Curso completo proba 1.pptx

Curso de Probabilidades I
Semeste: 2020-2020
Profesor: Antonio Gaybor T.
Imagen:Chun (2019)
System-reliability-based design and topology optimization of structures under constraints on first-passage probability

ENCUESTA
DE INICIO
DE CURSO
• Contribuye a un correcto avance del curso llenando la
siguiente encuesta.
• En ella se recoge información acerca de la situacion de
conectividad y acceso a internet de los estudiantes
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=K
y6ljCAddEKaE7127MuB0bLAkPrtxBFIgV9KK6DKWCFUOE8
yNFY5MTZGRDJMVUlCV0g5NVhFOVhVTy4u

Primera unidad
INTRODUCCION A LA NOCIÓN DE
PROBABILIDAD

Plan curricular
clase 0
Breve repaso histórico
acerca de la
comprensión del
concepto
de probabilidad
Revisón de conceptos
de Estadística
descriptiva

Plan microcurricular
Primera unidad
clase 1
Inferencia estadística,
muestras, poblaciones y
el papel de la
probabilidad
Modelado estadístico,
inspección científica y
diagnósticos gráficos
Tipos generales de
estudios estadísticos:
diseño
experimental, estudio
observacional y estudio
retrospectivo

PLAN CURRICULAR–
Primera unidad
CLASE 2
Conceptos básicos:
Espacio muestral,punto
muestral
Suceso o eventos
Teoría de conjuntos

PLAN CURRICULAR–
Primera unidad
CLASE 3
Probabilidad de un
evento
Regla de la adición
Regla de la
multiplicación

PLAN CURRICULAR
Primera unidad
CLASE 4
Enfoques de
probabilidad clásico,
empírico y subjetivo

¿Para qué estudiar estadística y
probabilidades?
Contribuir al proceso de
realizar juicios científicos
frente a la incertidumbre y a
la variación.
Interpretar la variabilidad
que se encuentra en los
datos científicos.
Observar la información que
se colecta en forma de
muestras o conjuntos de
observaciones.
La probabilidad brinda la
transición entre la
estadística descriptiva y los
métodos inferenciales.

Probabilidades e inferencia
estadística
• Las PROBABILIDADES se
utilizan cuando tratamos de
comprender una muestra a partir
de la información que tenemos
sobre la población. En este caso
utilizamos un metodo deductivo
• Hacemos INFERENCIA estadítica
cuando obtenemos conclusiones
sobre la población a partir de la
muestra. Este es un método
inductivo.

Población estadística
Conjunto finito o infinito de
elementos, denominados
individuos, sobre los cuales se
realizan observaciones.
Ejemplos: todos los habitantes de
cierto lugar, todos los ejemplares
de una determinada especie de
tortugas, todos los microchips que
fabrica una empresa, etc.
Elementos o unidad de analisis
u observaciones:
Son las entidades de las que se
obtienen los datos.

Muestra:
SUBCONJUNTO FINITO DE UNA POBLACIÓN.
EL NÚMERO DE INDIVIDUOS QUE FORMAN
LA MUESTRA SE DENOMINA TAMAÑO
MUESTRAL.
LA MUESTRA, JUNTO CON LA ESTADÍSTICA
INFERENCIAL, NOS PERMITE OBTENER
CONCLUSIONES ACERCA DE LA
POBLACIÓN, YA QUE LA ESTADÍSTICA
INFERENCIAL UTILIZA AMPLIAMENTE LOS
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD.
TAL RAZONAMIENTO ES INDUCTIVO POR
NATURALEZA.

Parametros poblacionales
Estadísticos muestrales
• PARA PODER HACER INFERENCIAS es nececsario
comprender los rudimentos de incertidumbre en
esa muestra.
• Por ejemplo, si se cree qué en la población de
productos finales de una fábrica , hay menos del 5%
de elementos defectuosos.
• Ahora bien si se toma una muestra de 100 artículos
y 10 están defectuosos. ¿Esto apoya o refuta la
supocisión?
• Los parámetros (expresados en letras griegas) y
estadísticos (en letras latinas) son las medidas de
resumen de una distribución de frecuencias.

¿Qué son los datos?
• Son hechos/informaciones y cifras que se recogen, analizan y resumen para su presentación
e interpretación.
• A todos los datos reunidos para un determinado estudio se les llama conjunto de datos para el
estudio.

¿Qué es una base de datos?
Corresponde a un grupo de datos en bruto
que aún no se han organizado.

¿Cómo es eso profe?
• Generalmente, visualizarás tu
base de datos de esta manera.
En una base bien elaborada:
• Cada fila corresponde a una
observación.
• Cada columna corresponde a
una variable.
• Cada celda corresponde a un
dato

•Puedes acceder a las bases de
datos del censo nacional 2010 en:
https://www.ecuadorencifras.gob.ec
/base-de-datos-censo-de-
poblacion-y-vivienda/

¿Qué es una variable?
• Una variable es una característica común a todos los
elementos de una población.
Ejemplos:
• En una muestra de una población de seres humanos
podemos medir: la altura, la edad, el peso, el sexo,
número de hermanos, la religión, los gustos... TODAS
ESTAS SON VARIABLES
• En una muestra de una población de una especie de
tortugas podemos medir: la especie, la anchura del
caparazón, la longitud del caparazón, la edad...
TAMBIÉN TODAS ESTAS SON VARIABLES
Imagen tomada de:
https://www.mathworks.com/help/stats/multivariate-normal-distribution.html

Variables cualitativas ó categóricas
• Pueden tomar valores no numéricos.
• Los datos cualitativos comprenden etiquetas o nombres que se
usan para identificar un atributo de cada elemento.
• Se denomina categoría a cada uno de los valores que toma la
variable.
Hay que distinguir las variables binomiales de las
polinomiales
• Ejemplos de variables binomiales: sí o no, verdadero o falso, 1
ó 0, hombre o mujer.
• Ejemplos de variables polinomiales: días de la semana, color
de la camiseta, especies de árboles.
Imagen tomada de:
http://e-
ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/500/546/html/U
nidad06/pagina_18.html

Variables Cuantitativas (Numéricas)
Pueden tomar valores cuantificables numéricamente.
Pueden ser:
• Discretas: si solamente toman valores aislados (generalmente enteros).
Suelen corresponder a contajes. Ejemplos: el número de hermanos, el
número de cafés/día, el número de multas/año,...
• Continuas: potencialmente puede tomar cualquier valor numérico dentro
de un intervalo o de una unión de intervalos. Ejemplos: el tiempo de
reacción a un cierto medicamento, el peso de un individuo, la longitud
del caparazón de una tortuga,…
• Una variable que puede tomar cualquiera de los valores entre dos
números dados es una variable continua; de lo contrario es una variable
discreta.
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext
&pid=S0186-10422016000100159

Niveles de medicion o
escalas de medida
• La escala de medición determina
la cantidad de información
contenida en el dato e indica la
manera más apropiada de resumir
y de analizar estadísticamente los
datos.
• Es muy importante definir o
conocer bien el nivel de medición
de una variable ya que de ello
depende el tipo de análisis que
buscamos.
• El objetivo último de la medida es
poder distinguir hasta qué punto un
individuo posee una característica
determinada.
Imagen tomada de:
http://luishernadezz.blogspot.com/2012/08/mapa-conceptual-nivel-de-medicion.html

Tablas de distribución de frecuencias
Categorías de
la variable:
Xi
Frecuencias
absolutas
fi
Frecuencias
relativas
fr
Frecuencias
absolutas
acumuladas
Fi
Frecuencias
relativas
acumuladas
Fr
0 20 0.117 20 0.117
1 35 0.205 20+53=55 0.12+0.21=0.33
2 72 0.423 55+72=127 0.33+0.42=0.75
3 43 0.252 127+43=170 0.75+0.25=1
Total 170 1
Frecuencias relativas:
Represensentan la
proporción de observaciones
que tiene cada uno de los
valores de la variable
Frecuencias absolutas
Representan la cantidad
de observaciones que
tiene cada uno de
los valores de la variable

En este caso se recomienda construir una tabla con datos agrupados.
Haremos un ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la variable
X=Remuneraciones semanales, de 40 trabajadores.
• Número de observaciones: N=40
¿Cómo se construye una tabla de frecuencias cuando la
variable es cuantitativa, pero tiene muchas
posibles respuestas?

Tablas de frecuencias para datos agrupados
Xi
Altura
(centímetros)
Frecuencias
absolutas
fi
Frecuencias
relativas
fr
Frecuencias
absolutas
acumuladas
Fi
Frecuencias
relativas
acumuladas
Fr
[46-54> 2 0.050 2 0.050
[54-62> 8 0.200 10 0.250
[62-70> 11 0.275 21 0.525
[70-78> 12 0.300 33 0.825
[78-86> 4 0,100 37 0.925
[86-94> 3 0.075 40 1
Total 40 1

Presentación gráfica de las
tablas de frecuencia
• Las tablas ofrecen comparativamente un
mayor nivel de detalle que los gráficos, pero
pueden ser confusas y no tienen el poder de
captar tanto la atención.
• Por su parte los gráficos son ilustrativos,
permiten comparar muestras o etapas.

Gráfico de barras
simple
Los gráficos de barras son utiles para mostrar las frecuencias de
variables cualitativas y también de variables cuantitativas discretas
(cuando hay un número manejable de clases).
En este caso tenemos 6 clases

Tomado de: http://www.ub.edu/geocrit/sn/sn-190.htm

Gráfico de barras apilado
• Tomado de:
• https://www.actividadeseconomicas.
org/2017/12/actividades-
economicas-de-ecuador.html

Histograma:
Graficando datos agrupados
• Es una estimación aproximada de la función de distribución de
probabilidad de una variable continua.
• Lo obtenemos agrupando los datos (generalmente en contenedores
de igual tamaño) y simplemente contando el número de
observaciones dentro de cada contenedor.
• Gráfico de un histograma: dibujamos, para cada intervalo, un
rectángulo proporcional al número de casos que ocurren en el
mismo.
• También puede dividir por el número total de observaciones para
obtener la densidad (o frecuencia relativa) de esa manera se
obtiene la proporción de casos que hay dentro de cada rectángulo.
Imagen tomada de:
https://lh3.googleusercontent.com/proxy/Bq2M6R63g9DFrQH4EknQFkf19PsdAwebxlYL1I2i
BSVD9f92cPbEfdNwdkoBjonJYakotVmpyT8wVnBF2Yw2rdlXR2CgOBp1LSAHNbL76bHiakF8O2
NEa0ID6H5R77cQaQJ9YYS5M9SCXw5KDvrsfEja7fmJZE8Bita7CY

La definición del número de intervalos (bins) es
muy importante al momento de hacer un
gráfico

Polígonos de frecuencias
xi fi Fi fr Fr
1 15 15 0,06 0,06
2 25 40 0,1 0,16
3 60 100 0,24 0,4
4 65 165 0,26 0,66
5 30 195 0,12 0,78
6 45 240 0,18 0,96
7 5 245 0,02 0,98
8 5 250 0,02 1
250 1

Correa-Quezada et.al., (2018). Realidad Nacional. Disponible en:
https://www.researchgate.net/figure/Figura-32-Piramide-poblacional-1950-2050_fig2_323546

¿Qué nos muestran estos gráficos?
• ¿Qué notas?
• ¿Qué podría estar pasando en estos gráficos?
• ¿Qué te preguntas?
En 1980, la edad media (promedio) de las madres primerizas era de
unos 22 años, pero para 2016, la media aumentó a 26 años.
Hay dos picos en la distribución de edad de 2016: uno de
aproximadamente 21 años y otro de alrededor de 29 años.
Podría haber dos subgrupos de madres, cada una comenzando a sus
familias en diferentes momentos de sus vidas.
¿Cuáles podrían ser las razones de esta diferencia: geografía, influencias
sociales, educación, religión u otra cosa?
¿Cuáles podrían ser los diferentes resultados de vida para los niños de
estos dos grupos?
Estas gráficas provienen del artículo del New York Times " La edad en
que las mujeres tienen bebés: cómo una brecha divide a Estados
Unidos ".
Visitar sitio online sobre gráficos:
https://www.nytimes.com/column/whats-going-on-in-this-graph

¿Qué nos muestran estos gráficos?
En 1980, la edad media (promedio) de las madres primerizas era de
unos 22 años, pero para 2016, la media aumentó a 26 años.
Hay dos picos en la distribución de edad de 2016: uno de
aproximadamente 21 años y otro de alrededor de 29 años.
Podría haber dos subgrupos de madres, cada una comenzando a sus
familias en diferentes momentos de sus vidas.
¿Cuáles podrían ser las razones de esta diferencia: geografía, influencias
sociales, educación, religión u otra cosa?
¿Cuáles podrían ser los diferentes resultados de vida para los niños de
estos dos grupos?
Estas gráficas provienen del artículo del New York Times " La edad en
que las mujeres tienen bebés: cómo una brecha divide a Estados
Unidos ". Visitar sitio online sobre gráficos:
https://www.nytimes.com/column/whats-going-on-
in-this-graph

Funciones de distribución acumulada
Linea azul: Estatura de mujeres en India
Linea roja: Estatura de mujeres en EEUU
• ¿En dónde son más altas las
mujeres?
• ¿Qué proporción de mujeres
mide menos de 150 cm en
cada uno de los países?

Medidas de resumen de una distribución de frecuencias
https://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/123456789/5507/1/MANUAL_CURSO_CONTROLESTADISTICODEPRO
CESOS.pdf

¿Cómo se
distribuyen las
probabilidades
en una
distribución de
frecuencias?
https://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/123456789/5507/1/MANUAL
_CURSO_CONTROLESTADISTICODEPROCESOS.pdf

• *Un experimento es un conjunto
de acciones subsecuentes
que se realiza bajo ciertas
condiciones para obtener unos
resultados o puntuaciones
muéstrales.
• Los experimentos se realizan con
el fin de obtener información de
la población estudiada.
• Hay dos tipos de experimentos:
determinísticos* y aleatorios
*Un experimento es determinístico, cuando después de realizarse muchas veces bajo las mismas condiciones
genera siempre los mismos resultados. Ejemplo: Los pasos para elaborar zapatos en una fábrica. Cada vez que se
siguen estos pasos se elabora el mismo tipo de zapatos

Experimentos aleatorios • Un experimento es aleatorio
si no podemos predecir su
resultado de antemano.
• Se conocen previamente y
con exactitud los
posibles resultados del
experimento.
• Se puede repetir
indefinidamente, en las
mismas condiciones iniciales,
obteniendo resultados
distintos.
https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Ftowardsdatascience.com%2Fwhat-is-expected-value-
4815bdbd84de&psig=AOvVaw2cjs5ClI08Ozk0PqgYCVeK&ust=1591285626534000&source=images&cd=vfe&ved=0CAIQjR
xqFwoTCJjiiJL_5ekCFQAAAAAdAAAAABAG

Experimento
aleatorio
Ejemplos de experimentos aleatorios:
• Pruebas para evaluar la calidad de un producto en una
fábrica
• Experimentos para medir el potencial de un nuevo motor
• Pruebas para evaluar la existencia de diferencias entre
dos poblaciones.

Tipos de EXPERIMENTOS ALEATORIOS:
En La estadística identifica tres tipos de procedimientos:
• DISEÑO EXPERIMENTAL,
• ESTUDIO OBSERVACIONAL
• ESTUDIO RETROSPECTIVO
En cada uno de los tres casos, el resultado final es un conjunto
de datos que, está sujeto a la incertidumbre. Aunque sólo
uno de ellos tiene la palabra experimento en su
descripción, el proceso de generar los datos o el proceso de
observaerlos son experimentales también.

Espacio muestral
Al conjunto de todos los resultados posibles de
un experimento estadístico se le llama espacio
muestral
• Se representa como Omega (𝜴) o con la letra
(S)
• Es equivalente a "universo" en el diagrama de
Venn
• Llamaremos Puntos muestrales a cada uno
de los posibles resultados del espacio
muestral S
Si el espacio muestral tiene un número finito de
elementos, podemos listar los miembros separados por
comas y encerrarlos entre llaves.
Si se lanza un dado se puede escribir:
Diagrama de Venn

Descripción de espacios muestrales muy
grandes o indeterminados
Los espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos
muestrales se describen mejor mediante un enunciado o método de la
regla.
Ejemplo 1 (Walpole)
Si el conjunto de resultados posibles de un experimento fuera el conjunto de
ciudades en el mundo con una población de más de un millón de habitantes,
nuestro espacio muestral se escribiría como
S = {x | x es una ciudad con una población de más de un millón de
habitantes}
Que se lee “S es el conjunto de todas las x, tales que x es una ciudad con una
población de más de un millón de habitantes”.

Descripción de espacios muestrales como
áreas geométricas
Ejemplo 2: (Walpole)
Si S es el conjunto de todos los puntos (x,
y) sobre los límites o el interior de
un círculo de radio 2 con centro en el
origen, escribimos la regla:
S = {(x, y) | x2 + y2 < 4}.

Visualización del espacio muestral
diagrama de árbol
Ejemplo 3: (Walpole)
• Suponga que se seleccionan, de forma aleatoria, tres artículos de
un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se
clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N.
• El diagrama de árbol muestra las diversas trayectorias a lo largo
de las ramas del árbol. Cada "rama" corresponde a un punto
muestral.
El espacio muestral es
S ={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}.

Eventos o sucesos
• Un evento es un subconjunto del espacio muestral
• *Los eventos generalmente se simbolizan con la letra
mayúscula: (E)
• En el ejemplo del dado, si sólo estuviéramos interesados en si
el número es par o impar, el espacio muestral sería:
• S = {Par, Impar}
• VER
Gráfico realizado en:
https://app.lucidchart.com
/

Dos eventos en el diagrama de venn
Operaciones lógicas entre conjuntos:

Unión de dos eventos
• Sean A y B dos subconjuntos cuales quiera del conjunto universal
𝜴. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos
de 𝜴 que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A ó B.
AUB = {xϵ𝜴/xϵA ó xϵB} = {x/xϵA ó xϵB}.
• Se lee, “A unión B es el conjunto de elementos x que pertenecen a
A, a B, o a ambos”.
• Unión (U) significa A ó B; tanto A como B incluyendo AyB.

Intersección De dos
eventos
• Sea A y B dos conjuntos que pertenecen a omega 𝜴,
entonces la intersección de los conjuntos de A y B, son los
elementos de 𝜴 que son miembros tanto de A como dé B.
Son los elementos comunes a ambos conjuntos.
A∩B = {x∈ 𝜴/x∈A y x∈B} ={x/x∈A, x∈B}
• Significa que “A intersección B, es el conjunto de elementos
de omega 𝜴 que pertenecen a “A y B”
• y: significa intersección

Complemento de un
evento
Sea B un evento del conjunto universal omega (𝜴),
entonces el complemento de B con respecto a omega se
define como el conjunto de elementos de omega que
no pertenece a B.
B’ ={x∈𝜴/x∋B} = {x/x∈ 𝜴^x∋B }
• B’ complemento es el conjunto de los elementos de
x que pertenecen a 𝜴, pero no pertenecen a B
• Se simboliza por: B’, B^c, B ̅.

Ejemplo de diagrama de Venn:
Experimento:
Se selecciona una carta al azar de
una baraja ordinaria de 52 cartas y
se observa si ocurren los siguientes
eventos:
• A: la carta es roja;
• B: la carta es la jota, la reina o el
rey de diamantes,
• C: la carta es un as.
Solución

Taller en clase número 1:
En grupos de 5 o 6 estudiantes, resolver los siguientes ejercicios:
Para evaluar el taller se realizará una evaluación al final de esta clase.
1. Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales:
a) el conjunto de números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre
8;
b) el conjunto S = {x | x2 + 4x – 5 = 0};
c) el conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta
que aparecen una cruz o trescaras;
d) el conjunto S = (x | x es un continente);
e) el conjunto S = {x | 2x – 4 ≥ 0 y x < 1}.

(…)continuación
2. Utilize el metodo de la regla para describir el espacio muestral S, que
consta de todos los puntos del primer cuadrante dentro de un círculo de
radio 3 con centro en el origen.
3. ¿Cuáles de los siguientes eventos son iguales?
a) A = {1, 3};
b) B = {x | x es un número de un dado};
c) C = {x | x2 – 4x + 3 = 0};
d ) D = {x | x es el número de caras cuando se lanzan seis monedas al aire}.

(…)continuación
4. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una
vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la
moneda se lanza dos veces. Usa la notación 4H, por ejemplo, para denotar el
resultado de que el dado muestre 4 y después la moneda caiga en cara, y 3HT
para denotar el resultado de que el dado muestre 3, seguido por una cara y
después una cruz en la moneda; construye un diagrama de árbol para mostrar
los 18 elementos del espacio muestral S.
5. De un grupo de estudiantes de química se seleccionan cuatro al azar y se
clasifican como hombre o mujer. Lista los elementos del espacio muestral
S1 usando la letra H para hombre y M para mujer. Define un segundo espacio
muestral S2 donde los elementos representen el numero de mujeres
seleccionadas.

(…)continuación
6. Construye un diagrama de Venn para ilustrar las posibles intersecciones y uniones en los siguientes
eventos relativos al espacio muestral que consta de todos los automóviles fabricados en Estados
Unidos.
C: cuatro puertas, T: techo corredizo, D: dirección hidráulica
7. Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = {0, 2, 4,6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9},
C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6,7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes
eventos:
a) A ∪ C;
b) A ∩ B;
c) C;
d ) (C ∩ D) ∪ B;
e) (S ∩ C)’ ;
f ) A ∩ C ∩ D.

PLAN CURRICULAR–
Primera unidad
Conteo de puntos
muestrales
CLASE 3

Principales obras
sobre
probabilidades
• Jonh Graunt, Inglaterra, siglo XVII, Primer análisis
sobrelos registros de muerte, enfermedad y
nacimientos.
• Ars conjectandi de Jacob Bernoulli 1713 (ley de los
grandes números)
• Abraham de Moivre (1667-1754) Distribución contínua
de probabilidad (teorema central del límite)
• Gauss (1777-1855)Teoría del error
• Thomas Bayes (1702-1761) Continuación de la obra
“Ars Conjectandi” de Bernoulli, con la fórmula de la
probabilidad inversa (teorema de Bayes)

Principales obras
sobre
probabilidades
• Teoríe analytique de Probabilités de Pierre
de Simon de Laplace 1812 (Intento de definición
racional de la probabilidad)
• Essai Philosophique sur les Probabilités,
1814, Lapalace; con una interpretación determinista
del universo , en donde se suponía que el pasado y el
futuro se expican completamente en el presente
• Leibniz (teoría combinatoria)
• Andrei Kolmogorov,
1933, Foundations of the Thoery of Probability: Los
sucesos se representan por conjuntos y la
probabilidad es una medida definida sobre estos
conjuntos

Introducción a la noción de probabilidad
• El Cálculo de Probabilidades nos
permite calcular el grado de fiabilidad o
error de las conclusiones obtenidas
mediante inferencia estadística.
• La probabilidad mide o cuantifica la
incertidumbre que tenemos sobre el
resultado de un experimento aleatorio.

Etimología de probabilidad
Definición RAE
1. f. Verosimilitud o fundada apariencia de verdad.
2. f. Cualidad de probable (que se verificará o sucederá). Latín Proba (prueba o
evidencia) bilis (poder de) dad (cualidad)
3. f. Mat. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el
número de casos posibles.

ENFOQUES DE
PROBABILIDAD
• PROBABILIDAD CLÁSICA
• PROBABILIDAD EMPÍRICA
• PROBABILIDAD SUBJETIVA

PROBABILIDAD
CLÁSICA
Regla de Laplace (principio de la razón
insuficiente)
Se supone que todos los resultados tienen
“idéntica verosimilitud”, es decir, la
EQUIPROBABILIDAD de todos los eventos.
“Cociente de los favorables sobre los
posibles”
Para especificar correctamente las
alternativas equiprobables del problema
es necesario recurrir a operaciones de
COMBINATORIA
Probabilidad de un
evento =
Numero de resultados
favorables / Número total
de posibles resultados

PROBABILIDAD CLÁSICA
Supuestos
• Los eventos del experimento deben ser MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, lo que significa que ninguno de los demás
eventos puede ocurrir al mismo tiempo.
• Otro supuesto es que los resultados de un experimento son
COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. Por lo menos uno de los
eventos debe ocurrir al finalizar un experimento.
Límites:
• No todos los problemas de probabilidades se reducen a un
simple problema de análisis combinatorio.
• Exige el inventario de un conjunto de alternativas simétricas
que garanticen equiprobabilidad.

PROBABILIDAD
EMPÍRICA
También se conoce como “Probabilidad frecuencial”. Fue desarrollada
inicialmente por Richard Von Mises,1919
En 1888 John Venn en “The logic of chance” defendió explícitamente el cálculo de
probabilidad a partir de la frecuencia relativa y, en los tiempos modernos, Hans
Reichenbach y Kolmogorov, desarrollaron más el alcance de este enfoque.
Se basa en la frecuencia relativas de un experimento realizado anteriormenete. El
futuro de un fenómeno se puede predecir en base a un conocimiento histórico del
mismo.
Este enfoque define a la probabilidad de que un evento ocurra como una fracción de
los eventos similares que sucedieron en el pasado.
Probab. Empírica= Numero de veces que un
evento ocurre / Número total de observaciones

La propuesta de Von
Mises
• No tiene sentido decir que la probabilidad de
obtener un determinado número al lanzar un
dado es 1/6; Para Mises, lo único que indica la
fracción es que el dado no está cargado y la
tendencia en caso de ser lanzado un gran
número de veces. tenderá a salir dos
asintóticamente 1/6 de las veces.
• Si uno sigue la teoría objetiva de Mises,
resulta no científico e ilegítimo aplicar la
teoría de probabilidad a situaciones en las
cuales los eventos no son estrictamente
homogéneos y no se repiten un gran número
de veces. Y dado que, aparte de los dados o la
ruleta, todos los eventos de la acción
humana no son homogéneos y por tanto no
repetibles.

PROBABILIDAD EMPÍRICA
Ventajas
• El desarrollo de la computación facilita que los ensayos se realicen
un número grande de veces y con una gran rapidez.
• Si se desarrolla el experimento, una serie de veces independientes
unas de las otras, y se calcula la frecuencia relativa a cada uno de
ellos, se puede apreciar que estos números se diferencian poco
unos de otros, véase el ejemplo clásico del Conde de Bufón en el
lanzamiento de la moneda
Supuestos
• LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS En una gran cantidad de intentos,
la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su
probabilidad real.
Límites
• Es realmente efectivo si se manejan grandes cantidades de datos.
• Existen situaciones donde no es posible conducir ensayos repetidos
bajo condiciones experimentales fijas.

PROBABILIDAD SUBJETIVA
Probabilidad subjetiva
• La probabilidad subjetiva se refiere al
grado de creencia persoal acerca de
una informacióndeterminada,un
juicio personal acerca de un
fenomeno que es impredecible bajo
un conjunto de hipótesis
establecido.
• El valor de la probabilidad depende
del individuo que la calcula

• Ejericios en clase
1. Se selecciona al azar una carta de una baraja convencional de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la carta resulte reina? ¿Qué enfoque de la probabilidad empleó para
responderla pregunta?
2. El Center for Child Care publica información sobre 539 niños, así como el estado civil de
sus padres. Hay 333 casados, 182 divorciados y 24 viudos. ¿Cuál es la probabilidad de que
un niño elegido al azar tenga un padre divorciado? ¿Qué enfoque utilizó?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el Índice Industrial Dow Jones sea mayor que 12 000
durante los próximos 12 meses? ¿Qué enfoque de la probabilidad utilizó para responder la
pregunta?

PLAN CURRICULAR–
Primera unidad
Conteo de puntos
muestrales
CLASE 4
Regla de la multiplicación
Combinatoria

• En muchos problemas de probabilidad se requiere calcular el
número de puntos que hay en el espacio muestral, sin necesidad
de enlistar cada uno de los elementos como vimos anteriormente.
• La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia la
enumeración, ordenación de un determinado número de
elementos en un espacio muestral.
• Permite diferenciar objetos "más grandes", "más pequeños" y
optimizar resultados mediante el estudio de estructuras
combinatorias surgidas en un contexto algebraico, o aplicar
técnicas algebraicas a problemas combinatorios.
• Una de las partes más antiguas y accesibles de la combinatoria es
la teoría de grafos que también tiene numerosas conexiones
naturales a otras áreas. La combinatoria se utiliza con frecuencia
en informática para obtener fórmulas y estimaciones en el análisis
de algoritmos.
Conteo de Puntos muestrales (COMBINATORIA)

Reglas básicas de probabilidad
REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN
• Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla
especial de la adición establece que la probabilidad de
que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus
probabilidades.
P(A o B) = P(A) + P(B)
En el caso de los tres eventos mutuamente excluyentes
designados A, B y C, la regla se expresa de la siguiente
manera:
P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)
(Dibujo del diagrama de venn con trres circulos separados)

Reglas básicas de probabillidad
Regla del complemento
• La probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas
seleccionadas pese menos, P(A), más la probabilidad de
que no sea una bolsa con menos peso, P(~A), que se lee
no A, deber ser por lógica igual a 1. Esto se escribe:
P(A) + P(A') = 1
P(A) = 1 – P(A')
Supuesto: los eventos A y A' son mutuamente excluyentes
y colectivamente exhaustivos.

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN:
Se aplica cuando se busca expresar la ocurrencia de dos
eventos que no son mutuamente excluyentes
Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más
eventos sucedan simultáneamente. Esta regla para dos
eventos designados A y B se escribe:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
Si una operación se puede ejecutar en n1 formas, y si para
cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda
operación en n2 formas, y para cada una de las primeras
dos se puede realizar una tercera operación en n3 formas,
y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se
puede realizar en n1n2...nk formas.
Ejemplos:
• ¿Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral
cuando se lanza un par de dados una vez?
• En una fábrica, la probabilidad de que un producto
tenga una falla es del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de
que en una muestra de tamaño n=3, las tres unidades
presenten una falla?
• ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos se pueden
formar con los dígitos 0, 1, 2, 5, 6 y 9, si cada dígito se
puede usar sólo una vez y si la posición de los millares
no puede ser 0?

Preguntas de
orientación
1. ¿Se incorporan todos los
elementos?
2. ¿Importa el orden?
3. ¿Se repiten los elementos?

Permutación
Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones, son
aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta que:
• Sí importa el orden en que se colocan.
• Se toman todos los elementos de que se dispone.
Permutaciones sin repetición: cuando todos los elementos
de que se dispone son distintos.
Fórmula:
Permutaciones con repetición si disponemos de elementos
repetidos.
Fórmula:

Ejemplos de permutación
Calcular las permutaciones con repetición si tenemos 6 bolas
amarillas, 4 bolas rojas y 2 bolas verdes.
P12
6,4,2 : n! / a!*b!*c! = 13.860
¿Cuántos números de siete cifras se pueden formar si tenemos
2,2,2,4,4,4,4?
P7
3,4, : 7! / 3!*4! = 35

Combinación
Se llama combinaciones de "n" elementos, tomados de "k" en ""
(siendo: n > k), a todas las agrupaciones posibles que pueden
hacerse con los elementos de forma que:
• No importa el orden en que se colocan.
• No se toman todos los elementos de que se dispone.
Combinaciones sin repetición: cuando todos los elementos de que
se dispone son distintos.
Fórmula:
Combinaciones con repetición si disponemos de elementos
repetidos.
Fórmula:

Ejemplos:
Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas
distintas puede combinar estas prendas?.
¿Cuántos planos distintos determinan 6 puntos en el espacio, si nunca
hay más de 3 en un mismo plano?
¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?

Variación
n>m
Son todas las posibles agrupaciones ordenadas que podamos
hacer de k elementos en los n elementos de un conjunto,
sien n > k.
• Sí importa el orden en que se colocan.
• No se toman todos los elementos de que se dispone.
Variaciones sin repetición: cuando todos los elementos de
que se dispone son distintos.
Fórmula:
Variaciones con repetición si disponemos de elementos
repetidos.
Fórmula:

Ejemplos:
1. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con
1,2,3,4,5,6?.
2. En la final de unas olimpiadas corren la final de 100m 8 atletas. ¿De
cuántas formas se puede configurar el podium?
3. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

• Para tomar pruebas
• https://eproctoring.com/

Ejemplos de permutaciones
Calcular las permutaciones con repetición si tenemos 6 bolas
amarillas, 4 bolas rojas y 2 bolas verdes
R=13.860
¿Cuántos números de siete cifras se pueden formar si tenemos
2,2,2,4,4,4,4?

Probabilística
• Es una abstracción conceptual de las
leyes del azar. Propone la elaboración de
modelos probabilisticos capaces de explicar
la evidencia experimental como de predecir
las propiedades adicionales de dichos
fenómenos.
• La probabilidad se asocia con la aleatoriedad
y con la incertidumbre. En cualquier
problema que genera alguno o varios
resultados posibles, la probabilidad
proporciona métodos para cuantificar las
oportunidades o probabilidades asociadas
con varios resultados posibles.

Probabilidades
• La probabilidad de la ocurrencia de un evento
que resulta de un experimento estadístico se
evalúa utilizando un conjunto de números
reales denominados pesos o probabilidades,
que van de 0 a 1.
• Paratodo punto en el espacio muestral
asignamos una probabilidad (mayor o igual a
cero) de tal forma que la suma de las
probabilidades de todos los puntos del espacio
muestral es siempre igual a 1.

PROBABILIDAD
• Valor entre cero y uno, inclusive, que
describe la posibilidad relativa
(oportunidad o casualidad) de que
ocurra un evento.
• La mayoría de los problemas de
probabilidades se fundamentan en
la interpretacion de frecuencia
relativa de probabilidad, la cual se
basa en experimentos
estadísticos que se puedan repetir.

Ejemplo 1
• En una mano de poquer que consta de 5 cartas encuentre la
probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

Solución del ejemplo 1
El no. de formas de tener 2 ases de 4 cartas es
4C2 =4! / 2!*2! = 6,
el no de formas de tener 3 jotas de 4 cartas es
4C3 =4! / 3!*1! = 4
Mediante la regla de multiplicacion obtenemos n = (6)(4) = 24 manos con 2 ases y 3 jotas.
El no. total de manos de poquer de 5 cartas, todas las cuales tienen las mismas probabilidades de
ocurrir, es
N =52C5 = 52! / 5!*47!= 2,598,960.
Por lo tanto, la probabilidad del evento C de obtener 2 ases y 3 jotas en una mano de poquer de 5
cartas es
P (C) = 24 / 2,598,960 = 0.9 E10^(−5) .

Desarrollando
la "noción" de
probabilidad
Encuentra los errores en cada una de las siguientes aseveraciones:
a) Las probabilidades de que un vendedor de automoviles venda 0, 1, 2 o 3
unidades en un d.a dado de febrero son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15,
respectivamente.
b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la probabilidad de que no
llueva es 0.52.
c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 o m.s
errores al imprimir un documento son 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29,
respectivamente.
d ) Al sacar una carta de una baraja en un solo intento la probabilidad de
seleccionar un corazón rojo es 1/4, la probabilidad de seleccionar una carta
negra es 1/2, y la probabilidad de seleccionar una carta de corazones y
negra es 1/8.

Otro ejemplo:
En un grupo de 100estudiantes de preparatoria, 54 estudiaron
matematicas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matematicas e
historia. Si se seleccionaal azar uno de estos estudiantes, calcule la
probabilidad de que
a) el estudiante haya cursado matematicas o historia;
b) el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias;
c) el estudiante haya cursado historia pero no matematicas.

Otro más:
• Existe inter.s por el tipo de horno, el.ctrico o de gas, que se compra en
una tienda departamental espec.fica. Considere la decisi.n que al
respecto toman seis clientes distintos.
a) Suponga que hay 0.40 de probabilidades de que como maximo dos
de esos clientes compren un horno electrico. Cuál será la probabilidad
de que al menos tres compren un horno electrico?
b) Suponga que se sabe que la probabilidad de que los seis compren el
horno el.ctrico es 0.007, mientras que la probabilidad de que los seis
compren el horno de gas es 0.104. .Cu.l es la probabilidad de vender,
por lo menos, un horno de cada tipo?

Razón,
proporción
y tasa
• RAZÓN Es el cociente de dividir una cantidad por otra. El
valor considerado en el numerador no debe estar contenido
en el denominador. Puede ser un número superior a la
unidad. Si se multiplica por 100 se obtendrá un porcentaje, si
se multiplica por 1000, será una razón por mil unidades.
Puede multiplicarse por 100.000 y 1'00
• PROPORCIÓN Es el cociente del número de veces que se
presenta un valor o característica con respecto al total de la
muestra de la variable en estudio No puede ser mayor a uno.
Si se multiplica por 100 se obtiene un porcentaje. Las
frecuencias relaitvas son proporciones.
• TASA Es la rapidez de cambio de un fenómeno, se obtiene
mediante el cociente del número de veces que ocurre la
situación investigada en un lugar y lapso de tiempo
determinado

Ejemplos
• En un estudio médico se examinaron 280 mujeres y 220 hombres,
entonces se puede notar que la proporción de mujeres examinadas es
de 280/500 (0,56) mientras que la de hombres es de 0,44.
• 7000 personas personas viven en un barrio, de las cuales 4200
son mujeres y 2800 son hombres La razón entre hombres y
mujeres está dada por: R = 4200 m = 1,5 2800 h 1,5 X 100 = 150,
• Tasas de natalidad, mortalidad o morbilidad

Probabilidad
condicional
P(B|A)
• a noción de probabilidad condicional brinda la capacidad de
reevaluar la idea de probabilidad de un evento a la luz de la
información adicional; es decir, cuando se sabe que ocurrió
otro evento. La probabilidad P(A|B) es una actualización de
P(A) basada en el conocimiento de que ocurrió el evento B.

P. condicional en
diagrama de Venn
La probabilidad de A equivale al área de
A∩B (en verde) más el área de A ∩ B¯
(en azúl) dividido por el área del espacio
muestral (es decir el tamaño de la caja)
que es 1.
Pero si sabemos que B ha sucedido,
entonces, el tamaño muestral se ha
reducido a los sucesos elementales para
los cuales B ha ocurrido y luego, la
probabilidad de A es el área de A∩B
partido por el area de B.
A y B no son eventos independientes por
lo que P(B|A) != P (A)

Ejemplo para la explicación
Si P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 y P(A∩B)=0,18. Calcular:
a) P(A|B)
b) P(B|A)

Ejemplo:
La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a
tiempo es P(D)= 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es
P(A)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es
P(DyA)=0.78. Calcule la probabilidad de que un avión:
a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo; y b) salió a tiempo, dado
que llegó a tiempo. Solución: Al utilizar la defi nición 2.10 tenemos lo
que sigue:

Solución:
a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a
tiempo es
P (A|D)= P (DyA) / P(D) = 0.78 / 0.83 = 0.94.
b) La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que
llegó a tiempo es
P(D|A)= P (DyA) / P(A) = 0.78 / 0.82 = 0.95

Probabilidad de dos eventos independientes
• Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B). Si los
eventos A y B son independientes entre sí, esto significa que la
ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro, por lo
tanto la probabilidad condicional sería igual a la probabilidad de
ocurra cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).
• Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta, tenemos
P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean eventos
independientes entre sí y se le denomina Ley de multiplicación de
eventos independientes.

Probabilidad total
• Consideremos un evento B y un conjunto de
eventos Ai que son mutuamente excluyentes
entre si, Ai∩Aj=ϕ, i≠j, es decir, si tomamos
dos eventos Ai diferentes su intersección es
el evento vacío, además los eventos Ai son
exhaustivos, Ui=1
nAi=S, la unión de todos
ellos cubre el espacio de eventos, como se
muestra en la figura.

Teorema de Bayes
• Establece la probabilidad de un evento particular Ak de los
eventos Ai, dado que ya sucedió el evento B, expresada en términos
de probabilidad condicional.
• Considerando P(Ai) como la probabilidad a priori de los eventos Ai, y
se requiere conocer una probabilidad a posteriori de cada uno de
ellos, dado que ya conocemos el evento B, Ak representa a
cualquiera de los eventos Ai.

Teorema de Bayes
Sabemos que:
• La probabilidad condicional es: P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B),
• La probabilidad conjunta es: P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak)
• la probabilidad total de B es P(B)=Ʃi=1
nP(Ai∩B),
Entonces tenemos:
P(Ak|B) = [P(Ak)P(B|Ak)] / [Ʃi=1
nP(Ai)P(B|Ai)]

• Un suero de la verdad tiene la propiedad de que 90% de los
sospechosos culpables se juzgan de formaadecuada, mientras que,
por supuesto, 10% de los sospechosos culpables err.neamente se
consideran inocentes. Por otro lado, a los sospechosos inocentes se
les juzga de manera err.nea 1% de las veces. Si se aplica el suero a un
sospechoso, que se selecciona de un grupo de sospechosos en el cual
s.lo 5% ha cometido un delito,y .ste indica que es culpable, .cu.l es la
probabilidad de que sea inocente?

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