Este documento describe modelos estocásticos de procesos de nacimiento y muerte (PNM) donde las tasas de llegada y servicio siguen procesos de Poisson. Explica cómo calcular la probabilidad de tener n entidades en el sistema y medidas de eficiencia como el número promedio de entidades, tiempo de espera promedio usando fórmulas como Lq = (λ/μ)c/(c-1)!. También resume el modelo M/M/1 con fórmulas para Pn, Lq y Wq.

1. RESUMEN PEP 3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II – MODELOS ESTOCÁSTICOS
Ayudantes: Rubén Alarcón H.
René Ibacache E.
En Procesos de Nacimiento y Muerte (PNM), se define la variable de decisión:
X(t) = N° de entidades de una población en t (pueden ser personas, productos, llamadas telefónicas,
ambulancias, etc.)
Un PNM requiere:
1) Nacimientos sigan un proceso de Poisson con tasa λ(j) si X(t) = j
2) Muertes sigan un proceso de Poisson con tasa μ(j) si X(t) = j
Pn = Probabilidad de que hayan n entidades en el sistema
λ (n − 1)...λ (0) −1
P = 1 + ∑ P 
∞ ∞
P=n
µ (n).........µ (1)
×P 0 ∑P =1
n =0
n


0

 n =1
n
Otra fórmula para P0 (sin uso de la recurrencia)
−1
 (λ / µ ) (λ / µ )
c −1
cµ n c
P = ∑ + ×  con c = número de servidores
n! c! cµ − λ 
0
 n =0
MEDIDAS DE EFICIENCIA (para Modelo M/M/C)
M / M / C / (K) = Llegada / Atención / N° de servidores / (Capacidad)
∞
• L = Número medio de entidades en el sistema L = ∑ n ×P n
n =0
∞
• Lq = Número medio de entidades en la cola de espera L = ∑ (n − c) ×P
q n
n =c
P (λ / µ ) c +1
Otra fórmula para calcular Lq: L = 0
(c − 1)![c − (λ / µ )]
q 2
L
• W = Tiempo medio de espera en el sistema (cola + servidor) W=
λ
L
• Wq = Tiempo medio de espera en la cola W = q
λ
q
λ
Tasa de utilización del sistema: ρ=
c ×µ
Condición de estabilidad: ρ <1 para que el sistema sea estable
Algunas fórmulas para sistema M/M/1:
(se deducen de las fórmulas generales de un sistema M/M/C)
λ λ
n
λ 1
2
P =  ÷ ×P P =1− L = W=
µ µ µ (µ − λ ) µ −λ
n 0 0 q
SUMATORIAS
1 ∞
α α n
∑ n ×α = (1 − α )
∞ ∞
∑ 1−α
α = ∑ n! = e
n n α
2
n =0 n =0 n=0
/α/ < 1