Descripción de algunos contrastes no paramétricos

1.  DOCENTE:
 Ing. Villegas Cubas, Juan Elías
 ASIGNATURA:
 Modelamiento y Simulación.
 INTEGRANTES:
 Bajonero Hernández, Flavio.
 Bernal Ramírez, Miguel.
 Peláez Martínez, Tatiana.
 SEMESTRE:
 2016-II

2.  ¿ Cómo podemos decidir a partir de una
muestra si la población sigue (“ajusta”) a una
determinada distribución dada ? (problema de
bondad de ajuste).
 ¿Estas muestras provienen de poblaciones con
la misma distribución? (problema de la
homogeneidad).
 ¿Son independientes o dependientes varias
características poblacionales?
Contrastes de ajuste de una
distribución muestral a una
distribución teórica
Contrastes de homogeneidad
entre distribuciones.
Contrastes de independencia
entre características muestrales.

3.  2.1. TEST CHI-CUADRADO
 Finalidad.
 La idea básica de este
consiste en comparar las
frecuencias observadas en la
muestra para cada suceso
relevante, con las que deberían
haberse obtenido en una
población que perteneciese a
una distribución de
probabilidad específica
 Estadístico de Prueba:
 𝑿 𝑲−𝟏
𝟐
= 𝑖=1
𝑘 (𝑶𝒊− 𝑻 𝒊)2
𝑻 𝒊
= 𝑖=1
𝑘 (𝒏 𝒊− 𝒏𝒑𝒊)2
𝒏𝒑 𝒊
 Prueba de Hipótesis:
 Para que la distribución Chi-Cuadrado
sea una aproximación razonable, es
preciso que las frecuencias
observadas en la muestra para cada
suceso sean mayores o iguales a 5. Si
algún suceso tiene frecuencia inferior,
debe agruparse con otros.

4.  Ejemplo
 El ejemplo típico de esta situación
considera un dado, del que se han
obtenido 300 tiradas, y cuya
perfección, entendida como
ausencia de sesgos en los
resultados, se pretende contrastar.
La partición del espacio de
es clara en este caso, pues
en los 6 resultados distintos que
pueden observarse.
RESULTADO
1 2 3 4 5 6 TOTAL
Observada
( 𝑶𝒊)
44 62 52 45 50 47 300
Teórica
( 𝑬𝒊)
50 50 50 50 50 50 300

5.  Solución.
 𝑯 𝟎:El dado está, efectivamente, correctamente construido
 𝑯 𝟏:El dado no está, efectivamente, correctamente construido
 𝑿 𝟐 = 𝑖=1
6 (𝑶𝒊− 𝑻 𝒊)2
𝑻 𝒊
=
(44−50)2
50
+ ⋯ +
47−50 2
50
=
218
50
= 4.36
 Debemos comparar con una Chi-Cuadrado con “6-1 = 5” grados de libertad.
 El valor crítico para la distribución Chi-Cuadrado con 5 grados de libertad a niveles de
significación del 0,05 y 0,01 es, respectivamente: 11,1 y 15,1.
 Nuestro estadístico es inferior a ambos valores, por lo que no rechazamos la hipótesis nula
de que el dado es correcto, teniendo todos los resultados posibles, del 1 al 6, igual
probabilidad.

6.  2.1. TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV
 Finalidad.
 Compara los valores de las funciones
de distribución, tanto en la muestra,
como la que teóricamente se derivaría
de la población.
 El estadístico de Kolmogorov-Smirnov
consiste en la máxima distancia
observada entre ambas funciones de
distribución.
 Estadístico de Prueba
 𝑫 𝒏 = 𝑺𝒖𝒑𝒓𝒆𝒎𝒐 𝒙 𝑭 𝒏 𝒙 − 𝑭 𝒙
 Donde 𝑭 𝒏 𝒙 denota la función
de distribución muestra. Para
tamaños muestrales, n,
superiores a 100, el valor crítico
puede obtenerse mediante:
 −
𝐥𝐧(
𝜶
𝟐
)
𝟐𝒏

7.  2.1. TEST DE NORMALIDAD

8.  3.1. CONTRASTE DE KOLMOGOROV-
SMIRNOV PARA DOS MUESTRAS