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U2.S01 - Material.pdf

  1. Nivelación de Matemáticas para Ingeniería
  2. POTENCIACIÓN LEYES Y TEORIA DE EXPONENTES
  3. LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno aplica sin dificultad, los teoremas de potenciación en la resolución de problemas.
  4. ESQUEMA DE LA UNIDAD LEYES Y TEORIA DE EXPONENTES POTENCIACIÓN - DEFINICIÓN - EXPONENTE NATURAL - EXPONENTE CERO - EXPONENTE NEGATIVO - TEOREMAS RADICACIÓN - DEFINICIONES - TEOREMAS
  5. an = n veces Base Exponente a . a . a . … . a Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n, significa que se multiplica ese número a tantas veces como indique el exponente n.
  6. EXPONENTE NATURAL ;  x  R  n  Z+ EXPONENTE CERO x0 = 1 ;  x  R – { 0 } EXPONENTE NEGATIVO ;  x  R – {0}  n  Z+          veces n n x x x x x ...... .......... . . .  n n x x 1   TEOREMAS DE POTENCIACIÓN
  7. 3 2 = 3 . 3 = 9 (-3) 2 = -3 . -3 = 9 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125 (-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125 x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6 (-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6 -x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6 Recuerda que no se multiplica la base por el exponente. Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis. Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.
  8. 3 2 = 3 . 3 = 9 (-3) 2 = -3 . -3 = 9 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125 (-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125 x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6 (-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6 -x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6 Recuerda que:  Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo.  Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.  Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.
  9. 3 0 = 1 (-3) 0 = 1 135 0 = 1 (-275) 0 = 1 x 0 = 1 (-x) 0 = 1 (x2y3) 0 = 1 Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno. 00 no está definido
  10. 3 -2 = (-3) -2 = 2 -3 = (-2) -3 = 1 1 = 32 9 1 1 = (-3)2 9 1 1 = 23 8 1 x5 1 (x2y3)7 1 1 = (-2)3 - 8 x -3 y y x  x -5 =  (x2y3) -7 =  = 3
  11. Si a y b son números reales distintos de cero; m y n son números enteros, se cumple: m.n n m a ) (a  n m n m a .a a   n m n m a a a   m m m .b a (a.b)  m m m b a b a        Multiplicación de Potencias con Bases Iguales Potencia elevada a otra potencia Producto elevado a una potencia División de Potencias con Bases Iguales Fracción elevada a una potencia
  12. a n . a m = a n + m Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes Ejemplos: 4 5 . 4 2 = 4 7 x 2 . x . x 4 = x 7 x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6 x + x 3 = No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma.
  13. 7 5 = 75-3 = 72 73 7 5 = 7 2 = 49 7 3 7 5 = 7 0 = 1 7 5 x 3 = x x 2 Ejemplos: Al dividir bases iguales se restan los exponentes. n m n m a a a   ;  a  0
  14. (a . b) n = a n . b n Ejemplos: ( x y ) 3 = x3y3 ( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5 (x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.
  15.          2 5 3 y Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.          2 y x          3 2 3 y x 2 2 y x 9 10 y 6 9 y x ;  b  0 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛
  16. Ejemplos: (x 2 ) 3 = x 6 (5 3 ) 4 = 5 12 (y 7 ) 0 = 1 Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes   mn n m a a  ) ( {(22)3}4 = 2 2.3.4 = 224
  17. Datos/Observaciones 1.Calcular el valor de : 𝑃 = 490,5 + 1440,5 + 360,5 𝑃 = 49 + 144 + 36 𝑃 = 7 + 12 + 6 𝑃 = 25 = 5
  18. Datos/Observaciones 1 1 1 4 1 3 1 2 1                         Q 2. Reducir 2 3 4 9 3 Q Q Q     
  19. Datos/Observaciones 1 7 (3) 7 7 7 (7 )7 (3)7 7 (3 7 1) 7 ( 3) 3 1 3 Y y Y y Y y Y Y C C C               3. Si: 3x = 7y; reducir: y x y x y x C 7 . 3 3 . 7 7 3 7 3 1 1        Reemplazando 3x = 7y en C se tiene:
  20. Datos/Observaciones 4. Calcular 1 2 4 9 27     A 1 2 4 1 2 4 1 ( ) 2 9 3 (9 ) 3 9 1 3 3 27 (3 ) (3 ) (3 ) 3          
  21. Datos/Observaciones 5. Una bacteria cada una hora se reproduce 4 veces más que la hora anterior. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 4 horas? Si se reproduce 4 veces más que la hora anterior, tenemos: Inicio → 1 bacteria 1 hora → 5 bacterias 2 horas → 25 bacterias Y así sucesivamente, encontrando que tiene un patrón basado en la potencia de 5. En 4 horas: 54 = 625 bacterias
  22. POTENCIACIÓN Calcular: (32)0,252 3
  23. POTENCIACIÓN Supongamos que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de cada 1 hora. Si había 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? y ¿cuánto queda después de n horas? Después de 7 horas quedan 5 gramos Después de “n” horas quedan 𝟔𝟒𝟎 𝟐𝒏 gramos
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