Tercera presentación de la Unidad II de Matematicas. Plano Numérico

1. Plano
Numérico
Presentación
UniversidadPolitécnicaTerritorial
“AndrésEloyBlanco”
Alejandro Zambrano
30105771
Sección: IN0104
Unidad II ,Matemáticas

2. ¿Quees un Plano Numérico?
Un plano es una representación gráfica de un objeto o área en una superficie
bidimensional.
Los planos tienen aplicación en diversos ámbitos del conocimiento, tales como la
matemática (la geometría), la geografía, el diseño, la arquitectura, el urbanismo, la
ingeniería y la construcción en general.
1. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
2. Tres puntos no alineados.
3. Una recta y un punto exterior a ella.
4. Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

3. Distancia
Es una magnitud escalar que se mide
en unidades de longitud, y que se
puede entender como el camino entre
un punto de origen A y un punto de
destino B.
Dicho trayecto normalmente
equivale a la longitud de una recta
que une dos puntos, estando en un
plano euclídeo.
El segmento que forman los puntos A
y B está sobre el eje horizontal, por lo
que es muy sencillo visualizar que la
distancia entre sus dos extremos es
3,
Ya que el punto A está en (2,0) y el
punto B está en (5,0). la distancia
entre esos dos puntos puede surgir
de restar la coordenada Xb (es decir
la coordenada x del punto B), menos
la coordenada Xa (es decir la
coordenada x del punto B).
Tal resta, sería 5-2, lo que nos da 3,
precisamente la distancia que se
visualiza a nivel de imagen, sin
realizar ningún cálculo.

4. PuntoMedio
Un punto medio en matemáticases un
punto equidistante de otrosdos puntoso
extremosde un segmento.
Más generalmente,un punto equidistante
en matemáticases un punto que es
equidistante de dos elementosgeométricos
(puntos, segmentos, líneas, etc.).
Para un segmento, elpunto medio es
dividirlo en 2 partesiguales. En este caso,
los puntosmedios son únicosy
equidistantesde los puntosfinalesdel
segmento. Si se cumple esta última
condición, elsegmento pertenece a la
bisectriz.
En el planocartesiano
Dado un segmento, cuyos extremos tienen
por coordenadas:
El punto medio, , tendrá por
coordenadas:

5. Ecuaciones
¿Cuales son los tipos de
ecuaciones del plano?
Como hemos visto en la
definición de la ecuación de un
plano, se puede expresar
cualquier punto de un plano
como combinación lineal de 1
punto y 2 vectores.
Ecuación vectorial del plano
Dadosun punto y dos vectoresdirectoresde un plano:
La fórmula de la ecuación vectorialde un plano es:
O, equivalentemente:
Donde y son dos escalares, es decir, dos números
reales.

6. Ecuaciones
La ecuación paramétrica de un plano se puede determinar a partir de su
ecuación vectorial. Acontinuaciónpuedesver la demostración.
Sea la ecuación vectorialde un plano cualquiera:
Primero operamosy realizamoslosproductosde vectorespor los escalares:
Luego sumamoslascomponentes:
Y, finalmente, conseguimoslasecuacionesparamétricasdelplano
igualando lascoordenadascorrespondientesa cada variable por separado:
Donde:
• y son dos escalares, es
decir, dos números reales.
• son las
componentes de uno de los
dos vectores directores del
plano
• son las
componentes del otro vector
director del plano

7. Ecuaciones
Ecuación implícita o general del plano
Dadosun punto y dos vectoresdirectoresde un plano:
La ecuación implícita, generalo cartesiana de un plano se obtiene resolviendo elsiguiente determinante
e igualando elresultado a 0:
De modo que la ecuación implícita o generaldelplano resultante será de la siguiente forma:
Este tipo de ecuación delplano también se llama ecuación cartesiana delplano.

8. Una circunferencia esuna línea curva cerrada muy especial. Veamosporqué.
• Como hemosdicho, cualquier punto de la circunferencia esequidistante de su centro. Esto hace que tenga
unaspropiedadesgeométricasmuy especiales. De hecho, esuna de las líneasmás usadas en cualquier
ámbito de nuestra vida.
• La circunferencia esla línea cerrada mássimétrica que existe. Tiene infinitosejesde simetría
• La circunferencia está presente en todoslos polígonosregulares: puede inscribirse una circunferencia
alrededor de ellos, que toque en un punto a todos sus vértices, y puede circunscribirse una circunferencia
en su interior, que toque en un punto a cada uno de sus lados en el centro.
Trazadode Circunferencias
Una circunferencia tiene
infinitosejesde simetría
Podemosinscribir
cualquier polígono
regular dentro de una
circunferencia
Podemoscircunscribir
una circunferencia
dentro de cualquier
polígono regular

9. Trazadode Circunferencias
• La circunferencia está muy relacionada con otrostiposde líneas curvasespecíficas: elipse, óvalo,
ovoide, parábola, hipérbola,espiral, ondas(onduladas), hélices(helicoidales), etc.
• La circunferencia,o sea, la línea curva cerrada que formasu contorno, mide algo másdel triple que
su diámetro. Desde hace milenios, se calculó que esta proporción essiempre la misma, sea cualsea
el tamaño de la circunferencia. Aesta relación se le llamó pi (π), y tiene siempre el mismo valor,
aunque tiene infinitascifrasdecimales. Normalmente se usa el valor aproximado: π = 3,1416
Si divides lo que mide la longitudde una
circunferencia (la medida de su línea curva exterior)
entre lo quemide su diámetro, obtienes el valor de pi:
π = 3,14159265358979323846…
Una circunferencia mideun poco más del triple de su diámetro.

10. Trazadode Circunferencias
En cualquier circunferencia podemos establecer los siguientes elementos:
CENTRO: Es un punto interior de la
circunferencia que está a la misma
distancia de todos los puntos de la
circunferencia.
SEMICIRCUNFERENCIA: Es la mitad de
una circunferencia, aunque también se
puede considerar el arco de mayor
tamaño posible en una circunferencia.
RADIO: Es un segmento que va desde
el centro a cualquiera de los puntos de
la circunferencia. Se representa con la
letra ‘r’.
Todos los radios miden lo mismo. El
radio mide la mitad que el diámetro.
Dos radios alineados forman un
diámetro.
DIÁMETRO: Es un segmento que va desde un
punto a otro de la circunferencia pasando por el
centro. Se representa con la letra ‘d’. El
diámetro está formado por dos radios
consecutivos, por lo que el diámetro siempre
mide el doble que el radio. Divide a la
circunferencia en dos mitades iguales llamadas
semicircunferencias. También se le puede
considerar como la cuerda de mayor tamaño.
CUERDA: Es un segmento que va desde un punto a
otro de la circunferencia, pero sin pasar por el
centro. Se diferencia del diámetro que este pasa
por el centro y la cuerda no. La cuerda siempre es
menor que el diámetro, ya que a la cuerda que
pasa por el centro se le llama diámetro.

11. Trazadode Circunferencias
FLECHA: Es el segmento que va perpendicular desde el
centro de una cuerda (‘semimediatriz’) hasta la
circunferencia.
ARCO: Es el trozo de circunferencia que está entre dos
puntos. Estos puntos los puede originar una cuerda, dos
radios, u otros elementos. Cuando la cuerda que forma el
arco es el diámetro,
entonces dicho arco es una semicircunferencia. Cuando
trazamos una cuerda, siempre se forman 2 arcos: uno
mayor y otro menor. Si no se especifica, se considera
arco el de menor tamaño.

12. Parábola
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano
que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
Observen que estamos definiendo la parábola como un
conjunto de puntos que verifican cierta propiedad
geométrica, no como la gráfica de una función
cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta
ahora).
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que
pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se
llama vértice.

13. Parábola
Ejemplos:
El siguiente gráfico muestra una«parábola acostada»:
Existen también las parábolasrotadas. Por ejemplo si
nosotrosgraficáramosen algún programa de
computadora elconjunto de puntosque satisfacen la
ecuación , obtendríamosla
siguiente gráfica:

14. Elipses
Una elipse es una curva plana, simple​
y cerrada con dos ejes de simetría que
resulta al cortar la superficie de
un cono por un plano oblicuo al eje de
simetría con ángulo mayor que el de
la generatriz respecto del eje de
revolución.​
Una elipse que gira alrededor de su eje
menor genera un esferoide achatado,
mientras que una elipse que gira
alrededor de su eje principal genera un
esferoide alargado. La elipse es también
la imagen afín de una circunferencia.
La elipse es el lugar geométrico de todos
los puntos de un plano, tales que la suma
de las distancias a otros dos puntos fijos,
llamados focos, es constante.

15. Elipses
La hipérbola es el conjunto de puntos del
plano tales que el valor absoluto de la
diferencia entre las distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, permanece constante.
La hipérbola forma parte de las curvas
conocidascomo cónicas, que se llaman
así porque pueden derivarse delcorte de
un cono con una sección plana. Se
obtiene una hipérbola alintersectar el
cono y el plano, siempre que este no
pase por el vértice del cono y el ángulo
que forme el plano con el eje del cono
sea menor que elque forma con el eje
generatriz delmismo.
Junto con la parábola, la circunferencia
y la elipse, las cónicasson conocidas
desde la antigüedad.
Allí se muestra un punto P(x,y), los focos F1 y F2 separados
una distancia igual a 2c. La forma matemática de expresar
esta relación esa travésde:

16. Se denomina sección cónica (o
simplemente cónica) a todas las
curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un
plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas
propiamente
dichas elipse, parábola, hipérbola y
circunferencia.
Ecuaciones Cónicas Si el cono recto circular
es cortado por un plano
perpendicular al eje del
cono, la intersección es
un círculo. Si el plano
intersecta una de las
piezas del cono y su eje
pero esté no es
perpendicular al eje, la
intersección será una
elipse. Para generar una
hipérbola el plano
intersecta ambas piezas
del cono sin intersectar
el eje. Y finalmente, para
generar una parábola, el
plano de intersección
debe intersectar una
pieza del cono doble y su
base.
La ecuación general para
cualquier sección cónica
es
donde A, B, C, D,
E y F son constantes.

17. Ecuaciones Cónicas
Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente
también cambiara. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos
a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada.
• Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si una cónica existe, está puede ser un círculo o una
elipse.
• Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si una cónica existe, será una parábola.
• Si B 2 – 4 AC es mayor que cero, si una cónica existe, será una hipérbola.

18. Bibliografía
https://www.significados.com/plano/
https://matematicasmodernas.com/distancia-entre-dos-puntos/
https://www.geometriaanalitica.info/ecuaciones-del-plano-en-el-espacio/
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-
tic/21003232/helvia/sitio/upload/apuntes8____la_circunferencia.pdf
https://aga.frba.utn.edu.ar/parabola/
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://www.lifeder.com/hiperbola/
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conic-sections-
and-standard-forms-of-equations