Microeconomía: Notas de clase sobre consumo intertemporal (basado en Análisis Microeconómico - Hal Varian).

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Consumo Intertemporal
Mauro Guti´errez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
Septiembre 2016
Mauro Guti´errez Mart´ınez (UNMSM - Per´u) Consumo Intertemporal Septiembre 2016 1 / 20

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Consumo intertemporal
El consumidor tiene que decidir sus niveles de consumo (c1, ..., cT ) a lo
largo de un ”T” periodos . Por simplicidad se asume que la funci´on de
utilidad del consumidor es aditiva.
U(c1, ..., cT ) =
T
t=1
µt(ct) (1)
Dado que µt(c) > µt+j (c), debido a que los consumidores prefieren
consumir antes que despu´es, la funcion µt(.) puede representarse como
µt(.) = αtµ(.).
U(c1, ..., cT ) =
T
t=1
αt
µ(ct) (2)
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Consumo intertemporal (II)
El consumidor puede invertir su riqueza en 2 activos, uno libre de riesgo y
otro riesgoso.
x: Es la proporci´on de la riqueza asignada en el activo riesgoso.
1-x: Es la proporci´on de la riqueza asignada en el activo libre de
riesgo.
R0: Es el rendimiento del activo libre de riesgo.
R1: Es el rendimiento del activo riesgoso.
Por tanto, el rendimiento promedio de la cartera es igual a:
R = R0(1 − x) + R1x (3)
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Problema en 2 periodos
El consumidor vive ´unicamente 2 periodos, por tanto, toda su riqueza
ser´a consumida en el periodo 2.
Asimismo se asume que el consumidor recibe una dotaci´on de riqueza
en el periodo 1, la que se denominar´a w1
w2 = c2 = (w1 − c1)R = (w1 − c1)[R0(1 − x) + R1x] (4)
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Problema en 2 periodos (II)
El problema de maximizaci´on del consumidor en el periodo 1 es igual a:
Maxc1,c2 U(c1, c2) = µ(c1) + αE[µ(c2)] (5)
dado que c2 = (w1 − c1)R, el problema anterior se reescribe como:
Maxc1,x U(c1, c2) = µ(c1) + αE[µ[(w1 − c1)R]] (6)
N´otese que el problema ahora depende x y c1, dado que en t = 2, se
consume toda la riqueza w2, y esta riqueza depende de lo que se consumi´o
en el periodo 1 (c1) y del porcentaje de inversi´on en el activo riesgoso (x).
Por la forma del problema de maximizaci´on, sabemos que los niveles
´optimos de c1 y x depender´an solo de la variable ex´ogena w1. Por tanto la
ecuaci´on d valor en t = 1 ser´a.
V1(w1) = Maxc1,x U(c1, c2) = µ(c1) + αE[µ[(w1 − c1)R]] (7)
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Problema en 2 periodos: condiciones de primer orden
Dado que
V1(w1) = Maxc1,x U(c1, c2) = µ(c1) + αE[µ[(w1 − c1)R]]
Las condiciones de primer orden quedan expresadas como:
µ (c1) = αE[µ (c2)R] (8)
E[µ (c2)[R1 − R0]] (9)
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7. [opacity=1]
Problema en T periodos
La funci´on de utilidad del consumidor queda definida como:
U(c1, ..., cT ) =
T
t=1
αt
µ(ct)
El consumidor tiene una dotaci´on inicial de riqueza igual a w1, y dispone
de 2 tipos de activos para reservar valor. Al igual que el caso anterior
existe un activo riesgoso y otro sin riesgo. Por tanto:
wt+1 = (wt − ct)R (10)
donde R = R0(1 − xt) + R1xt
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Problema en T periodos: en el primer periodo
VT−1(wT−1) = MaxcT−1,xT−1
µ(cT−1) + αE[µ[(wT−1 − cT−1)R]] (11)
Por tanto las condiciones de primer orden son:
µ (cT−1) = αE[µ [cT ]R] (12)
E[µ [cT ](R1 − R0)] (13)
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Problema en T periodos: en el segundo periodo
VT−2(wT−2) = MaxcT−2,xT−2
µ(cT−2) + αE[µ[(wT−2 − cT−2)R]] (14)
donde
wT−1 = (wT−2 − cT−2)R (15)
Dado el problema de optimizaci´on, las condiciones de primer orden son:
µ (cT−2) = αE[V (wT−1)R] (16)
E(µ (ct)(R1 − R0)) = 0 (17)
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10. [opacity=1]
Ejemplo de aplicaci´on: Funci´on logar´ıtmica
Sea la funci´on de utilidad µ(c) = log(c)
Aplicando la primera ecuaci´on de las condiciones de primer orden tenemos:
µ (cT−1) = αE(µ (cT )R) (18)
1
cT−1
= αE
1
cT
R = αE
1
(wt−1 − cT−1)R
R =
α
(wt−1 − cT−1)
despejando de la ecuaci´on anterior tenemos:
cT−1 =
wt−1
α
−
cT−1
α
⇒ cT−1 =
1
1 + α
wT−1
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11. [opacity=1]
Ejemplo de aplicaci´on: Funci´on logar´ıtmica (II)
Aplicando la segunda ecuaci´on de las condiciones de primer orden
tenemos:
E µ (cT )(R1 − R0) = 0
E
1
cT
(R1 − R0) = E
R1 − R0
(wT−1 − cT−1)R
= 0 (19)
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12. [opacity=1]
Ejemplo de aplicaci´on: Funci´on logar´ıtmica (III)
Dada la ecuaci´on de valor en T − 1:
VT−1(wT−1) = MaxcT−1,cT
Ln(cT−1) + αE(Ln(cT )) (20)
Como cT = wT = (wT−1 − ct−1)R y cT−1 =
wT−1
1+α ⇒
cT = (wT−1 − cT−1)R = (wT−1 −
wT−1
1+α )R =
αwT−1R
1+α
Reemplazando en la ecuaci´on 20
VT−1(wT−1) = Ln
wT−1
1 + α
+ αE Ln
αwT−1R
1 + α
(21)
aplicando las propiedad de los logaritmos:
VT−1(wT−1) = (1+α)Ln(wT−1)+αELn(R)+αLn(α)−(1+α)Ln(1+α)
(22)
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Ejemplo de aplicaci´on: Funci´on logar´ıtmica (IV)
Por su parte en el periodo T − 2 las cpo son:
1
cT−2
=
α(1 + α)
wT−2 − cT−2
(23)
E
R1 − R0
(wT−2 − cT−2)R
= 0 (24)
La ecuaci´on 23 se obtiene de
µ (cT−2) = αE[V (wT−1)R]
1
cT−2
= αE
1 + α
wT−1
R = αE
(1 + α)R
(wT−2 − cT−2)R
=
α(1 + α)
wT−2 − cT−2
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14. [opacity=1]
Ejemplo de aplicaci´on: Funci´on logar´ıtmica (V)
N´otese que reemplazando recursivamente, los niveles de consumo quedan
expresados como (ver anexo):
ET−2 [cT ] =
wT−2
α(1 + α) + 1
ET−2 αR
2
(25)
ET−2 [cT−1] =
wT−2
α(1 + α) + 1
ET−2 αR (26)
cT−2 =
wT−2
α(1 + α) + 1
(27)
Resulta evidente observar que, Si la tasa subjetiva de descuento α es la
inversa de la rentabilidad esperada R, los niveles de consumo ser´an
constantes.
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15. [opacity=1]
Referencia
Basado en el Cap. 19 de Microeconomic Analysis de Hal varian.
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16. [opacity=1]
Anexo: Ecuaci´on recursiva
De la primera condici´on de optimizaci´on en el periodo T − 2
1
cT−2
= a(1+α)
wT−2−cT−2
Despejando dicha ecuaci´on:
cT−2 =
wT−2−cT−2
α(1+α)
cT−2 =
wT−2
α(1+α) −
cT−2
α(1+α)
cT−2 +
cT−2
α(1+α) =
wT−2
α(1+α)
cT−2 1 + 1
α(1+α) =
wT−2
α(1+α)
cT−2
α(1+α)+1
α(1+α) =
wT−2
α(1+α)
Los niveles de consumo en T − 2 dependen de wT−2
cT−2 =
wT−2
α(1+α)+1
wT−2 − cT−2 = wT−2
α(1+α)
α(1+α)+1
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17. [opacity=1]
Ecuaci´on recursiva
En el periodo T − 1 sabemos que:
cT−1 =
wT−1
1+α
Por tanto
wT−1 − cT−1 = wT−1
α
1+α
como wT−1 = (wT−2 − cT−2)E R . Por tanto en T − 2 esperamos
E [cT−1] =
αwT−2
α(1+α)+1E R
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18. [opacity=1]
Ecuaci´on recursiva
En el periodo final, toda la riqueza esperada ser´a consumida por tanto:
cT = E [wT ]
Dado que la riqueza en T esta en funci´on de la riqueza en T-1 y el
consumo realizado en dicho periodo, el cual a su vez es una funci´on de
wT−1, tenemos:
cT = E (wT−1 − cT−1)R
cT = α
(1+α)E [wT−1R]
La riqueza en T-1 es a su vez un funci´on de la riqueza en T-2
cT = α
(1+α) E (wT−2 − cT−2)R2
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19. [opacity=1]
Ecuaci´on recursiva
Reemplazando cT−2 como funci´on de wT−2, el consumo cT queda
expresado como:
E [cT ] =
α2wT−2
α(1+α)+1 E R2
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20. [opacity=1]
Ecuaci´on recursiva
En resumen se puede observar:
ET−2 [cT ] =
wT−2
α(1+α)+1ET−2 α2R2
ET−2 [cT−1] =
wT−2
α(1+α)+1ET−2 αR
cT−2 =
wT−2
α(1+α)+1
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