La descripción mecanocuántica del átomo más sencillo que existe, el de hidrógeno, se puede hacer mediante la ecuación de Schrödinger, que tiene en cuenta el concepto de la dualidad onda-partícula. También es aplicable a cualquier átomo hidrogenoide, que es todo aquel que tienen un solo electrón, independientemente de la composición de su núcleo.

1. Bases de
Estructura de la Materia
y Química
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2. 1. El átomo de hidrógeno
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3. 1.3. La ecuación de
Schrödinger
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4. La descripción mecanocuántica del átomo más sencillo que existe, el de hidrógeno, se puede hacer mediante
la ecuación de Schrödinger, que tiene en cuenta el concepto de la dualidad onda-partícula. También es
aplicable a cualquier átomo hidrogenoide, que es todo aquel que tienen un solo electrón,
independientemente de la composición de su núcleo.
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ÍNDICE

5. 1.3.1. Ondas estacionarias
Es razonable suponer que la onda de De
Broglie asociada al electrón es de las
conocidas como estacionarias, ya que estas
permanecen confinadas en cierta región del
espacio (como el electrón) y además su
movimiento está cuantizado, en el sentido de
que solo son posibles determinados modos
de vibración, cada uno de los cuales tiene una
frecuencia (y energía) concreta. La cuerda de
una guitarra produce ondas estacionarias;
algunos de sus modos de vibración se
muestran en la figura 1.12. El modo principal
de vibración se denomina fundamental o
primer armónico. Si su frecuencia es , los
segundo, tercer, cuarto… armónicos tienen
frecuencias 2, 3, 4… Por otro lado, como
se puede apreciar, existen puntos que no se
mueven; se llaman nodos.
Fig. 1.12. Movimientos de una onda estacionaria en una cuerda. Se
han dibujado el modo de vibración fundamental o primer armónico y
los tres siguientes armónicos (llamados también primero, segundo y
tercer sobretonos), cuyas frecuencias son el doble, el triple y el
cuádruple de la fundamental. Cada armónico tiene un nodo más que
el anterior.
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6. 1.3.2. La función de onda
El comportamiento de las ondas estacionarias puede describirse muy bien mediante la llamada ecuación de
ondas. En ella se basa la ecuación de Schrödinger, que es una expresión matemática que tiene en cuenta tanto
el carácter corpuscular del electrón (al suponerlo una partícula de masa 𝑚 𝑒 que se mueve con cierta energía
cinética en un campo de potencial culombiano 𝑉) como su faceta ondulatoria. Existen dos versiones de la
ecuación de Schrödinger: la dependiente y la independiente del tiempo. Esta última es la adecuada para
calcular la energía, 𝐸, de cualquier átomo hidrogenoide:
H(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) [1.10]
En la ecuación anterior la variable más importante es  (psi minúscula), llamada función de onda, cuyo valor
en un punto del espacio depende de las coordenadas de dicho punto (𝑥, 𝑦, 𝑧). El sentido físico de la función de
onda es vago, pero, en cualquier caso, se postula que  contiene todo lo que puede ser conocido sobre el
sistema cuando este se encuentra en un estado determinado.
Para extraer de la función  la información que se desee, bastará operar adecuadamente sobre ella. Llamamos
operador a una regla que transforma una función en otra. Por ejemplo, es el operador “raíz cuadrada”, que
transforma la función 𝑥2
en ±𝑥. Otro ejemplo:
𝜕2
𝜕𝑥2 es el operador “derivada parcial de segundo orden respecto
a 𝑥”, que convierte 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 1 en 𝑓" 𝑥 = 18𝑥 + 4. Nótese que en la ecuación [1.10] no se
pueden cancelar las (𝑥, 𝑦, 𝑧) que aparecen en los dos términos porque la de la izquierda no está multiplicada
por H, sino sometida al operador H. Sería como si en la expresión sen 𝑥 = 3𝑥 tratáramos de cancelar 𝑥.
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7. El operador H se llama hamiltoniano y consiste en las operaciones que se detallan en la siguiente expresión, en
la que por simplicidad hemos omitido la dependencia de  de las coordenadas espaciales:
−
ℎ
82
𝜕2
𝜕𝑥2 +
𝜕2
𝜕𝑦2 +
𝜕2
𝜕𝑧2 −
𝑍𝑒2
40 𝑟
 = 𝐸 [1.11]
El primer término del operador (escrito en color azul) es, a su vez, el llamado operador energía cinética del
sistema; el segundo término (en rojo) es el operador energía potencial y coincide precisamente con la
expresión de energía potencial de interacción culombiana entre el electrón, de carga −𝑒, y un núcleo de carga
positiva 𝑍𝑒, siendo 𝑍 el número de protones (0 (épsilon) es la permitividad dieléctrica del vacío y 𝑟 es la
distancia entre el electrón y el centro de masas del sistema). El primer término contiene la masa reducida del
sistema,  (letra griega mi), cuyo valor es prácticamente igual a la masa del electrón, 𝑚 𝑒.
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8. 1.3.3. Coordenadas polares esféricas y factorización
de la función de onda
La ecuación de Schrödinger tiene dos incógnitas, (𝑥, 𝑦, 𝑧) y
𝐸 , dándose la particularidad de que se resuelven
simultáneamente. La resolución es muy laboriosa, pero el
problema se simplifica si las coordenadas cartesianas de las
que depende la función de onda se transforman en
coordenadas polares esféricas: (𝑟, 𝜃, 𝜑), siendo 𝑟 es el
módulo del vector 𝑟 que une el centro de coordenadas con
el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝜃 (letra griega zeta) es el ángulo formado
por dicho vector y el eje 𝑍 y 𝜑 (letra fi) el ángulo entre el eje
X y la proyección del vector 𝑟 en el plano XY. Estas transfor-
maciones se comprenden mejor observando la figura 1.13.
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La conversión a coordenadas polares esféricas supone poder
escribir la función de onda como 𝑟, 𝜃, 𝜑 y poder separarla
en un producto de un factor radial, 𝑅 𝑟 , que solo depende
de la variable 𝑟, y un factor angular, 𝑌 𝜃, 𝜑 , que depende
de  y :
 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑟 𝑌 𝜃, 𝜑 [1.12]
Fig. 1.13. Relación entre coordenadas cartesianas y
polares esféricas. Del dibujo se pueden deducir
estas correspondencias: 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2;  =
arccos
𝑧
𝑟
;  = arctan
𝑦
𝑥
. Sus inversas son: 𝑥 =
𝑟sen  cos ; 𝑦 = 𝑟sen  sen ; 𝑧 = 𝑟cos .

9. 1.3.4. Soluciones de la ecuación de Schrödinger
Se demuestra que no se obtiene una única solución para 𝑟, 𝜃, 𝜑 ni tampoco para 𝐸, sino infinitas soluciones en
los dos casos. Es así porque las soluciones van a aparecer parametrizadas, como se verá enseguida. Esto no es
extraño en matemáticas. Por ejemplo, la ecuación cos 𝑥 = 1 tiene infinitas soluciones que se pueden expresar
así: 𝑥 = 2𝑛, siendo 𝑛 un parámetro que en este caso es cualquier número entero. Dependiendo del valor que
se dé al parámetro (…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…) se obtendrá un resultado diferente para 𝑥.
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1.3.4.1. Soluciones para E
Las soluciones para la energía del sistema vienen dadas por:
𝐸 𝑛 = −
𝑍2 𝑒4
8𝜀0
2ℎ2 𝑛2 [1.13]
Como se ve, a la energía se le ha agregado el subíndice 𝑛. Con ello se quiere dar a entender que 𝐸 depende del
parámetro 𝑛, pues este aparece (elevado al cuadrado) en el denominador de la expresión.
Nótese, por otra parte, que las energías que se van a obtener serán negativas salvo para 𝑛 → ∞, en cuyo caso
𝐸 𝑛 = 0. Esta circunstancia surge de asignar arbitrariamente el nivel de energía cero al estado en el que el
electrón y el núcleo están separados una distancia infinita. Con esa referencia, una energía negativa del
sistema significa que el electrón y el núcleo están ligados. Además, cuanto menor sea la energía (es decir, más
negativa), más estable será el sistema, si bien existe un valor mínimo de energía que es el correspondiente a
𝑛 = 1. Por el contrario, un valor positivo supondrá que el electrón ha escapado de la atracción del núcleo y se
mueve libremente con dicha energía positiva. Se dice que el átomo se ha ionizado. Más adelante se volverá
sobre estos puntos.

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1.3.4.2. Soluciones para 
Las partes radial y angular de la función de onda se pueden tratar por separado, llegándose a estas soluciones:
𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 = −
𝑛−𝓁−1 !
2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3
2𝑍
𝑛𝑎
2𝓁+3
𝑟 𝓁
𝑒−
𝑍𝑟
𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁
2𝓁+1 2𝑍𝑟
𝑛𝑎
[1.14]
𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 =
2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 !
4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 !
𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑
𝑃𝓁
𝑚 𝓁
cos 𝜃 [1.15]
(En [1.14], 𝑎 =
ℎ2 𝜀0
𝜋𝜇𝑒2; 𝐿 𝑛+𝓁
2𝓁+1 2𝑍𝑟
𝑛𝑎
son los llamados polinomios asociados de Laguerre y 𝑃𝓁
𝑚 𝓁
cos 𝜃 son las
funciones asociadas de Legendre).
Lo más importante es que, como puede verse, tanto las soluciones de la parte radial como las de la parte
angular de la función de onda aparecen parametrizadas. En efecto, la parte radial depende del número
cuántico principal, 𝑛, y de un segundo parámetro que se simboliza por 𝓁, y la parte angular está en función
también de 𝓁 y de un tercer parámetro, 𝑚 𝓁.

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En virtud de [1.12] la solución global de la función de onda viene dada por el producto de [1.14] y [1.15]:
 𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 [1.16]
La función de onda se ha escrito  𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 para hacer explícita su dependencia de los parámetros 𝑛, 𝓁 y
𝑚 𝓁 y de las variables 𝜃, 𝜑 y 𝑟. A partir de [1.16] se puede conocer la expresión de la función de onda para cada
trío de valores (𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁). Por ejemplo, sustituyendo en [1.14] y [1.15] 𝑛 = 1, 𝓁 = 0 y 𝑚 𝓁 = 0 y multiplicando
se obtiene:
𝜓1s =
1
𝜋
𝑍
𝑎
3/2
𝑒−
𝑍𝑟
𝑎 [1.17]
Es importante subrayar que la función de onda, para cualesquiera valores de 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁, se hace igual a 0 para
𝑟∞; es decir, ocupa regiones del espacio matemáticamente infinitas. Esto implica que, según la descripción
mecanocuántica, en teoría un átomo no tiene límites espaciales.

13. 1.3.5. Números cuánticos y sus valores
Los parámetros de las soluciones de la ecuación de onda se llaman números cuánticos y reciben nombres
particulares:
• 𝑛: número cuántico principal;
• 𝓁: número cuántico acimutal (en referencia al ángulo 𝜑 de las coordenadas esféricas, que se llama acimut);
• 𝑚 𝓁: número cuántico magnético (porque determina ciertas interacciones de los átomos con campos
magnéticos externos).
Como se ha dicho, dándoles valores numéricos a estos parámetros se pueden encontrar las expresiones de las
funciones de ondas correspondientes. Ahora bien, no se puede dar cualquier valor a los números cuánticos para
obtener soluciones de la función de onda. Solo se obtienen soluciones válidas si se siguen estas reglas:
1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…).
2. Elegido el valor de 𝑛, pueden escogerse valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1.
3. Para cada valor de 𝓁 se pueden escoger valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos
incluidos).
Por ejemplo, podemos obtener una solución si damos a 𝑛 el valor 3, a 𝓁 el valor 1 y a 𝑚 𝓁 el valor –1. Pero no es
válida una solución con 𝑛 = 3, 𝓁 = 3 y a 𝑚 𝓁 = 4 porque se incumplen las reglas 2 y 3.
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14. 1.3.6. Mecánica matricial
Debe tenerse en cuenta que las propuestas de Schrödinger son simplemente un modelo matemático para
intentar explicar (consiguiéndolo con bastante éxito) las observaciones experimentales sobre el comportamiento
energético de los átomos. Pero no es el único modelo. De hecho, antes que el suyo se formuló otro según el cual
los observables (lo que se puede medir) obedecían las reglas del álgebra de matrices. Por ejemplo, la energía del
átomo podía ser interpretada en términos matriciales. Por eso, esa otra formulación de la mecánica cuántica,
debida principalmente a, se acabó llamando mecánica matricial. Curiosamente, a pesar de ser tan diferente de
la mecáWerner Heisenbergnica ondulatoria de Schrödinger, ambos tratamientos son perfectamente
equivalentes. Si el modelo que se enseña es el de Schrödinger, es solo porque es más sencillo e intuitivo.
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Fuentes
• Levine, Ira: Physical Chemistry, 6ª ed. McGraw-Hill, 2009.
• MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach, University Science Books,
1997.
• Atkins, Peter; De Paula, Julio: Physical Chemistry, 9ª ed. W. H. Freeman and Company, 2010.

16. Bases de Estructura de la Materia y Química
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