tiene un GDL rotacional y la junta de corredera un GDL trasla-
cional entre los eslabones conectados. Éstos son casos especiales de otra junta común,
con un grado de libertad, la de tornillo y tuerca (véase la figura 2-3a». El movimiento de
la tuerca con respecto al tornillo o viceversa resulta en movimiento helicoidal. Si el
ángulo de hélice es cero, la tuerca gira sin avanzar y se tiene así la junta de pasador.
Si el ángulo de hélice es de 90° la tuerca se trasladará a lo largo del eje del tornillo, y se
tiene así la junta de corredera.
~O( - 0!2
A
~,~
e-: v.A-..
--
TABLA 2-1
los seis pares
inferiores
Nombre Con-
(símbolo) GOL tiene
Rotación R
(R)
Prismático P
(P)
Helicoidal RP
(H)
Cilíndrico 2 RP
(C)
Esférico 3 RRR
(S)
En un 3 RPP
plano
(F)

5. 28 DISEÑO DE MAQUINARIA CAPíTULO2
Junta de rotación (R) (1 GDL)
Junta prismática (P) (1 GDL)
Junta helicoidal (H) (1 GDL)
Junta cilíndrica (C) (2 GDL)
Junta esférica (S) (3 GDL)
Junta en un plano (F) (3 GDL)
a) Losseispares inferiores
FIGURA 2-3
-l1x-
Junta de pasador completa para
rotación (R) (con cierre de forma)
Junta de corredera completa para
traslación (P) (con cierre de forma)
b) Juntas completas de un GOL (pares inferiores)
-/';.x -
Eslabón apoyado contra un plano
(con cierre de fuerza)
Pasador en ranura
(con cierre de forma)
e) Semijuntas de rodamiento-deslizamiento de dos GOL (pares superiores)
ref.
Junta de pasador de primer orden de
un GDL (dos eslabones conectados)
Junta de pasador de segundo orden de
dos GDL (tres eslabones conectados)
d) Elorden de una junta es menor en uno que el número de eslabones unidos
Puede rodar, deslizar, o rodar y deslizar según la fricción
e) Junta de rodamiento puro (R),de deslizamiento puro (P)
o de rodamiento (RP),uno o dos GDL (pares superiores)
Juntas (pares) de diversos tipos

6. AMENTOS DE CINEMÁTICA
En la figura 2-3c) se muestran ejemplos de juntas con dos grados de libertad (pares
periores) que permiten simultáneamente dos movimientos relativos independientes, a
r, traslación y rotación entre los eslabones conectados. Paradójicamente, esta junta
dos libertades a veces se denomina "semijunta", con sus dos libertades colocadas
el denominador. En ocasiones la semijunta se denomina también junta de rodamien-
eslizamiento, ya que permite ambas formas de movimiento. Una junta de rótula (o
bola) y casquillo (véase la figura 2-3a)) es un ejemplo de una junta con tres libertades,
permite tres movimientos angulares independientes entre los dos eslabones conecta-
. Esta junta de rótula se aplicaría típicamente en un mecanismo tridimensional; por
'emplo, las juntas de bola en el sistema de suspensión de un automóvil.
Una junta con más de un grado de libertad por lo general es también un par superior,
mo se muestra en la figura 2-3c). Las juntas completas (pares inferiores) y las semijun-
(pares superiores) se utilizan en mecanismos plan ares (2-D) y espaciales (3-D). Ob-
serve que si no se permite deslizamiento entre los dos eslabones de la figura 2-3c) conec-
dos por una junta de rodamiento-deslizamiento, quizá al proporcionar un elevado
ficiente de fricción entre ellos se puede "bloquear" la libertad de traslación (Ax) y
er que funcione como una junta completa. Esto se llama entonces junta de rodamien-
to puro y sólo tiene libertad rotacional (ile). Un ejemplo común de este tipo de junta es
llanta de automóvil que rueda sobre el pavimento, como se muestra en la figura 2-3e).
En uso normal hay rodamiento puro y no deslizamiento en esta junta, a menos, desde
ego, que se desplace sobre un camino helado o se maneje con demasiado entusiasmo por
aceleración o los virajes. Si se aplican los frenos al desplazarse sobre hielo, esta junta se
nvierte en una de deslizamiento puro, como la de corredera de la figura 2-3b). La
icción determina el número real de libertades en esta clase de junta. Puede ser de roda-
miento puro, de deslizamiento puro o de rodamiento-deslizamiento.
Para imaginar el grado de libertad de una junta en un mecanismo es útil "desconectar
mentalmente" los dos eslabones que forman la junta, respecto del resto del mecanismo.
puede ver entonces con más facilidad cuántas libertades tienen entre sí los dos eslabo-
es conectados.
En la figura 2-3c) se muestran también ejemplos de juntas con cierre de forma y con
cierre de fuerza. Una junta con cierre de forma se mantiene unida o cerrada por su
eeometria. Un pasador en su agujero o una corredera en su ranura o guía de dos lados
.enen cierre de forma. En contraste, una junta con cierre de fuerza, como un pasador en
un medio cojinete, o una corredera sobre una superficie, requieren alguna fuerza externa
para mantenerse en contacto o cierre. La gravedad, un resorte u otros medios externos
podrían proporcionar esta fuerza. Como se verá, puede haber diferencias sustanciales en
el comportamiento de un mecanismo debido a la elección de cierre de fuerza o de forma.
La elección se debe considerar cuidadosamente. En los eslabonamientos por lo general
se prefiere el cierre de forma y es fácil de lograr. Pero para sistemas de leva-seguidor
on frecuencia se prefiere el cierre de fuerza. Este tema se explorará en capítulos subsi-
guientes.
En la figura 2-3d) se muestran ejemplos de juntas de diversos órdenes; el orden se
define como el número de eslabones conectados menos uno. Se necesitan dos eslabones
para constituir una junta simple; por tanto, la conexión más simple de dos eslabones tiene
un orden igual a uno. A medida que se agregan eslabones a la misma junta, aumenta el
orden de ésta de uno en uno. El orden de una junta es significativo en la determinación
apropiada del grado total de libertad para el ensamblaje. En el capítulo 1 ya se dieron
definiciones para el mecanismo y la máquina. Si se definen los elementos cinemáticos
l'

7. 30 DISEÑO DE MAQUINARIA CAPíTULO 2
de eslabones y juntas, entonces es posible definir con mayor precisión aquellos dispositi-
vos con base en las clasificaciones de Reuleaux de cadena cinemática, mecanismo y
máquina.Ul
Una cadena cinemática se define como:
Un ensamblaje de eslabones y juntas, interconectados de modo que proporcionen un
movimiento de salida controlado en respuesta a un movimiento de entrada proporcio-
nado.
Un mecanismo se define como:
Una cadena cinemática en la que por lo menos se ha fijado o sujetado un eslabón al
marco de referencia (el cual puede estar en movimiento).
Una máquina se define como:
Una combinación de cuerpos resistentes dispuestos para hacer que las fuerzas mecáni-
cas de la naturaleza realicen trabajo acompañado por movimientos determinados.
Según la definición de Reuleaux.Ul una máquina es un conjunto de mecanismos
dispuestos para trasmitir fuerzas y realizar trabajo. De acuerdo con su planteamiento,
todos los dispositivos que trasmiten energía o fuerzas son máquinas que utilizan mecanis-
mos como elementos que proporcionan las restricciones de movimiento necesarias.
Se definirá ahora una manivela como un eslabón que efectúa una revolución com-
pleta y está pivotado a un elemento fijo; un balancín es un eslabón que tiene rotación
oscilatoria (de vaivén) y está pivotado a un elemento fijo, y una biela (o acoplador),
como un eslabón que tiene movimiento complejo y no está pivotado a un elemento fijo a
tierra. La fijación se define como cualquier eslabón o eslabones que están sujetos en el
espacio (sin movimiento) en relación con el marco de referencia. Observe también que el
propio marco puede, de hecho, estar en movimiento.
2.4 DETERMINACiÓN DEL GRADO DE LIBERTAD
El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental para la síntesis y el análisis de
los mecanismos. Es necesario determinar rápidamente el GDL de un conjunto de eslabo-
nes y juntas que pueden sugerirse como solución de un problema. El grado de libertad
(también llamado movilidad M) de un sistema se puede definir como:
Grado de libertad
el número de entradas que se necesita proporcionar con la finalidad de crear una salida
predecible;
también:
el número de coordenadas independiente requerido para definir su posición.
En el inicio del proceso de diseño suele disponerse de alguna definición general del
movimiento de salida deseado. El número de entradas necesario para obtener tal salida
puede o no estar especificado. Aquí el costo es la principal restricción. Cada entrada
requerida necesitará de algún tipo de actuador, ya sea un operario humano o un "esclavo"
en forma de motor, solenoide, cilindro neumático o de otro dispositivo de conversión de
energía. (Dichos dispositivos se describen en la sección 2.15.) Estos dispositivos de en-
tradas múltiples deberán coordinar sus acciones por medio de un "controlador", que a su
vez debe poseer cierto grado de inteligencia. Ahora este control se suele proporcionar

8. NTOS DE CINEMÁTICA
te una computadora, pero también puede estar programado mecánicamente dentro
ño del mecanismo. No se requiere que el mecanismo tenga sólo un GDL, aunque
udo esto es deseable para simplificar. Algunas máquinas tienen muchos GDL. Por
lo. considere el número de palancas de controlo cilindros actuadores que se encuen-
en un buldózer o en una grúa. Véase la figura l-lb).
Las cadenas cinemáticas o mecanismos pueden ser abiertos o cerrados. En la figura
presenta un mecanismo abierto y otro cerrado. Un mecanismo cerrado no tendrá
de conexión con apertura o nodos y puede tener uno o más grados de libertad. Un
_:clm's mo abierto con más de un eslabón tendrá siempre más de un grado de libertad, y
esto necesitará tantos actuadores (motores) como GDL tenga. Un ejemplo común de
anismo abierto es un robot industrial. Una cadena cinemática abierta de dos esLabo-
binarios y una junta se denomina díada. Los conjuntos de eslabones que se muestran
figuras 2-3a) y 2-3b) son díadas.
Reuleaux limitó sus definiciones a las cadenas cinemáticas cerradas y a los mecanis-
- que tienen sólo un GDL, a los que llamó restringidosví Las amplias definiciones
riores están quizá mejor adaptadas a aplicaciones actuales. Un mecanismo con múl-
e GDL, como un robot, estará restringido en sus movimientos de acuerdo con el
. ero necesario de entradas que se proporcionen para controlar todos sus GDL.
ados de libertad en mecanismos en un plano
determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número
labones y juntas, así como las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamblaje de
slabones pueden predecirse a partir de una investigación de-la condición de Gruebler.Fl
.n eslabón cualquiera en un plano tiene tres GDL. Por consiguiente, un sistema de L
slabones no conectados en el mismo plano tendrá 3L GDL, como se muestra en la figura
_- -a), en la que dos eslabones no conectados tienen en total seis GDL. Cuando estos dos
labones están conectados por una junta completa, como se muestra en la figura 2-5b),
~YI Y ~Y2 se combinan como ~y, y &1 Y &2 se combinan como &. Esto elimina dos
GDL y deja cuatro. En la figura 2-5c) la semijunta elimina sólo un GDL del sistema
debido a que una semijunta tiene dos GDL) y queda el sistema de dos eslabones conec-
tados por una semijunta, con un total de cinco GDL. Además, cuando un eslabón cual-
a) Cadena de mecanismo abierta b) Cadena de mecanismo cerrada
FIGURA 2-4
Cadenas de mecanismos

9. 32 DISEÑO DE MAQUINARIA CAPíTULO 2
a) Dos eslabones no conectados
GDL=ó
b) Conectados por una junta completa
GDL=4
e) Conectados por una semijunta de
rodamiento-deslizamiento
GDL=5
(boa¡
FIGURA 2-5
Juntas que eliminan grados de libertad
quiera se fija o sujeta al marco de referencia, sus tres GDL se eliminarán. Este razona-
miento conduce a la ecuación de Gruebler:
M= 3L- 2J- 3G (2.la)
donde: M = grados de libertad o movilidad
L = número de eslabones
J = número de juntas
G = número de eslabones fijos
Observe que en un mecanismo real, aun cuando más de un eslabón de la cadena
cinemática esté fijo, el efecto neto será crear un eslabón fijo mayor y de orden superior,
ya que sólo hay un plano de sujeción. Por tanto, G es siempre igual a uno y la ecuación
de Gruebler se convierte en:
M=3(L-I)-2J (2. lb)

10. 6.MENTOS DE CINEMÁTICA
El valor de J en las ecuaciones 2.la y 2.lb debe reflejar el valor de todas las juntas en
mecanismo. Es decir, las semijuntas cuentan como 1/2 debido a que sólo eliminan un
DL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificación de Kutzbach para la ecuación
Gruebler en esta forma:
M = 3(L - 1) - 21] - h (2.1c)
de: M = grados de libertad o movilidad
L = número de eslabones
J] = número de 1 GDL, juntas completas
12= número de 2 GDL, semijuntas
El valor de J] y h en estas ecuaciones aún debe determinarse cuidadosamente para
iderar todas las juntas completas, las semijuntas y las juntas múltiples en cualquier
narniento. Las juntas múltiples cuentan en una unidad menos que el número de
nes conectados en tal junta, y se agregan a la categoría de "completas" (1]). Los
DL de un mecanismo propuesto pueden determinarse rápidamente a partir de esta ex-
ión antes de invertir tiempo en un diseño más detallado. Es interesante observar que
ecuación no aporta información acerca de tamaños o formas de eslabones, sino sólo
antidad. En la figura 2-6a) se muestra un mecanismo con un GDL y sólo juntas
pletas en éste.
En la figura 2-6b) se presenta una estructura con cero GDL que contiene semijuntas
tas múltiples. Observe la notación esquemática utilizada para mostrar el eslabón
- . Dicho eslabón no necesita dibujarse en detalle, en tanto se indiquen todas las juntas
. Considere también las juntas múltiples y semijuntas en las figuras 2-6a) y 2-6b).
o ejercicio determine los GDL en estos ejemplos con la ecuación de Kutzbach.
ados de libertad en mecanismos espaciales
enfoque usado para determinar la movilidad de un mecanismo en un plano puede
rrapolarse fácilmente a tres dimensiones. Cada eslabón no conectado en el espacio
idimensional tiene seis GDL y cualquiera de los seis pares inferiores puede usarse para
ectarlos, como pueden ser pares superiores con más libertad. Una junta de una liber-
elimina cinco GDL, una junta de dos libertades elimina cuatro GDL, etcétera. Al fijar
e labón se eliminan seis GDL. Esto conduce a la ecuación de movilidad de Kutzbach
eslabonamientos espaciales:
nde el subíndice se refiere al número de libertades de la junta. En este texto se limitará
e tudio a mecanismos en 2-D.
2.5 MECANISMOS Y ESTRUCTURAS
grados de libertad de un ensamblaje de eslabones predicen por completo su carácter.
Hay ólo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrá un mecanismo y los eslabo-
tendrán movimiento relativo. Si el GDL es igual a cero, entonces se tendrá una
estructura y no será posible ningún movimiento. Si el GDL es negativo, entonces se
tendrá una estructura precargada, lo que significa que no será posible ningún movi-
(2.2)