1. 1
La transformada de Laplace
€
Y (s) = L y(t)
{ } = e−st
y(t)dt
0
∞
∫
Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
Dra. Dolores Cáceres Marzal
2. 2
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su
transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t)
existe si la integral converge.
L{ f (t)} = F(s) = f (t)
0
∞
∫ e−st
dt
La transformada de Laplace
3. 3
Observa que la transformada de Laplace es
una integral impropia, uno de sus límites es
infinito:
Notación:
La transformada de Laplace
4. La transformada de Laplace es un
operador lineal
• Podemos comprobar fácilmente que
L{α f (t) + β g(t)}
= αL{ f (t)} + βL{g(t)}
= αF(s) + βG(s)
La transformada de Laplace
5. 5
Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.
La transformada de Laplace
19. También una función del tipo
es la misma que
De manera similar, una función del tipo
puede escribirse como
La transformada de Laplace
20. en términos de U(t).
Solución
f(t) = 20t – 20tU(t – 5)
Ejercicio 9: Expresar
La transformada de Laplace
21. • Ejemplo 1:
f (t − a)U(t − a) =
=
0, 0 ≤ t < a
f (t − a), t ≥ a
⎧
⎨
⎩
La transformada de Laplace
22. 22
Ejercicio 10: Transformada de Laplace de la
Función Heaviside o escalón unidad:
La transformada de Laplace
€
U(t − c) =
0 , 0 ≤ t < c
1 , t ≥ c
⎧
⎨
⎩
23. • Impulso Unitario:
Está función se define por
La transformada de Laplace
donde a > 0, t0 > 0.
Para un valor pequeño de a, δa(t – t0)
es una función constante de gran
magnitud. El comportamiento de δa(t
– t0) cuando a → 0, se llama impulso
unitario, porque posee la propiedad
24. La función delta de Dirac
• Esta función se define como
δ(t – t0) = lima→0 δa(t – t0)
• Las dos propiedades importantes son:
(1)
(2) , x > t0
La transformada de Laplace
25. • Demostración
Para
t0
>
0,
TEOREMA
Transformación de la función delta de Dirac
L{δa (t − t0)} =
1
2a
e−s(t0 −a)
s
−
e−s(t0 +a )
s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= e−st0
esa
− e−sa
2sa
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
La transformada de Laplace
26. Cuando a → 0, la expresión anterior es 0/0. Usando
la regla de L’Hopital, tiende a 1 cuando a → 0.
Así ,
Ahora cuando t0 = 0, tenemos
La transformada de Laplace
27. 27
L δ(t − a)
{ } = e−as
L δ(t)
{ } = 1
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
La transformada de Laplace
28. 28
Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T.
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t)
sobre el primer periodo y cero fuera.
T
La transformada de Laplace
39. 39
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de
F(s) se le conoce como transformada inversa de
Laplace
L−1
{F(s)} = f (t)
Transformada inversa de Laplace
La transformada de Laplace
47. Si
son
con6nuas
en
[0,
∞)
y
son
de
orden
exponencial
y
si
f(n)(t)
es
con6nua
por
partes
en
[0,
∞),
entonces
donde
TEOREMA
Transformada de una derivada
La transformada de Laplace
48. Aplicación a las EDO lineales
•
Luego
La transformada de Laplace
50. Si resolvemos la ec. algebraica:
y encontramos la transformada
inversa de Laplace de la solución, Y(s),
encontraremos la solución de la ec.
diferencial.
La transformada de Laplace
51. Ec. Algebraica
Solución de la
Ec. Diferencial
Inversa de la
Transformada
de Laplace
La transformada de Laplace
53. es la solución de la ec. diferencial:
De modo que:
La transformada de Laplace
54. hemos aplicado:
Primero, que la TL y su inversa son lineales:
etc...
Y segundo, la TF de las derivadas de una
función son:
La transformada de Laplace
55. Solución
Ejercicio 15: Resolver
€
dy
dt
+ 3y = sin 2t , y(0) = 0
€
L
dy
dt
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ 3L{y} = L{sin2t}
€
sY (s) + 3Y (s) =
2
s2
+ 4
€
(s + 3)Y (s) =
2
s2
+ 4
€
Y (s) =
A
s + 3
+
Bs + C
(s2
+ 4)
=
2
(s + 3)(s2
+ 4)
La transformada de Laplace
56. Podemos hallar A = 13/2, B = −5/4, C = -8
Así
€
2 = A(s2
+ 4) + (Bs + C)(s + 3)
€
Y (s) =
2
(s + 3)(s2
+ 4)
=
13/2
s + 3
+
−5s /4 − 8
s2
+ 4
€
y(t) =
13
2
L −1 1
s + 3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
5
4
L −1 s
s2
+ 4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− 4L −1 2
s2
+ 4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
y(t) =
13
2
e−3t
−
5
4
cos 2t − 4 sin 2t
La transformada de Laplace
57. Demostración
L{eatf(t)} = ∫ e-steatf(t)dt
= ∫ e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)
Si
L{f}
=
F(s)
y
a
es
cualquier
número
real,
entonces
L{eatf(t)}
=
F(s
–
a)
TEOREMA
Primer teorema de traslación
La transformada de Laplace
67. €
=
1
6
+
1
3
e−t
−
1
2
e−2t
cos 2t −
2
3
e−2t
sin 2t
€
Y (s) =
1
6
L −1 1
s
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
1
3
L −1 1
s +1
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
2
L −1 s + 2
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
2
3 2
L −1 2
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
La transformada de Laplace
68.
Si
F(s)
=
L{f},
y
a
>
0,
entonces
L{f(t
–
a)U(t
–
a)}
=
e-‐asF(s)
TEOREMA
Segundo teorema de traslación
La transformada de Laplace
Forma inversa del Teorema
70. 70
Ejercicio 21:
€
L t2
{ }=
2
s3
€
L (t − 3)2
u(t − 3)
{ }= e−3s 2
s3
3
t
La transformada de Laplace
71. Ejercicio 22: Resolver
sujeta a
(a) y(0) = 1, y’(0) = 0
(b) y(0) = 0, y’(0) = 0
Solución
(a) s2Y – s + Y = 4e-2πs
Así
y(t) = cos t + 4 sen(t – 2π)U(t – 2π)
Como sen(t – 2π) = sen t, entonces
€
Y (s) =
s
s2
+1
+
4e−2πs
s2
+1
La transformada de Laplace
€
(s2
+1)Y (s) = s + 4e−2πs
80. y(t) =
5e−t
, 0 ≤ t < π
5e−t
+ 3/2e−(t −π )
+ 3/2sin t − 3/2 cos t, t ≥ π
⎧
⎨
⎩
La transformada de Laplace
81. La ED de una viga es
Vigas
La transformada de Laplace
La carga que soporta
la viga es w(x)
82. Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos.
Determine la deflexión de la viga cuando la carga está
dada por:
Solución
Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0,
y’(0) = y’(L) = 0.
Ejercicio 28:
€
w(x) =
w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , 0 < x < L /2
0, L /2 < x < L
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
w(x) = w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
2w0
L
L
2
− x + x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
La transformada de Laplace
83. donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)
€
=
2w0
L
L 2
s
−
1
s2
+
1
s2
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
s4
Y (s) − sy"(0) − y(3)
(0) =
2w0
EIL
L 2
s
−
1
s2
+
1
s2
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Y (s) =
c1
s3
+
c3
s4
+
2w0
EIL
L 2
s5
−
1
s6
+
1
s6
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
EI s4
Y (s) − s3
y(0) − s2
ʹ′
y (0) − s ʹ′ʹ′
y (0) − ʹ′ʹ′ʹ′
y (0)
[ ]
La transformada de Laplace
84. Así
€
y(x) =
c1
2!
L −1 2!
s3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
c2
3!
L −1 3!
s4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
2w0
EIL
L /2
4!
L −1 4!
s5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
5!
L −1 5!
s6
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
1
5!
L −1 5!
s6
e−Ls/ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
c1
2
x2
+
c2
6
x3
+
w0
60EIL
5L
2
x4
− x5
+ x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
La transformada de Laplace
87. 87
Derivada de la transformada de Laplace
F(s) = e−st
f (t)dt
0
∞
∫
d
ds
F(s) =
d
ds
e−st
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥f (t)dt
0
∞
∫ = − e−st
tf (t)
[ ]dt
0
∞
∫ = L −tf (t)
{ }
La transformada de Laplace
L{t2
f (t)} = L{t ⋅ tf (t)} = −L{tf (t)}
= −
d
ds
−
d
ds
L{ f (t)}
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
d 2
ds2
L{ f (t)}
88. Si
F(s)
=
L{f(t)}
y
n
=
1,
2,
3,
…,
entonces
TEOREMA
Derivadas de una transformada
La transformada de Laplace
89. Ejercicio 29:
Hallar L{t sen kt}
Solución
Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego
L{t sin kt} = −
d
ds
L{sinkt}
= −
d
ds
k
s2
+ k2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
2ks
(s2
+ k2
)2
La transformada de Laplace
90. Enfoques diferentes
L{te3t
} = L{t}s→ s−3 =
1
s2
s→ s−3
=
1
(s − 3)2
L{te3t
} = −
d
ds
L{e3t
} = −
d
ds
1
s − 3
= (s − 3)−2
=
1
(s − 3)2
La transformada de Laplace
91. Convolución
• Un producto especial, f * g se define
mediante la integral
y se llama convolución de f y g.
La convolución es una función de t
• Observación: f * g = g * f
€
f * g = f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
et
∗sint = eτ
sin(t −τ)dτ
0
t
∫
=
1
2
(−sint − cost + et
)
La transformada de Laplace
92. Demostración
Si
f(t)
y
g(t)
son
con6nuas
a
trozos
en
[0,
∞)
y
de
orden
exponencial,
entonces
TEOREMA
Teorema de convolución
F(s)G(s) = e−sτ
f (τ)dτ
0
∞
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e−sβ
g(β)dβ
0
∞
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= e−s(τ+β )
f (τ)
0
∞
∫ g(β)dτdβ
0
∞
∫ }
= f (τ)dτ
0
∞
∫ e−(τ+β )
g(β)dβ
0
∞
∫
La transformada de Laplace
93. Manteniendo τ fija, sea t = τ + β, dt = dβ
Se realiza la integración en la región sombreada
Cambiando el
orden de integración:
La transformada de Laplace
94. La transformada de Laplace
Forma inversa del Teorema
L-1{F(s)G(s)} = f * g
€
F(s)G(s) = e−st
dt
0
∞
∫ f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
= e−st
0
∞
∫ f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
dt
= L{ f ∗ g}
95. Solución
€
L eτ
sin(t −τ) dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
L et
* sin t
{ }=
1
s −1
⋅
1
s2
+1
=
1
(s −1)(s2
+1)
Ejercicio 30: Hallar
La transformada de Laplace
97. Ahora recordamos que
sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)]
Si ponemos A = kτ, B = k(t − τ), entonces
L−1 1
(s2
+ k2
)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
2k2
[cos k(2τ − t) − cos kt]dτ
0
t
∫
=
1
2k2
1
2k
sink(2τ − t) −τ cos kt
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
t
=
sinkt − kt cos kt
2k3
La transformada de Laplace
L−1 1
(s2
+1)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
sint − t cos t
2
Para k=1:
98. 98
Ejemplo 32: Resolver
s2
Y (s) + Y (s) == L sint + u(t − π)sin(t − π)
{ } =
1
s2
+1
+
e−πs
s2
+1
La transformada de Laplace
99. Transformada de una Integral
• Utilizando el producto de convolución,
• cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces
€
L f (τ)dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
F(s)
s
f (τ)dτ
0
t
∫ = L−1 F(s)
s
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
La transformada de Laplace
100. Ejemplos:
L−1 1
s(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= sinτdτ
0
t
∫ = 1− cos t
L−1 1
s2
(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= (1− cosτ)dτ
0
t
∫ = t − sint
L−1 1
s3
(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= (τ − sinτ)dτ
0
t
∫ =
1
2
t2
−1+ cos t
La transformada de Laplace
101. Circuitos en Serie
• La ED del circuito de la figura es:
la cual se llama ecuación integrodiferencial.
€
L
di
dt
+ Ri(t) +
1
C
i(τ)dτ
0
t
∫ = E(t)
La transformada de Laplace
102. Ejercicio 33:
Determine i(t) en el circuito anterior si L = 0.1 h, R
= 2 Ω, C = 0.1 f, i(0) = 0, y
E(t) = 120t – 120U(t – 1)
Solución
Usando los datos obtenemos la ED:
Y entonces
€
0.1
di
dt
+ 2i(t) +10 i(τ )dτ
0
t
∫ = 120t −120U(t −1)
0.1sI(s) + 2I(s) +10
I(s)
s
= 120
1
s2
−
1
s
e−s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
La transformada de Laplace
103. I(s) = 1200
1
s(s +10)2
−
1
(s +10)2
e−s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 1200
1 100
s
⎡
⎣
⎢ +
1 100
(s +10)
−
1 10
(s +10)2
−
1
(s +10)2
e−s
]
i(t) = 12 +12e−10t
−120te−10t
−
−1200(t −1)e−10(t −1)
U(t −1)
La transformada de Laplace
104. Escrita como una función definida por
partes:
i(t) =
12 +12e−10t
−120te−10t
, 0 ≤ t < 1
12 +12e−10t
−120te−10t
−120te−10t
−1200(t −1)e−10(t −1)
, t ≥ 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
La transformada de Laplace
105. Ejercicio 34: Hallar i(t) en la siguiente Ed donde
i(0) = 0 y E(t) es la de la figura
La transformada de Laplace
106. Luego i(t) se escribe de la siguiente manera y
se ilustra en la siguiente figura
€
I(s) =
1
R
1
s
−
1
s + R L
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 1− e−s
+ e−2s
− ...
( )
i(t) =
1− e−t
, 0 ≤ t < 1
−e−t
+ e−(t −1)
, 1 ≤ t < 2
1− e−t
+ e−(t −1)
− e−(t −2)
, 2 ≤ t < 3
−e−y
+ e−(t −1)
− e−(t −2)
+ e−(t −3)
, 3 ≤ t < 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
La transformada de Laplace
122. 122
Ejercicio 40: Calcula la transformada de Laplace de
La transformada de Laplace
F(s) =
1
1+ s2
Ahora, empleando : L
f (t)
t
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= F(u)
s
∞
∫ du
124. 124
Ejercicio 41: Obtener, mediante el método operacional
de Laplace, la solución del problema de Cauchy:
L y
[ ] = Y (s); L ʹ′ʹ′
y
[ ] = s2
L y
[ ]− sy(0) − ʹ′
y (0) = s2
Y (s) − s
L sint
[ ] =
1
1+ s2
La transformada de Laplace
125. 125
L ʹ′ʹ′
y + y
[ ] = L sint
[ ] ⇒ Y (s2
+1) − s =
1
1+ s2
⇒
⇒ Y (s) =
s
s2
+1
+
1
s2
+1
( )
2
⇒ y(t) = L−1 s
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+ L−1 1
s2
+1
( )
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L−1 s
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = cos t
L−1 1
s2
+1
( )
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= L−1 1
s2
+1
1
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = sint ∗sint
La transformada de Laplace
126. 126
sint ∗sint = sinusin(t − u)du
0
t
∫ =
=
1
2
(cos(2u − t) − cos t)du
0
t
∫ =
1
2
sint −
t
2
cos t
La transformada de Laplace
127. 127
d
dt
x(t) − 4
d
dt
(t − s)x(s)ds
0
t
∫
t*x(t)=h(t)
= et
; L
d
dt
x(t)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− 4L
d
dt
h(t)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= L{et
}
sX(s) − x(0) − 4 sL{h(t)} − h(0)
{ } =
1
s −1
€
d
dt
x(t) − 4 (t − s)x(s)ds
0
t
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = et
; x(0) = 1
Ejercicio 42: Resolver la ec.integro-diferencial
La transformada de Laplace
128. 128
€
sX(s) −1− 4 s L{t * x(t)}
L{t}L{x(t)}=
1
s2
X(s)
− 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
1
s −1
;
sX(s) −1−
4
s
X(s) =
1
s −1
La transformada de Laplace
X(s) =
s2
(s −1)(s − 2)(s − 3)
129. 129
€
X(s) = −
1
3
1
s −1
+
1
s − 2
+
1
3
1
s + 2
x(t) = −
1
3
et
+ e2t
+
1
3
e−2t
Antitransformando:
La transformada de Laplace
130. 130
Ejercicio 43: Obtener, mediante el método operacional
de Laplace, la solución del problema de Cauchy
Solución
€
d
dt
x(t) − e3(t −u)
x(u)du
0
t
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = δ(t − 3)
x(0) = 0
d
dt
x(t) − e3(t −u)
x(u)du
0
t
∫
h(t)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= δ(t − 3)
La transformada de Laplace
131. 131
∗L ʹ′
x (t)
[ ] = sL x(t)
[ ]− x(0) = sX(s)
∗L ʹ′
h (t)
[ ] = sL h(t)
[ ]− h(0) = sH (s)
∗h(t) = f (t) * x(t), f (t) = e3t
L h(t)
[ ] = L f (t)
[ ]⋅ L x(t)
[ ] =
1
s − 3
X(s)
∗L δ(t − 3)
[ ] = e−3s
L δ(t)
[ ] = e−3s
La transformada de Laplace
132. 132
X(s) s −
s
s − 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = e−3s
, X(s) =
(s − 3)e−3s
s(s − 4)
X(s) = e−3s
3
4
s
+
1
4
s − 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
L−1
X(s)
[ ] =
3
4
L−1 e−3s
s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+
1
4
L−1 e−3s
s − 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
La transformada de Laplace
133. 133
Ejercicio 44: Obtener la solución del problema de valores
iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.
L ʹ′ʹ′
u − ʹ′
u − 2u
[ ] = L e−t
sen(2t) − 3δ t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
⇒ L ʹ′ʹ′
u
[ ]− L ʹ′
u
[ ]− 2L u
[ ] = L e−t
sen(2t)
[ ]− 3L δ t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
⇒ s2
L u
[ ]− 2− sL u
[ ]− 2L u
[ ] =
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒
La transformada de Laplace
134. 134
⇒ L u
[ ] =
2
s − 2
( ) s +1
( )
+
2
s +1
( )
2
+ 4
[ ] s − 2
( ) s +1
( )
−
3
s − 2
( ) s +1
( )
e
−
π
2
s
⇒
⇒ L u
[ ] =
28
39
1
s − 2
−
5
6
1
s +1
−
1
13
2
s +1
( )
2
+ 4
+
3
26
s
s +1
( )
2
+ 4
−
−
1
s − 2
e
−
π
2
s
+
1
s +1
e
−
π
2
s
⇒
⇒ u(t) =
28
39
e2t
−
5
6
e−t
−
1
13
e−t
sen(2t) +
3
26
e−t
cos(2t) − e
2 t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ e
− t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
€
⇒ s2
− s − 2
( )L u
[ ] = 2+
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒
⇒ s − 2
( ) s +1
( )L u
[ ] = 2+
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒
La transformada de Laplace
135. 135
Ejercicio 45: Obtener la transformada de Laplace de la
función
L t3
ch(3t)sh(5t)
[ ]= L t3 e3t
+ e−3t
2
e5t
− e−5t
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
=
1
4
L t3
e8t
− e−2t
+ e2t
− e−8t
( )
[ ]=
=
1
4
L t3
e8t
( )− L t3
e−2t
( )+ L t3
e2t
( )− L t3
e−8t
( )
[ ]
L t3
eαt
( )=
3!
s − a
( )
4
La transformada de Laplace
136. 136
€
L f (t)
[ ] =
1
4
3!
s − 8
( )
4
−
3!
s + 2
( )
4
+
3!
s − 2
( )
4
−
3!
s + 8
( )
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
3
2
1
s − 8
( )
4
−
1
s + 2
( )
4
+
1
s − 2
( )
4
−
1
s + 8
( )
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
La transformada de Laplace
137. 137
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Desarrollo en fracciones simples:
Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa,
descomponiendo la función en componentes más sencillos.
La transformada de Laplace
Apéndice
138. 138
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugados
múltiples
€
(s − a)(s − a*
)
€
(s − a)(s − a*
)
[ ]2
La transformada de Laplace
139. 139
Caso I – Polos reales simples
Ejemplo
La transformada de Laplace
150. 150
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,
teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
Caso IV – factores complejos conjugados múltiples
€
(s − a)(s − a*
)
[ ]2
La transformada de Laplace