Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define la circunferencia trigonométrica y las líneas trigonométricas como segmentos que representan los valores de las razones trigonométricas. Explica la variación periódica del seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Resuelve problemas aplicando estas definiciones y propiedades trigonométricas.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
y
M
N
sen 1 sen
CEPUNS (+) (+)
A
x
Ciclo 2013-II sen sen
(-) -1 (-)
TRIGONOMETRÍA
P
Q
“Circunferencia Trigonométrica” Semana Nº 5
y
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella M
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del N
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sen 1 sen
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
y
B (+) (+)
M A
x
(+) sen
sen
(-) -1 (-)
A' A
x
P
R=1 Q
(-)
Variación del seno de un arco:
B' N
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en IC IIC IIIC IVC
grados sexagesimales, en radianes o como números 3 3
0 2
reales, para ello se recomienda tener en cuenta: 2 2 2 2
y y sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
90º
2 0<sen<1 0<sen<1 -1<sen<0-1<sen<0
0 0º 2. L.T. coseno
180º y
x x
2 360º
cos
3 270º N cos
M
2 (-)
(+)
y
-1 A
1,57
x
0 1
3,14
x cos
6,28 cos Q
(-) (+)
P
4,71
Líneas trigonométricas Variación del coseno de un arco:
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; IC IIC IIIC IVC
que van a representar los valores numéricos de las
3 3
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número 0 2
real, siempre que esté definido. 2 2 2 2
cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
1. L.T. seno 0<cos<1 -1<cos<0 -1<cos<0 0<cos<1
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3. L.T. tangente
Se observa que OR representa a la secante del arco
trigonométrico.
y T Línea Cosecante:
Y B(0;1)
M
N tan
tan
O A
x 0
rad
tan
Q tan tangente
P P
C.T. geométrica
T1 M
En el gráfico:
Se observa que OM representa a la cosecante del
4. L.T. Cotangente arco trigonométrico.
Tangente
Geométrica PROBLEMAS RESUELTOS
T
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
P (I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
rad
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
0 (III) cos 6 cos1 cos5 ( )
(IV) cos 2 cos 4 cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
C.T. D) FVFV E) VFVF
En el gráfico: RESOLUCIÓN
Se observa que BT representa a la cotangente del 1,57
2
arco trigonométrico .
2
cos 2 1
Línea Secante: cos 1
sen 2
Y
sen 1
tangente
P geométrica
3 cos 3
sen 3 O
314 2 6,28
sen 6
sen 4
cos 6
rad 6
0
sen 5
A cos 4
4
cos 5
3 5
4,71
2
C.T.
En el gráfico: Según la C.T. las proposiciones serán:
2
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(I) (V)
4 2x 1 1
(II) (V)
2x
2
(III) (F)
(IV) (F)
"x"
1
;2 RPTA.: C
2
RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cuadrilátero sombreado.
y
cumpla:
x 2 x 1 siendo un arco del
Sen
3 2
tercer cuadrante?
1 3 1 2 1
A) ; B) ; C) 1;
5 5 5 5 5 x
2 3
D) 0; E) 0;
5 5
RESOLUCIÓN
x 2 x 1 5x 1
Sen
3 2 6 A) 0,5 sen cos B) 0,5 sen cos
Como: III C 1 Sen 0 C) 0,5 cos sen D) 0,5 sen cos
5x 1 E) 0,5sen cos
1 0
6
6 <5x 1 > 0 RESOLUCIÓN
5 <5x < 1 S S1 S 2
1 Calculamos
1 < x <
5
x 1;
1
5
RPTA.: C
S1
3. Si: sen 1-2x " " IIIC ; Halle la
3 sen S2
variación de “x”
cos
1 1 1
A) ;2 B) 2; C) ;2
2 2 2
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
1 1
Si: " " III C 1 sen 0 S1
2
(cos ) S2
2
(sen )
Como:
1 2x 1 2x S 0,5(sen cos )
sen 1 0
3 3 RPTA.: A
3 1 2x 0
3
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5. Si 3 6. El siguiente gráfico es una circunferencia
; , de la circunferencia
4 trigonométrica. Calcule el área del triángulo
trigonométrica determina la variación de la EBF.
región sombreada. y
B
F
A
x
C.T.
E
A) 1 2 B) 2 C) 1 D) 1 2 E) 1 3
0; 0; ; ;
cos 2 cos sen
;
2 2 2 2 2 2
2 2 A) B) C)
RESOLUCIÓN 1
D) 2 sen E) sen
2
cos ;sen sen
RESOLUCIÓN
sen ; cos 1
Área EBF (2) cos
cos 2
Área EBF cos
B
cos F
1
S 1 sen cos
1
2
1
S ( sen cos ) E
2
S . 2 sen
1
4 RPTA.: A
2
3
Como: PROBLEMA DE CLASE
4
3 1) Ordene de forma creciente:
2
sen 1
2 4 4 2 4 sen1, sen2, sen3, sen4, sen5, sen7.
A) sen5, sen4, sen3, sen7, sen1, sen2.
1 2 2
. sen B) sen5, sen4, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2 4 2
C) sen5, sen4, sen3, sen1, sen2, sen7.
S
1 2
;
D) sen4, sen5, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2 E) sen4, sen5, sen3, sen7, sen1, sen2.
RPTA.: A
4
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2) En una circunferencia trigonométrica Y
mostrada, halle m2 +2mn +n2 + 2m +2n +1.
Si
m ABP
M
B
P X
(m , n)
x Q
A
P
5) Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
3) En la circunferencia trigonométrica de la
figura, si m AB' A'P , 6) Si: x IV C y cos x 3a 1 Entre que
IIC, OP OM y PQ eje x. Se pide hallar el
4
límites está “a”
área de la región triangular OMQ, donde P
a) 1 b) 1;1 c) 1 d) 1 e) 1; 2
está más próximo a B que ha A’. ;1 ;1 ;1
3 2 4
B
P
7) En la circunferencia trigonométrica determinar
M el área de la superficie sombreada.
A’ A x Y
Q X
B’
1 1
sen (cos sen)
A) ½ B) 2 C) 2
1 1
sen (cos 2 sen 2 ) 1 1
D) 2 E) 2 (1 cos )(2 tg) (1 sen )(2 ctg)
A) 2 B) 2
1 1
4) En la circunferencia trigonométrica, halle el (1 cos )(2 tg) (1 cos )(2 tg)
C) 2 D) 2
punto medio del lado PQ
1
(1 sen )(2 ctg)
1 sec tg E) 2
A)
1 sec ;tg B)
2
;
2
1 sec tg 1 sec tg 8) En la circunferencia trigonométrica de la
; ;
C) 2 2
D) 4 2
figura mostrada, si AM ; entonces al
1 sec tg calcular (en u2) el área sombreada, se
;
E) 2 4 obtiene:
1 sen 1 cos 1 cos
A) 2 B) 2 C) 2
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D) m 2 m 5 E) 5 m 5
1
sen cos 2 sen cos
D) 2 E)
y
12) En la circunferencia halle OM en términos de.
M
M
A x
o
9) En la circunferencia trigonométrica determinar sen sen 1 cos
MP. 1 cos
y A) 1 cos B) C) sen
P 1 cos 1 cos
D) sen E) 1 cos
x
13) Si: 2 tg 5 , determine los posibles
1 1 1 1
M ; ;
A) tg+ctgB)tg– ctgC) ctg– tg A) 6 3 B) 3 6
D) – (tg+ctg) E) – tg– ctg+1 1 1 1 1
; ;
C) 3 6 6 3
10) En la circunferencia trigonométrica
1 1 1 1 1 1
mostrada. Halle el área de la región 3 ; 2 1; 2 2 ; 3 3 ; 2
D) E)
sombreada.
14) En la figura M(x; y) es punto medio del
segmento QR , mABP . Halle: x+y
y
B
P
1 sen 1 1 sen 1 x
2 cos 2 sen A
A) B)
1 sen cos 1 sen cos R
Q M
2 cos 2 sen
C) D)
1 sen cos A) (sen+cos)/2 B) 2 cosC) 2 sen
1 cos D) – senE) – cos
E) ½
15) En la figura mostrada la circunferencia es
11) Si: 29 cos(x+y)=2m2 – 21 ; x, yR, determine trigonométrica, hallar el área de la región
la extensión de m para que la expresión dada
sea válida. sombreada
AP .
A) 5 m 2 B) 2 m 5
C) m 5 m 2
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y
2, 1 2,0
Q D) E)
5) En la circunferencia trigonométrica, se pide
A indicar el valor de OC DB , en función del
ángulo "α"
C
P R
D B
1
tg 1 sen
1
ctg 1 sen A
A) 2 B) 2
1 O
tg 1 sen tg 1 sen
C) D) 2
1
tg 1 cos a) Sec Tan b) Sec Tan
E) 2 1 Cos
c) Sen d) Sec Csc
PROBLEMA DE REPASO 1 Cos
e) Sen
1) Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada uno
de las proposiciones siguientes: 6) En el círculo trigonométrico, calcular el área de
I. sen1>sen3 la región sombreada.
II. cos3>cos1
III.tg1 – tg3>1
A) VVV B) VFV C) VVF
D) FVV E) FFF O
2) Decir cual o cuales de las siguientes
proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).
1 (Sen Cos 1) 1 (Sen Cos 1)
I. sen(–3)<sen(–0,15)
a) 2 b) 2
II. |cos(–2)|>|cos(–1)|
1 (1 Sen Cos ) 1 (1 2Cos )
III.tg(–3)>tg(–2)
c) 2 d) 2
A) FFF B) VFF C) FVV
1 (1 2 Sen )
D) VVF E) VVV
e) 2
x 4
3) Si: , entonces al calcular la suma del 3 cos 1
C
máximo y mínimo valor de la expresión 7) Señale la variación de: cos 1 si: IVC
1 1
W cov .x ;2 ;1
8 3
, se obtiene: 2 2
a)<1; 2> b) c) d)<1; 3> e)<2; 3>
A) 1,5 B)2,5 C) 3 D)3,5 E) 4,5
8) Si II C y csc sen 2 determine la
x , 3
sen 1
4) Si: , determinar la variación
6senx 4 variación de “ csc 2 ”
H
de 3senx 4 . A) 9 B) 3 2 C) 3 3
;10 ; ;
2
2, 1
5 5 4 4
A)
2, 1
B)
2,1 C)
7
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D) 3 7 E) 9 12) Si: 2 sen 1 8 5cos ,
; ;4
5 5 4 halle: “ csc sec “
A) 2 B) 9 C) 1 D) 9 E) 1
9) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el
4 4 4 4
área de la región sombreada.
13) Halle los valores de cos x 30 ,
si x 0;30
A) 1 B) 3 C) 1 3
;1 ;1 ;
2 2 2 2
D) 3 1 E) 1;1
;
2 2
14) En la circunferencia trigonométrica de la
a) 0,51 sen cos b) 0,51 sen cos
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el
c) 0,51 sen cos d) 0,51 sen cos área de la región sombreada.
e) 0,81 sen cos
10) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si mAp = , determinar la
suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.
a) 0,5 b) 1 c) 2
tg 1 tg 1 tg 1
d) 0,5 e) 2
tg 1 tg 1
a) cos sen tg b) cos sen tg 15) Calcular BQ en el círculo trigonométrico
2 2 adjunto en función de "α"
c) cos sen Ctg d) cos sen Ctg B
2 2 Q
e) sen cos tg
” 135; 210 ,
O
11) Si se sabe que: “
ar la variación de: P 2.cos 1
A)
1;
2 B) 1 2 ; 0 C) 2; 1 a) 1 Sen b) 1 Sen
2
2(1 Sen ) 2(1 Sen ) 2(1 Cos )
c) d) e)
D) 1 2 ; 0 E) 1 2 ; 0
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