Sistemas de Conmutación: Evaluación de prestaciones y dimensionado III

Índice
Introducción a la Teoría de Colas.
Procesos estocásticos básicos.
Sistemas con rechazo: Probabilidad de bloqueo.
Sistemas de espera: Tiempo medio de respuesta.
Modelo M/M/1.
Redes de colas.
Vida residual. Modelo M/G/1.
Limitaciones del modelo de Poisson: modelo M/G/∞.
Comportamiento TCP.
Modelos de rechazo y OBS.

˜ ı ´
Departamento de Enxener´a Telematica ´
Sistemas de Conmutacion Sistemas de espera– p.108

Modelo M/M/1
µ λ λ λ
λ 0 1 2 ...
µ µ µ

Distribución marginal de N (sistema estable A < 1 ⇒ ρ = A):
n−1 n−1

λi λ
= p0 · ρn 

pn = p0 · = p0 · 
i=0
µi+1 i=0
µ 

∞ ∞
→ pn = (1 − ρ) · ρn
n 1 
 ∀n∈N∗
1= pn = p0 · ρ = p0 · ⇒ p0 = 1 − ρ 
1−ρ

n=0 n=0
∞
ρ·S ρ ρ2
W = = Q= (n − 1) · pn = λ · W =
1−ρ µ · (1 − ρ) n=1
1−ρ
∞
ρ N 1
N= n · pn = Q + ρ = T =W +S = =
n=0
1−ρ λ µ−λ
k k
Con pn −→ E N −N yE Q−Q calculables.
˜ ı ´

Distribuciones marginales de W y T (I)
i−1
∆
W |n = Wi N (τi )=n = Vi−n + Sk ∼ Erlang-n(µ)
k=i−n+1
 n−1
(µ · t)j
1 − e−µ·t

∀n > 0


FW |n (t) = j=0
j! ∀t ≥ 0


1 n=0
∞ ∞
∆
FW (t) = Pr [Wi ≤ t] = pn · Pr [Wi ≤ t|N = n] = pn · FW |n (t)
n=0 n=0
∞ ∞ ∞ n−1
−µt (µt)j
= p0 + pn · FW |n (t) = 1 − ρ + pn − pn · e ·
n=1 n=1 n=1 j=0
j!
∞ n−1
−µt n (µt)j
= 1 − (1 − ρ) · e · ρ ·
n=1 j=0
j!

˜ ı ´

Distribuciones marginales de W y T (y II)

∞ n−1 ∞ ∞ ∞
(µt)j (µt)k ρ (µtρ)k ρ
ρn · = · i
ρ = · = · eµtρ
n=1 j=0
j! k=0
k! i=k+1 1 − ρ k=0 k! 1−ρ
∞ n−1
−µt n (µt)j
FW (t) = 1 − (1 − ρ) · e · ρ · = 1 − ρ · e−µt·(1−ρ) ∀t ≥ 0
n=1 j=0
j!

De Ti = Wi + Si :
∞
FT (x) = Pr [W + S ≤ x] = Pr [W ≤ x − S] = FW (x − y) · f S (y) dy
0
∞ ∞
−µ(1−ρ)(x−y) −µy −µ(1−ρ)x
=1− ρe µe dy = 1 − e µρe−µρy dy
0 0
⇓
FT (t) = 1 − e−µt·(1−ρ) ∀t ≥ 0
˜ ı ´

Cota al bloqueo del modelo M/M/1/K

∞ ∞
Pr [N ≥ k] = pi = (1 − ρ) · ρi = ρk ,
i=k i=k

Modelo M/M/1/K con distribución marginal de N :
n
λ
pn = · p0 ∀n ∈ [0, K]
µ
λc < λ =⇒ p0 > p0 =⇒ pn > pn ∀n ∈ [0, K] =⇒
K−1 K−1 ∞
B = pK = 1 − pi < 1 − pi = pi = ρK
i=0 i=0 i=K

˜ ı ´

Sinergia
n sistemas, cada uno 1 µ
λ
con velocidad media de
2 µ
servicio µ y tasa de λ n·µ
llegadas λ: n·λ
.
.
.
1 n µ
T = λ
µ−λ

Juntamos todas las peticiones de servicio (agrupamos a los usuarios)
y las atendemos con un sistema de potencia n veces la de los
individuales:
1 1 1 T
T = = · =
n·µ−n·λ n µ−λ n

˜ ı ´

Redes de colas

Aun suponiendo tanto que los
procesos de generación de paque- subred de datos
1
tes son de Poisson, como que la terminal
longitud de los mismos (procesos 2 nodo de 5
conmutación
aleatorios puros) está distribuida
exponencialmente, ¿cómo calcular
3 4
el tiempo medio de tránsito, Tij , a
través de la subred?:

Tij = T k + Rk
con Rk retardo de transmisión.
Encaminamiento sin bucles −→ Teorema de Burke.
Encaminamiento con bucles −→ Hipótesis de Kleinrock.
˜ ı ´

Teorema de Burke
Si el proceso de llegadas al nodo 1 de
capacidad ilimitada es de Poisson, en- λ
tonces el proceso de salidas (proceso
de llegadas al siguiente nodo) también µ µ
Nodo 1 Nodo 2
es un proceso de Poisson.
µ µ
Colas M/M/1 en tándem con λ λ
λ = m´ (λ, µ) < µ
ın
S S
a
Si ambas S y S i.i.d. con distribución exponencial, 2 cola es M/M/1:
ρ 1
W = T =
µ · (1 − ρ ) µ −λ
Si S = c · S (si L = L con c = C/C ) entonces: ρ
W <

µ · (1 − ρ )

Υi−1 ≥ Si = Si /c ⇒ Cov Υi−1 , Si > 0 ⇒
 T <
 1

µ −λ
˜ ı ´

Teorema de Jackson
Dada una red de colas con realimen-
λ1
tación donde los procesos estocásticos
de tiempo de servicio demandado a los
distintos nodos son independientes en- λ2
tre sí, la distribución marginal de ocupa-
ción conjunta resulta:
N
Pr [N1 (t) = n1 , . . . , NN (t) = nN ] = Pr [Ni (t) = ni ]
i=1
y además las Pr [Ni (t) = ni ] son las mismas que si el proceso de
llegadas a los nodos fuese de Poisson (M/M/mi ).
Hipótesis de Kleinrock: A pesar de las realimentaciones y las
i i
dependencias de los S (conmutación de paquetes ⇒ S
autocorrelacionado positivamente en nodo con realimentación), ante
o
n suﬁciente de tráﬁcos a un nodo, buena aproximación suponer
Poisson ˜ ı ´

Vida residual (I)
Evento E se produ-
ττ τ 1 2 3 τ k−1 t τ k
ce en instantes da-
X0 V
dos por el proceso E1 E2 E3 Ek−1 X Ek
τ
{ i ∈ R+ ; i = 1, 2, . . . }
según Υ = Υi =
∆ ∆
τ i+1 − τ ; i = 1, 2, . . .
i proceso aleatorio puro con
∆ d F (x) 1
F (x) = Pr [Υ ≤ x], f (x) = yΥ= .
dx λ
Dado un instante aleatorio de observación t:
∆
V = m´ (
ın τj
j ≥ t) − t: vida residual del proceso Υ

X = m´ (τ τ
∆
ın j ≥ t) − m´x (
a i < t): longitud intervalo observación
j i

∆
X0 = t − m´x (
a
i
τ i < t) = X − V : tiempo de vida

¿V = E [V ]?
˜ ı ´

Vida residual (II)
Paradoja
ττ τ 1 2 3 τ k−1 t τ k
Dado Υ con distribución
X0 V
exponencial, razonamien- E1 E2 E3 Ek−1 X Ek
tos:
1 Υ 1 corrección X Υ2
1. Dado Υ = ⇒ V = = −−−
−−→ V = =
λ 2 2·λ d 1 2 2·Υ
2. Dada la propiedad sin memoria V = Υ ⇒ V =
λ
Muestreo aleatorio en tiempo continuo de
X=
∆
X(t) = m´ (
ın
j
τ j ≥ t) − m´x (
a
i
τ i < t); t ∈ R+ y no en índice
discreto de Υ, y además FX (x) = FΥ (x) = F (x):

Pr [x < X ≤ x + dx] = f X (x) dx = Kx f (x) dx

∞ ∞
x · f (x)
⇒ f X (x) =
1= f X (x) dx = Kx f (x) dx = K · Υ Υ
0 0
˜ ı ´

Vida residual (y III)

Υ ∈ {1, 5} X

Pr [Υ = 1] Pr [Υ = 5] Pr [X = 1] Pr [X = 5]
Ejemplo 1:
1/2 1/2 1/6 5/6

reordenando

Pr [Υ = 1] Pr [Υ = 5] Pr [X = 1] Pr [X = 5]
Ejemplo 2:
5/6 1/6 1/2 1/2

reordenando
˜ ı ´

Modelo M/G/1
En un sistema G/G/1: µ
λ
Qi

Wi = Wq +W0 = Si−j +[Ni > 0]·V
j=1 Wq W0
∆
τ ∆
τ
con Qi = Q( i ), Ni = N ( i ) y V tiempo por servir a la tarea en el
recurso al llegar el usuario. Además Qi independiente de los Si−j .
d d
En un sistema M/G/1, por la propiedad PASTA Qi = Q(t), Ni = N (t) y
∆
por tanto ρ = Pr [Ni > 0] = ρ, y por ser el instante de llegada
perfectamente aleatorio entonces V es la vida residual de S, por
tanto: 
Qi

S2
W = E [Wi ] = E  Si−j  + ρ V = Q · S + ρV = λW · S + λS ·
j=1
2S

λ · S2 λ · S2
=ρ·W + ⇒ W =
2 2 · (1 − ρ)
˜ ı ´

M/G/∞: distribución
A
a= N
Manteniendo ﬁjos A y S y aumentando U : G/G/N/N/N − − M/G/∞
−→
N→∞
dado que los procesos de renovación de cada usuario con Υ = S + U
cumplen el Teorema de Palm-Kintchine (S despreciable frente a U ).
Así la distribución marginal del proceso de ocupación en el modelo
M/G/∞ resulta:
N−n
N N! An A
pn = · an · (1 − a)N−n = = · n · 1−
n A
a= N (N − n)! · n! N N
n−1
N
(N − i) A
N−n 1− n−1
i=0 An A An N N−i
= · · 1− = · n ·
Nn n! N n! A N
1− i=0
N
An −A
−−
−→ ·e ∀n ≥ 0
N→∞ n!
˜ ı ´

M/D/∞: transitorio (I)
+
N = {N (t); t ∈ } , N (0) = 0
∆
¿pk (t) = Pr [N (t) = k]?

τ1 τ2 τ3
0 t


 (λt)k −λt

 ·e ∀t ∈ [0, S]
k!

Pr [N (t) = k] =
 Ak
· e−A

∀t ≥ S


k!
∀k = 0, 1 . . .

˜ ı ´

M/D/∞: transitorio (y II)
1

Pr [N (t) = k]
0.1
k =0
k =1
k =2
k =3
k =4
0.01
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t

S=S=1 λ=3 N (0) = 0

˜ ı ´

M/D/∞: autocorrelación
1

0.8

r (t) 0.6

0.4

0.2

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t

S=S=1

˜ ı ´

M/G/∞: autocorrelación
1
P(m = 1, α = 1,8)
M(µ = 4/9)

r (t)
0.1

0.01
0.1 1 10 100
α t
m
Pareto: FS (x) = 1 − ∀x ≥ m → r (t) caída hiperbólica
x
∞
→ r (t) dt = ∞ ∀α < 2
0
Exponencial: FS (x) = 1 − e−µx ∀x ≥ 0 → r (t) caída exponencial
˜ ı ´

M/G/∞: modelo de fuentes activas

Peticiones de conexión a servidor ftp/web de U off on S

usuarios independientes entre sí −→ proceso de
off on
Poisson.
tiempos activos según proceso:
off on
S = {Si ; i = 1, 2, . . . }
tiempos inactivos según proceso: off on
U = {Ui ; i = 1, 2, . . . } . . . .
.
. .
. .
. .
.
Servidor ftp/web sin límite máximo de conexiones: número de
conexiones activas dado por N del M/G/∞ si ancho de banda del
servidor ancho de banda de clientes × N .
Distribución aproximada de tamaños de ﬁcheros/páginas Pareto con
α < 2 ⇒ duración conexiones también ∼ Pareto ⇒ autocorrelación N
de caída hiperbólica ⇒ autocorrelación Υ paquetes idem.
˜ ı ´

Bloqueo de sistemas G/G/1/K
El uso de modelos con Υ y S procesos autocorrelacionados con sus
∞
funciones de autocorrelación sumables, rk < ∞, da lugar
i=1
(usualmente) a probabilidades de bloqueo con comportamiento
asintótico
B
− − c2 (caída exponencial, B c2 · cK )
−→
K K→∞ 1
c1
como hemos comprobado con la cota superior del modelo M/M/1/K.
∞
Si Υ y/o S tienen función de autocorrelación no sumable, rk = ∞,
i=1
entonces el comportamiento asintótico de las probabilidades de
bloqueo será
B
− − c2 (caída hiperbólica, B c2 · Kc1 )
−→
Kc1 K→∞
Asumir lo primero, dio lugar al incorrecto dimensionado del tamaño
de búfer en los conmutadores ATM a principios de los 90.
˜ ı ´

Comportamiento TCP
El comportamiento de fuentes TCP no es independiente del estado
de la red. Desde versión Tahoe, las conexiones TCP:
buscan ancho de banda disponible aumentando tasa de envío,
reaccionan ante pérdida de paquetes reduciendo dicha tasa.
Comportamiento de la tasa media de envío λ de TCP Reno sin límite
máximo de envío y si las pérdidas de paquetes son eventos
independientes (sin ráfagas):
3
λ ∆ 2
l´
ım =1 con λ (p, T) = √
p→0 λ (p, T) T· p
donde p es la probabilidad de pérdida de paquete y T es el tiempo
medio de respuesta (Round Trip Time)
Tenemos un efecto de realimentación: T ←→ λ ←→ p

˜ ı ´

Modelos de rechazo y OBS (I)
Técnicas de ensamblado para el cierre y envío de las ráfagas:
Temporizador un tiempo ﬁjo tras la recepción del primer paquete.
˜
Tamano al alcanzar un tamaño especíﬁco.
Mixto lo que ocurra antes de los dos anteriores.
Dado:
1. Efecto del ensamblado: suavizado de la correlación a corto plazo
del proceso de generación de ráfagas respecto al de llegada de
paquetes
2. La correlación de los procesos Υ y S tiene un menor impacto en
las prestaciones de sistemas sin cola (G/G/m/m) que en sistemas
con ella (G/G/m/K)
⇓
a
1 aproximación generación de ráfagas: proceso de Poisson
˜ ı ´

Modelos de rechazo y OBS (y II)
Suposiciones: distancia constante de paquetes de control a sus
ráfagas, despreciables los tiempos de establecimiento de circuito del
conmutador óptico, conversión total de longitud de onda.
Proceso de llegada ∼ Poisson de caudal λ, duración media ráfaga S
−→ A = λ · S. Enlace: m canales (longitudes de onda × ﬁbras).
OBS de ráfaga completa
Una ráfaga es descartada si no se puede enviar en su totalidad −→
M/G/m/m. Probabilidad de pérdida de ráfaga B independiente de su
tamaño, probabilidad de pérdida de paquete: p = BA = B = E (m, A)
OBS con segmentación
Ante colisión se intenta enviar el ﬁnal de ráfaga −→ M/G/∞. Prob.
pérdida de paquete suponiendo tamaño paquete tamaño ráfaga:
∞
∆ Ai −A A − Ac
Ac = m´ (i, m) ·
ın ·e p = BA =
i=0
i! A
˜ ı ´

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