Geometría Plana - Unidad 1 Unidersidad de Cuenca

1. UNIVERSIDAD DE CUENCA
Unidad 1 : Geometría Plana
Conceptos fundamentales de Geometría plana
Docente: MSc. Ing. Jorge Leonardo Tepan
jorge.tepan0611@ucuenca.edu.ec

2. 01
02
03
04
1.2 Rectas en el plano: perpendicularidad y paralelismo
1.1 Punto, recta y plano
1.3 Ángulos
Contenido
1. Conceptos fundamentales de Geometría plana
1.4 Polígonos

3. Geometría
Plana
La geometría plana es una rama de la geometría
que se enfoca en el estudio de las propiedades y
relaciones de figuras geométricas en un plano
bidimensional, como líneas, puntos, ángulos,
polígonos y círculos.
A lo largo de la historia, la geometría plana ha
desempeñado un papel fundamental en el
desarrollo de las matemáticas y ha sido estudiada
por muchas culturas a lo largo de los siglos
Las civilizaciones mesopotámicas y egipcias
utilizaron conceptos geométricos para resolver
problemas prácticos, como la medición de
terrenos y la construcción de edificios.
Con el Renacimiento, hubo un resurgimiento en
el estudio de la geometría, y se aplicaron
conceptos geométricos en campos como la
perspectiva en el arte y la cartografía.
Hoy en día, la geometría plana sigue siendo una
parte fundamental de las matemáticas y se aplica
en una amplia variedad de campos, desde la
física y la ingeniería hasta la computación y la
arquitectura.
1.1 Introducción

4. 1.1 Introducción
Geometría Plana
• Se trabaja con puntos, líneas,
polígonos, círculos y otras figuras
bidimensionales.
• Se basa en un conjunto de
axiomas o postulados
Geometría Analítica
• Combina conceptos geométricos
con álgebra y análisis matemático
para estudiar las figuras
geométricas.
• Los teoremas se demuestran
utilizando métodos algebraicos en
lugar de construcciones
geométricas.
La geometría plana y la geometría analítica son dos ramas de la geometría que abordan conceptos geométricos
desde perspectivas diferentes.
La principal diferencia entre la geometría plana y la geometría analítica radica en su enfoque y
método. La geometría plana se centra en figuras bidimensionales y se basa en construcciones y
demostraciones geométricas, mientras que la geometría analítica utiliza coordenadas y ecuaciones
algebraicas para estudiar figuras tanto en espacios bidimensionales como tridimensionales.

5. Axioma:
Un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual
se construyen otros conocimientos.
1.Axioma de la existencia de puntos: "Dado cualquier par de puntos distintos en un plano, siempre se
puede trazar una línea recta que los une.“
2.Axioma de la unicidad de la recta: "Por dos puntos distintos pasa una única línea recta.“
3.Axioma de la igualdad de segmentos: "Si dos segmentos tienen el mismo punto final y la misma
longitud, entonces son iguales.“
4.Si a cantidades iguales se agrega una misma cantidad los resultados serán iguales.
1.1 Introducción

6. Teoremas:
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.
Ejemplo: Si dos paralelas son cortadas
por una transversal, los ángulos
alternos-internos son iguales
Corolario:
Un corolario es una proposición que no necesita comprobarse, sino que se deduce fácilmente de lo de
mostrado antes.
Ejemplo: Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-externos son iguales
1.1 Introducción

7. 1.1 Punto, recta y plano
Punto:
En geometría, un punto es un objeto matemático que no tiene longitud, ancho ni profundidad, y por
lo tanto no ocupa ningún lugar en el espacio. Es la entidad básica sobre la que se construye toda la
geometría y se utiliza como punto de referencia para definir otros objetos geométricos como líneas,
segmentos, planos y figuras en general. Un punto se puede representar gráficamente como un
pequeño punto en una superficie plana, pero en realidad es una idea abstracta que no tiene
extensión física.
Los puntos suelen nombrarse con letras mayúsculas A, B, C, D, etc.

8. 1.1 Punto, recta y plano
Línea:
Una sucesión infinita de puntos en una misma dirección sin anchura ni espesor.
Recta:
Por dos puntos pasan cualquier número de líneas, pero únicamente una línea recta pasa por ellos.
En la siguiente figura, por A y B pasan las líneas q, r y s. La línea que es una línea recta. En lo
sucesivo, para referirnos a una línea recta, simplemente se denomina recta.

9. 1.1 Punto, recta y plano
Segmento:
Un segmento es una porción finita de una línea recta que está limitada por dos puntos extremos.
Es la distancia más corta entre dos puntos en una línea recta. Se puede representar gráficamente
como una línea con un punto en cada extremo. Los segmentos se utilizan para describir las
longitudes y las posiciones relativas entre los objetos geométricos
Plano:
Un plano, es una figura llana, lisa, sin grosor. Un plano, suele ser evocado por una hoja de papel
apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa o de un pizarrón.

10. Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que dos rectas a y b son paralelas
cuando son equidistantes, es decir, cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia
de la otra recta, decir que dos rectas son paralelas si nunca llegan a cortarse en un punto.
1.2 Rectas en el plano: perpendicularidad y paralelismo

11. Rectas Oblicuas
Dos rectas son oblicuas si están en el mismo plano y se cortan en un mismo punto, formando
cuatro ángulos, cada uno diferente de 90º.
1.2 Rectas en el plano: perpendicularidad y paralelismo

12. Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se cortan en el mismo punto, forman
4 ángulos iguales de 90º cada uno.
A este ángulo que mide 90º se les llama ángulos rectos, y esto permite definir a dos rectas como
perpendiculares.
1.2 Rectas en el plano: perpendicularidad y paralelismo

13. Ángulo
Los ángulos son la unión de dos rectas. Note que ambas rectas tienen un mismo origen, al cual
se le conoce con el nombre de vértice del ángulo y a las rectas se les conoce como lados del
ángulo.
1.3 Ángulos

14. ▪ Clasificación de ángulos
▪ Ángulos adyacentes y consecutivos
1.3 Ángulos

15. Ejercicios Propuestos
La recta OF es bisectriz del ángulo AOB de la
siguiente figura. Calcular el valor de x
Datos
▪ ∡BOF= ∡FOA
Desarrollo
▪ ∡BOF= ∡FOA
▪ 2X+70=4X+68
▪ 2X=70-68
▪ 2X=2
▪ X=1
m
∡

16. Ángulos formados por una transversal a dos rectas
Al cortar dos paralelas por una recta transversal se originan dos familias de ángulos muy
relacionados entre sí
1.3 Ángulos

17. ▪ Teorema:
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales
1.3 Ángulos

18. ▪ Ángulos complementarios y suplementarios
▪ Bisectriz de un ángulo
1.3 Ángulos

19. Ejercicios Propuestos
En la siguiente figura calcular x
Datos
• Ángulos opuestos por el vértice
𝟐𝜃 = 𝟑𝒙
▪ 𝟑𝒙 + 𝟒𝜃 = 𝟗𝟎
▪ 2𝜃 + 𝟒𝜃 = 𝟗𝟎
▪ 𝟔𝜃 = 𝟗𝟎
▪ 𝜃 = 𝟏𝟓
▪ ………………………
▪ 𝟐𝜃 = 𝟑𝒙
▪ 𝟐 𝟏𝟓 = 𝟑𝒙
▪ 30=3x
▪ X=10
𝜃

20. Ejercicios Propuestos
Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su
suplemento y de su complemento es igual a 120°
Datos
S=suplementario
C=complementario
S+C=120
S=180-x
C=90-x
Desarrollo
▪ 180-x+90-x=120
▪ 2x=150
▪ X=75

21. Ejercicios Propuestos
Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el
séxtuplo de su complemento, resulta la mitad del
valor del ángulo. Hallar el suplemento del ángulo
Datos
• x ángulo
• S-6C=x/2
• S=180-x
• C=90-x
Desarrollo
▪ S-6C=
𝒙
𝟐
▪ 180-x-6(90-x)=
𝒙
𝟐
▪ 180-x-540+6x=
𝒙
𝟐
▪ 5x-
𝒙
𝟐
=540-180
▪ 9x/2=360
▪ X=360*2/9
▪ X=80
………………………………….
S=180-x
S=180-80
S=100

22. Ejercicios Propuestos
En la siguiente figura la recta OX es la bisectriz del
ángulo AOC y la OY es la bisectriz del ángulo BOD.
El ángulo COD mide 99°. El ángulo XOY mide 90°.
Calcular el ángulo AOB
Datos
• x+99-y=90
• x-y=90-99
• x-y=-9
•
Desarrollo
▪ z=x+x+99-2y
▪ z=2x-2y+99
▪ z=2(x-y)+99
▪ z=2(-9)+99
▪ z=99-18
▪ z=81
𝒙
𝒙
𝒚
𝒚

23. ▪ Teorema: Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son
iguales
▪ Teorema: Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son
iguales
▪ Corolario: Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-externos son
iguales
1.3 Ángulos

24. Ejercicios Propuestos
Datos
m
Desarrollo
• ∝ +𝟑𝜃 + 𝟐 ∝= 𝟏𝟖𝟎
• 𝟑 ∝ +𝟑𝜃 = 𝟏𝟖𝟎
• ∝ +𝜃 = 𝟔𝟎
• ……………………………
• 𝟐 ∝ +𝟐𝜃 + 𝐱 = 𝟏𝟖𝟎
• ∝ +𝜃 + 𝐱/𝟐 = 𝟗𝟎
• 𝟔𝟎 +
𝒙
𝟐
= 𝟗𝟎
•
𝒙
𝟐
= 𝟗𝟎 − 𝟔𝟎
• x=30(2)
• x=60
𝜃 ∝
∝
𝜃
𝟑𝜃

25. Polígonos:
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos
no alineados, llamados lados.
1.4 Polígonos

26. Ángulos en un polígonos:
Recordemos que uno de los elementos del polígono son los ángulos que forman la unión de dos
segmentos. La característica de estos ángulos es que pueden ser internos o externos, según sea su
ubicación.
1.4 Polígonos

27. ▪ Polígono convexo.-Las medidas de sus ángulos
interiores son menores a 180º
▪ Polígono cóncavo.-La medida de uno o más de
sus ángulos interiores es mayor a 180º
1.4 Polígonos
Clasificación de los polígonos por su ángulos y lados
▪ Polígono equilátero.- Sus lados son congruentes.
▪ Polígono equiángulo.-Las medidas de sus ángulos
interiores son congruentes.

28. ▪ Polígono regular.-Es equilátero y a su vez equiángulo.
▪ Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes.
1.4 Polígonos
Clasificación de los polígonos por su ángulos y lados

29. Propiedades de los polígonos
1. Máximo numero de diagonales desde un vértice
2. Numero total de diagonales
3. En los polígonos convexos las suma de las medidas de los ángulo internos es de:
1.4 Polígonos

30. Propiedades de los polígonos
4. En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos externos es de 360°
5. En un polígono equiángulo 6. En un polígono regular
1.4 Polígonos

31. Ejercicios Propuestos
Hallar x si: ABCDEF y APQF son polígonos regulares
Datos
Angulo interno del hexágono
n=6
i=120
Desarrollo

32. ▪ Centro. Es un punto interior equidistante de todos sus
vértices. (En algunos polígonos irregulares, también
se puede establecer un centro).
▪ Apotema. Segmentos que van desde el centro de
cada lado al centro del polígono.
▪ Radio. Segmentos que van desde cada vértice al
centro del polígono.
▪ Angulo Central. Hay varios tipos, los formados por sus
apotemas, los formados por sus radios y los formados
entre ambos.
1.4 Polígonos
Polígonos Regulares:
Un polígono regular es el que tiene sus ángulos y lados iguales. Sus propiedades son: