Clase 1 - Estadistica Inferencial


ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Texto Guía: PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA, Fundamentos y
Aplicaciones por Gaudencio Zurita Herrera
Escuela Superior Politécnica del Litoral
“Impulsando la sociedad del conocimiento”
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Guayaquil, octubre de 2017
Profesora: Eva María Mera Intriago

Algunas Aplicaciones de la Estadística
en la Ingeniería
• Estadística en la Planeación de Obras Civiles.
• Estadística en restauración de Proyectos.
• Geoestadística.
• Bioestadística.
• Estadística Computacional.
• Estadística en Procesos de Ingeniería.
• Control Estadístico de la Calidad y Productividad.
• Análisis de Procesos y Quimiometría.
• Confiabilidad Estadística aplicada al diseño de plantas
industriales.
13/10/2017 2Estadística Inferencial-FCNM

...viene Algunas Aplicaciones de la
Estadística en la Ingeniería
• Procesamiento de imágenes.
• Minerías de Datos.
• Análisis Espacial.
• Sistemas de Información Geográfico.
• Estadísticas Ambientales.
• Estadísticas Demográficas.

Tipos de variables
 Cualitativas
Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a
un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)
 Nominales o Categóricas: Si sus valores no se pueden ordenar
 Género, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Raza humana, Tipo de Colegio
 Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar
 Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Nivel de Instrucción
 Cuantitativas o Numéricas
Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones
algebraicas con ellos)
 Discretas: Si toman valores puntuales
 Número de hijos, Número de máquinas con problemas, número de veces que
falla el suministro de energía por mes.
 Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios
 Tiempo que tarda el dar mantenimiento a una máquina, Edad, tiempo de vida de
un equipo

Algunas Variables
• Concentración de sólidos suspendidos en el agua de un río
(en partes por millón, o ppm) para varios ríos diferentes.
• Índice de claridad para ciegos.
• Gasto de Agua en duchas.
• Tipos de Problemas de Salud (Articulación Inchada, Fatiga,
dolor de espalda, tos, nariz con flujo o irritación, otro).
• Conjunto de observaciones de la Resistencia al corte en libras
de soldaduras de punto ultrasónicas hechas en cierto tipo de
lámina de duraluminio.
• Aumentos de pesos (mg/cm3) de muestras de aleación Ti-Cr
debido a oxidación cuando se exponen a CO2 durante 1 hora
a 1000 grados centígrados.
Fuente:
DEVORE, J. (1998), “Probabilidad y Estadística
para Ingeniería y Ciencias”, Cuarta Edición,
International Thomson Editores, México.

...viene Algunas Variables
• Rendimiento Cardiaco y máxima inhalación de oxígeno.
• Concentración de monóxido de carbono.
• Cantidad de radiación recibida en un invernadero.
• Resistencia de materiales empleados en casas
prefabricadas.
• Tiempo de vida útil de un componente electrónico.
• Número de llamadas en espera en una Central
telefónica.
• Propagación de grietas por fatiga en aeronaves (Tiempo
de propagación en horas de vuelo).
Fuente:
DEVORE, J. (1998), “Probabilidad y Estadística
para Ingeniería y Ciencias”, Cuarta Edición,
International Thomson Editores, México.

Dato e Información
Datos
BD
Almacenamiento
Procesamiento
Información
8
9
10
7
8
8
9

Dato
• “Cantidad n de mediciones no procesadas, sean
estas numéricas (cuantitativas) o categóricas
(cualitativas)”.

Información
• “Conjunto de datos procesados que nos permiten tomar
decisiones racionales”

Población Objetivo
• “Conjunto bien definido de elementos que son
objeto de medición”.

Unidades de Investigación
• Elementos de la Población Objetivo a los que se les
efectúa las medidas bajo análisis.

Muestra
• “Subconjunto de n unidades de investigación
tomadas de la Población Objetivo de tamaño N > n”.
• Más adelante en estadística inferencial hablaremos de
muestra aleatoria.

Observación
• “Cada uno de los valores incluidos en la Muestra”.

Caracterización de una muestra
• Si representamos por X una característica de Interés de
la Población Objetivo a una muestra de tamaño n la
representamos por:
X1, X2, … , Xn
• También es válido representar esta muestra por un
vector X en Rn
XT=(X1, X2, … , Xn)

Parámetros y Estimadores
• Parámetro: Es una cantidad numérica calculada a partir de los
elementos de una población
– La altura media de los individuos de un país
– La idea es resumir toda la información que hay en la
población en unos pocos números (parámetros).
• Estimador o Estadístico: Es una cantidad numérica calculada
a partir de los elementos de una muestra se usa para aproximar
un parámetro poblacional que usualmente es desconocido.
– La altura media de los que estudiantes de Estadística en este
salón de clases.

Obtención de Información a partir de
datos de una muestra
• La Información es material estadísticamente útil.
• “Conjunto de datos procesados que nos permiten tomar
decisiones racionales”

Definición de Variable Aleatoria
• Sea (W , S), el Espacio Muestral de un Experimento
Estadístico y sea X una función cuyo dominio es W y
cuyo conjunto de llegada son los reales, esto es , R
• X: W  R
• Bajo estás condiciones la función X es una variable
aleatoria

Variable Aleatoria Discreta
X es una Variable Aleatoria Discreta si y
solamente si, su Soporte S es un conjunto
contable.

Función Distribución de Probabilidades
de una Variable Aleatoria X
Con cada Variable Aleatoria Discreta asociaremos
una función f: R  [0,1] a la que denominaremos
Función Distribución de Probabilidades de X,
función que debe cumplir las siguientes
condiciones:

• Nótese que la definición de V.A no está ligada a la de
probabilidad, pero sí se pretende relacionarla.
• Para V.A Discretas definimos la Función Acumulada F
• F(X) = P(X ≤ x); para todo x Real
• Esta definición es válida para el tipo de variable que
vamos a considerar que son las Variables Aleatorias
continuas

Variable Aleatoria Continua
• Una Variable Aleatoria X, definida sobre un Espacio
Muestral (W, S) es continua cuando y solo cuando para
todo x real su Distribución Acumulada F es una función
continua en R.

Densidad de una Variable Aleatoria
Continua X: f
• Si X es continua, entonces existe una función continua y
no negativa f tal que, para todo x real se cumple que :
• La distribución acumulada de x se obtiene utilizando la
función de densidad f de la variable aleatoria continua
X,

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES A TRAVÉS
DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
• Puesto que la Función Densidad f de una Variable
Aleatoria Continua es tal que f(x)  0 , podemos
afirmar que:Puest1
•
• F´(x) = f(x), xR
•

P(X = a) = 0
La probabilidad de que un valor particular a de X ocurra,
nos referimos a P(X = a), siendo X continua y con
densidad f,
Visto de otra manera,

Contenido
• Capítulo 6: Convergencia de Variables Aleatorias y
Estimación de Punto
• Capítulo 7: Estimación por Intervalos y Fundamentos
de Contrastes de Hipótesis
• Capítulo 8: Pruebas de Hipótesis relacionadas con una
sola muestra
• Capítulo 9: Inferencias Relacionadas con dos Muestras

Poblaciones y Muestras Aleatorias
• “Una muestra para que sea Aleatoria tiene que ser
considerada en dos contextos, primero cuando la
población X de la que se toma la Muestra es finita y de
tamaño N y otro en el que X es infinita.”
• Pág. 354 G.Zurita

Poblaciones
“Ratificamos que cuando se habla de Poblaciones
Infinitas, incluimos en ellas a todas las Variables
Continuas así como a las Discretas con soporte infinito
contable, Poisson o Binomial Negativa “

Los Estimadores y sus Distribuciones
• En el Capítulo 1 las observaciones de una muestras se las
denotaba x1,x2,…,xn y antes de tomar una muestra o realizar
el experimento, cualquier observación está sujeta a
incertidumbre, es decir, no sabemos el valor que tomará la
observación.
• Ejemplo si la variable es Edad, entonces el valor de la primera
Observación seleccionada podría ser x1=18 o x1=19 y hay
muchos otros valores posibles.
• Debido a la incertidumbre que se tiene antes de seleccionar la
muestra o experimentar, consideramos las Observaciones
como variables aleatorias y las denotamos por: X1,X2,…,Xn .
• Lo que significa que cualquier Estimador, media aritmética,
mediana muestral, desviación estándar muestral, rango
muestral, etc., debe verse como una variable aleatoria.

Muestra Aleatoria si la Población es Infinita
Si la población X es infinita, con Distribución o Densidad
f, una Muestra de tamaño n, X = (X1 X2 … Xn)T es
Aleatoria, si las n variables X1,X2,…,Xn que la constituyen
son Independientes e Idénticamente Distribuidas.
G.Zurita: Pág. 355

VA independientes
• Lo cual significa que por independencia, la distribución
conjunta fx es:
• fx(x) = f(x1 x2 … xn) =
fX1(x1) fX2(x2) … fXn(xn)
i
n
X i
i=1
f (x ) 

V. A. idénticamente distribuidas
Mientras que por ser Idénticamente Distribuidas, las n
Variables Aleatorias tienen la misma Distribución de
Probabilidades de X o Densidad de X, según que Xi sea
continua o discreta. Esto nos lleva a que:
i
n
1 2 n X i
i=1
f(x x ... x ) = f (x ) = n
[f(x)]
G.Zurita: Pág. 355

IID
• Cuando n variables son Independientes y al mismo
tiempo Idénticamente Distribuidas se las rotula
como iid.

Recordar
• Téngase en cuenta que ser Idénticamente
Distribuidas significa que las n variables tienen la
misma Función Generadora de Momentos que X, si
tal Valor Esperado existe; mientras que al ser
independientes su distribución conjunta es igual al
producto de sus marginales para todos los valores en el
soporte de X”.

Muestra Aleatoria si la Población es
Finita
• Una Muestra de tamaño n, tomada de una Población X
que es finita y de tamaño N, que tiene Distribución de
Probabilidades f, es denominada Muestra Aleatoria,
cuando y solo cuando, al tomarla, todo subconjunto de
tamaño n en la Población X, tiene igual probabilidad de
constituir la muestra.
• La probabilidad de que uno de estos subconjuntos de
tamaño n constituya la muestra sabemos que es:
1 1 (N-n)!n!
N!N N!
(N-n)!n!n
 
 
 
 G.Zurita: Pág. 354

…viene Muestra Aleatoria si la Población
es Finita
• En términos de la Población Objetivo, que está
constituida por N unidades de investigación, deberíamos
decir que la Muestra es Aleatoria si todo subconjunto
que cuenta con n “unidades de investigación”, tienen
igual probabilidad de ser investigado, acerca de la
característica de interés X.

es Finita
• “Para obtener muestras aleatorias de poblaciones finitas,
debe utilizarse muestreo sin reemplazo, que es también
conocido como Muestreo Aleatorio Simple, MAS. En
este esquema de muestreo, las observaciones que
constituyen la Muestra, no son Estocásticamente
Independientes pero sí son Idénticamente Distribuidas.”

es Finita
• Conseguir la aleatoriedad de una Muestra suena simple
al enunciarla, pero en la práctica no es tan sencillo
lograrlo; en muchos casos las Muestras son tomadas por
personas de buena voluntad sin la asesoría adecuada,
restándole validez a sus conclusiones o lo que puede ser
peor engañando, deliberadamente o no, a quienes
logran convencer.

Marco Muestral
• Si el tamaño N de la Población Objetivo es “grande”, digamos
que de varios miles, determinar qué unidades deben ser
investigadas no es una tarea en la que la buena voluntad
baste; se necesita, por ejemplo, una representación simbólica
de la Población Objetivo a investigarse, a fin de con propiedad
y “cobertura” pertinente podamos identificar y localizar las
unidades de investigación. Esta representación simbólica de la
Población Objetivo se denomina Marco Muestral y deberá
ser exhaustiva y actualizada;
• por lo general un Marco Muestral se lo construye; siendo
estos “marcos”, registros administrativos, bases de datos,
listas de usuarios, cartografía, etc.

Ejercicio
Dada una Población X, Uniforme Discreta, de tamaño
N = 6 que se representa como:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
f(x) = 1/6 Sx = { 1,2,3,4,5,6 }
Determinar la Media y la Varianza y el histograma de
probabilidades de X

…viene Ejercicio: Valor Esperado de X
6
x
x = 1
E(x) = μ x P(X = x) 
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6
21
6
7
2
3.5
           
                
           
     



E(x) (1)P(X=1)+(2)P(X=2)+(3)P(X=3)+(4)P(X=4)+(5)P(X=5)+(6)P(X=6)

…viene Ejercicio: Varianza de X
6
2 2
x = 1
E(x ) = x P(X = x)
2 2 2
x x
2
Var(x)=σ = E(x ) μ
91 7 91 49 182 147 35
2.92
6 2 6 4 12 12

 
       
 
 
22 2
xVar(x)=σ E( x ) E(x) 
2 2 2 2 2 2 2
E(x ) (1 )P(X=1)+(2 )P(X=2)+(3 )P(X=3)+(4 )P(X=4)+(5 )P(X=5)+(6 )P(X=6)
1 1 1 1 1 1
1 4 9 16 25 36
6 6 6 6 6 6
1 4 9 16 25 36
6 6 6 6 6 6
91
6
           
                
           
     


Ejercicio de Distribuciones Muestrales
Dada una Población X de tamaño N = 6 que se
representa como:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
f(x)= P(X = x) = 1/6 Sx= { 1,2,3,4,5,6 }
Se toman Muestras de tamaño n = 2, el total de
muestras es:
quince,
puesto que ; 6
2 15

...viene Ejercicio de Distribuciones
Muestrales
• Creamos la lista de las muestras.
• Luego calculemos la media aritmética para cada muestra
obtenida:

…viene Ejercicio
Distribuciones Muestrales
• En la Tabla se
aprecian todas las
muestras de tamaño
2 que se pueden
tomar de una
Población de tamaño
N = 6 , además del
estimador media
aritmética para cada
muestra
Nº
Muestras de
Tamaño n = 2
Media
Aritmética
1 {1 ; 2} 3 / 2
2 {1 ; 3} 4 / 2
3 {1 ; 4} 5 / 2
4 {1 ; 5} 6 / 2
5 {1 ; 6} 7 / 2
6 {2 ; 3} 5 / 2
7 {2 ; 4} 6 / 2
8 {2 ; 5} 7 / 2
9 {2 ; 6} 8 / 2
10 {3 ; 4} 7 / 2
11 {3 ; 5} 8 / 2
12 {3 ; 6} 9 / 2
13 {4 ; 5} 9 / 2
14 {4 ; 6} 10 / 2
15 {5 ; 6} 11 / 2

…viene Ejercicio
Luego tenemos que la media aritmética de cada muestra (15
muestras) es una variable aleatoria, y por lo tanto es posible
determinar la Distribución de Probabilidades para la media
aritmética dada(Distribución muestral de la media aritmética),
cuando se toman muestras de tamaño n = 2, así encontramos que:
Nº
Muestras de
Tamaño n = 2
Media Aritmética
1 {1 ; 2} 3 / 2
2 {1 ; 3} 4 / 2
3 {1 ; 4} 5 / 2
4 {1 ; 5} 6 / 2
5 {1 ; 6} 7 / 2
6 {2 ; 3} 5 / 2
7 {2 ; 4} 6 / 2
8 {2 ; 5} 7 / 2
9 {2 ; 6} 8 / 2
10 {3 ; 4} 7 / 2
11 {3 ; 5} 8 / 2
12 {3 ; 6} 9 / 2
13 {4 ; 5} 9 / 2
14 {4 ; 6} 10 / 2
15 {5 ; 6} 11 / 2
Variable Aleatoria n=15
x
3 4 10 11
2 2 2 2
f (x) = para x = , , ,
1
15
x
5 6 8 9
2 2 2 2
f (x) = para x = , , ,
2
15
x
7
2
f (x) = para x =
3
15

Finalmente la Distribución de Probabilidades
para la media aritmética, cuando se toman
muestras de tamaño n = 2, es:
x x
X=
1/15 , x = 3/2, 4/2,10/2,11/2
f (x)=f ( x) 2/15 , x = 5/2, 6/2, 8/2, 9/2
3/15 , x = 7/2
=





…viene Ejercicio
El Soporte Sx de la población X contiene seis valores,
Sx = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Mientras que el de que es S , contiene nueve, ya
que:
x x

Distribución Muestral de un estimador
• Es la distribución de probabilidades de cada uno de los
valores que puede tomar un estimador en todas las
muestras de un mismo tamaño n que es posible extraer
de una determinada población.

…viene Ejercicio
Valor Esperado de :
3 1 4 1 5 2 6 2 7 3 8 2 9 2 10 1 11 1
E(x) =
2 15 2 15 2 15 2 15 2 15 2 15 2 15 2 15 2 15
                 
                        
                 
3 4 10 12 21 16 18 10 11
30 30 30 30 30 30 30 30 30
105
30
        

x
11/2
x
i=3/2
E(x)=μ = x P(X x)
x x
X=
1/15 , x = 3/2, 4/2,10/2,11/2
f (x)=f ( x) 2/15 , x = 5/2, 6/2, 8/2, 9/2
3/15 , x = 7/2
=




x
7
E(x) =μ 3.5
2
 
3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
E(x) = X X X X X X X X X
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P P P P P P P P P
                 
                                 
                 

…viene Ejercicio
Varianza de
2 9 1 16 1 25 2 36 2 49 3 64 2 81 2 100 1 121 1
E(x )
4 15 4 15 4 15 4 15 4 15 4 15 4 15 4 15 4 15
                 
                         
                 
2
2 2 2
x x
805 7 805 49 805 735
σ = E(x ) μ
60 2 60 4 60
70 7
1.17
60 6
 
      
 
  
9 16 50 72 147 128 162 100 121
60 60 60 60 60 60 60 60 60
805
13.42
60
        
 
x  
22 2
xVar(x)=σ E( x ) E(x) 
11/ 2
2 2
x = 3/ 2
E( x ) = x P(X = x)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
E( x ) = X X X X X X X X X
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
                                   
                                                   
                                   

…viene Ejercicio
Histograma de la Media Aritmética Muestral
1
15
2
15
3
15
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
2
11
2
xμ 3.5
2
X
σ 1.17
X
x x
X =f (x) = f ( x)

13/10/2017
Cuando tomamos muestras de tamaño
n de poblaciones finitas de tamaño N
• El valor esperado de X es igual al valor esperado de
• En cambio, es posible probar que si s2 es la varianza
de una población finita X ,la medida de la dispersión
de es:
• Es posible probar que la medida de la dispersión de
es menor o cuando mas igual que la de X.
x
E(x) E(x)
x 2
2
X
N n σ
σ
N 1 n
 
  
 
Para cualquier N y n>1
x
2 2
x X
σ σ
G.Zurita: Pág. 358
53Estadística Inferencial-FCNM

…viene Ejercicio
xμ 3.5
2
X
σ 1.17
xμ 3.5
2
Xσ 2.92
2
2
X
N n σ
σ
N 1 n
 
  
 
Población X:
Distribución de Probabilidades de X
Todas las muestras de Tamaño n de la Población X:
Distribución de Probabilidades de x
Se puede demostrar que si s2 es la varianza de una población finita X:
Para cualquier N y n>1
Siendo un valor que al crecer N tiende a uno.
2
X
6 2 2.92
σ
6 1 2
 
  
 
1.17
Factor de Corrección para Poblaciones Finitas
N n
N 1
 
 
 
Var (x) tiende al valor
2
σ
n
.

Distribución Conjunta de una Muestra
Aleatoria
• Cuando se toma una Muestra Aleatoria de Poblaciones
Infinitas, suponemos que la Población X tiene Distribución o
Densidad f y que antes de que efectuemos la primera
observación X1 = x1 ésta tiene la misma distribución que X, su
valor es f(x1); igualmente X2 tiene distribución f con valor
f(x2) y así hasta el último valor observado Xn con distribución
f(xn). Bajo el supuesto de que X1, X2, … , Xn son
Idénticamente Distribuidas y que además cada observación
no es afectada por una previa ni afecta a las posteriores, la
distribución conjunta de las n observaciones que constituyen
la Muestra es:
• fx(x)=f(X1 X2…Xn) = fX1(x1) fX2(x2) … fXn(xn)
i
n
X i
i=1
f (x ) 
G.Zurita: Pág. 360
n
[f(x)]

¿El propósito de tomar muestras?
• “El propósito fundamental de tomar Muestras Aleatorias
de una Población Objetivo es inducir a través de ellas,
alguna o algunas de las propiedades que dicha
Población Objetivo posee; sea el valor de alguno de los
parámetros de sus características o aún para determinar
la Distribución o la Densidad de tales características,
según sea el caso.”
G.Zurita: Pág. 362

Estimación de parámetros
• Cuando se estiman p parámetros poblacionales, se debe
trabajar con funciones de Rn a Rp. Se definen en
términos de una Muestra Aleatoria X de tamaño n,
puesto que siempre está garantizado que ellas son
Idénticamente Distribuidas, y en la mayoría de casos
prácticos, también suponer Independencia es pertinente.
G.Zurita: Pág. 362

Estadístico muestral o Estimador
Muestral
• Una función T: Rn  Rp definida en términos de las
variables X1, X2,…, Xn que componen una Muestra
Aleatoria, se denomina Estadístico Muestral, si y solo
si T(x1 x2 … xn) Rp, no depende de alguno de los
parámetros de la Población que son desconocidos.
• Es común llamar Estimador Muestral a un Estadístico
Muestral, si la razón para construir dicha función es
estimar un parámetro poblacional de X, también se lo
denomina Estimador de punto o Estimador puntual.
G.Zurita: Pág. 362

Distribuciones Muestrales
• La distribución de probabilidad de los Estadísticos
Muestrales se denominan Distribuciones Muestrales
y se las construye utilizando las técnicas que
presentáramos en clases previas.
G.Zurita: Pág. 362

…viene Distribuciones Muestrales
• Sea X una población infinita, Siendo XT = (X1 X2 … Xn)
una Muestra Aleatoria tomada de la Población X,
Estimamos la medida de  de la Población X con la
Media Aritmética Muestral , este estimador muestral
es una función:
x
n
x: R R
1 2 nx(X X ... X )= 1 2 nX X ... X
n
  

• Bajo las condiciones previamente establecidas
• Calculamos el valor esperado de x
E(x)= 1 2 nX X ... X
E
n
   
  
 1
1
[ E X
n
   2E X   n... + E X ]
1
1
[μ
n
  2μ  n... μ ]
1
nμ
n
 μ
Las Variables aleatorias
X1,X2,…Xn
son idénticamente
distribuídas

• En tanto que:
• La varianza de la suma de n variables aleatorias es igual
a las suma de las varianzas mas 2 veces las covarianzas
de las respectivas combinaciones y si a cada variable
aleatoria la acompaña una constante esta se eleva al
cuadrado y multiplica a la respectiva varianza.
1 2 nX X ... X
Var
n
   
  
2
xVar(x) = σ 

…viene Dist.
Muestrales
• Se sabe que las n variables aleatorias son
independientes, entonces las Covarianzas entre ellas son
iguales a cero, por lo tanto
• Además las n variables aleatorias son idénticamente
distribuidas
2 1 2 n
x
X X ... X
Var(x) = σ Var
n
   
   
2
x 12
1
Var(x) = σ [Var(X )
n
  2Var(X ) n... + Var(X )]
2 2
x 2
1
Var(x) = σ nσ
n
   
2
2
x
σ
Var(x) = σ
n


Error Estándar de la Media Aritmética
• La raíz cuadrada positiva de la Varianza de es la
desviación estándar o típica de :
• Siendo su estimador
x
xσ
n
s

Y se denomina el Error Estándar de la media
aritmética
s
nG.Zurita: Pág. 363
x

Valor de un Estimador
• “El valor de un Estimador es información, esto es dato
procesado”
G.Zurita: Pág. 364

Momento de juntar lo aprendido
• En el capítulo 1 trabajamos con datos tomados de una
muestra y través de la muestra obtuvimos estimadores de
parámetros poblacionales como:
• La media aritmética, varianza muestral, etc., esto es la
Estadística Descriptiva
• Hemos aprendido qué es una variable aleatoria, una muestra
aleatoria
• También sabemos qué es una Distribución de Probabilidades,
Independencia entre variables aleatorias así como que estás
sean idénticamente distribuidas
• Hemos comenzado a utilizar la Estadística Descriptiva unida a
la Teoría de Probabilidades para construir la Estadística
Inferencial.

Deber
• De la población X de tamaño N=6,
• {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Cuya distribución de probabilidades es:
• f(x)= P(X = x) = 1/6 Sx= { 1,2,3,4,5,6 }
• Calcular la media poblacional y la varianza poblacional, determinar
estadístico de orden 1 o mínimo poblacional y el estadístico de
orden n o máximo poblacional.
• Muestre la distribución de probabilidad de la media aritmética así
como su respectivo soporte. Calcule la media y la varianza muestral
para la media aritmética. Grafique el histograma de la media
aritmética muestral.
• De la misma población X tome todas las muestras de tamaño 3 y
determine la distribución de probabilidades de la media aritmética o
media muestral y muestre el respectivo soporte de la variable
aleatoria, determine la media y la varianza muestral. Grafique el
histograma de la media aritmética muestral.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ZURITA, G. (2010), “Probabilidad y Estadística, Fundamentos
y Aplicaciones”, Segunda Edición, Ediciones del Instituto de
Ciencias Matemáticas ESPOL, Guayaquil, Ecuador.

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