BAS-1-Matemática-Clase 1.ppsx

CURSO DE PERFECCIONAMIENTO
PROYECTISTAS DE ESTRUCTURAS DE ACERO
Equipo de trabajo:
Coordinación General, diseño
pedagógico-didáctico e implementación:
Dr. Ing. Francisco Crisafulli
Mag. Ing. Eduardo Totter
Mag. Ing. Silvia Raichman
Revisor Externo:
Ing. Arnaldo Gutiérrez
Apoyo en diseño gráfico y estilístico:
Valeria Farías
María José Licciardo

1 – ETAPA BÁSICA
2 – APOYO CONCEPTUAL
3 – HERRAMIENTAS DIRECTAS
4 – HERRAMIENTAS PRÁCTICAS
ORGANIZACIÓN GENERAL DEL CURSO
CURSO DE PERFECCIONAMIENTO PROYECTISTAS 2
Matemáticas aplicadas
y trigonometría
Terminología técnica
en inglés y unidades
Geometría
Descriptiva
Dibujo y represen-
tación de estructuras
Aceros y productos
de acero
Cargas aplicadas
sobre estructuras
Conceptos de
estructuración
Mecánica de sólidos
Estática aplicada Métodos de diseño
Detallado
Planos
Ejemplos de detalles
constructivos
Aplicaciones
Programas de
computación
Fabricación
Inspección y control
de calidad
Transporte y montaje

Contenidos del Módulo
• Recta
• Semirrecta
• Segmento
• Ángulos
• Medidas angulares
• Polígonos
• Triángulos
• Cuadriláteros
• Circunferencia y círculo
• Poliedros
CURSO DE PERFECCIONAMIENTO PROYECTISTAS / MATEMÁTICA APLICADA y TRIGONOMETRÍA 3
MATEMÁTICA APLICADA y TRIGONOMETRÍA

Contenidos del Módulo
• Cuerpos de revolución
• Cilindros
• Conos
• Esferas
• Sistemas de medición
• Perímetros
• Áreas - Volúmenes
• Coordenadas cartesianas
• Ecuaciones lineales y cuadráticas
• Funciones trigonométricas
MATEMÁTICA APLICADA y TRIGONOMETRÍA

CURSO DE PERFECCIONAMIENTO PROYECTISTAS 5
MATEMÁTICAS APLICADAS y TRIGONOMETRÍA
CLASE 1

Definición
• Una recta es una sucesión infinita de puntos que se extienden en una dirección dada. Una recta
no tiene principio ni fin
• Por un punto dado es posible trazar infinitas rectas
• Por dos puntos dados pasa una y sólo una recta
• Observación: Las rectas se denominan generalmente utilizando una letra mayúscula. Los puntos
se denominan con letras minúsculas. En la diapositiva podemos observar las rectas P, R,Q y los
puntos m y n
RECTA
Matemática aplicada y trigonometría
P
P
Q
R
m
R
m
n

Definición
• Un punto cualquiera de una recta divide a la misma en dos semirrectas opuestas. Dichas
semirrectas tienen origen en el punto indicado.
• En la figura se observa que el punto x, divide a la recta P en dos semirrectas cuyo origen es el
punto x. Cada semirrecta contiene otros puntos tales como el m y el n, de manera que las
semirrectas obtenidas se pueden designar como:
• Semirrecta
• Semirrecta
• Observación: La designación de una semirrecta, se realiza indicando el punto origen de la
misma y un punto cualquiera perteneciente a ella, coronados con un flecha en su parte superior.
SEMIRRECTA
P
m
x
n
xm
xn

Definición
• Denominamos segmento, a la porción de una recta que se encuentra comprendida entre dos
puntos determinados de la misma.
• En este caso los puntos h,l,q y s pertenecientes a la recta P, determinan entre otros los
segmentos indicados:
• Segmento
• Segmento
• Observación: La designación de un segmento se realiza indicando los dos puntos extremos que
conforman el mismo, coronados con un segmento de recta en su parte superior.
SEGMENTO
hl
qs
P
h
l
q
s

RECTAS PARALELAS
• Se denominan rectas paralelas a dos rectas que nunca se cortan.
RECTAS PARALELAS, SECANTES y PERPENDICULARES
P
Q
RECTAS SECANTES
• Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.
q
R
S
RECTAS PERPENDICULARES
• Dos rectas secantes que se cortan entre sí formando cuatro ángulos iguales, se
denominan rectas perpendiculares.
q
B
H

DEFINICIÓN
• Se denomina ángulo a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas de origen
común.
• Las semirrectas entre las que se desarrolla el ángulo se denominan lados y el
punto común entre ellas es el vértice del ángulo.
• La mayor o menor abertura entre los lados del ángulo, constituye la amplitud del
mismo.
• De esta manera, el ángulo formado se denomina:
ÁNGULOS
r
q
s

DESIGNACIÓN
• Una forma de nombrar o designar los ángulos es a partir de la identificación de tres
puntos.
• Uno de ellos, el primero, pertenece a uno de sus lados, el segundo punto constituye el
vértice del ángulo y el tercero es un punto perteneciente al lado restante.
• De esta manera el ángulo representado en la presente diapositiva se denomina:
ángulo
ÁNGULOS
r
p
d

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD
• De acuerdo con la amplitud que posee un ángulo podemos encontrar los siguientes
casos:
• Ángulo nulo: sus lados son coincidentes
• Ángulo recto: sus lados son perpendiculares.
• Ángulo agudo: su amplitud es menor que un ángulo recto.
• Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que un ángulo recto.
• Ángulo llano: sus lados son semirrectas opuestas.
ÁNGULOS
r
q
s
r
q
s
r
q
s
r
q
s
r
q
s

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU UBICACIÓN
• De acuerdo con la amplitud que posee un ángulo podemos encontrar
los siguientes casos:
• Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos generado por dos
rectas que se cortan
• Ángulos complementarios: son ángulos cuya suma es un ángulo
recto.
• Ángulos suplementarios: son ángulos cuya suma es un ángulo
llano.
• Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tienen
sólo un vértice y un lado en común
• Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si son
consecutivos y suplementarios.
• . CURSO DE PERFECCIONAMIENTO PROYECTISTAS / MATEMÁTICA APLICADA y TRIGONOMETRÍA 13
ÁNGULOS
r
q
s
p
t
r
q
s
r
q
s
p
r
q
s
p

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO CON SU MEDIDA
• Una unidad de medida de la amplitud de un ángulo es el grado sexagesimal (°). Un grado
sexagesimal es la 90ava parte de un ángulo recto. De esta manera:
• Ángulo nulo: es aquel cuya medida es 0°
• Ángulo recto: es aquel cuya amplitud es de 90°.
• Ángulo agudo: su amplitud es menor que 90°.
• Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90° y menor que 180°.
• Ángulo llano: su amplitud es de 180°.
ÁNGULOS
r
q
s
r
q
s
r
q
s
r
q
s

Medición de ángulos
• En la diapositiva anterior notamos que la unidad de medida de la amplitud de un ángulo
es el grado sexagesimal (°). La precisión en la medición de ángulos es muy importante,
de manera que existen unidades más pequeñas que el grado sexagesimal para indicar
fracciones del mismo. De esta manera tendremos:
• 1° (grado) sexagesimal, equivale a 60’ (minutos) sexagesimales.
• 1’ (minuto) sexagesimal, equivale a 60’’ (segundos) sexagesimales.
• Ejemplo:
ÁNGULOS
r
q
s

Operaciones entre ángulos
• Es posible realizar con ángulos diversas operaciones tales como suma, resta
y multiplicación por un número real.
• Suma de dos o más ángulos: Ejemplo:
• Resta de dos ángulos: Ejemplo:
• Multiplicación de un ángulo por un número real:
Ejemplo:
ÁNGULOS

Operaciones entre ángulos
Para la realización de las operaciones entre ángulos, es necesario recordar en primer
lugar que:
• 1 grado equivale a 60 minutos.
• 1 minuto equivale a 60 segundos.
De esta manera, las operaciones angulares se realizan trabajando en forma independiente con los
segundos, minutos y grados.
En el caso de que el resultado de la operación realizada, indique tanto en el caso de los segundos
como de los minutos una cantidad de los mismos mayor que 60, se coloca como resultado la
diferencia entre lo obtenido y 60, agregando la unidad restante en donde corresponda.
Por ejemplo si el resultado de la suma de segundos fue de 86 segundos, esto corresponde a 1
minuto y 26 segundos.
La próxima diapositiva indica un ejemplo de operaciones entre ángulos realizadas a partir del
procedimiento descripto.
ÁNGULOS

Ejemplo:
• En el siguiente ejemplo podemos observar la metodología que se utiliza para operar con
diversos ángulos:.
• Suma de dos o más ángulos: 62° 32’ 45’’
30° 25’ 28’’
12° 25’ 32’’
104° 82´ 105’’ 105’’= 1’ + 45’’
104° 83´ 45’’ 83’ = 1° + 23’
105° 23’ 45’’
• Pasaje a la forma decimal: 105° 23’ 45’’ 45’’ x 1’/60’’ = 0.75’
105° 23.75’ 23.75’ x 1°/60´= 0.396°
105.396°
ÁNGULOS

Sistemas de medición de ángulos:
• Además del ya mencionado sistema sexagesimal, existen otros sistemas de medición de
ángulos tales como los siguientes:
• Sistema radial o circular: la unidad de medida en dicho sistema es el radián, cuya
designación es rad y la equivalencia con el sistema sexagesimal es: 180° = π radianes
• Sistema centesimal: cuya unidad de medida es el denominado grado centesimal o
gradián y la equivalencia con el sistema sexagesimal es: 90° = 100g
• Los sistemas de medición angular mencionados, no serán descriptos en detalle durante el
desarrollo del presente curso, ya que de acuerdo a los contenidos del mismo el sistema
sexagesimal es ampliamente utilizado.
ÁNGULOS

Bisectriz de un ángulo
• Se denomina bisectriz de un ángulo, a la semirrecta que tiene origen en el vértice del
ángulo y divide al mismo en dos partes iguales.
• La semirrecta rm es la bisectriz del ángulo
• Es posible trazar la bisectriz de un ángulo a partir de la utilización de un compás.
ÁNGULOS
r
p
d
m
g
q
s
m
b
a
c

Bisectriz de un ángulo a partir de la utilización de compás
• Para trazar la bisectriz de un ángulo por medio de la utilización de un compás, se describe el
siguiente procedimiento:
• En primer lugar se hace centro con el compás en el vértice g del ángulo, determinando
un arco que corta a los lados del mismo en los puntos a y b.
• A continuación haciendo centro en forma sucesiva en los puntos a y b con el mismo
radio, se dibujan dos arcos que se cortan en el punto c.
• Se procede de esta manera a unir con una semirrecta los puntos g y c de manera de
obtener la bisectriz buscada.
ÁNGULOS
g
q
s
m
b
a
c

Ángulo entre dos paralelas y una transversal
• Es de interés el estudio de los 8 ángulos conformados por una recta transversal M, que
corta a dos rectas paralelas S y T.
• En primer lugar observamos los denominados ángulos exteriores e interiores.
ÁNGULOS
M
T
S
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 5 8 son ángulos externos
1 4 7 6 son ángulos internos
1 3 ; 2 4 ; 5 | 7 ; 6 | 8 son ángulos opuestos por el vértice, son iguales.

Ángulo entre dos paralelas y una transversal
• Podemos observar las siguientes posibilidades:
ÁNGULOS
Ángulos conjugados internos son
suplementarios
Ángulos conjugados externos son
suplementarios
Ángulos correspondientes son
iguales
Ángulos alternos internos son
iguales
Ángulos alternos externos son
iguales

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Notas del editor