Teoria de telecomunicaciones i cap1y2

Teoría de
Telecomunicaciones I
I.E. Evelio Astaiza Hoyos

Teoría de Telecomunicaciones I 2
Objetivo
El estudiante, al finalizar el curso estará en capacidad de
describir los efectos de la contaminación de una señal
transmitida, las limitaciones físicas y tecnológicas de los
sistemas de Telecomunicaciones, identificar las distintas
formas existentes de procesamiento de señales de
naturaleza analógica y los criterios de selección de los
mismos.

Contenido del curso (1)
 GENERALIDADES
• Comunicación, mensajes y señales.
• El sistemas de comunicaciones.
• Limitaciones en la comunicación eléctrica.
• La modulación y la codificación.
• Cronología de la comunicación eléctrica.
 SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS (SISTEMAS LTI)
• Señales AC.
• Señales periódicas y series de Fourier
• Señales aperiódicas y Transformada de Fourier
• Relación entre el dominio del tiempo y la frecuencia.
• Respuesta de un sistema y filtros.
• Correlación y densidad espectral.

 SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO
• Introducción a la probabilidad (repaso)
• Variables aleatorias y funciones de probabilidad
• Promedios estadísticos
• Modelos útiles de probabilidad
• Señales aleatorias.
• El ruido y su filtración.
 COMUNICACIÓN DE BANDA BASE
• Señales y ruido.
• Distorsión de la señal transmitida.
• Pérdida de transmisión y decibeles en el sistema.

 MODULACIÓN LINEAL
• Señales y sistemas pasabanda
• Modulación de doble banda: AM y DSB
• Moduladores y transmisores.
• Moduladores de banda lateral suprimida: SSB y VSB.
• Conversión de frecuencia, detección y receptores.
• Múltiplex por división de frecuencia (FDM)
• Sistemas de televisión y facsímile.
 MODULACIÓN EXPONENCIAL
• Conceptos fundamentales: FM y PM.
• Análisis espectral de FM
• Anchos de banda de FM
• Modulación de fase (PM)
• Transmisores y receptores.

 RUIDO DE MODULACION DE ONDA CONTINUA
• Modelos y Parámetros del sistema.
• Interferencia.
• Ruido pasabanda
• Ruido en modulación lineal
• Ruido en modulación exponencial
• Comparación de los sistemas de modulación de onda continua.

Metodología
 CLASES
• Clases magistrales y practicas basadas en simulación
utilizando la herramienta MATLAB.
 EVALUACIÓN
• Parcial I: Evaluación escrita (25%) – Prácticas (10%)
• Parcial II: Evaluación escrita (25%) – Prácticas (10%)
• Final: Evaluación escrita (20%) – Prácticas (10%)

Bibliografía
Communication Systems – Bruce Carlson
Transmisión De Información. Modulación Y Ruido, Misha
Schawartz
Sistemas De Comunicación Digitales Y Analógicos. León W.
Couch Ii
Sistemas De Comunicación Electrónicas. Wayne Tomasi
Fundamentals Of Signals And System Using Matlab Edward
W. Kamen – Bonnie S. Heck

Información, Mensajes y
Señales
 Mensaje: Representación física de la información
producida por una fuente.
 Tipos de Mensaje: Analógico y digital.
 Un mensaje analógico puede ser entregado a un destino
con cierto grado de confiabilidad siempre y cuando este
“resida” en una forma de onda variante con el tiempo.
 Un mensaje digital puede ser entregado a un destino con
cierto nivel de precisión en una cantidad de tiempo
específica siempre y cuando la información “resida” en un
conjunto de símbolos.

Elementos de un Sistema de
Comunicación

Efectos Sobre la Señal
Producidos en el Canal
• Atenuación
• Distorsión
• Interferencia
• Ruido

Limitaciones de Diseño (1)
Ancho de banda: (Aplica como una medida de la
velocidad tanto para señales como para sistemas)
Cuando una señal varía rápidamente con el tiempo, su
espectro se extiende sobre un amplio rango, igualmente,
la habilidad de un sistema para seguir las variaciones de
una señal se refleja en su respuesta en frecuencia o en
su denominado ancho de banda de transmisión.

 Ruido: Térmico
Interferencia
Ínter modulación
La medida relativa de la cantidad de potencia de ruido en
una señal de información se expresa mediante la relación
de potencia de señal a ruido S/N
El ruido degrada la fidelidad de la señal en
comunicaciones analógicas e introduce errores en
comunicaciones digitales.

Considerando las limitaciones de ancho de banda y
ruido, Hartley y Shannon establecen que la tasa de
transferencia de información no puede superar la
capacidad del canal, la cual establece el límite superior
en el desempeño de un sistema de comunicaciones con
una relación señal a ruido y un ancho de banda dados.

Modulación y Codificación (1)
 Modulación: Alteración sistemática de una señal
portadora en correspondencia con las variaciones de una
señal moduladora.
 Métodos de Modulación.
Modulación de Onda Continua
Modulación de pulsos

 Beneficios de la Modulación
El propósito primario de la modulación en un sistema
de comunicaciones es adaptar a la señal a las
características del canal de transmisión.
• Eficiencia en la transmisión (Tamaño antenas)
• Superar limitaciones de hardware
• Reducción de ruido e interferencia
• Asignación de frecuencia
• Multiplexación

 CODIFICACIÓN
Es una operación de procesamiento de símbolos para mejorar
la comunicación cuando la información es digital o puede ser
llevada a la forma de símbolos discretos.
 CODIFICACIÓN DE CANAL
Es una técnica utilizada para introducir redundancia controlada
para el mejoramiento del desempeño y fiabilidad en un canal
ruidoso.
 CODIFICACION PARA CONTROL DE ERRORES
Permite la reducción del ancho de banda de ruido mediante la
adición de dígitos de verificación a cada palabra codificada.

Cronología en comunicaciones
(1)
 1800 – 1837 Desarrollos preliminares en
electricidad, magnetismo y
matemáticas
 1838 – 1866 Telegrafía
 1876 – 1879 Telefonía
 1887 – 1907 Telegrafía inalámbrica
 1904 – 1920 Comunicación electrónica
 1920 – 1928 Teoría de transmisión
 1923 – 1938 Televisión
 1944 – 1947 Teoría de la comunicación estadística
 1953 Televisión a color

Cronología en comunicaciones
(2)
 1948 – 1950 Teoría de la información
 1962 Comunicaciones satelitales
 1962 – 1966 Comunicaciones digitales
 1966 – 1975 Comunicaciones de banda ancha
 1969 Arpanet
 1972 Teléfono celular
 1990 – 2000 Sistemas de comunicación digital

CAPITULO II
Señales, Espectros y Filtros

Señales A.C. (1)
 Considere la familia de señales sinusoidales descritas de
la forma
 Donde A es el valor pico o amplitud, ωo es la frecuencia
en radianes y ø el ángulo de fase. La ecuación [1] implica
que la señal tiene un periodo de repetición

Señales A.C. (2)
 El reciproco del periodo es igual a la frecuencia en ciclos.

Señales A.C. (3)
 La representación fasorial de la señal proviene del
teorema de Euler.
 Luego, se puede representar cualquier señal sinusoidal
como la parte real de una función exponencial compleja

Señales A.C. (4)
 Para describir el mismo fasor en el dominio de la
frecuencia, se deben asociar la correspondiente amplitud
y fase con la frecuencia de rotación del fasor fo.

Convenciones utilizadas en
análisis espectral
 En todos los diagramas la variable independiente es
frecuencia (f).
 Los ángulos de fase son medidos referenciados a
señales coseno, o equivalentemente con respecto al
semieje real positivo del diagrama fasorial.
 Se debe considerar siempre a la amplitud de la señal
como una cantidad positiva, en caso de ser negativa
debe ser representada en la fase.
 Los ángulos de fase son expresados en grados incluso
cuando otros ángulos se encuentren expresados en
radianes.

Ejemplo (1)
 Considere la señal
 Utilizando las convenciones y expresándola en términos
de funciones coseno tenemos

Ejemplo (2)
 Obteniendo el diagrama de espectro un lado de la señal

Ejemplo (3)
 Sin embargo, otra representación de mayor valor
denominada diagrama de espectro de doble lado,
involucra valores negativos de frecuencia, representación
que puede obtenerse conociendo que
 Luego se puede obtener aplicando [4]

Ejemplo (4)
 Por consiguiente aplicando [7] a la expresión de
tenemos los diagramas

Señales periódicas y potencia
promedio (1)
Sinusoides y fasores son miembros de una clase general
de funciones periódicas, las cuales obedecen a la
relación
Por consiguiente una señal periódica se describe
completamente especificando su comportamiento en uno
de sus periodos.
La representación de una señal periódica en el dominio
de la frecuencia es el espectro obtenido por su expansión
en series de fourier, y se requiere que la señal posea una
potencia promedio finita.

promedio (2)
Dada una función v(t) su valor promedio para todo el
tiempo se define como
En el caso de una señal periódica con periodo To el
promedio se redefine como

promedio (3)
La definición de potencia promedio asociada a cualquier
señal periódica es
Digamos que v(t) es una señal periódica de potencia con
periodo To, su expansión en series complejas de fourier
es

promedio (4)
Los coeficientes de la serie se relacionan con v(t) a
través de
Estos coeficientes pueden ser expresados de forma polar
como

promedio (5)
Luego la expansión en series complejas de fourier [13]
expande una señal de potencia periódica como una suma
infinita de fasores de la forma
Se hace énfasis en la interpretación espectral escribiendo

promedio (5)
Donde representa la amplitud del espectro como
una función de la frecuencia y arg representa la fase
del espectro como una función de la frecuencia.
Existen 3 propiedades importantes del espectro de
señales de potencia periódicas
• Todas las frecuencias son múltiplos enteros o armónicos
de la frecuencia fundamental fo.
• La componente d.c. es el valor promedio de la señal
cuando n=0.

promedio (6)
Si v(t) es una función real en el dominio del tiempo
Lo cual indica que el espectro de amplitud presenta
simetría par y el espectro de fase simetría impar

promedio (7)
Dado lo anterior, la expansión en series complejas de
fourier de señales reales, permite el reagrupamiento en
pares complejos conjugados, excepto por C0, luego la
señal v(t) puede ser expresada como
La cual es denominada serie trigonométrica de fourier y
sugiere un espectro de un solo lado. Sin embargo la
mayoria de las veces se utilizan series exponenciales y
espectros de dos lados.

promedio (8)
 La integración para Cn generalmente involucra un
promedio fasorial de la forma

promedio (9)
Dado que esta expresión aparece una y otra vez cuando
se realiza el análisis espectral de una señal, se introduce
la función Sinc, la cual se define como
Donde λ representa la variable independiente

Ejemplo: Descomposición en series
de Fourier de un tren de pulsos
rectangulares (1)
 Para calcular los coeficientes de fourier, el rango de
integración se toma sobre el periodo central
 Así mismo, sabiendo que la función v(t) se define como

rectangulares (2)
 Los coeficientes de fourier están dados por

rectangulares (3)
Luego el espectro de magnitud está dado por
Si

rectangulares (4)
Y el espectro de fase se obtiene por la observación de
Cn, el cual siempre es real, pero en algunas ocasiones es
negativo, lo cual indica que arg toma valores de 0,
+180 y -180 dependiendo del signo de la función Sinc.

Condiciones de convergencia y
fenómeno de Gibbs (1)
Condiciones de Dirichlet
 Si una función periódica v(t) posee un número finito de
máximos, mínimos y discontinuidades por periodo, y v(t)
es absolutamente integrable, luego la serie de fourier
existe y converge uniformemente donde quiera que v(t)
sea continua.
 Si v(t) es cuadrado integrable, luego tiene un área
finita por periodo (equivalente a la potencia de la señal)

De acuerdo a las anteriores condiciones la serie
converge en la media si

 xx

Teorema de Parseval (1)
El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio
de una señal periódica con sus coeficientes de fourier.

Teorema de Parseval (2)
De la expresión anterior tenemos que la integral dentro
de la sumatoria es Cn
la expresión anterior indica que la potencia promedio de
una señal periódica puede ser encontrada por la suma
del cuadrado de las magnitudes de las líneas del
espectro de la señal.

Transformación de Fourier (1)
 Si una señal no periódica tiene una energía total finita, su
representación en el dominio de la frecuencia, será un
espectro continuo obtenido a partir de la transformada de
fourier.
 Así mismo, es mas apropiado hablar de la energía de
una señal no periódica que hablar de la potencia
promedio de la señal, puesto que en este tipo de señales,
su magnitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a
infinito, igual sucede con el cuadrado de la magnitud y
por consiguiente con su promedio de potencia.

La energía de una señal se obtiene de acuerdo a
Si la integral existe y converge a un valor mayor que cero
y menor que infinito, se dice que la señal tiene una
energía bien definida y se la denomina señal no periódica
de energía. Es una condición esencial que una señal sea
no periódica de energía para realizar su análisis espectral
utilizando la transformación de fourier.

Para introducir la transformada de fourier se parte de la
representación en series de fourier de una señal
periódica de potencia.
Considerando el ejemplo de la descomposición en series
de fourier del tren de pulsos, se puede observar que las
componentes de frecuencia se encuentran espaciadas en
intervalos

Luego se puede observar que las componentes de
espectro se acercan conforme el periodo se hace mayor,
en el caso de el pulso rectangular, puede considerarse
posee periodo infinito, por lo tanto, el espaciamiento
entre las componentes del espectro tiende a cero,
aproximándose a una variable continua de frecuencia f.

En la expresión anterior de v(t) el término entre corchetes
simboliza la transformada de fourier de la señal v(t), y se
define como una integración sobre todo el tiempo que se
encuentra definida la función de la variable f
La función en el dominio del tiempo puede ser
recuperada a partir de la transformada inversa de fourier.

Propiedades de la transformación de Fourier.
• La transformada de Fourier es una función compleja,
donde es la amplitud del espectro de v(t), y
argV(f) es el espectro de fase.
• El valor de V(f) en f=0 es igual al área neta de v(t).

 Si v(t) es real
 Luego, se presenta simetría par en el espectro de
magnitud e impar en el espectro de fase; las funciones
complejas que obedecen a esta propiedad se las
denomina poseen simetría hermitiana.

Ejemplo: Espectro de un pulso
rectangular (1)
 Sea un pulso rectangular
estándar centrado en t=0 y de duración , luego v(t) se
expresa de la forma

Ejemplo: Espectro de un pulso
rectangular (2)
 Luego

Señales simétricas y causales
(1)
 En general una señal puede ser expresada de la forma
 Donde
 Dado que
 Y representan las componentes par e impar de la señal
V(f).

(2)
 Si v(t) es real se cumple que
 Y por consiguiente
 Ahora, si v(t) es simétrica en el dominio del tiempo

(3)
Donde w(t) es válida para ambas v(t)coswt y v(t)sinwt.
Si v(t) presenta simetría par v(-t)=v(t)
Si v(t) presenta simetría impar v(-t)=-v(t)
Ahora considérese el caso de una señal causal
Con lo cual preclude cualquier tipo de simetría

(3)
Por lo tanto el espectro está formado por una parte real y
una imaginaria, luego
Integral que se asemeja a la transformada unilateral de
Laplace
La cual implica que v(t)=0 para t<0, luego si v(t) es una
señal causal de energía V(f) puede determinarse a partir
de la transformada unilateral de Laplace reemplazando s
por jw

Ejemplo: Pulso causal
exponencial (1)
 Sea la señal causal
 Para la cual es espectro esta dado por
 racionalizando
 Luego

Ejemplo: Pulso causal
exponencial (2)
Convirtiendo a coordenadas polares para obtener los
espectros de magnitud y fase

Teorema de energía de Rayleigh
Establece que la energía E de una señal v(t) está
relacionada con su espectro V(f) por
Dado lo anterior se puede establecer que para un pulso
rectangular la densidad espectral de energía para
Donde la energía total del pulso es

Relaciones tiempo – frecuencia
(Superposición)
Si a1 y a2 son constantes y
Luego
Generalizando
El teorema establece que combinaciones lineales en el
dominio del tiempo son expresadas igualmente como
combinaciones lineales en el dominio de la frecuencia

(Desplazamiento en el tiempo y
cambio de escala) (1)
 Desplazamiento en el dominio del tiempo causa
adiciones lineales de fase

(Desplazamiento en el tiempo y
cambio de escala) (2)
 Cambios de escala en el dominio del tiempo producen
cambios de escala recíprocos en el dominio de la
frecuencia

Ejemplo (1)
 Sea la señal donde
 Aplicando el teorema de superposición y desplazamiento
en el tiempo tenemos
 Con

Ejemplo (2)
Tenemos que
Luego si y entonces
y donde
entonces

Ejemplo (3)
 Donde
 Si y se convierte en

Ejemplo (4)
 Y el espectro es
 Donde se puede apreciar que es puramente imaginario
dada la simetría impar de la señal en el domino del
tiempo

(Traslación de frecuencia y
modulación)(1)
Multiplicar un función en el dominio del tiempo por
causa que su espectro sea trasladado en frecuencia por
+fc

(Traslación de frecuencia y
modulación)(2)
De acuerdo a la gráfica anterior tenemos:
• Las componentes significativas de frecuencia se
encuentran alrededor de fc.
• A pesar que V(f) tiene una banda limitada de W, V(f - fc)
tiene un espectro amplio de 2W.
• V(f - fc) es no hermitiana pero posee simetría con respecto
al origen trasladado f – fc.
Teorema de la modulación

Ejemplo: Pulso de RF
Sea la señal
Aplicando la propiedad de modulación tenemos

(Diferenciación e integración)(1)
Derivar una función en el dominio del tiempo, implica la
multiplicación por un factor complejo en el dominio de la
frecuencia
Para comprobarlo tenemos

(Diferenciación e integración)(2)
Generalizando
Integrar una función en el dominio del tiempo, implica la
división por un factor complejo en el dominio de la
frecuencia
si

Ejemplo: Pulso Triangular
 La forma de onda zb(t) posee área neta cero, y su
integración produce un pulso triangular.
Aplicando el teorema de integración

Convolución (1)
La convolución de dos funciones de la misma variable
v(t) y w(t) se define como
La integral de convolución no es difícil de calcular si las
dos funciones son continuas en el tiempo, pero si una o
ambas presentan discontinuidades, la interpretación
gráfica de la convolución es de gran ayuda, por ejemplo
sean las señales

Convolución (2)
 Luego

Convolución (3)
 En la figura anterior se puede apreciar que cuando t<0,
las funciones no se traslapan, luego
cuando 0 < t < T, las funciones se traslapan para 0 < λ < t
por lo tanto t es el límite superior de integración

Convolución (4)
Finalmente cuando t > T las funciones se traslapan para
t-T< λ < t
Luego la gráfica de la función resultante es

Teoremas de la convolución
La convolución satisface múltiples propiedades derivadas
de su definición o de su interpretación gráfica, tales como
Teniendo presentes las anteriores propiedades se listan
los teoremas de convolución

Ejemplo: Pulso Trapezoidal (1)
El pulso rectangular puede ser expresado como la
convolución de los pulsos rectangulares
Si el problema se puede estudiar en tres partes
• No hay traslape
• Hay traslape parcial
• Hay traslape total

En el caso de no traslape tenemos
En la región de traslape parcial

 En la región de traslape total
 Luego, el resultado es el pulso trapezoidal, del cual su
transformada puede expresarse como

Impulsos y transformada en el límite
(Propiedades del impulso unitario)
Considerando
Donde v(t) es continua en t=0, y si v(t)=1, tenemos
Las propiedades integrales mas significativas del impulso
son

(Impulsos en frecuencia)(1)
Una señal constante en el dominio del tiempo posee un
espectro definido por un impulso, luego
Generalizando

(Impulsos en frecuencia)(2)
Si v(t) es una señal periódica arbitraria
Luego su transformada de fourier es
Lo anterior indica que cualquier conjunto de espectro de
dos lados puede ser convertido a un espectro continuo,
permitiendo la representación de señales periódicas y no
periódicas por espectros continuos.

Ejemplo: Señal modulada en
frecuencia
 Sea la señal
 Con

Funciones escalón y signo (1)
La función signo se define como
Esta función es un caso particular de la función
Donde

 Luego
 Ahora, la función signo y la función escalón se relacionan

Convolucionando una función v(t) cualquiera con el
escalón tenemos
Luego
Lo anterior indica que el teorema de integración es válido
cuando V(0)=0

Impulso en el tiempo (1)
La transformada de un impulso en el dominio del tiempo
es una función constante en el dominio de frecuencia
De manera general aplicando la propiedad de
desplazamiento en el tiempo tenemos
Sea v(t) una función continua en el tiempo con
transformada bien definida V(f), luego

Luego
Así mismo se puede relacionar el impulso unitario con el
escalón unitario mediante
Por lo tanto

 De lo anterior y aplicando el teorema de diferenciación
tenemos
 Donde w(t) es una función no impulsiva; expresiones que
permiten analizar el espectro de alta frecuencia de una
señal para el diseño de sistemas, cuando alguna de las
derivadas de la señal presenta discontinuidades.

Respuesta de sistemas LTI (Respuesta
al impulso y superposición integral)(1)
Sea el sistema LTI
Donde la salida y(t) es la respuesta del sistema a la
entrada x(t) y representada por
La propiedad de linealidad indica que el sistema obedece
al principio de superposición, luego si (ak son constantes)

La propiedad de invarianza en el tiempo del sistema
indica que las características del sistema permanecen
fijas con el tiempo, por lo tanto
La mayoría de los sistemas LTI son sistemas
compuestos por elementos que se pueden caracterizar
como conjuntos de resistencias, inductores y capacitores,
el análisis directo de este tipo de sistemas relaciona la
entrada con la salida mediante una ecuación diferencial
lineal de la forma

Para obtener una relación explícita entre la entrada y
salida del sistema, se debe definir la respuesta al impulso
de dicho sistema
Y de acuerdo a que cualquier señal continua a la entrada
del sistema puede ser expresada como
entonces

 Lo anterior, de acuerdo a la propiedad de linealidad del
sistema, y dada la propiedad de invarianza en el tiempo
tenemos
 Por lo tanto, la salida del sistema se expresa como la
convolución de la respuesta al impulso del sistema con la
señal de entrada.

 Existen formas de calcular h(t) a partir de ecuaciones
diferenciales, pero es mas cómodo calcularla a partir de
la respuesta al escalón, luego, sea
 Lo anterior cumple con la propiedad general de
convolución
 luego

Respuesta en tiempo de un
sistema de primer orden
En el circuito de la figura, la ecuación diferencial que
describe el comportamiento del sistema, su respuesta al
escalón y al impulso son
Nótese que las respuestas g(t) y h(t) son respuestas
causales.

Funciones de transferencia y
respuesta en frecuencia (1)
 La función de transferencia de un sistema se define como
la transformada de fourier de la respuesta al impulso del
sistema
 Esta definición hace que sea necesario que H(f) exista,
dado que si h(t) es creciente con el tiempo (sistema
inestable) H(f) no existe. Cuando h(t) es real H(f) es
hermitiana. La interpretación en el dominio de la
frecuencia proviene de la convolución de la señal de
entrada al sistema con la respuesta al impulso del
mismo.

Luego, sea donde la
condición que x(t) exista para todo tiempo t está asociada
con las condiciones de estado estable del sistema, por lo
tanto la respuesta de estado estable del sistema está
dada por

Llevando H(fo) a forma polar se tiene
donde
luego
por lo tanto
son las repuestas en magnitud y fase del sistema como
funciones de la frecuencia.

 Por consiguiente, sea una señal x(t) con espectro X(f), se
tiene que y aplicando transformada se tiene
que y los correspondientes espectros de
magnitud y fase son
 Si x(t) es una señal de energía, luego y(t) también será
una señal de energía con densidad espectral de energía
y energía total igual a

 Finalmente, se puede determinar H(f) en un sistema sin
conocer h(t), conociendo la ecuación diferencial del
sistema, expresando H(f) como la relación de polinomios
 Igualmente se puede obtener la respuesta de estado
estable de un fasor como
cuando

Respuesta en frecuencia de un
sistema de primer orden (1)
 Redibujando el circuito del ejemplo anterior, con
impedancias y tenemos
 donde
cuando

Graficando el espectro de la respuesta del sistema
Para ilustrar mejor el comportamiento del sistema, sea
x(t) una señal de entrada arbitraria con espectro
contenido en Pueden ser estudiados 3 casos

Análisis de diagramas en
bloques

Ejemplo: Retenedor de orden
cero
Sea
El resultado anterior es aparentemente inusual, realizando el
proceso en el dominio del tiempo tenemos
la entrada al integrador es
cuando

Distorsión de señal en transmisión
(Transmisión sin distorsión) (1)
Se dice que se presenta transmisión sin distorsión
cuando la señal de salida del canal de transmisión difiere
de la señal de entrada solamente en un multiplicación por
una constante y en un retardo finito, por lo tanto
un sistema sin distorsión debe tener una respuesta
constante en magnitud y un desplazamiento lineal
negativo de fase, luego

(Transmisión sin distorsión) (2)
La gráfica muestra la densidad espectral de energía de
una señal promedio de voz
Típicamente se definen 3 tipos de distorsión
• Distorsión de amplitud
• Distorsión de retardo
• Distorsión no lineal cuando hay elementos no lineales.
De la gráfica se puede concluir
que un sistema que cumpla las
condiciones anteriores en el
rango de frecuencias desde
200Hz a 3200Hz puede
considerarse sin distorsión

(Distorsión Lineal)(1)
 La distorsión lineal incluye cualquier distorsión de
amplitud o retardo en un sistema de transmisión lineal.
Señal de prueba
Distorsión de fase θ=-90Distorsión de amplitud

La distorsión de amplitud ocurre cuando no es
constante con la frecuencia, si el desplazamiento de fase
no es lineal, cada componente de la señal sufre
diferentes cantidades de retardo causando distorsión de
fase o distorsión de retardo, dado que
Que será independiente de la frecuencia solamente si
arg H(f) es lineal con la frecuencia.
Veamos cual es el impacto de la distorsión de fase en
una señal modulada.

La función de transferencia de un canal arbitrario puede
ser expresada como
donde
si la entrada al canal es
Luego por la propiedad de retardo de la transformada
donde
por lo tanto, la portadora ha sido retardada td y las
señales moduladas retardadas tg
y

td corresponde al desplazamiento de fase de la portadora
y se denomina retardo de fase del canal o retardo de
portadora, el retardo entre la envolvente de la señal de
entrada y la señal de salida tg es denominado retardo de
envolvente o retardo de grupo del canal.
Para poder recuperar las señales originales, el retardo de
grupo debe ser constante, luego
donde

Ecualización (1)
La distorsión lineal teóricamente es reversible mediante
redes de ecualización
Para el cual la salida total sería sin distorsión si se
cumple que de donde
Difícilmente se consigue el diseño de un ecualizador que
cumpla la condición anterior, pero se obtiene una buena
aproximación.

Ecualización (2)
 Una de las técnicas mas antiguas de ecualización para
líneas telefónicas es la utilización de bobinas de
pupinización, un método mas reciente consiste en la
utilización de ecualizadores de líneas de retardo o filtros
transversales
Generalizando

Ejemplo: Distorsión
Multitrayectoria
 Supóngase la salida de un canal de radio sea
 Donde el segundo término corresponde a un eco del
primero si t1<t2, luego
 Por lo tanto las características del ecualizador requerido
son
 Si lo cual
revela que si fuese un medio cableado serviría un
ecualizador con TAP de la forma y
donde

Distorsión no lineal y
compansión (1)
 En un sistema no lineal, su comportamiento no puede ser
descrito por una función de transferencia, en lugar de ello
los valores instantáneos de entrada y salida son
relacionados por una curva o función
comúnmente llamada característica de transferencia.
Bajo condiciones de entrada
de pequeña señal, es
posible linealizar la función
como se muestra en la
figura, bajo expresiones de
la forma.

compansión (2)
A pesar de que no existe una función de transferencia, el
espectro de la salida puede ser obtenido a partir del
teorema de convolución
Si la señal x(t) es limitada en banda W, la respuesta de
un sistema lineal no podría contener componentes mas
allá de la banda , pero en el caso de sistemas
no lineales, la salida incluye componentes
de la forma
que se encuentran en bandas 2W,3W, etc., las cuales
pueden ser eliminadas a partir de filtrado.

compansión (3)
 Sin embargo, aún queda el problema de la eliminación de
componentes aditivas en la banda lo cual
produce la distorsión no lineal en cuestión. Por ejemplo
sea la señal la cual se introduce al
sistema anterior, luego

compansión (4)
 La solución a la situación anterior es la introducción de
dos sistemas tales que

Perdidas de transmisión y decibeles
(ganancia de potencia)(1)
 Además de la distorsión un canal de comunicaciones
también reduce el nivel de potencia de la señal, lo cual
puede ser compensado por amplificación.
 En un sistema LTI sin distorsión se tiene que
 Donde Pin es la potencia promedio de la señal de
entrada
 Luego
 Los dB siempre representan razones de potencias y los
dBW o los dBm representan potencia.

Perdidas de transmisión y decibeles
(ganancia de potencia)(2)
 Considerando un sistema descrito por su función de
transferencia H(f), si a la entrada del sistema se introduce
una señal sinusoidal con amplitud Ax y produce una
amplitud de salida y las potencias
normalizadas son y no
necesariamente iguales a Pin y Pout, sin embargo
cuando hay adaptación de impedancias es igual a
, por lo tanto si luego
en este caso la ganancia de potencia también aplica a las
señales de energía en el sentido que , además
se tiene que la ganancia relativa de potencia se define
como

Perdidas de transmisión y
repetidores (1)
Las pérdidas de transmisión o atenuación se definen
como
Donde
En el caso de las líneas de transmisión, cable coaxial,
fibra óptica y guías de onda, la potencia de salida
decrementa exponencialmente con la distancia, luego
Donde es la distancia del canal de transmisión y α es
el coeficiente de atenuación en dB por unidad de
longitud, luego

repetidores (2)

repetidores (3)
 La figura representa un sistema de transmisión por cable
con un amplificador de salida y un amplificador operando
como repetidor en la mitad del trayecto de transmisión,
luego

Sistemas de radio (1)
 Se examinarán las perdidas de transmisión en un
sistema de radio propagación por línea de vista.
 Las pérdidas de espacio libre en un enlace por línea de
vista son debidas a la dispersión atmosférica, y dadas
por

Sistemas de radio (2)
Expresando en kilómetros y f en gigahertz
las antenas tienen un efecto focalizador que actúa como
amplificador en el sentido que
la máxima ganancia de antena para una apertura de área
efectiva es

Ejemplo: Sistema de
transmisión por satélite (1)
La figura muestra un enlace satelital que utiliza un
satélite geoestacionario operando en la banda C con
frecuencia de subida de 6Ghz y de bajada de 4Ghz.

Ejemplo: Sistema de
transmisión por satélite (2)
Las pérdidas en el enlace de subida están dadas por
y en el enlace de bajada
el satélite tiene un amplificador repetidor que produce
una salida típica de 18dBW, si la potencia de entrada al
transmisor es de 35dBW, la potencia recibida en el
satélite es de
Luego la potencia de salida de la antena del receptor es

Filtros y filtrado (Filtros ideales)
(1)
Un filtro ideal por definición posee las características de
un sistema sin distorsión para una o varias bandas de
frecuencias y respuesta cero para todas las demás
frecuencias.
Los parámetros y son las frecuencias de corte
inferior y superior respectivamente, y el ancho de banda
del filtro esta dado por

Filtros y filtrado (Filtros ideales)
(2)
Sin embargo, todos los filtros ideales son irrealizables,
debido a que sus características de transferencia no
pueden ser obtenidas a partir de un conjunto finito de
elementos. Por ejemplo, la función de transferencia y
repuesta al impulso de un filtro pasabajos (LPF) se puede
escribir como

Limitación en banda y en tiempo
Se dice que una señal v(t) es limitada en banda si existe
una constante W tal que
De manera similar v(t) es limitada en tiempo si para las
constantes t1<t2
Por lo tanto cualquier señal limitada en banda existe para
cualquier tiempo y viceversa, luego las señales
perfectamente limitadas en banda y limitadas en tiempo
son mutuamente excluyentes, entonces abandonaremos
el concepto de señales limitadas en banda porque por
ello se debería aceptar modelos de señal que existan
para todo tiempo (señales no causales).

Filtros reales (1)
La figura muestra el espectro de magnitud de un filtro
real pasa banda
Los puntos en los cuales termina la banda pasante son
definidos por
Además en los filtros reales, se pueden observar 3
regiones bien definidas, región de banda pasante,
transición y banda detenida.

Filtros reales (2)
 El filtro estándar mas simple es el filtro pasabajas de
Butterworth de orden n, el cual tiene n elementos
reactivos y si K=1 se tiene
 Donde B es el ancho de banda de 3dB y Pn es un
polinomio complejo; la familia de polinomios de
Butterworth se definen por la propiedad
 Por consiguiente las primeras n derivadas de son
cero para f=0 y se dice que es máximamente
plana.

Filtros reales (3)
Un filtro de Butterworth de primer orden tiene las mismas
características de un filtro RC pasa bajos, con una pobre
aproximación a un LPF ideal.
Pero la aproximación mejora a medida que se incrementa
n, la siguiente tabla muestra algunos de los polinomios
de Butterworth para n=1 hasta 4 con

Filtros reales (4)
Una idea clara de la relación de amplitud en la región de
transición se obtiene a partir del diagrama de bode, luego
a medida que se incrementa n la respuesta en magnitud
del filtro es mas aproximada a la ideal, pero la respuesta
de fase en la banda pasante es menos lineal.

Filtros reales (5)
Luego, en los casos en los cuales la linealidad de la fase
es un factor fundamental, los filtros de Bessel – Thomson
son una mejor opción, de acuerdo a que presentan una
característica de máximo desplazamiento de fase lineal,
pero presentan una amplia región de transición. Por otro
lado las clases de filtro de igual rizado (equiripple) tales
como Chebysheb y elípticos proporcionan mejores
caídas en la región de transición, pero presentan
pequeños rizados en la región pasante y significativo
desplazamiento de fase no lineal.

Ejemplo: Filtro de Butterworth
de segundo orden (1)
El siguiente circuito es un filtro pasa bajos de Butterworth
de segundo orden con
Por lo tanto su función de transferencia es

Ejemplo: Filtro de Butterworth
de segundo orden (2)
Luego de acuerdo a los polinomios de Butterworth
tenemos que se requiere
Por lo tanto, la relación entre R, L, C que satisface la
ecuación es
Lo cual implica que

Respuesta al pulso y tiempo de
rizado (1)
Un pulso rectangular, o cualquier otra señal con
transiciones abruptas contienen una cantidad significativa
de componentes de alta frecuencia que pueden ser
atenuadas o eliminadas por filtros pasabajos.
El filtrado del pulso produce un efecto de “aplanamiento”
que puede ser estudiado en el dominio del tiempo, este
estudio se puede iniciar considerando a la entrada de un
filtro un escalón unitario que representaría el borde del
pulso, luego la respuesta al impulso del filtro será

rizado (2)
 Luego la respuesta al impulso de un filtro de primer orden
es
 Donde B es el ancho de banda del filtro, pero el filtro de
primer orden no tiene restricciones severas con respecto
a la limitación en banda, por consiguiente un filtro ideal
su respuesta al impulso es , luego
 Donde

rizado (3)
 Donde la primer integral es igual a ½, pero la segunda
requiere integración numérica, luego

rizado (4)
El tiempo de rizado es una medida de la velocidad de la
respuesta al impulso de un filtro, usualmente definido
como el intervalo tr entre g(t)=0.1 y g(t)=0.9, el tiempo de
rizado para un filtro de primer orden es de y
para un filtro ideal es de por lo tanto se
considera en general
ahora si la señal de entrada al filtro es un pulso
rectangular con duración e inicio en t=0
y

rizado (5)
Luego
Donde se observa que la respuesta tiene una forma
aproximadamente rectangular cuando mientras
es completamente distorsionado cuando

rizado (6)
Por lo tanto para transmitir pulsos rectangulares se
requiere un ancho de banda grande para reproducir su
forma
Pero para detectar el envío de un pulso o medir su
amplitud es suficiente con
Además la detección y resolución de pulsos están
generalmente relacionadas con la medida relativa a un
tiempo de referencia de posición de pulsos.

Filtros de cuadratura y
transformada de Hilbert (1)
La transformada de fourier es muy útil cuando deseamos
descomponer señales de acuerdo a su contenido de
frecuencia, sin embargo a veces es conveniente
descomponer las señales en función de su fase, para
estas aplicaciones se utiliza la transformada de Hilbert, la
cual se introduce en conjunción con los filtros en
cuadratura, el cual es una red pasa todo que
simplemente desplaza la fase de las componentes
positivas de frecuencia en -90° y las componentes
negativas de frecuencia un ángulo de +90°, luego un
desplazamiento de fase de es equivalente a
multiplicar a la función de transferencia por

Luego la función de transferencia del filtro puede ser
escrita en términos de la función signo como
y su correspondiente repuesta al impulso
obtenida por dualidad dado que luego

 Si se introduce al filtro una señal arbitraria x(t), luego la
salida del filtro puede ser definida como
la transformada de Hilbert de x(t) denotada como
 Nótese que la transformada de Hilbert es una
convolución y por lo tanto transforma una función en el
dominio tiempo a otra también en el dominio tiempo, no
está efectuando un cambio de dominio, por lo tanto el
espectro de como

 Se puede observar de la ecuación de que es un
sistema no causal, y por lo tanto físicamente no
realizable, aunque su comportamiento puede ser
aproximado en una banda finita de frecuencias.
 Presumiendo que la señal de entrada al filtro x(t) es real
1. El espectro de magnitud de una señal y el de su transformada de
Hilbert es igual, luego la energía o potencia de la señal y de su
transformada también es igual.
2. Si es la transformada de Hilbert de la señal luego
es la transformada de Hilbert de
3. Una señal y su transformada de Hilbert son ortogonales

Ejemplo: Transformada de
Hilbert de una señal coseno
Sea luego
Por lo tanto
Este par de transformadas son muy utilizadas para
encontrar la transformada de Hilbert de cualquier señal
que consiste de la suma de sinusoides.

Ejemplo: Transformada de Hilbert
de un pulso rectangular (1)
 Sea su transformada de Hilbert
 Gráficamente tenemos

Ejemplo: Transformada de Hilbert
de un pulso rectangular (2)
Como se aprecia en la gráfica para el caso en el cual
las áreas se cancelan entre y y
luego
Por ultimo no existe cancelación de área para
Combinando en una expresión

Correlación y densidad
espectral
 La correlación se enfoca en el estudio de promedios
temporales y señales de energía o potencia, tomando la
transformada de Fourier de una función de correlación se
obtiene una representación en el dominio de la
frecuencia en términos de funciones de densidad
espectral, teniendo como ventaja que las señales por si
mismas no necesariamente deben ser Fourier
transformables, por ello, la densidad espectral permite
modelar un amplio rango de señales incluyendo las
señales aleatorias.

Correlación y densidad espectral
(correlación de señales de potencia)(1)
Sea v(t) una señal de potencia no necesariamente real o
periódica, solamente se establece que debe tener bien
definida su potencia promedio
El promedio temporal de una señal debe interpretarse
Con las siguientes propiedades

Si v(t) y w(t) son señales de potencia, el promedio
se denomina producto escalar de v(t) y w(t), el producto
escalar es un número, posiblemente complejo que sirve
como una medida de similaridad entre dos señales; la
desigualdad de Schwarz relaciona el producto escalar
con las potencias de las señales
Ahora, sea

la potencia promedio de z(t) será
Si a=1 y
Donde se observa que un gran valor del producto escalar
implica señales similares, de igual manera un pequeño
producto escalar implica señales disimilares y

Definiendo la correlación cruzada (crosscorrelation) de
dos señales de potencia como
La cual es el producto escalar con la segunda señal
retardada con relación a la primera, donde el
desplazamiento es la variable independiente, donde
la variable t ha sido omitida del promedio temporal; las
propiedades generales de son
Luego la correlación cruzada mide la similaridad entre
y como una función de

Por lo tanto la correlación cruzada es una medida mas
sofisticada de la similaridad de dos señales que el
producto escalar dado que detecta similaridades de las
señales desplazadas en el tiempo que el producto
escalar puede obviar. Si se correlaciona una señal con si
misma, se genera la función de autocorrelación, la cual
nos da una idea de la variación en el tiempo de la señal
en un sentido promedio.
Si es grande, se puede inferir que es
muy similar a para un valor de particular.

Algunas propiedades de la función de autocorrelación
luego posee simetría hermitiana y máximo valor en
el origen igual que la señal de potencia. Si es real,
luego será real y par. Si es periódica
tendrá la misma periodicidad.
Considerando la señal , obteniendo su
autocorrelación se encuentra que
y si y son no correlacionadas para todo luego
y haciendo

Ejemplo: Correlación de fasores
y sinusoides (1)
El producto escalar de dos fasores o señales
sinusoidales se describe como
Resultado que se aplicará mas adelante, luego sean
Donde y son constantes complejas que afectan la
magnitud del fasor y su fase.

Ejemplo: Correlación de fasores
y sinusoides (2)
Luego la correlación cruzada es
Luego, los fasores son no correlacionados a menos que
tengan frecuencias idénticas. Por lo tanto la función de
autocorrelación es
Por lo tanto, para una señal sinusoidal

Correlación de señales de
energía (1)
Productos de promedios de señales de energía durante
todo el tiempo producen valor cero, pero se puede hablar
de energía total de una señal, la cual se define como
De manera similar la correlación de señales de energía
se puede definir como

energía (2)
Luego, las propiedades matemáticas de la operación
son las mismas que la operación de promedio
temporal , luego todas las relaciones previas se
cumplen reemplazando por por ejemplo, la
propiedad
Examinando de manera mas detallada la definición de
correlación para señales de energía, se puede observar
que es un tipo de convolución, entonces, para
y la correlación

energía (3)
Por lo tanto
Otras relaciones obtenidas a partir de la transformada de
Fourier
combinando con

Correlación y sistemas LTI (1)
Una señal x(t) tiene una autocorrelación conocida
la cual es aplicada a un sistema LTI con respuesta al
impulso h(t) produciendo la señal de salida
luego la función de correlación cruzada entre la entrada y
salida del sistema es
y la función de autocorrelación de la salida es

luego
asumiendo que x(t) y y(t) son señales de potencia (igual
aplica para señales de energía) tenemos que
introduciendo la superposición integral para
e intercambiando el orden de las operaciones
pero si para cualquier λ

luego
de la misma manera
en la cual haciendo el
cambio de variable

Funciones de densidad
espectral (1)
Dada una señal de potencia o energía v(t) su función de
densidad espectral representa la distribución de
potencia o energía en el dominio de la frecuencia y tiene
dos propiedades esenciales, la primera indica que el área
bajo es igual a la potencia promedio o energía
total de la señal
la segunda indica que si x(t) es la entrada a un sistema
LTI con , luego las funciones de densidad
espectral de entrada y salida están relacionadas por

espectral (2)
donde es la ganancia de potencia o energía a
cualquier frecuencia f , luego
ecuación que expresa la salida de potencia o energía en
términos de la densidad espectral de la señal de entrada
Para arbitraria y actuando como un filtro de
banda angosta de ganancia unidad se tiene

espectral (3)
gráficamente
si es lo suficientemente pequeño el área bajo
será y de lo cual
se concluye que a cualquier frecuencia es
igual a la potencia o energía de la señal por unidad de
frecuencia.

espectral (4)
De lo anterior se puede concluir que cualquier función de
densidad espectral debe ser real y no negativa para
cualquier valor de f.
Para calcular la función de densidad espectral de una
señal v(t), el teorema de Wiener – Kinchine establece
luego se define el par transformado

espectral (5)
Si v(t) es una señal de energía con luego
y se obtiene la densidad espectral de energía.
Si v(t) es una señal periódica de potencia con expansión
en series de Fourier
luego la densidad espectral de potencia o potencia
espectral está dada por

Ejemplo: Densidad espectral de energía
de señales en sistemas LTI (1)
Sea la entrada a un sistema con función
de transferencia
calculando la densidad espectral de energía de x(t)
y calculando la correspondiente densidad espectral de
y(t)

se sabe que
también se pudo haber calculado
de donde
de manera similar para y(t)

se tiene
y de manera correspondiente
calculando

Ejemplo: Filtro de peine (1)
Considere el filtro de peine con respuesta al impulso
Conociendo la densidad espectral
de la señal de entrada, la densidad
espectral de la señal de salida y la
autocorrelación se obtienen como

Ejemplo: Filtro de peine (2)
conociendo la autocorrelación de la señal de entrada
y convirtiendo a notación exponencial
luego
y la salida de potencia o energía es

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