Definiciciones matematicas

1. 86 Capítulo 4 Construcciones geométricas y modelado básico
PANORAMA
Todas las técnicas de dibujo tradicionales y CAD se ba-
san en la construcción de elementos geométricos bási-
cos entre los que se incluyen puntos, líneas, arcos y
círculos empleados para crear los dibujos bidimensio-
nales más complejos.Si se desea bosquejar en papel,di-
bujar mediante CAD o aplicar técnicas geométricas
para resolver problemas, es necesario entender las téc-
nicas básicas de construcción geométrica. Es probable
que el lector utilice CAD en lugar de las técnicas de di-
bujo mecánico que se ilustran en esta sección; en tal ca-
so,se recomienda simplemente relacionar estas técnicas
con CAD según sea necesario.Algunas construcciones
geométricas son más fáciles si se utiliza CAD, pero pa-
ra la mayoría de ellas el enfoque es el mismo, excepto
por la utilización de herramientas sofisticadas.
Para la aplicación de las técnicas de bosquejo
debe mantenerse en mente que el bosquejo debe ex-
presar las relaciones geométricas. Por ejemplo, las lí-
neas que aparentan ser perpendiculares en un bos-
quejo se interpretarán como perpendiculares a
menos que se dimensionen de otra forma o dimen-
sión. También puede usarse el símbolo entre dos
líneas bosquejadas para comunicar que éstas son
perpendiculares. Del mismo modo, los objetos que
aparentan ser tangentes en un bosquejo se asumirán
como tales a menos que se especifique lo contrario
en el dimensionamiento y las notas.
Los dibujos primitivos geométricos (como los
puntos, las líneas, los círculos y los arcos) son ele-
mentos básicos con los que el diseñador debe fami-
liarizarse al bosquejar o utilizar CAD. Una
comprensión profunda de la geometría del dibujo
ayudará a elaborar bosquejos claros y comprensi-
bles, y a construir geometría de CAD exacta.
⬜
4.1 ■ PUNTOS Y LÍNEAS
Un punto representa una ubicación en el espacio o en un
dibujo que no tiene anchura, altura o profundidad. En un
bosquejo, un punto se representa mediante la intersección
de dos líneas, mediante una recta cortante pequeña sobre
una línea o por medio de una pequeña cruz. Los puntos
nunca deben representarse con un simple punto sobre el
papel, porque éstos pueden malinterpretarse con facilidad
y hacer que el bosquejo aparente desorden y poco profe-
sionalismo. En la figura 4.1 se presentan ejemplos de pun-
tos bosquejados.
Una línea fue definida por Euclides como “aquello
que tiene longitud sin anchura”. Una línea recta es la dis-
tancia más corta entre dos puntos y por lo general se le
llama, simplemente, línea. Si la línea se extiende de mane-
ra indefinida, es posible dibujar la longitud a conveniencia
del diseñador y dejar los extremos sin marcar. Si los pun-
tos finales de la línea son significativos, márquelos con pe-
queños trazos cortantes. Los términos comunes que se
usan para describir líneas se ilustran en la figura 4.2.
Los conjuntos de líneas rectas o curvas son paralelas
si la distancia más corta entre un punto de una línea y la
otra línea es constante y uniforme. El símbolo común pa-
ra expresar líneas paralelas es y para las líneas perpen-
diculares es ⬜. La mayoría de los sistemas CAD permiten
especificar que dos líneas son perpendiculares mediante
el comando automático (tipo snap), y crear con facilidad
líneas paralelas, ya sea a través de un punto o especifican-
do una distancia entre dos líneas. Cuando en un bosquejo
se desea indicar que dos líneas son perpendiculares, debe
marcarse un cuadro en su intersección.
‘,
4.2 ■ ÁNGULOS
Un ángulo se forma por dos líneas que se intersecan. Un
símbolo común para representar un ángulo es Mien-
tras que su unidad de medida más usual es el grado. En
un círculo completo hay 360 grados (360°), como se
∠.
■ FIGURA 4.1 ■ Puntos.
■ FIGURA 4.2 ■ Líneas.
PUNTO PUNTO PUNTO
LÍNEA
RECTA
CO
N
LO
NG
ITUD
INDEFINIDA
LÍNEA
RECTA
CO
N
LO
NG
ITUD
DEFINIDA LÍNEA
HORIZONTAL
LÍNEA
VERTICAL
LÍNEAS
PARALELAS LÍNEAS
PERPENDICULARES
LÍNEAS
PERPENDICULARES

2. 4.5 Polígonos 87
muestra en la figura 4.3. Un grado se divide en 60 minu-
tos y un minuto se divide en 60 segundos La
expresión 37° se lee: 37 grados, 26 minutos y 10 se-
gundos. Cuando se indican sólo los minutos, se coloca 0°
antes del número de minutos (por ejemplo, 0°
Los ángulos también pueden medirse en grados decima-
les, por ejemplo 45.20°. Otros sistemas utilizados para
medir ángulos son los gradianes y radianes.
En la figura 4.3 se ilustran diferentes tipos de ángulos.
Dos ángulos son complementarios si suman un total de 90
grados;son suplementarios si suman 180 grados.Es posible
bosquejar ángulos de manera aproximada; para ello puede
usarse un transportador cuando es necesario o CAD cuan-
do se requiere elaborar un dibujo exacto.Con el uso de sis-
temas CAD, el ángulo exacto para una línea puede
especificarse por medio de una variedad de métodos: gra-
dos decimales; grados, minutos y segundos; radianes;
gradianes, o por orientación respecto a puntos cardinales.
4.3 ■ TRIÁNGULOS
Un triángulo es una figura delimitada por tres líneas rec-
tas.La suma de los ángulos interiores de un triángulo siem-
pre es igual a 180 grados. Un triángulo rectángulo tiene
un ángulo de 90 grados y el cuadrado de su hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Cualquier
20¿).
26¿10–
(60–)
(60¿),
triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rec-
tángulo si la hipotenusa coincide con el diámetro. Esta in-
formación puede ser útil al elaborar bosquejos y hacer
construcciones. En la figura 4.4 se muestran ejemplos de
triángulos.
4.4 ■ CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es una figura delimitada por cuatro
lados rectos. Si los lados opuestos son paralelos, el cua-
drilátero también es un paralelogramo. En la figura 4.5
se muestran algunos cuadriláteros.
4.5 ■ POLÍGONOS
Un polígono es cualquier figura delimitada por líneas
rectas. Si el polígono tiene ángulos iguales y lados iguales,
se llama polígono regular. En la figura 4.6 se muestran
algunos polígonos.
FORMAS INSCRITAS Y CIRCUNSCRITAS Con frecuencia, los
polígonos regulares se describen y dimensionan por estar
■ FIGURA 4.5 ■
Cuadriláteros.
■ FIGURA 4.3 ■ Ángulos.
■ FIGURA 4.4 ■ Triángulos.
CÍRCULO
COMPLETO
ÁNGULO
PLANO
ÁNGULO
RECTO
MENOS
DE 90°
ÁNGULO
AGUDO
MÁS
DE 90°
ÁNGULO
OBTUSO
ÁNGULOS COM-
PLEMENTARIOS
ÁNGULOS SUPLE-
MENTARIOS
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
Todos los lados iguales;
todos los ángulos iguales
L
A
D
O
L
A
D
O
BASE
TRIÁNGULO
ISÓSCELES
2 lados iguales;
2 ángulos iguales
ALTURA
TRIÁNGULO
ESCALENO
Ni lados ni ángulos
iguales
TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
Un ángulo
de 90°
Teorema de
Pitágoras
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EN UN SEMICÍRCULO
Suponga cualquier punto C sobre
el semicírculo. ⬔ACB = 90°
PARALELOGRAMOS
LADOS
IGUALES
CUADRADO
LADOS
IGUALES
OPUESTOS
RECTÁNGULO
LADOS
IGUALES
ROMBO
LADOS
OPUESTOS
PARALELOS
ROMBOIDE
DOS
LADOS
PARALELOS
TRAPEZOIDE
SIN
LADOS
PARALELOS
TRAPECIO

3. 88 Capítulo 4 Construcciones geométricas y modelado básico
C
I
R
C
U
N
F
E
R
ENCIA = DIÁMETR
O
⫻
3
.
1
4
1
6
DIÁMETRO
RADIO
CUERDA
ARCO
ÁNGUL
O
C
UADRANTE
SECTOR
SEGMENTO
SEMICÍRCULO
TANGENTE
R
A
D
I
O
SECANTE
CENTRO
CÍRCULOS
EXCÉNTRICOS
CÍRCULOS
CONCÉNTRICOS
inscritos en un círculo o circunscritos alrededor de un cír-
culo. En la figura 4.7 se muestran ejemplos de polígonos
inscritos y circunscritos. Si una forma hexagonal, como la
cabeza de un perno, está inscrita en un círculo, el diáme-
tro de dicho círculo será la dimensión entre esquinas
opuestas del hexágono. Si está circunscrito alrededor de
un círculo, el diámetro de dicho círculo es la distancia en-
tre rectas opuestas del hexágono.
4.6 ■ CÍRCULOS Y ARCOS
Un círculo es una curva cerrada formada por una serie de
puntos situados a la misma distancia del punto de refe-
rencia llamado centro. La circunferencia se refiere al cír-
culo o a la distancia alrededor del círculo. Esta distancia
es igual al diámetro multiplicado por ␲ (llamado pi, apro-
ximadamente 3.1416). En la figura 4.8 se ilustran otras ca-
racterísticas de los círculos.
■ FIGURA 4.6 ■
Polígonos regulares.
■ FIGURA 4.7 ■ Hexágonos
inscritos y circunscritos.
4.7 ■ CONSTRUCCIONES Y CAD
La mayoría de los sistemas CAD tienen un conjunto de
herramientas que permiten realizar tareas con rapidez y
facilidad, como encontrar el punto medio de una línea o
arco, o dibujar una línea perpendicular o paralela a otra lí-
nea. Estas operaciones básicas no se estudiarán aquí. Las
construcciones complejas pueden requerir una serie de
pasos, la creación de una geometría de construcción exac-
ta o funciones que los sistemas CAD no pueden propor-
cionar. En estos casos resulta útil la comprensión de
los métodos de construcción fundamentales. Los siguien-
tes métodos se concentran en herramientas manuales de
dibujo. El lector puede hacer la conexión entre estos pa-
sos y cualquier sistema CAD que esté utilizando. Para
propósitos de bosquejo, debe entenderse la geometría
subyacente que está implicada en el bosquejo, pero no se
requiere precisión. Pueden usarse símbolos o notas escri-
tas para aclarar el bosquejo cuando esto sea necesario.
■ FIGURA 4.8 ■ El círculo.
9 LADOS =
NONÁGONO
10 LADOS =
DECÁGONO
12 LADOS =
DODECÁGONO
Inscrito Circunscrito
LADOS LADOS LADOS LADOS LADOS LADOS
TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÁGONO
ESQUINAS
OPUESTAS
ESQUINAS
OPUESTAS
RECTAS
OPUESTAS
RECTAS
OPUESTAS