1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define:
CEPUNS
P(x ;y )
o o
yo y x
Sen   o Cot  o
r yo
r x
Ciclo 2013-III Cos  o r
Sec 
 r xo
' y
Tan   o r
Csc 
TRIGONOMETRÍA xo x
xo yo
“F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04
Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas: y
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Vértice Lado Inicial
Llamado también en posición canónica o estándar.
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide x
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial  (-)
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,
está en posición normal, el lado final puede estar en
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste Lado Final
pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico: * β : Es un ángulo en posición normal
y
*   IIIC ;   0
Definición de las Razones Trigonométricas:
Lado Fina l Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
 (+ ) posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
x y Se defin
Vértice P(x ;y )
Lado Inicial o o
yo Sen  
*  : es un ángulo en posición normal
r
*   IIC ;   0 Cos 

'
xo x Tan  
1
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2. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
y Se define:
yo y x
Sen   o Cot  o
r yo
xo r
Cos  Sec 
 r xo
yo r
x Tan   Csc 
xo yo
Forma General
r x2  y2 < Cuadrantal = 90º.k ; k  Z
* o o
También
* α´: se denomina ángulo de referencia
<Cuadrantal = k ;k  Z
Signos de las R.T. en los cuiadrantes 2
Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un Observación: para determinar si un ángulo es
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro cuadrantal, se divide entre 90º ó  rad . según
2
adjunto
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
Propiedad: COT ND 0 ND 0 ND
Si  es un ángulo en posición normal positivo y SEC 1 ND -1 ND 1
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º CSC ND 1 ND -1 ND
Nota: N.D. no definido
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Ángulos Coterminales:
Si   IV  270º <  < 360º Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
Ángulos Cuadrantales mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final Ejemplo:
coincide con cualquiera de los semiejes del i)
Lado
ii)
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no inicial
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son Lado
ángulos frontera. final

Vértice

P(x ;x
o
2
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3. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
y Y
ii)
Lado Q (–b;a )
nicial
P (a ;b)

 x X
R(–a ; –b)
P(x ;x ) M(b;–a )
o o
Se tiene que:
* α y  : son coterminales PROBLEMA RESUELTOS
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
Propiedades: 24 , Halle:
cosb 
25
Si α y  son coterminales se cumple que:
V  5senb  6 tgb  12 secb
I. II.
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
 -  = 360º n ; n Z R.T. () = R.T.()
24 b  4to C.
cosb  ;
II. 25
7 25 7
R.T. () = R.T.() senb  
25
7 b
tgb  
Observacion: en forma practica para determinar 24 24
si dos angulos son coterminales: Se pide:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o  7   7   25 
V  5  6  12 
2rad. y si el resultado es un numero entero ,
 25 
  24 


 24 
entonces los angulos son coterminales.
V  9,35 RPTA.: D
R.T. de Ángulos Negativos:
2) Si: cos2   1 ,   IV C
16
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos  
Calcule: M  sec   csc 
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
1  ctg 
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
A) 15 B)
1 C)  15 D)
1 E) 4

4 4 4 4
¡Muy importante! RESOLUCIÓN
1 4 15
cos     IV C
4

+ -
1
sec   csc  sec   csc 
M M
1  ctg 1  ctg 

3
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4. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
 1  RESOLUCIÓN
4 4 4 1 
1

 5
  Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2
M 15
M M4 ángulos coterminales, luego:
1  1 
1
15 1  
 5     360º  n ….......(i);
RPTA.: E
"n"
3) Halle: ctg 
 5
     5k … (ii)
 2   2k
37º
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n
”k” en (ii):  ...(iii)

  600º  n
  240º n
A) 5 B)  5 C) 3 D)  7 E) 1
4 4 4 4 4 * 1000º <  < 1700º  1000º<600º
RESOLUCIÓN x n < 1700º  n= 2
y
x y   1200º
”n” en (iii) :
(-7;4) 4   480º
37º
 + = 1680º
4 RPTA.: C
4
 PROBLEMA DE CLASE
4 3 x
1) Sabiendo que cos = 1 , 270º <  < 360º ,
x 4
Ctg     Entonces el valor de la expresión Sec   Csc , es:
y
1  Ctg
7 RPTA.: D
Ctg    a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
4 2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III
4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
2) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :
cos 
proporcionales a los número 5 y 2. Además la R   13sen 2
medida del mayor ellos está comprendida entre 17
1000º y 1700º; halle la suma de medidas de a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2
dichos ángulos. 2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
4
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5. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
3) El producto de cinco razones trigonométricas 9) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .
de un ángulo que pertenece al segundo Calcular ctg
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a) 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 1 e)  3 5

5 5 2 2 5
4) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg 
A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E)  5 2
10) De la figura mostrada; calcular:
F = Sec.Csc
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
5) El lado final de un ángulo en posición normal,
cuya medida es  pasa por el punto (3,-7).
Calcular: E  58  cos   sen 
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5
6) Si  es la medida de un ángulo en posición A) – 5/2 B) – 3/2 C) -1 D) ½ E) 3/2
normal, además:
2
sen  sen  0 ; tg tg  0 ; cos   0 11) De la figura mostrada calcular: 9tg
3 E 
Calcular: F  5.ctg  Sec  tg
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
7) Si:
1
 1 4
 1
   sen  ; 3    2

 Cos 
2

2 2
  cos  
2
  
 
Calcular: F  16ctg  cos  
A)  73 7 B)  67 7 C)  61 7
D)  54 7 E)  27 7 A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
8) Determinar el signo en cada cuadrante de: 12) De la figura mostrada, calcular:
1  cos  F= 3sec2 - tg
E   sen
sen . cos 
A) ++++ B) +-++ C) +-+- D) -+-+ E) --++
5
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6. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
A) 2.sen B) 2.Cos  C) 2
.sen 
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 2
D) 2 E) 2Tg
.
.Cos 
13) De la figura mostrada, calcular: F= 2
Ctg.ctg 17) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices
de un triángulo ABC y K un punto perteneciente
al lado final de una ángulo en posición normal .
Si K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula
11Tg 
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
18) En la figura mostrada, calcule
Tg  2Sec  Tg
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6
14) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular
el valor de: E = tg.tg
A) -1 B) 1 C) 3/2 D) 3 E) 7
19) Si  es un ángulo en posición normal, se
cumple que
3 sen  + 4 cos  = 0, I sen  I + Sen  = 0.
2 2 2 Calcule Ctg  Sec
A)-1 B)   b  C)  a  D) 1 E)  b  A   Ctg
      Ctg  Sec
a  b  a 
A) -11/4 B) -7/4 C) -3/2 D) -3/4 E) 5/4
15) Calcular dos ángulos coterminales en donde el
mayor es el séxtuplo del menor y su suma está
comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el 20) Si  es un ángulo relativo del cuarto
ángulo mayor. cuadrante. Hallar el signo de las
A) 630º B) 680º C) 700º expresiones:
D) 800º E) 864º
 
sen sec
16) De la figura mostrada, simplifique: I. cos(-) II. 2 III. 2
M  sen 
   A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+)
 . cos(  ).Ctg ( )
 2  C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–)
E) (+), (+), (–)
6
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7. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
PREGUNTAS DE REPASO 4. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
1. La expresión : y
Es real, hallar el valor de:
Cuando ‘‘ ’’ es ángulo cuadrantal
β
a) 1 b) -1 c) -2 x
d) 2 e) 3 θ
(2Tanβ; -Secβ)
2. Si ‘‘n’’ es un numero entero positivo,
calcule el valor de:
a) b) c)
d) e) 1
5. Si:
a) b) c)
d) e) y . Hallar el valor de:
3. Q es un punto perteneciente a la
circunferencia mostrada, cuya ordenada
es máxima, halle a) 0 b) 1 c) -1
. Siendo un d) -1 e) -2
ángulo en posición normal, cuyo lado
final pasa por el punto Q. Además 6. Si y ,
AB=3BC. Determine el signo de P, Q y R
y
A x
θ
B
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+)
C c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+)
e)(+),(-),(-)
(x+5)2+(y+2)2=169
7. Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a)16 b) 19 c) 14
d) e) -15 I.
7
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8. Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
II. 11. En el grafico mostrado el área del
III. triangulo AOB es igual al área del
triangulo DCB. Hallar el valor de:
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) N.A
y
8. Del grafico , halle
y
y=x2 θ O
A x
B
D
(1;a)
C
α x
a) 1/2 b) 1/3 c)
d) e)
a) 1 b) c) 2
d) e) 12. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
9. Si es un ángulo agudo , hallar todos lo Si:
valores de ‘‘ ’’ para que la expresión:
y
Resulte un número real
(-a;a)
a) b) c)
d) e) O1
O2
10. Si: . ¿A que es igual? O
x
θ
a) b)
c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2 a)- b) c)
d) e) 0
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