estadistica

1. 28/08/2016 J. Vilchez
Jesús VILCHEZ GUIZADO
BIOESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO
VALDIZÁN
FACULTAD DE CIENCIAS LA SALUD
E.A.P. DE
ODONTOLOGÍA

2. 8.1 PRUEBA CHI CUADRADA

3. PRUEBA CHI CUADRADA

4. PRUEBA CHI CUADRADA

5. La prueba de bondad de ajuste es una aplicación de la
prueba ji-cuadrado. En ella se trata de probar si los datos de
la muestra tomada siguen una cierta distribución
predeterminada, donde los n datos tomados deben estar
divididos en categorías. Esta prueba consiste en afirmar que
la distribución de frecuencias observadas concuerda con el
modelo de probabilidad esperado de las frecuencias en un
conjunto de clases o categorías. Una de las distribuciones es
la distribución uniforme.
Una prueba de bondad de ajuste es conveniente cuando se
quiere decidir si existe compatibilidad entre las distribuciones
de frecuencias observadas y alguna distribución
predeterminada o hipotética.
8.1.2 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

6. EJEMPLO 1. Estudio de Tabla de contingencia 3x2:
Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educación primaria y secundaria y a
los cuales se aplica un instrumento que mide el aprendizaje de la matemática, en
las dimensiones de aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal.
Variables:
APRENDIZAJE categorías: Conceptual, Procedimental, Actitudinal. NIVEL
DE EDUCACIÓN categorías: Primaria, Secundaria.
NIVEL DE EDUCACIÓN
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100
190 280
170 120
TABLA DE CONTINGENCIA
PRUEBA CHI CUADRADA

7. Tabla de frecuencias observadas (O):
NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280
190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
La Chi-cuadrada es una comparación entre las tablas de frecuencias
observadas y la denominada tabla de frecuencias esperadas (la
tabla que esperaríamos encontrar si las variables fueran
estadísticamente independientes o no estuvieran relacionadas).
PRUEBA CHI CUADRADA

8. La frecuencia esperada de cada celda, casilla o recuadro, se calcula mediante la
siguiente fórmula aplicada a la tabla de frecuencias observadas:
N = es el número total de frecuencias observadas.
E = (marginal del reglón)(marginal de columna) / N.
NIVEL DE EDUCACIÓN
Marginal
de filas
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
(280)(540)/1040 (280)(500)/1040 280
(470)(540)/1040 (470)( 500)/1040 470
(290)(540)/1040 (290)(500)/1040 290
marginal de columnas
540 500 1040
Tabla de frecuencias esperadas (E):
PRUEBA CHI CUADRADA

9. Frecuencia observada:
NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZ
AJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
145,4 134,6 280
244,0 226,0 470
150,6 139,4 290
TOTAL 540 500 1040
NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria secundaria
APRENDI
ZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280
190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
Frecuencia esperada:
Donde:
O: frecuencia observada
en cada celda
E: frecuencia esperada
en cada celda
PRUEBA CHI CUADRADA

10.  
E
EO
X
 

2
2
Celda O E O-E (O-E)2 (O-E)2 / E
Conceptual/Primaria 180 145,4 34,6 1197,16 8,23
Procedimental/ Primaria 190 244,4 -54,4 2959,36 12,11
Actitudinal / Primaria 170 150,6 19,4 376,36 2,50
Conceptual / Secundaria 100 134,6 -34,6 1197,16 8,69
Procedimental /Secundaria 280 226,0 54,0 2916,00 12,80
Actitudinal / Secundaria 120 139,4 -19,4 376,36 2,70
X2 = 47,33
Para saber si el valor de X2 es o no significativo, debemos calcular los
grados de libertad.
G.L. = (Nº de filas - 1)(Nº de columnas - 1).
PRUEBA CHI CUADRADA

11. Para el ejemplo: Nº de filas = 3 y Nº de columnas = 2; entonces
G.L. = (3-1)(2-1) = 2.
Luego, acudimos a la “tabla de distribución de Chi-cuadrado”,
eligiendo nuestro nivel de confianza ( = 0,05 ó  = 0,01).
Si el valor obtenido de X2 es igual o superior al valor de la “tabla”,
decimos que las variables están relacionadas o no son
independientes.
Aplicación:
Para el nivel de confianza de =0,05 y g.l. = 2, el X2 de tabla es
5,9915 (ver tabla).
X2
Obtenido = 47,33
X2
Crítico = 5,9915
PRUEBA CHI CUADRADA

12. EJEMPLO 2: Una muestra de 3000 objetos se clasifico según
el turno de su producción: mañana, tarde y noche y según su
calidad en defectuoso o no defectuoso como se resume en la
siguiente tabla:
Calidad Turnos Total
Mañana Tarde Noche
Éxitos 25 47 48 120
Fracasos 975 953 952 2880
Total 1000 1000 1000 3000

13. 
k
i i
ii
e
eO
1
2
)(
99,5
2
2,95.0
x
SOLUCIÓN:
Sean p1  p2, p3 los porcentajes de objetos defectuosos para los tres
turnos: de mañana, de tarde y de noche respectivamente.
1. Hipótesis:
H0: p1 = p2 = p3 y
Ha: p1, p2, p3 no son iguales.
2. Nivel de significación:  = 0,05
3. Estadística:
, que se distribuye aproximadamente como ji-cuadrado con
V = (r – 1)(c – 1) = (2 – 1)(3 – 1) = 2 grados de libertad.
4. Región crítica: Para el nivel de significación  = 0,05 y 2 grados de
libertad el valor crítico de la prueba es:
Se rechazará Ho si el valor calculado de ji-cuadrado es mayor que 5,99.

14. 5. Cálculos: Las frecuencias observadas y esperadas (en paréntesis)
se dan en la siguiente tabla:
Calidad TURNOS Total
Mañana Tarde Noche
Éxitos 25 (40) 47(40) 48(40) 120
Fracasos 975(960) 953(960) 952(960) 2880
Total 1000 1000 1000 3000



k
i i
ii
cal
e
eO
x 1
2
2 )(
960
)960975(
40
)4048(
40
)4047(
40
)4025( 2222








802,8
960
)960952(
960
)960953( 22





6. Cálculos: dado que 99,5802,8
2
xcal
, se debe rechazar Ho.

15. La prueba de Independencia se efectúa para
probar si hay asociación entre dos variables
categóricas A y B. En otros términos, consiste
en probar la hipótesis nula que indica que dos
criterios de clasificación son independientes
cuando se aplican al mismo conjunto de
entidades. Se dice que dos criterios de
clasificación son independientes si la
distribución de un criterio es la misma, sin
importar cuál es la distribución del otro.
8.1.2 PRUEBA DE INDEPENDENCIA

16. PRUEBA CHI CUADRADA DE INDEPENDENCIA
En casos en las variables son como los que se muestran a continuación, se
hacen uso de la prueba de independencia:
 ¿Estas relacionados las calificaciones obtenidas en una asignatura con el
número de inasistencias a clases en dicha asignatura?
 ¿Es independiente la opinión entre la política ambiental y la política
educativa del gobierno?
 ¿Es independiente el sexo de una persona de su preferencia hacia la
música?
 ¿Están relacionadas las enfermedades del corazón con la influenza?
 ¿Son independientes el tamaño de la familia y el nivel de educación de los
padres?
 ¿Está relacionado la contaminación ambiental con el incremento de
enfermedades a la piel?
 ¿Está relacionado el nivel educativo con el nivel de pandillaje
adolescente?

17. Otra forma de expresar si dos variables son independientes, es
diciendo, que no se afectan entre sí; es decir que no están
asociados ni relacionados. Pero, es preciso tener en cuenta que:
dos variables pueden estar correlacionados sin ser independientes,
pero todas las variables independientes no están correlacionados.
Para todas las pruebas independientes, las hipótesis son:
La hipótesis de independencia son:
H0: No hay asociación entre las variables A y B (es decir hay
independencia),
H1: Las dos variables de clasificación están asociadas (o son
dependientes).
o
H0: Las variables fila y columna son independientes.
H1: Las variables fila y columna no son independientes.
PRUEBA CHI CUADRADA DE INDEPENDENCIA

18. PRUEBA CHI CUADRADA DE INDEPENDENCIA
EJEMPLO. Una muestra aleatoria de 280 adultos se clasifica
de acuerdo al género y al número de horas que mira televisión
durante la semana, cuya frecuencia se resume en la siguiente
tabla:
Con esta información. ¿Se puede concluir que el tiempo utilizado
para ver TV es independiente del género? use  = 0,05.
Ho: El género es independiente de las horas de ver televisión
H1: El género y las horas de ver televisión están relacionados.

19. Con la prueba de homogeneidad se busca determinar si dos o
más muestras independientes provienen de la misma población
o de poblaciones diferentes. Para esta prueba, los datos
muestrales se registran en rc celdas de una tabla de
contingencia rxc.
La hipótesis nula y alternativa de la prueba de homogeneidad
son respectivamente:
H0: Las poblaciones son homogéneas (o muestras aleatorias
provienen de una misma población o son homogéneas)
H1 : Las poblaciones no son homogéneas (o muestras aleatorias
no provienen de una misma población o no son homogéneas)
El proceso de prueba es el mismo que en el caso de
independencia.
8.1.3 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD

20. EJEMPLO 3:
Se efectuó un estudio en tres universidades de la región: UNDAC,
UNHEVAL y UNAS, para determinar la preferencia de los alumnos por
tres tipos de deportes: Fútbol, Baloncesto y Voley. Una muestra aleatoria
de 500 alumnos a dado los resultado de la tabla que sigue. A partir de
estos datos determinar si las tres universidades son homogéneas con
respecto a sus preferencias en los tres deportes. Utilice el nivel de
significación  = 0,05.
Deportes Universidades Total
UNHEVAL UNDAC UNAS
Futbol 80 70 100 250
Baloncesto 90 60 30 180
Voley 30 20 20 70
Total 200 150 150 500

21. 
k
i i
ii
e
eO
1
2
)(
SOLUCIÓN:
1. Hipótesis:
H0: Para cada deporte, las proporciones de preferencias en las tres
universidades son las mismas.
H1: Para cuando menos un deporte, las proporciones de preferencias
en las tres universidades no son las mismas.
2. Nivel de significación:  = 0,05
3. Estadística:
que se distribuye aproximadamente como chi-cuadrado con V = (r – 1)(c – 1)
= (3 – 1)(3 – 1) = 4 grados de libertad.
4. Región crítica: Para el nivel de significación  = 0,05 y 4 grados de
libertad el valor crítico de la prueba es: 49,9
2
4,95.0
x
Se rechazará Ho si el valor calculado de chi-cuadrado es mayor de 9,49.

22. 5. Cálculos: Las frecuencias observadas y esperadas se dan en la
siguiente tabla:



k
i i
ii
cal
e
eO
x 1
2
2 )(
54
)5460(
72
)7290(
75
)75100(
75
)7570(
100
)10080( 22222










74,28
21
)2120(
21
)2120(
28
)2830(
54
)5430( 2222









6. Decisión: dado que 49,974,28
2
xcal
, se debe rechazar H0.
Es decir, para cuando menos un deporte, las proporciones de
preferencias en las tres universidades no son las mismas.

23. EJEMPLO 4:
Una ONG desea investigar si ¿un hombre liberado de una prisión se
integra mejor a la vida civil si regresa a su ciudad natal o si va a vivir a
otro lugar? En otros términos: ¿existe relación entre el ajuste de la vida
civil y el lugar de residencia después de la liberación?
Para este propósito los psicólogos de la ONG entrevistaron a 200 ex
reclusos, seleccionados al azar, utilizando una serie de preguntas, según
sus respuestas clasifican el ajuste de cada individuo como: excelente,
bueno, regular e insatisfactorio. Las clasificaciones de los 200 exreclusos
resultaron como se muestra en la tabla:
Lugar Integración a la vida civil Total
Excelente Buena Regular Insatisfactorio
Ciudad Origen 27 35 33 25 120
Otra Ciudad 13 15 27 25 80
Total 40 50 60 50 200

24. El primer paso para la prueba de hipótesis es formular la hipótesis nula y la
alternativa:
Ho: No existe relación entre el ajuste de la vida civil y el lugar donde radique el
individuo después de ser liberado de prisión.
H1: Existe relación entre el ajuste a la vida civil y el lugar donde resida la
persona después de salir de prisión.
2. Nivel de significación:  = 0,01 (existe la probabilidad de 0,01 de que se
rechase la una hipótesis nula verdadera)

k
i i
ii
e
eO
1
2
)(
345,11
2
3,99.0
x
3. Estadística:, que se distribuye aproximadamente como chi-cuadrado
con V = (r – 1)(c – 1) = (2 – 1)(4 – 1) = 3 grados de libertad.
4. Región crítica: Para el nivel de significación  = 0,01 y 3 grados de
libertad el valor crítico de la prueba es:
Se rechazará Ho si el valor calculado de chi-cuadrado es mayor que 11,345.
5. Cálculos: Las frecuencias observadas y esperadas (en paréntesis) se dan en
la siguiente tabla:

25. Ciudad Integración a la vida civil Total
Excelente Buena Regular Insatisfactorio
Ciudad
Orige
27 (24) 35 (30) 33 (36) 25 (30) 120
Otra Ciudad 13 (16) 15 (20) 27 (24) 25 (20) 80
Total 40 (40) 50 (50) 60 (60) 50 (50) 200



k
i i
ii
cal
e
eO
x 1
2
2 )(
30
)3025(
36
)3633(
30
)3035(
24
)2427( 2222








729,5
20
)2025(
24
)2427(
20
)2015(
16
)1213( 2222









345,11729,5
2
xcal
6. Decisión: dado que, se acepta la Ho a un
nivel de 0,01.

26. EJERCICIO: Un estudio sobre caries dental de niños de seis
ciudades con diferentes cantidades de flúor en el sumnistro de
agua, ha proporcionado los siguientes resultados
H0: Las incidencias de caries es igual en las seis ciudades (las poblaciones
son homogéneas)
H1: Las incidencias de caries no es igual en las seis ciudades (las
poblaciones no son homogéneas)

27. 8.2. U DE MANN WHITNEY
Se utiliza para saber si dos muestras
independientes provienen de poblaciones que
difieren en su ubicación (tendencia central).
Es la contraparte de la prueba t para muestras
independientes. Prueba la hipótesis de que la mediana de
las dos poblaciones son iguales contra que no lo son.
Si Ho es cierta, el promedio de los rangos para los dos
grupos muestrales debe ser aproximadamente igual.

28. Ordenación por
rango
Ordenar por rangos todos los elementos que
deben probarse, en orden creciente
Símbolos
n1 = número de elementos de la muestra 1
n2 = número de elementos de la muestra 2
R1 = suma de los rangos de los elementos de
la muestra 1
R2 = suma de los rangos de los elementos de
la muestra 2
2
)1( 11 

nn
WU
Estadístico de prueba para la suma de los rangos
La Prueba U de Mann-Whitney

29. La Prueba U de Mann-Whitney
Estadístico U
Una medida de la diferencia entre las
observaciones ordenadas por rangos de las
dos muestras
Media del
Estadístico
Cálculo del error
estándar
2
. 21 nn
U 
12
)1(. 2121 

nnnn
U
2
)1( 11 

nn
WU
Donde:
n1: Es el número de observaciones de la muestra pequeña.
n2: Es el número de observaciones de la muestra grande
W: Es la suma de los rangos de la primera población
Si n1 es menor que ocho, la distribución muestral de U es
aproximadamente normal, obteniéndose el estadístico z, mediante:
U
UU
z




30. Prueba de Suma de Rangos: La Prueba U de Mann-Whitney
Formulación de la
hipótesis
Ho: Me1 = Me2 Hipótesis nula, no hay
diferencia entre las dos poblaciones, por lo
cual tienen la misma mediana
H1: Me1  Me2 Hipótesis alternativa, hay una
diferencia entre las dos poblaciones, por lo
cual tienen medianas diferentes
 = nivel de significancia
Límites de la
región de
aceptación
Elección de la
Distribución
Interpretación de
resultados
Si el estadístico muestral U cae dentro de la
región de aceptación es valida la hipótesis
nula de que no hay diferencia y concluiremos
que las distribuciones son iguales
En caso de que algún n sea mayor de 20, se
puede aproximar con la distribución normal.

31. EJEMPLO 8.6. Los siguientes valores son los tiempos (en minutos) de
permanencia en la sala de operaciones de 20 personas sometidas al mismo
procedimiento quirúrgico 10 de los primeros fueron pacientes del hospital A y 10
al hospital B. Como se muestra en la tabla:
En base a estos datos, ¿es posible concluir que los pacientes del hospital B
tienden a permanecer más que los pacientes del hospital A?, considere nivel de
significancia 0,1.
Solución
Población 1: Pacientes sometidos a operación quirúrgica en el
hospital A.
Población 2: Pacientes sometidos a operación quirúrgica en el
hospital B..
Variable de interés: Tiempo de duración de la intervención
quirúrgica de los pacientes.

35. Ejemplo:
Se sospecha que una empresa lleva a cabo una
política de discriminación, con respecto al sexo, en
los sueldos de sus empleados. Se seleccionaron 12
empleados masculinos y 12 femeninos de entre los
que tienen responsabilidades y experiencias
similares en el trabajo; sus salarios anuales en miles
de dólares son los siguientes:

36. ¿Existe alguna razón para creer que estas muestras
aleatorias provienen de poblaciones con diferentes
distribuciones? (alfa=0.05).
Se combinan los salarios de las dos muestras para formar un solo
conjunto de 24 salarios anuales.
Luego se ordenan y se les asigna un rango de la siguiente manera:
Sexo M M M H M M M H H M M H
18.7 19.2 19.8 20.5 20.6 20.7 20.9 21.2 21.6 21.6 21.6 21.9
Rango 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sexo H H M M H M H H H H H M
22.3 22.4 22.5 23.2 23.4 23.5 23.6 23.9 24.0 24.1 24.5 24.7
Rango 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

37. Para obtener la suma de los rangos se seleccionará la muestra
de mujeres. De esta forma la suma de los rangos es:
1+2+3+5+6+7+10+11+15+16+18+24=118
104118
2
)13(12
)12)(12( U
2
)1( 
 ss nn
TU
2
)1( 
 ss nn
UT
ns=tamaño de la muestra menor 182
2
)113(12
104 

T

38. EJERCICIO: Pacientes que intentan bajar de peso sometiéndose
a una dieta, se desea saber si hay diferencias antes y después.
Para ubicar el rango se procede ignorando el signo de la diferencia

39. EJERCICIO: Se desea saber si hay diferencias entre presión arterial
sistólica de varones y mujeres.
H0: La presión arterial sistólica es igual en varones y en mujeres.
H1: La presión arterial sistólica NO es igual en varones y en mujeres.

40. 28/08/2016 J. Vilchez