Ejercicio de números complejos en redes y telecomunicaciones. (Explicación)

1. MATEMÁTICAS
MICHAEL PILAPAÑA
NÚMEROS COMPLEJOS EN
REDES Y TELECOMUNICACIONES

2. Los números complejos son utilizados en diversas aplicaciones dentro del campo
de las telecomunicaciones. Algunas de las áreas donde se aplican incluyen:
• Análisis de señales: En telecomunicaciones, las señales suelen representarse en forma de ondas complejas. La
transformada de Fourier, que es crucial en el análisis de señales, utiliza números complejos. Esto permite
descomponer señales complejas en componentes más simples para un análisis más fácil.
• Modulación: En la modulación de señales, especialmente en técnicas avanzadas como la modulación en cuadratura
(QAM), los números complejos son fundamentales. QAM utiliza amplitudes y fases complejas para representar
información en señales moduladas.
• Comunicación digital: Los números complejos son esenciales en la representación y análisis de las señales digitales,
especialmente en sistemas de comunicación digital. La teoría de la información y la codificación de canal también
hacen uso de números complejos en diversos algoritmos y técnicas.
• Diseño de filtros y sistemas de comunicación: En el diseño de filtros y sistemas de comunicación, el uso de números
complejos es común para representar funciones de transferencia, respuesta en frecuencia y otros parámetros del
sistema.
• Antenas y propagación de ondas: En el estudio de antenas y la propagación de ondas electromagnéticas, los números
complejos son utilizados para describir las características de fase y amplitud de las ondas. También son fundamentales
en la teoría de campos electromagnéticos.
• Procesamiento de señales: En el procesamiento de señales, los números complejos se utilizan en algoritmos de
filtrado, modulación y demodulación, así como en técnicas avanzadas como la transformada de Hilbert para extraer
información de señales.
• Sistemas de comunicación inalámbrica: En sistemas de comunicación inalámbrica, como los sistemas de múltiples
antenas (MIMO), los números complejos son cruciales para describir las matrices de canal y las operaciones
matriciales que se utilizan para mejorar la capacidad y la calidad de la comunicación.

3. La impedancia(cantidad de ohm con la cual se opone a la circulación de corriente) de
una antena es una propiedad eléctrica que representa la oposición al flujo de
corriente alterna en el sistema de alimentación de la antena. Se expresa en ohmios
(Ω) y puede tener una parte resistiva (real) y una parte reactiva (imaginaria).
La impedancia de una antena depende de varios factores, incluyendo su diseño, la
frecuencia a la que opera y el entorno circundante. En general, se busca que la
impedancia de la antena coincida con la impedancia del sistema al que está
conectada (como un transmisor o un receptor) para lograr una transferencia de
energía eficiente.
En conclusión la impedancia de una antena es una medida crucial para garantizar una
transferencia eficiente de energía entre la antena y el sistema de transmisión o
recepción, y su valor puede variar según el diseño y la aplicación específica de la
antena.

4. Impedancia de una antena en serie.
Supongamos que tenemos una antena cuya impedancia 𝑍1 está dada por la
expresión compleja:
𝑍1 = 40 + 𝑗30Ω
y otra antena con impedancia 𝑍2 dada por:
𝑍2 = 60 − 𝑗20Ω
Ambas antenas están conectadas en serie.

5. La impedancia total en serie (𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒) se calcula sumando las impedancias
individuales:
𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 𝑍1 + 𝑍2
𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 40 + 𝑗30 + (60 − 𝑗20)
𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 40 + 60 + (𝑗30 − 𝑗20)
𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 100 + 𝑗10Ω