Funciones 3° Medio

1. FUNCIONES
III MEDIO
- Comprender el concepto de función a través de representaciones
mediante tablas, diagramas, gráficos y fórmulas.
- Planter y resolver problemas que involucren funciones de variable
real.
OBJETIVOS:

2. Concepto de función
Una función 𝒇 de un conjunto A en un conjunto B (𝒇: 𝑨 → 𝑩) es una relación que
asocia a cada elemento 𝒙 en A, llamado preimagen, un único elemento 𝒚 en B, llamado
imagen
- La variable 𝒙 se llama variable independiente
- La variable 𝒚 se llama variable dependiente
:
( )
f A B
x y f x
→
→ =
Notación:
En una función 𝒇 el conjunto de los valores que puede tomar 𝒙 recibe el nombre de dominio de la
función. El 𝑫𝒐𝒎 𝒇 es el conjunto de las preimágenes, entonces 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝑨. El recorrido de la
función 𝒓𝒆𝒄 𝒇 es el conjunto de las imágenes 𝒚 de la función, entonces (𝑹𝒆𝒄 𝒇 ) ⊆ 𝑩

3. Dominio y Recorrido
Además, como por ejemplo f (10) = 250, entonces
250 es la imagen de 10, o bien, 10 es la preimagen de
250.
Luego, en la función f representada en el diagrama, el
dominio, codominio y recorrido de la función son,
respectivamente:
Dom f = {10, 20, 25}
Codom f = {250, 1000, 1500, 1750, 2000}
Rec f = {250, 1000, 1500}
Dom h =
Codom h =
Rec h =
Dom g =
Codom g =
Rec g =

4. Actividad
Ejercicio: Estima el dominio y recorrido de las siguientes funciones.
Dom f=
Rec f=
Dom f=
Rec f=
Dom f=
Rec f=

5. Actividad
Ejercicio: Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones.

6. Clasificación de funciones
FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN AFÍN FUNCIÓN CONSTANTE
Donde m es la pendiente. Donde m es la pendiente y b es el
intercepto con el eje Y (coeficiente de
posición)
𝒇 𝒙 = 𝒄 , 𝒄 ∈ ℝ
Es una recta que siempre
pasa por el origen (0,0)
Es una recta que no pasa por el
origen y siempre intercepta al eje y en
un punto
Es una recta que intersecta en
el eje Y en un punto, es
horizontal, es decir paralela al
eje X.
Ejemplo:
𝑦 = 3𝑥
𝑚 = 3 > 0
Ejemplo: 𝑦 = −2𝑥 + 5
𝑚 = −2 < 0
intersección
con el 𝑒𝑗𝑒 𝑌 (0,5)
Ejemplo: 𝑦 = 2
( ) ,
f x mx
= ( ) ,
f x mx b
= +

7. Actividad Determina pendiente, coeficiente de posición y haz un esbozo de la
gráfica.
1) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3
2) 𝑔 𝑥 =
𝑥
2
+ 1
3) ℎ 𝑥 = −5 − 𝑥
4) 𝑗 𝑥 = 3𝑥 + 4
Desarrollo

8. Sea define 𝒇 𝒙 = ቐ
𝟐 − 𝟑𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟒
𝟒 + 𝟐𝒙 𝒔𝒊 − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒
−𝟑𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟒
Calcular: 𝑓 −5 + 𝑓 0 − 3𝑓 3 − 2𝑓 6 + 𝑓(4)
Actividad
De acuerdo a la gráfica de la función 𝒇 de
la figura, calcula:
)
4𝑓 0 + 𝑓 3 + 3𝑓(1 − 2𝑓(2)

9. Aplicación de la función afín y lineal
Un grupo de estudiantes universitarios fabrica un robot submarino para investigar una especie de peces que habita las
profundidades de un lago en Chile. Luego de someterlo a diferentes pruebas, registran los siguientes datos:
Registro #1 Registro #2
Tiempo: 2 minutos Tiempo: 5 minutos
Distancia: 120 metros Distancia: 300 metros
Si el robot se mueve con velocidad constante, ¿Qué distancia habrá recorrido luego de 11 minutos de iniciado el movimiento?
Desarrollo: El objetivo de esta pregunta es hallar la distancia recorrida por un robot que se desplaza con velocidad
constante. Del registro #1 se sabe que en 2 minutos recorre 120 metros, delo cual se deduce que por cada minuto recorre
60 metros.
Luego es posible construir una tabla de valores que relacione el tiempo y la distancia recorrida.
Tiempo
(min)
1 2 3 4 5
Distancia
(m)
60 120 180 240 300
La distancia se puede
representar con la función lineal
𝑓 𝑥 = 60𝑥. Por lo tanto a los 11
minutos el robot recorre 660
metros

10. Ejemplo
Una compañía de teléfonos ofrece un plan con un costo fijo de $4.900 y un precio por minuto de $50. si x
es el número de minutos, ¿Cuál es la función que modela el costo del plan? ¿Cuánto tiene que pagar si
ocupa 30 minutos en el mes?
Desarrollo: la función que modela el costo
del plan es: 𝑓 𝑥 = 50𝑥 + 4900, donde 𝑥
es el numero de minutos
Desarrollo: para saber el costo total se debe
reemplazar el valor de los minutos en la
función, entonces: 𝑓 30 = 50 ∙ 30 + 4900 =
6400

11. Actividad
1) En la cuenta de energía eléctrica de una compañía se deja establecido un cargo fijo de $641. Sabiendo que el cálculo de tarifas
es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $118, ¿Cuál es la función que permite calcular el costo G de x kWh?
2) Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $10.500. Todo minuto extra tiene un costo de $a.
si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿Cuál es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al
tiempo pactado?
3) Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $1.000.000 y costos varios por lámpara de $5.000. si 𝑥 representa el
número de lámparas producidas en un mes. ¿Cuál es la ganancia si en un mes se venden 45 lámparas?

12. Función valor absoluto
Si 𝑥 ∈ ℝ el valor absoluto de “x” es
una valor real no negativo que se
define:
( )
0
0
x si x
f x x
x si x


= = 
− 

Si la función Valor Absoluto
es de la forma ( )
f x ax
=
Si 𝑎 ∈ ℝ al disminuir el valor
del coeficiente a las ramas se
“abren” y al aumentarlo “se
cierran”.
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙
Si la función Valor Absoluto es de
la forma:
1. Si 𝑎 > 0, la función se
desplaza a unidades a la
izquierda.
2. Si 𝑎 < 0, la función se
desplaza a unidades a la
derecha.
( )
f x x a
= +
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐
𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐
Si la función Valor Absoluto es de
la forma:
1. Si 𝑎 > 0, la función se
desplaza "𝑎" unidades hacia
arriba.
2. Si 𝑎 < 0, la función se
desplaza "𝑎" unidades hacia
abajo.
𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐
( )
f x x a
= +

13. Función cuadrática o de segundo grado
Es de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
La gráfica de esta función es siempre una parábola, dependiendo su forma y ubicación de los coeficientes
a, b, c.
Para graficar una función cuadrática debemos obtener los siguientes elementos:
1. Concavidad
𝑎 > 0 la parábola se abrirá hacia arriba (cóncava hacia arriba)
𝑎 < 0 la parábola se abrirá hacia abajo (cóncava hacia abajo)
2. Intersección con los ejes
Eje Y: el coeficiente que da esa información es “c”, el punto de intersección será 0, 𝑐
Eje X: si 𝑓 𝑥 = 0 entonces para encontrar las soluciones de x debemos factorizar o fórmula.
2 2
4 4
1
2 2
2 4
2 2
b b ac b b ac
x x
a a
b b ac
x
a
−  − − − −
= → =
− + −
→ =
2 0
ax bx c
+ + =

14. 3. Análisis de discriminante ∆= 𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄
❑ Si ∆> 0 se obtendrán 2 soluciones reales y distintas (la parábola corta al eje X en 2 puntos)
❑ Si ∆= 0 se obtendrán 2 soluciones reales e iguales (la parábola corta al eje X en un solo punto)
❑ Si ∆< 0 no hay solución en los números reales (la parábola no corta al eje X)
4. Eje de simetría
La parábola posee un eje de simetría, el cual es una recta paralela al eje Y
5. Vértice
2
4
; ;
2 2 2 4
b b b ac b
V f
a a a a
 
 − −  − −
 
=  
 
 
 
   
2
b
x
a
−
=

15. Desplazamiento de una función cuadrática.
Si la función cuadrática es de la forma:
𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑎)2
1. Si 𝑎 > 0, la función se desplaza a
unidades a la izquierda.
2. Si 𝑎 < 0, la función se desplaza a
unidades a la derecha.
Si la función cuadrática es de la
forma:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑎
1. Si 𝑎 > 0, la función se desplaza "𝑎"
unidades hacia arriba.
2. Si 𝑎 < 0, la función se desplaza "𝑎"
unidades hacia abajo.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝒇 𝒙 = (𝒙 + 𝟐)𝟐
𝒈 𝒙 = (𝒙 − 𝟐)𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝟐
𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐
− 𝟐

16. Actividad
Grafica la siguiente función cuadrática 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟐