¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ [!] Documento actualizado y mejorado → https://goo.gl/jyLgLd Álgebra e Introducción al Cálculo Resumen de Fórmulas de trigonometría y aspectos escenciales (funciones trigonométricas, identidades, prostaféresis, teoremas, gráficos y más) Keywords: álgebra, ayuda universitaria, cálculo, educación, educación superior, español, estudio, formulas, fórmulas trigonometría, geometría analítica, geometría, identidades trigonométricas, introducción al cálculo, matemática, trigonometría, trigonometría avanzada, fórmulas trigonométricas, identidades, relaciones trigonométricas, funciones trigonométricas, resumen fórmulas trigonometría, prostaféresis _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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Trigonometría
Razones, identidades, teoremas y más
Álgebra e Introducción al Cálculo
Ignacio F. Garcés | 2017 Agradecimientos: profesor Luis Zegarra Agramont

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Índice de contenidos
1. Introducción ............................................................................................................................................................2
2. Relación entre medidas angulares ......................................................................................................................3
3. Ángulos notables....................................................................................................................................................4
4. Cuadro de funciones trigonométricas................................................................................................................4
5. Círculo Unitario o Circunferencia Goniométrica..............................................................................................5
6. Observaciones importantes de la funciones trigonométricas.......................................................................6
6.1 Gráficos ........................................................................................................................................................6
6.2 Características del seno, coseno y tangente.........................................................................................9
7. Funciones trigonométricas inversas .................................................................................................................10
8. Reducción de expresiones trigonométricas ....................................................................................................10
9. Teorema del Área.................................................................................................................................................11
10. Teorema del Seno o Ley de los Senos ...........................................................................................................11
11. Teorema del Coseno o Ley de los Cosenos..................................................................................................12
12. Teorema de las Proyecciones..........................................................................................................................12
13. Fórmulas de identidades trigonométricas.....................................................................................................13
14. Bibliografía ..........................................................................................................................................................16
15. Ejercicios resueltos............................................................................................................................................16

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1. Introducción
Básicamente, este documento es la recopilación de los aspectos más importantes de la trigonometría.
Bueno, antes que nada, hay algunas cosas importantes a mencionar:
o Debe estar claro que el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante son todas
funciones, solo sucede que se apellidan trigonométricas. Entonces, cada una posee un dominio y
recorrido propios, y demás propiedades de toda función.
o En trigonometría, olvidaremos los grados sexagesimales (°). Se acostumbra a usar radianes.
o Los ángulos se miden positivamente en sentido antihorario ↺ y negativamente al revés ↻.
o Si actualmente no sabes nada de trigonometría, te recomiendo aprender una pequeña
introducción a eso, ya que aquí se tratarán cosas que requieren algo de noción de las funciones
trigonométricas, como sus inversas, sus gráficos, etc.

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2. Relación entre medidas angulares
Los radianes no son otra cosa que números reales que representan a la razón entre la longitud del arco
de un ángulo y su radio, en cualquier circunferencia. (ver figura)
Minutos (‘), segundos (“) y grados sexagesimales (°):
1′
=
1°
60
1′′
=
1′
60
=
1°
3600
Entonces, tenemos que:
1° = 60’
1’ = 60’’
1° = 3600’’
Relación entre grados y radianes:
𝛼°
180
=
𝛼 𝑟𝑎𝑑
𝜋

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3. Ángulos notables
𝛼 (radianes) 𝛼 (grados) sen(𝛼) cos(𝛼) tan(𝛼)
𝜋
6
30°
1
2
√3
2
√3
3
𝜋
4
45° √2
2
√2
2
1
𝜋
3
60° √3
2
1
2
√3
0 0° 0 1 0
𝜋
2
90° 1 0 ∄
𝜋 180° 0 -1 0
3𝜋
2
270° -1 0 ∄
Es fundamental memorizar sobre todo el seno y el coseno de los ángulos 30°, 45° y 60. Otros ángulos de la tabla
son más deducibles es deducibles.
4. Cuadro de funciones trigonométricas
Seno
(sen)
Coseno
(cos)
Tangente
(tg)
Cotangente
(cotg)
Secante
(sec)
Cosecante
(cosec)
Razón
trigonométrica[1]
𝐶𝑂
ℎ𝑖𝑝
𝐶𝐴
ℎ𝑖𝑝
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝐶𝐴
𝐶𝑂
ℎ𝑖𝑝
𝐶𝐴
ℎ𝑖𝑝
𝐶𝑂
Descomposición
1
cosec
1
sec
sen
cos
cos
sen
1
cos
1
sen
Recíproco cosec sec cotan tan cos sen
ℎ𝑖𝑝: hipotenusa.
𝐶𝑂: cateto opuesto al ángulo.
𝐶𝐴: cateto adyacente al ángulo.
[1
] Tener muy en cuenta que las razones trigonométricas de allí sólo aplican en un triángulo rectángulo.

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5. Círculo Unitario o Circunferencia Goniométrica
Consiste en una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen, y que sirve mucho para estudiar las
funciones trigonométricas. Esta vital herramienta ayuda a determinar el signo de la operación
trigonométrica de algún ángulo, junto con la observación de las periodicidades[2], paridades y más.
El eje 𝑥 (la abscisa) corresponde al coseno del ángulo dado.
El eje 𝑦 (la ordenada) corresponde al seno del ángulo dado.
¿Cómo acordarse de eso? Asocia el sonido de 𝒙 (equiss) con cosseno.
Entonces, en vez de existir un punto cualquiera (𝑥, 𝑦), sus coordenadas son ( cos(𝛼), sen(𝛼) ), con 𝛼 un
ángulo dado.
Entonces, se aplica todas las reglas del plano cartesiano, pero reemplazando por coseno y coseno. Por
ejemplo, en el cuarto cuadrante sabemos que 𝑥 es positivo e 𝑦 negativo; aquí, cos(𝛼) sería positivo y
sen(𝛼) negativo.
Entonces, si tengo al ángulo
2
3
𝜋, se encontrará en el 2° cuadrante, lo que implica que su coseno sea
negativo y su seno positivo.
[2
] Ejemplo: con el círculo unitario se evidencia que 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼), o que 𝑐𝑜𝑠(8𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋) = 0

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6. Observaciones importantes de la funciones trigonométricas
6.1 Gráficos
Es muy importante tener claro el gráfico de estas funciones, ya que de su análisis se pueden inferir
algunas propiedades importantes como, la relación entre una función y otra, la paridad, etc.
Seno
Coseno

8. Página | 7
Tangente
Cotangente

9. Página | 8
Secante
Cosecante

10. Página | 9
6.2 Características del seno, coseno y tangente
Seno
Solución[3]: sen(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ [−1, 1] → 𝑥 = 𝑘𝜋 ± (−1) 𝑘
• arc sen(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ
Periodicidad de la función seno y arco seno: 𝝅
La función seno es impar ⟺ sen(−𝛿) = −sen(𝛿)
Coseno
Solución: cos(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ [−1, 1] → 𝑥 = 2𝑘𝜋 ± arc cos(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ
Periodicidad de la función coseno y arco coseno: 2𝜋
La función seno es par ⟺ cos(−𝛿) = cos(𝛿)
Tangente
Solución: tg(𝑥) = 𝑎, 𝑥 ∈ ℝ − {
(2𝑘+1) • 𝜋
2
} → 𝑥 = 𝑘𝜋 ± arc tg(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ
Periodicidad de la función tangente y arco tangente: 𝜋
La función tangente es impar ⟺ sen(−𝛿) = −sen(𝛿)
[3
] Solución: como se ve, se da la fórmula para obtener todas las soluciones existentes, cuando se resuelve una ecuación
trigonométrica.

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7. Funciones trigonométricas inversas
Las funciones arco seno (arc sen), arco coseno (arc cos) y arco tangente (arc tg) son impares, es decir:
𝑓𝑘(−𝑥) = −𝑓𝑘(𝑥)
Donde 𝑓𝑘 representa a cualquiera de estas tres funciones.
La función inversa del seno, por ejemplo, es denotada como sen−1
o arc sen. No confundir dicha
denotación con la función cosecante, jamás.
sen−1
≠
1
sen
sen−1
≠ cosec sen−1
= arc sen
8. Reducción de expresiones trigonométricas
Es posible obtener del Círculo Unitario que:
sen (
𝜋
2
± 𝛼) = + cos(𝛼) sen (
3𝜋
2
± 𝛼) = − cos(𝛼)
cos (
𝜋
2
± 𝛼) = ∓ sen(𝛼) cos (
3𝜋
2
± 𝛼) = ± sen(𝛼)
tg (
𝜋
2
± 𝛼) = ∓ cotg(𝛼) tg (
3𝜋
2
± 𝛼) = ∓ cotg(𝛼)
sen(𝜋 ± 𝛼) = ∓ sen(𝛼) sen(2𝜋 − 𝛼) = − sen(𝛼)
cos(𝜋 ± 𝛼) = − cos(𝛼) cos(2𝜋 − 𝛼) = cos(𝛼)
tg(𝜋 ± 𝛼) = ± tg(𝛼) tg(2𝜋 − 𝛼) = − tg(𝛼)
Para reducir expresiones de las funciones secante y cosecante, hay que recordar que sec(𝛼) =
1
cos(𝛼)
, y
que cosec(𝛼) =
1
sec(𝛼)
.

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9. Teorema del Área
El llamado Teorema del Área o Fórmula de Herón es de la siguiente forma:
Á = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐)
Donde:
Á es el área.
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son los lados de un triángulo.
𝑆 es el semiperímetro, es decir, 𝑆 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
.
10. Teorema del Seno o Ley de los Senos
En un triángulo cualquiera, se cumple siempre que:
𝑎
sen( 𝛼)
=
𝑏
sen( 𝛽)
=
𝑐
sen( 𝛾)
= 2𝑅
𝑅: radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
También, como estamos hablando de proporciones, es válido decir:
sen( 𝛼)
a
=
sen( 𝛽)
b
=
sen( 𝛾)
c

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11. Teorema del Coseno o Ley de los Cosenos
En cualquier triángulo, se cumple que:
En forma general:
(ℓ1)2
= (ℓ2)2
+ (ℓ3)2
− 2 • ℓ2 • ℓ3 • cos(∢1)
ℓ1 es el lado que se quiere calcular, ℓ2 y ℓ3son los otros lados del triángulo.
∢1 es el ángulo opuesto que le corresponde al lado (ℓ1).
12. Teorema de las Proyecciones
En forma general:
ℓ1 = ℓ2 • cos(∢3) + ℓ3 • cos(∢2)
ℓ1 es el lado que se quiere calcular, ℓ2 y ℓ3 son los otros lados del triángulo.
∢2 y ∢3 son los ángulos opuestos a los lados ℓ2 y ℓ3, respectivamente.

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13. Fórmulas de identidades trigonométricas
Para resolver o demostrar identidades, es necesario aprenderse prácticamente todas las fórmulas
siguientes. Guíate por colores y halla un método propio para memorizar cada una:
Relación fundamental entre seno y coseno
cos(𝛼)2
+ sen(𝛼)2
= 1
Suma y diferencia de ángulos
sen(𝛼 ± 𝛽) = sen(𝛼) • cos(𝛽) ± sen(𝛽) • cos(𝛼)
cos(α ± β) = cos(α) • cos(β) ∓ sen(α) • sen(β)
tg(α ± β) =
tg(𝛼) ± tg(𝛽)
1 ∓ tg(𝛼)•tg(𝛽)
cotg(𝛼 ± 𝛽) =
cotg(𝛼)•cotg(𝛽) ∓ 1
cotg(𝛽) ± cotg(𝛼)
Suma y diferencia de operaciones trigonométricas (Prostaféresis)
sen(𝑎) ± sen(𝑏) = 2 • sen (
𝑎±𝑏
2
) • cos (
𝑎∓𝑏
2
)
cos(𝑎) + cos(𝑏) = +2 • cos (
𝑎+𝑏
2 ) • cos (
𝑎−𝑏
2 )
cos(𝑎) − cos(𝑏) = −2 • sen (
𝑎+𝑏
2
) • sen (
𝑎−𝑏
2
)

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Multiplicación de operaciones trigonométricas (Prostaféresis)
sen(𝐴) • cos(𝐵) =
1
2
[sen(𝐴 + 𝐵) + sen(𝐴 − 𝐵)]
cos(𝐴) • cos(𝐵) =
1
2
[cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)]
sen(𝐴) • sen(𝐵) =
1
2
[− cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)]
cos(𝐴) • sen(𝐵) =
1
2
[sen(𝐴 + 𝐵) − sen(𝐴 − 𝐵)]
Ángulo doble
sen(2𝛼) = 2 • sen(𝛼) • cos(𝛼)
cos(2𝛼) = cos2(𝛼) − sen2(𝛼) = 1 − 2 • sen2(𝛼) = 2 • cos2(𝛼) − 1
tg(2𝛼) =
2 • tg(𝛼)
1 − tg2(𝛼)
Ángulo triple
sen(3𝜃) = 3 sen(𝜃) − 4 sen3(𝜃)
cos(3𝛿) = 4 cos3(𝛿) − 3 cos(𝛿)

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Mitad de un ángulo
sen (
𝑥
2
) = ±√
1 − cos(𝑥)
2
cos (
𝑥
2
) = ±√
1 + cos(𝑥)
2
tg (
𝑥
2
) = ±√
1 − cos(𝑥)
1 + cos(𝑥)
En estas tres últimas fórmulas, el signo se desconoce (±). Se asigna el signo definitivo al analizar
el ángulo con ayuda del círculo unitario.
Funciones trigonométricas cuadradas de la mitad de un ángulo
sen2
(
𝛼
2
) =
1 − cos(𝛼)
2
cos2
(
𝜃
2
) =
1 − cos(𝜃)
2

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14. Bibliografía
↳ Libro Apuntes del Curso – Módulo 3 – Álgebra e Introducción al Cálculo | Universidad de los
Andes, Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas.
↳ Varias páginas de Wikipedia. (http://es.wikipedia.org)
↳ El maravilloso graficador online Desmos (http://www.desmos.com/calculator) fue usado para
generar varios gráficos de este documento.
15. Ejercicios resueltos
Puedes encontrar problemas de trigonometría resueltos en este excelente PDF:
http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/140/mod_resource/content/1/Prob._Res._de_Trigo
n.pdf (crédito a profesor Luis Zegarra)
O este otro también es bueno:
http://luisgarrido.weebly.com/uploads/3/7/9/2/3792563/ejercicios_resueltos_trigonometria_ii.pdf
(ejercicios hechos por Luis Garrido)
Hacer muchos ejercicios es fundamental, sobre todo para la trigonometría a este nivel, ya que hay que
es necesario memorizar una cantidad casi insana de fórmulas. Al menos te tranquilizará tenerlas todas
juntas en un solo lugar, en este documento, y podrás aprenderlas mejor.