Sistemas de Conmutación: Evaluación de prestaciones y dimensionado II

Índice
Introducción a la Teoría de Colas.
Sistemas con rechazo: Probabilidad de bloqueo.
Modelos:
• Erlang: M/M/m/m.
• Molina: M/M/∞
• Engset: M/M/m/m/N.
• Bernouilli: M/M/N/N/N.

Encaminamiento múltiple: Efectos de la sobrecarga.
Desbordamiento de llamadas.
Fenómeno de llamadas persistentes.
Sistemas de espera: Tiempo medio de respuesta.

˜ ı ´
Departamento de Enxener´a Telematica ´
Sistemas de Conmutacion ´
Evaluacion de prestaciones y dimensionado– p.54

Modelo de Erlang: M/M/m/m
µ
1 λ λ λ
2 λ 1
. 0 m
.
.
. µ 2µ mµ
λB m
N proceso de nacimiento y muerte:
n−1 n−1
λi λ λn An
pn = p0 · = p0 · = n
· p0 = · p0 ∀n ∈ [0, m]
i=0
µi+1 i=0
(i + 1) · µ n! · µ n!
∞ m m
Ai Ai
1= pi = p0 · ⇒ p−1 =
0 ,
i=0 i=0
i! i=0
i!
n
A
por tanto pn = m i
∀n ∈ [0, m]
A
n! ·
i=0
i!
Resultado válido para cualquier modelo M/G/m/m
˜ ı ´

Probabilidad de bloqueo
B = BT por propiedad PASTA: µ
1
∆ Am λ 2
E (m, A) = B = BT = pm = m
Ai .
.
m! · .
.
i=0
i! λB m

Recursión:
∆ 1 n
I (n, a) = = 1 + · I (n − 1, a) ∀n ≥ 1, ∀a ∈ R+
E (n, a) a

con I (0, a) = 1.

˜ ı ´

Sinergia (I)
Tráﬁco medio ofrecido por m
o 22 .
.
terminal a = 0′ 1: ¿n de .
22 . m
líneas serie m (N = 22 .
. .
88 m′
m CPU . CPU
usuarios) y m′ (N = 88 22 .
.
. .
m
usuarios) para un grado de 22 .
.
.
servicio B < 5 %?
N
A = 22 · a = 2′ 2 −→ E (m, 2′ 2) < 0′ 05 ⇒ m > 4 → m = 5 < 4
= 5′ 5
Con los 4 grupos tenemos en total: 4 · 5 = 20 líneas serie.
A′ = 88 · a = 8′ 8 −→ E (m′ , 8′ 8) < 0′ 05 ⇒ m′ > 12 →
′
m′ = 13 < N = 22. Total: 13 líneas serie.
4

¿B con sobrecarga del 50 %?
As = 1′ 5 · A = 1′ 5 · 2′ 2 = 3′ 3 A′s = 1′ 5 · A′ = 1′ 5 · 8′ 8 = 13′ 2
Bs = E (5, 3′ 3) = 13′ 62 % B′s = E (13, 13′ 2) = 19′ 92 %
˜ ı ´

Sinergia (II)

m 1 2 5 20 50 100
AB=1 % 0′ 010 0′ 153 1′ 361 12′ 031 37′ 901 84′ 064
ρ 0′ 010 0′ 076 0′ 269 0′ 596 0′ 750 0′ 832
As = 1′ 2 · AB=1 % 0′ 012 0′ 183 1′ 633 14′ 437 45′ 482 100′ 877
E (m, As ) × 100 1′ 198 1′ 396 1′ 903 3′ 640 5′ 848 8′ 077
ρ 0′ 012 0′ 090 0′ 320 0′ 696 0′ 856 0′ 927

Conclusiones:
La utilización de los recursos, para el mismo grado de servicio
B = 1 %, es mayor en grupos grandes.
Los grupos grandes son más sensibles al tráﬁco de sobrecarga.
˜ ı ´

Modelo de Molina: M/M/∞
Dada la distribución de N cuando m es ﬁnito: 1
µ

An An An −A λ
pn = m −−
−→ = · e = p′n 2
Ai m→∞ n! · eA n!
n! · 3

i=0
i!
4
. . .
y p′n < pn . De m = ∞ ⇒ E [N ] = Var [N ] = A. .
. .
. .
.

Molina propone a B′ como estimación de la probabilidad de bloqueo:

m−1

′ ′
B =1− pk 



k=0
m−1
⇒ B′ > E (m, A)


E (m, A) = pm = 1 − pk 



k=0

˜ ı ´

Interpretación de reintentos
µ
Sistema: λ
líneas
telefónicas
FS (t) = 1 − e−µt ,
sistema con m recursos,
usuarios
v.a. tiempo de reintentos continuados reintentando
d
hasta abandono R = S,
..
.. .
. .
.
.. . .
a
entonces bloqueo 1 llamada:
∞ m−1
B′ = p′k = 1 − p′k
k=m k=0
a
1 aproximación, aunque informal, al fenómeno de reintentos.
Utilizado por la Bell Telephony en vez del modelo de Erlang.

˜ ı ´

Modelo de Engset: M/M/m/m/N
Tiempo entre queda inac- 1 1 λ · (N − m + 1)
2 λ · N λ · (N − 1)
tiva una fuente y genera 3
λo 2
. 0 1 m
. .
otra llamada (tiempo de .
.
.
.
. µ 2µ mµ
meditación): v.a. U con N λo · B
m
−λ·x
FU (x) = 1 − e .
N proceso de nacimiento y muerte:
n−1 n−1
λi λ · (N − i) N! · λn
pn = p0 · = p0 · = · p0
i=0
µi+1 i=0
(i + 1) · µ (N − n)! · n! · µn
N
= ∆ · αn · p0 ∀n ∈ [0, m]
α=λ/µ n N
∞ m m · αn
N N n
1= pi = p0 · · αi ⇒ p0 =
−1
· αi → pn = m
i i N
i=0 i=0 i=0
· αi
i=0
i
˜ ı ´

Probabilidad de bloqueo (I)
1 1
N
· αm 2
λo λc
m 3
2
BT = pm = m .
.
N . .
.
· αi .
.
.

i=0
i m
N λo · B

m m
λo = (N − i) · λ · pi = Nλ − λ · i · pi = (N − Ac ) · λ
i=0 i=0
m−1
λc = (N − i) · λ · pi = λo − (N − m) · λ · pm
i=0

∆ λo − λc (N − m) · λ · pm N−m
Eng (N, m, α) = B = = = · BT < BT
λo (N − Ac ) · λ N − Ac

˜ ı ´

Probabilidad de bloqueo (II)
N−i N N! N − i 1 (N − 1)! N−1
· = · · = =
N i N (N − i)! i! (N − 1 − i)! · i! i

N
(N − m) · · αm
λo − λc (N − m) · λ · pm N m
Eng (N, m, α) = = m = · m
λo N N
(N − i) · λ · pi (N − i) · · αi
i=0 i=0
i
N−1
· αm
m
= m = BT |N−1
N−1
· αi
i=0
i

τ τ
La distribución marginal de N ( i ), i i = 1, 2 . . . instantes de
llegada de un usuario, es la misma que la distribución de N (t) si
dicho usuario no estuviese. ˜ ı ´

Probabilidad de bloqueo (y III)

N−1
· αm
m
Eng (N, m, α) = m
N−1
· αi
i=0
i

Recursión, con Eng (N, 0, α) = 1:
−1 m
Eng (N, m, α) =1+ · Eng (N, m − 1, α)−1
α · (N − m)

˜ ı ´

Tráfico ofrecido por fuente: a
V.a. tiempo entre llegadas S1 U1 U2 U3 S2

consecutivas de una fuente:
τ
Υ = U + [N ( ) < m] · S: τ 1 τ 2 τ τ 3 4

1 1 1 + (1 − B) · α
τ
Υ = U + Pr [N ( ) < m] · S =
λ
+ (1 − B) · =
µ λ

Para obtener el tráfico ofrecido por fuente (tráfico cursado si no se
bloquea ninguna llamada):

′ 1 α α S
a = ·S = −→
− a= =
Υ 1 + (1 − B) · α B=0 1+α S+U

Si a es el dato:
a
α=
1−a
˜ ı ´

Bloqueo de llamada versus bloqueo de tráfico
1 ↑ 1 ↓ 1
← − λo = N ·
−− −−
−→
U 0←m Υ m→N U + S
Modelo de población finita:

∆λo [m] − λc
B=
λo [m]
∆ A − Ac λo [N] · S − λc · S λo [N] − λc
BA = = = < B
A λo [N] · S λo [N] λo [N]<λo [m]

Modelo de población infinita:

λo [m] − λc
∆ λ − λc
B= =
λo [m] λo [m]=λ λ
∆ A − Ac λo [∞] · S − λc · S λo [∞] − λc λ − λc
BA = = = = =B
A λo [∞] · S λo [∞] λo [∞]=λ λ
˜ ı ´

Bloqueo de tráfico
Tráfico medio ofrecido: A = N · a.
Caudal cursado por usuario:
λc 1 λ
= · (1 − B) = · (1 − B)
N Υ 1 + (1 − B) · α

Tráfico medio cursado de un usuario (Ac = N · ac ):
λc α
ac = ·S = · (1 − B)
N 1 + (1 − B) · α
Probabilidad de bloqueo de tráfico (proporción de tráfico ofrecido
bloqueado) BA : α α · (1 − B)
−
∆ A − Ac N · a − N · ac a − ac 1 + α 1 + (1 − B) · α
BA = = = = α
A N·a a
1+α
1 + (1 − B) · α − (1 + α) · (1 − B) B
= = <B
1 + (1 − B) · α 1 + (1 − B) · α
˜ ı ´

Comparación con Erlang
22 . m
.
.
m
Tráﬁco nominal a = 0′ 1: 22 .
.
. . m′
a m CPU 88
. CPU
α= = 1/9: 22 .
.
1−a . .
22 . m
.
.

N = 22 A = 2′ 2 m = 5: N = 88 A′ = 8′ 8 m′ = 13:

Eng (22, 5, 1/9) = 3′ 826 % = B Eng (88, 13, 1/9) = 4′ 428 % = B
E 13, 8′ 8 = 4′ 909 % = 1′ 1087 · B
` ´
E 5, 2′ 2 = 4′ 880 % = 1′ 2755 · B
` ´

¿m para B < 5 %?: ¿m′ para B < 5 %?:

Eng 88, m′ , 1/9 < 0′ 05 ⇒ m′ > 12 → m′ = 13
` ´
Eng (22, m, 1/9) < 0′ 05 ⇒ m > 4 → m = 5

Erlang aproximación conservativa de Engset.
Fórmula de Engset válida para cualquier modelo M/G/m/m/N ó
G/M/m/m/N
˜ ı ´

Modelo de Bernouilli: M/M/N/N/N
1 1
2 λN λ · (N − 1) λ
λo = λc 2
Dada la distribución 3
. 0 1 N
. .
.
para m ≤ N: .
.
.
.
µ 2µ Nµ
N
N

N N
· αn · αn
n n N αn
pn = m = = ·
N N
N n (1 + α)N
· αi · αi
i=0
i i
m=N i=0
n
a
N 1−a N
= · N
= · an · (1 − a)N−n = p′n ,
n a n
1+
1−a
˜ ı ´

Modelo de Bernouilli: G/G/N/N/N
usuario activo (resp. inactivo) independientemente de cómo estén
los demás, con probabilidad a = ρ (resp. 1 − a = 1 − ρ)
probabilidad de un grupo concreto de n recursos ocupados con
los otros N − n libres: an · (1 − a)N−n
número de conjuntos distintos de exactamente n recursos
N
ocupados de N:
n

por tanto distribución binomial:

N
p′n = · an · (1 − a)N−n
n

Además E [N ] = N · a y Var [N ] = E [N ] · (1 − a) < E [N ].

˜ ı ´

Bloqueo en serie (I)
∆ A′i − Ai+1
′ A = A′
1 A′ A′ A′ A′
n+1 = Ac
B′i =
2 3 n
1 2 ... n
A′i
A′i = A′i−1 · 1 − B′i−1 A′ · B′
1 1 A′ · B′
2 2 A′ · B′
n n
n
Ac = A · (1 − B) = A′n · (1 − B′n ) = A · (1 − B′i )
i=1
⇓
n n n n
B=1− (1 − B′i ) = B′i − B′i · B′j + · · · ≃ B′i
B′ ≪1
i=1 i=1 i,j=1 i i=1
i=j ∀i∈[1,n]

Conmutación de paquetes:
uso secuencial de recursos ⇒ A′i = Ai , B′i = Bi

˜ ı ´

Bloqueo en serie (II)
∆ A′′ − A′′
i i+1
A′′ = Ac
n+1 A′′
n
A′′
n−1 A′′
2 A′′ = A
1
B′′ =
i n n−1 ... 1
A′′
i
A′′ = A′′ · 1 − B′′
i i−1 i−1
A′′ · B′′
n n
A′′ · B′′
n−1 n−1 A′′ · B′′
1 1
n
Ac = A · (1 − B) = A′′ · (1 − B′′ ) = A ·
n n (1 − B′′ )
i
i=1
⇓
n n n n
B=1− (1 − B′′ ) =
i B′′ −
i B′′ · B′′ + · · ·
i j ≃ B′′
i
B′′ ≪1
i=1 i=1 i,j=1 i i=1
i=j ∀i∈[1,n]

Conmutación de paquetes:
uso secuencial de recursos ⇒ A′i = Ai , B′i = Bi
Conmutación de circuitos:
uso simultáneo de recursos ⇒ ¿orden de análisis? → arbitrario
¿A′i = A′′ y B′i = B′′ tienen alguna interpretación física? → no
n−i n−i
˜ ı ´

Bloqueo en serie: Sistema simple
Ac = Ac 1 = Ac 2 C

= A · (1 − B′1 ) · (1 − B′2 ) 1 1
1 2 A 2 2 Ac
. .
Tráficos ofrecidos: media .
.
.
.
.
.
∆ A B m1 m2
Ai = E [Ni |mi →∞ ] = Ac |B′ =0
i

= A · (1 − B′j |mi →∞ )
m1 = m2 ⇒ A 1 = A 2 = A c A

Tráficos ofrecidos: varianza Var [Ni |mi →∞ ∼ Erlang(mj , A)] < Ai
∆ Ai − Ac i
Bloqueo de enlace: Bi = = 0, i, j ∈ {1, 2} j=i
Ai m1 =m2

Dependencia inherente a la compartición de tráfico. Si m1 = m2 = m:
B′i = E (m, A) 2 2
⇒ B=1− (1 − B′i ) = E (m, A) = 1 − (1 − Bi ) = 0
B′j =0 i=1 i=1
˜ ı ´

Bloqueo en serie: aproximaciones

Ai < A ≥ A′i Bi < E (mi , Ai ) < E (mi , A) ≥ E (mi , A′i ) ≥ B′i
n n
B→0
1− [1 − E (mi , Ai )] ≷ B = 1 − [1 − B′i ]
B→1
i=1 i=1
n n
B<1− [1 − E (mi , A′i )] < 1 − [1 − E (mi , A)]
i=1 i=1

Hipótesis de independencia
Buena aproximación con Bi ≪ 1 y/o Ai de varios orígenes suponer:
n
B≃1− [1 − Bi ] Bi E (mi , Ai )
i=1

˜ ı ´

Bloqueo en serie: sistema normal
Ejemplo: dimensionado de m1 y m2 para B1 , B2 < p
C

AAC 1 2 ABC

A B

AAB

A1 = AAC + AAB · (1 − B2 ) < AAC + AAB
A2 = ABC + AAB · (1 − B1 ) < ABC + AAB
B1 < E (m1 , A1 ) < E (m1 , AAC + AAB ) < p → m1
B2 < E (m2 , A2 ) < E (m2 , ABC + AAB ) < p → m2

∆
Bi ≃ B∗ = E (mi , ABC + AAB ) → BAAB
i 1 − (1 − B∗ )(1 − B2 )
1
∗

˜ ı ´

Bloqueo en paralelo
Una tarea (llamada, paquete) sólo disfruta de un recurso.
A = A1 A1 · (1 − B1 )
1
A2 = A1 · B1
n
A2 · (1 − B2 )
2
B= Bi ⇐ A3 = A2 · B2
i=1
.
. .
.
. .
An = An−1 · Bn−1 An · (1 − Bn )
n
A · B = An · Bn

i−1

 A = E [N |
i mi →∞ ] = A ·

 i Bj
∀i > 1 j=1


Var [Ni |mi →∞ ] > Ai ⇒ Bi > E (mi , Ai )


˜ ı ´

Encaminamiento clásico (I)
enlace jerárquico
D enlace directo
enlace con central tándem
Decisiones de encami-
namiento tomadas local-
C 532- E
mente por cada central
(menor número de ex- 47[56]- T
tensiones → ruta más di- A B G
533- 475-
475- 476- F
476- 532- 532- 533- 47[56]-
recta):
475-||533- 476-
476-||533-

o
Encaminamiento americano 1 se intenta por todas las rutas directas;
o
2 se intenta por la ruta jerárquica.
o
1 F–B
F↔B: 2o F–C,C–B
o
3 F–E,E–D,D–C,C–B ˜ ı ´

Encaminamiento clásico (y II)
enlace jerárquico
D enlace directo
enlace con central tándem
Decisiones de encami-
namiento tomadas local-
C 532- E
mente por cada central
(menor número de ex- 47[56]- T
tensiones → ruta más di- A B G
533- 475-
475- 476- F
476- 532- 532- 533- 47[56]-
recta):
475-||533- 476-
476-||533-

o
Encaminamiento europeo 1 se intenta por la ruta más directa;
o
2 se intenta por la ruta jerárquica.
o
o 1 B–F
1 F–B
F→B: o B→F: 2o B–C,C–F
2 F–E,E–D,D–C,C–B o
˜ ı
3 B–C,C–D,D–E,E–F
´

Encaminamiento múltiple
Mejores prestaciones permitiendo un encaminamiento más ﬂexible.
Ejemplo, red de N nodos totalmente
interconectados, sean las rutas para una 1

comunicación entre los nodos i y j, con
i = j, i, j ∈ {1, . . . , N}: 2 N=5
o
1 ruta directa, de un solo enlace: {(i, j)}.
o
2 M rutas alternativas de dos enlaces:
3 4
{(i, k), (k, j)} ∀k ∈ {i, j}. Por tanto
/
M = N − 2.
En encaminaminto clásico, suponiendo todos los nodos del mismo
nivel jerárquico salvo el nodo k de nivel superior, sólo una ruta
{(i, k), (k, j)} sería utilizada (si k ∈ {i, j}).
/

˜ ı ´

Análisis de Krupp
Configuración simétrica de N nodos totalmente interconectados:
tráfico medio ofrecido entre usuarios de un par de nodos:
aij = a ∀ i, j ∈ {1, . . . N}
i=j
o
n de recursos en cada enlace: nij = n ∀ i, j ∈ {1, . . . N}
i=j
o o
encaminamiento múltiple: 1 enlace directo, 2 M rutas
alternativas de 2 enlaces con reparto equitativo de tráfico,
entonces:
tráf. medios ofrecidos a un enlace: Aij = A ∀ i, j ∈ {1, . . . N}
i=j

p. de bloqueo de un enlace: pij = p = 1 − q ∀ i, j ∈ {1, . . . N}
i=j

p. de bloqueo de un tráfico aij : Bij = B ∀ i, j ∈ {1, . . . N}
i=j

˜ ı ´

Aproximación analítica (I)
Suposiciones:
tráﬁco desbordado de Poisson (análisis cualitativo):
p = E (n, A) M ↑ −→ A ↑ −→ p ↑ −→ B ↑
hipótesis de independencia de bloqueo de enlaces en serie:
M
B = p · (1 − q2 ) M ↑ −→ B ↓

Tráﬁco medio cursado por un enlace:

A · (1 − p)
Ac =
[directo cursado por enlace] + [desbordado cursado por enlace]

[directo cursado por enlace] = a · (1 − p)

˜ ı ´

Aproximación analítica (II)
Enlaces desbordando a un enlace (i, j):

{(i, k); k = i, k = j} ∪ {(j, k); k = i, k = j} 1
⇓
(N − 2) + (N − 2) = 2 · M enlaces 2 N=5

con probabilidad de cursarse sus tráﬁcos
desbordados (de media 2 · M · a · p):
3 4
M
1 − 1 − q2 = 1 − B/p

y siendo cursado equitativamente entre la M rutas =⇒

2 · M · a · p · (1 − B/p)
[desbordado cursado por enlace] =
M
= 2 · a · p · (1 − B/p)
˜ ı ´

Aproximación analítica (III)
Por tanto:
Ac = A · (1 − p) = [directo cursado por enlace]
+ [desbordado cursado por enlace]
= a · (1 − p) + 2 · a · p · (1 − B/p)
= a · (1 + p − 2 · B)
⇓
A · (1 − p)
a= ac = a · (1 − B)
1+p−2·B

Para la representación gráﬁca:

→a
A→
→ ac

˜ ı ´

Aproximación analítica (y IV): n = 100

M=0 Dimensionado con
0′ 85 M=1
M=2 tráﬁco nominal
M=4
M=8
B < x:
0′ 8
M ↑ −→ n ↓
ac /n

0′ 75 Con tráﬁco de so-
brecarga:
0′ 7
M ↑ −→ Bs ↑

0′ 65
Congestión:

0′ 7 0′ 75 0′ 8 0′ 85 0′ 9 0′ 95 1 a ↑−→ ac ↓
a/n

˜ ı ´

Reserva de circuitos (I)
Control de congestión: un enlace cursa una llamada desbordada sólo
si el número de recursos ocupados a la llegada k es menor que un
predeterminado límite m < n.

λ λ λ Λ Λ Λ
0 1 ... m ... n−1 n
µ 2µ mµ nµ

Tráﬁcos ofrecidos directo a = Λ · S y total A = λ · S.

 Ak
 ·p
k−1  k! 0
 ∀k ∈ {0, . . . , m}
λi
pk = p0 · =
µ
i=0 i+1
 Am · ak−m


 · p0 ∀k ∈ {m + 1, . . . , n}
k!
m n
Ak Am · ak−m
p−1 =
0 +
k=0
k! k=m+1 k!
˜ ı ´

Reserva de circuitos (II)
Probabilidad de llamada directa bloqueada en el enlace:

p = pn
Probabilidad de llamada desbordada bloqueada en el enlace:
m−1
p=1−q=1−
ˆ ˆ pj
j=0

En consecuencia, probabilidad de bloqueo de llamada:
M
B = p · 1 − q2
ˆ
Con el mismo razonamiento que para caso sin control, se llega a la
expresión para M = 1 (solución recursiva con A(0 = a):
p−B
A=a· 1+2·
q
ˆ
˜ ı ´

Reserva de circuitos (y III): M = 1
0′ 92 M=0
m = 96
m = 98
0′ 9 m = 99
m = n = 100 Reservando el
último circuito
0′ 88
para tráﬁco directo
ac /n

(m = n − 1 = 99)
0′ 86
evita la con-
gestión:
0′ 84
a ↑ −→ ac ↑
0′ 82

0′ 82 0′ 84 0′ 86 0′ 88 0′ 9 0′ 92 0′ 94 0′ 96 0′ 98 1
a/n

˜ ı ´

Desbordamiento de llamadas
m′ = 12, m = 6, A = 10′ 8 1

B′ = E (12, 10′ 8) = 15′ 10 % A 2
⇓ .
.
α = A · B = 1′ 63045
′ .
. 1

Suponiendo α tráﬁco de m′
A 2
α
≡ .
Poisson: .
.
1 .
′ ′
BP = E (6, 1 63045) = 0 5118 % A · Bt
mt
⇓ 2
BtP = B · BP = 0′ 07726 %
′ .
.
.
.
m
α·B
Realmente el proceso de llegadas desbordadas no es de Poisson:
Bt A · Bt
Bt = E (18, 10′ 8) = 1′ 293 % = B′ · B ⇒ B = ′ = = 8′ 562 %
B α
Caracterización ofreciendo a m = ∞ (varianza, fórmula de Wilkinson):
∆ ∆ A
α = E [N ] < ν = Var [N ] = α · 1 − α + ′
m +1+α−A
˜ ı ´

Comportamiento a ráfagas: tráﬁco de pico

4 +++ +++++++
+ ++ + + +
+ + + ++ + ++ ++
+ ++
+ + + + +++ ++ ++
++ ++++
++
+ +
α
ν

3
r=
∆

2 ++ + +
+ + + + ++
++ + +
+ ++ + + ++ ++++ + ++ +
+ +++ + +++++
+ + + +
1 ++
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +++ + +
+ ++ + + +
+ ++ + + +++
+ +

t llegadas desbordadas

0′ 1
A = 37′ 90 α = 37′ 90 0′ 09
♦
→ 0′ 08
m′ = 0 r=1 0′ 07
0′ 06
A = 87′ 66 α = 37′ 90 B
0′ 05
′ →
m = 51 r = 2′ 130 0′ 04 ♦ m = 10
0′ 03 m = 50
A = 195′ 1 α = 37′ 90 0′ 02 m = 250
′ → 0′ 01 ♦
m = 161 r = 4′ 157 1 1′ 5 2 2′ 5 3 3′ 5 4 4′ 5
∆ ν
r=
α
˜ ı ´

Desbordamiento combinado
A1
n m′
1
α1 , ν 1
α= αi
A2
i=1 m′
2
α2 , ν 2 .
Dados los tráﬁcos de respectivas medias .
.
Ai independientes entre sí: An
m′
n
αn , ν n
n ...
ν= νi α, ν
m
i=1
αt , ν t
Deﬁnimos asimismo el factor de pico:
n n
αi
νi · ri · αi
ν ∆ i=1
αi i=1
r= = =
α α α

˜ ı ´

Aproximación de Fredericks-Hayward
Extrapolación suponiendo
número fraccional de recursos y α1 , ν 1
m1 ,N1
divisibilidad de las llamadas:
αt 1 , ν t 1
N (t) m
Ni (t) = , mi = ∀i ∈ [1, n] α2 ,ν2
m2 ,N2
n n
⇓ α, ν αt 2 , ν t 2
m,N ≡ .
α ν .
.
αi = νi = 2
n n αt , ν t
⇓ αn , ν n
mn ,Nn
r
ri =
n αt n , ν t n

Dividiendo el sistema en un número real r de subsistemas (⇒ ri = 1):
∆ αt αt m α νt m α
B= = i ≃ E , νt i = 2 ≃ Wilkinson ,
α αi n=r r r r r r
˜ ı ´

Ejemplo de dimensionado
A1 = 30 m′ = 32
1
α1 , ν 1
α1 = 2′ 88799 α2 = 2′ 67546 α3 = 3′ 02442 A2 = 27 m′ = 29
2
α2 , ν 2
ν1 = 9′ 26215 ν2 = 8′ 24541 ν3 = 9′ 94216
A3 = 32 m′ = 34
α = α1 + α2 + α3 = 8′ 58787 α3 , ν 3
3

→ r = 3′ 19634
ν = ν1 + ν2 + ν3 = 27′ 4497 α, ν
¿m?

αt
Para B < 1 %:
m α m ′ m
E , =E , 2 68678 < 0′ 01 ⇒ ≥ 8 ⇒ m ≥ 25′ 5707 → m = 26
r r r r
con interpolación cúbica de la función de Erlang:
m ′ ′ m
E , 2 68678 < 0 01 ⇒ > 7′ 29382 ⇒ m > 23′ 3135 → m = 24
r r
˜ ı ´

Aproximación de Parcel
Los distintos αi tendrán Bαi distintos. A1 m′
1
α1 , ν 1
Contraejemplo:
A2 α, ν
m
BA2 = pm < Bα1
αt
Bloqueos de los αi aproximadamente proporcionales a sus factores
de pico → Bαi ≃ c · B · ri :
n
νi
αi · c · B ·
αt i=1
αi ν 1 ri
B= = = c · B · ⇒ c = ⇒ Bαi ≃ B ·
α α α r r
A1 m′1 A2 m Bα1 BA2 B
Hayward(m/r ∈ R) +
0′ 0124 0′ 0076 0′ 0082 Parcel
5 5 10 20 0′ 0132 0′ 0079 0′ 0085 exacto
Hayward(m/r ∈ R) +
′ ′ ′
0 0884 0 0339 0 0414 Parcel
20 20 20 30 0′ 0752 0′ 0358 0′ 0412 exacto
˜ ı ´

Descomposición del tráﬁco desbordado
A1
Dadas dos vv.aa. X e Y :
m′
A2
Var [X + Y ] = Var [X]+Var [Y ]+2·Cov [X, Y ] α1 , ν 1
α2 , ν 2
er
Tráﬁco desbordado de 1 orden, tendremos:

A = A1 + A2 αi = E [Ni ] = Ai · E (m′ , A) α = α1 + α2
A
ν = Var [N1 (t) + N2 (t)] = α · 1 − α + ′
m +1+α−A
νi = Var [Ni ] ν = ν1 + ν2 + 2 · Cov [N1 (t), N2 (t)]

dada Cov [Ni (t), N ′ (t)] > 0 ⇒ Cov [N1 (t), N2 (t)] > 0:

αi Ai
νi < ν · =ν· ← suponiendo ri = r
α A
˜ ı ´

Llamadas persistentes
Ante bloqueo de su llamada, un usuario muy probablemente la
reintentará en un plazo breve =⇒ aumento del tráﬁco ofrecido.
Los reintentos por bloqueo de la red se producen justo en la situación
peor: cuando la red es más probable que esté muy cargada.
Dichos reintentos sufren
1
una probabilidad de blo-
os
queo mayor a la de los 1
intentos.
El usuario dispone de infor-
p
mación del estado del sis- m
tema a partir del bloqueo de pm (t)

su llamada =⇒ se produce t
un régimen transitorio con
τi τi + I
τ
pm ( i + I) > pm . N (τ i ) = m

˜ ı ´

Comportamiento de los usuarios
Estudio empírico (1979) sobre 350.000 llamadas del comportamiento
ante destino ocupado (≃ comportamiento ante bloqueo de red).
Ii : tiempo entre intentos i e i + 1
o FI1 (x) empírica
′
N intento reintentan 10

1 81 %
0′ 8
2 86 %
3 88 % 0′ 6

4 90 %
0′ 4
5 90 %
6 91 % 0′ 2

8 92 %
0
0′ 3min 1min 3min 10min 60min 24h
˜ ı ´

Modelos
Modelos globalesEsquema general de interpretación del
fenómeno, relacionando los parámetros de interés con
los datos de velocidades medias a través de las
ecuaciones de conservación de ﬂujo. Pueden utilizarse
para la obtención de resultados mediante simulación.
Modelos de Markov Utilizan procesos de Markov
o
multidimensionales (p.e., estado: i n de usuarios
o
hablando, j n de usuarios reintentando) para la
obtención analítica de resultados, presuponiendo
independencia y distribución exponencial de los
distintos tiempos entre intentos sobre los modelos
anteriores.

˜ ı ´

Modelos globales
Partiendo de los datos:
os
λf : caudal de llamadas frescas (1 intentos),
p: probabilidad de fracaso,
h: probabilidad de persistencia,
obtiene:
λo : caudal de llamadas ofrecidas (frescas+reintentos),
λc : caudal de llamadas cursadas,
y calcula las mediciones de interés:
∆ λc
tasa de eﬁciencia: r = =1−p
λo
λo o ∆
coeﬁciente de repetición de llamadas: β = , mide el n medio
λf
o
de intentos por intención de llamada (mismo n marcado).
˜ ı ´

er
Modelo de 1 orden
λf λo λc
λo = λf + h · p · λo sistema
⇓
1
λo = · λf h · p · λo p · λo
1−h·p
⇓ (1 − h) · p · λo
¿reintento?
∆λo 1
β= =
λf 1−h·p

∆ λc
λc = (1 − p) · λo =⇒ r = =1−p
λo

˜ ı ´

o
Modelo de 2 orden
λf
λc
λ2
λ1 = h · p 1 · λf
⇒ p r · λ2 p · λ
λ2 = λ1 + h · p r · λ2 1 f
λ1
h · p1 h
⇒ λ2 = · λf
1 − h · pr h

h·p1
λo − λc λf p 1 + λ2 p r λf p1 + 1−h·pr · λf pr
p=1−r= = = h·p1
λo λf + λ2 λf + 1−h·pr · λf
p1 − h · p1 · pr + h · p1 · pr p1
= =
1 − h · pr + h · p1 1 − h · (pr − p1 )
1 λf 1 h · p1
= = h·p1
=1− = 1 − h · (1 − r)
β λo 1 + 1−h·pr 1 − h · (pr − p1 )
˜ ı ´

Modelo simple de Markov
er
En un modelo global de 1 orden, Af Ao Ac
suponiendo: m

1. Ii distribución exponencial,
h · p · Ao p · Ao
2. Ii muy elevado:
(1 − h) · p · Ao
E pm ( τ|
i N (τi )=m + Ii ) − − − pm
− −→
E[Ii ]→∞
¿reintento?

el proceso de llegadas conjunto tenderá a un proceso de Poisson:
λf Af
λo = ⇒ Ao =
1−h·p 1 − h · E (m, Ao )
a resolver recursivamente:
Af
A(0 = Af
o
(i+1
Ao =
(i
1 − h · E m, Ao
˜ ı ´

Comparativa con modelo simple

S=1 Af = 18′ 5 m = 20 h = 0′ 9

1

0′ 9 pr
p
0′ 8 p1
E (m, Ao )
0′ 7
E (m, Af )
0′ 6

0′ 5

0′ 4

0′ 3

0′ 2

0′ 1
2−15 2−10 2−5 1 32
E [I]

˜ ı ´

Ejemplo de dimensionado
Af = 20, h = 85 %, ¿m para B < 10 %?:
Sin reintentos Con reintentos
(i (i+1
i E 25, Ao Ao
E (22, 20) = 10′ 67 % 0 5′ 022 % 20′ 8918
′ ⇒ 1 6′ 448 % 21′ 1597
E (23, 20) = 8 493 % . . .
.
. .
. .
.
⇒ m > 22 → m = 23
8 7′ 133 % 21′ 2909
¿m para B < 5 %?:
Sin reintentos Con reintentos
(i (i+1
i E 26, Ao Ao
E (25, 20) = 5′ 022 % 0 3′ 720 % 20′ 6530
⇒ 1 4′ 586 % 20′ 8112
E (26, 20) = 3′ 720 % . . .
.
. .
. .
.
⇒ m > 25 → m = 26
6 4′ 890 % 20′ 8674
˜ ı ´

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