Mate 4

1. Cap´ıtulo 1
La transformada de Laplace
1.1. Introducci´on
La transformada de laplace es un operador LINEAL muy ´util para la resoluci´on de ecuaciones
diferenciales.
Laplace demostr´o c´omo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOG´ENEAS en ecuaciones
algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
1.2. Conceptos b´asicos
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, act´ua sobre una funci´on f y devuelve
otra funci´on L[f]
Definici´on 1. La transformada de Laplace de una funci´on f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una funci´on L[f]
de una variable real s dada por:
(F(s) =)L[f](s) =
∞
0
f(t)e−st
dt = l´ım
τ→∞
τ
0
f(t)e−st
dt (1.1)
Est´a definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido.
1

2. 2 CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 1.1. Si f(t) = c. Calcula su transformada de Laplace.
L[c](s) =
∞
0
ce−st
dt = l´ım
τ→∞
ce−st
dt = l´ım
τ→∞
c
−1
s
e−st
τ
0
=
= l´ım
τ→∞
c
−1
s
e−sτ
+
1
s
e−s0
= 0 +
c
s
=
c
s
, s > 0
observa que si s > 0, entonces l´ımτ→∞ e−τs = 0
Ejercicio.- Comprobar las siguientes igualdades:
1. L[t](s) = 1
s2 , s > 0
2. L[eat](s) = 1
s−a, s > a
3. L[senbt](s) = b
s2+b2 , s > 0
Proposici´on 1. La transformada de Laplace es lineal. Es decir, si L[g](s) y L[g](s) est´an definidas
en un intervalo s > s0, entonces tambi´en lo est´a L[αf + βg](s) para cualesquiera α, β ∈ R.
L[αf + βg](s) = αL[f](s) + βL[g](s)
Ejemplo 1.2. Calcula L[11 + 5e4t − 6sen2t]
L[11 + 5e4t
− 6sen2t] = L[11] + L[5e4t
] + L[−6sen2t] =
= 11L[1] + 5L[e4t
] − 6L[en2t] = 11
1
s
+ 5
1
s − 4
− 6
2
s2 + 4
=
11
s
+
5
s − 4
−
12
s2 + 4
con s > 0 y s > 4 −→ s > 4

3. 1.3. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA 3
1.3. Transformada de una derivada
Supongamos que y (t) es continua para t ≥ 0 y que para toda s > s0 (para alg´un s0) se verifica
que e−sτ y(τ) → 0 si τ → ∞. Entonces se tiene que:
L[y ](s) = −y(0) + sL[y](s) (1.2)
Nota 1. Para que la transformada sea ´util, debe ser posible recuperar f(t) de L[f](s). El operador
con que haremos esto es lineal, se denota por L−1 y se denomina transformada de Laplace
inversa
1.4. Problemas de valor inicial y transformadas
Consideremos el problema de valor inicial:
(PV I) =



y (t) + ay(t) = f(t)
y(0) = y0
con a constante y f una funci´on continua a trozos en [0, +∞)
Supongamos que L[y ], L[y] y L[f] est´an definidas en un INTERVALO COM´UN s > s0. Para
resolver la ecuaci´on hacemos lo siguiente:
1. Aplicamos L a cada miembro de la Ecuaci´on diferencial (usamos que el operador de Laplace
es lineal) Resultando:
L[y ](s) + aL[y](s) = L[f](s), s > s0

4. 4 CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
2. Si el l´ımτ→∞ e−sτ y(τ) = 0 entonces usamos la f´ormula de la derivada, de manera que la
ecuaci´on anterior resulta:
sL[y](s) − y(0) + aL[y](s) = L[f](s)
3. La ecuaci´on anterior, es una ecuaci´on algebraica. Despejando L[y](s), resulta:
L[y](s) =
y(0)
s + a
+
L[f](s)
s + a
Ejemplo 1.3. Tomemos, y(0) = 1 y f(t) = 4t3e−at
Podemos calcular (usando que L[tneat] = n!
(s−a)n+1 ):
L[f](s) = L[4t3
e−at
] =
24
(s + a)4
Por tanto
L[y](s) =
1
s + a
+
24
(s + a)5
Debido a la linealidad de L−1 y que L−1 L[y] = y, obtenemos:
y(t) = L−1 1
s + a
(t) + L−1 24
(s + a)5
(t)
Por las tablas:
y(t) = e−at
+ t4
e−at
Ejercicio.- Resuelve el ejercicio anterior por t´ecnicas habituales
Transformada de derivadas
Bajo ciertas condiciones sobre las funciones y sus derivadas:
L[y ](s) = s2
L[f](s) − sf(0) − f (0)

5. 1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS 5
y en general:
L[y(n)
] = sn
L[f] − sn−1
y(0) − sn−2
y (0) − . . . − sy(n−2)
(0) − y(n−1)
(0)
Veamos c´omo obtener L[y ] a partir de L[y ]:
L[y ] = L[(y ) ] = sL[y ](s) − f (0) =
= s sL[y](s) − y(0) − y (0) = s2
L[y](s) − sy(0) − y (0)
1.4.1. El m´etodo de la transformada para resolver un PVI de segundo orden
Usando lo anterior, resolver el siguiente problema de valor inicial:
y − y = 1, y(0) = 0, y (0) = 1
Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados, obtenemos:
L[y − y] = L[1]
Luego:
s2
L[y] − sy(0) − y (0) − L[y] =
1
s
Despejando, resulta:
L[y] =
sy(0) + y (0) + 1
s
s2 − 1
=
1 + 1
s
s2 − 1
=
1
s − 1
−
1
s
, s > 1

6. 6 CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Por medio de la tabla, tenemos que:
y(t) = et
− 1
Teorema 1. Teorema de corrimiento. Bajo ciertas condiciones, se tiene que:
L[eat
f(t)](s) = L[f](s − a) (1.3)
L[f(t − a)H(t − a)](s) = e−as
L[f(t)], a ≥ 0 (1.4)
L[f(t)H(t − a)](s) = e−as
L[f(t + a)], a ≥ 0 (1.5)
donde se define f(t) = 0 para t < 0
Demostraci´on.-
(1.3) se deduce directamente de la definici´on del operador de la transformada de laplace, de
modo que al multiplicar una funci´on en el dominio de tiempo por eat se recorre la variable s de la
transformada de L[f](s) por la cantidad a. Para demostrar la f´ormula (1.4), observamos que:
L[f(t−a)H(t−a)] =
∞
0
e−st
f(t−a)H(t−a)dt =
∞
0
e−st
f(t−a)dt =
∞
0
e−s(x+a)
f(x)dx = e−as
L[f]
donde se utiliz´o el cambio de variable t = x + a en la ´ultima integral.
Transformaci´on de funciones escal´on.
Seg´un la f´ormula (1.5) del teorema del corrimiento, tenemos que:
L[H(t − a)] = L[1 · H(t − a)] = e−as
L[1] =
e−as
s
, s > 0
que pudo haberse obtenido por integraci´on directa. La transformada de H(t − a) es:
L[H(t − a)] =
a
0
e−st
1dt +
∞
a
e−st
0dt =
1 − e−as
s
, s > 0, a > 0

7. 1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS 7
Transformada de una funci´on a trozos lineal por partes
Calcular la transformada:
f(t) =



1, si 0 ≤ t < 1
2 − t, si 1 ≤ t < 2
0, si 2 ≤ t
Esta funci´on la puedo escribir de la siguiente forma:
f(t) = (H(t) − H(t − 1)) + (2 − t)(H(t − 1) − H(t − 2)) = H(t) − (t − 1)H(t − 1) + (t − 2)H(t − 2)
Por tanto:
L[f] = L[H(t)] − L[(t − 1)H(t − 1)] + L[(t − 2)H(t − 2)] =
(usando el teorema de corrimiento)
=
1
s
− e−s 1
s2
+ e−2s 1
s2
=
s − e−s − e−2s
s2
, s > 0
Nota 2. Una funci´on f(t) puedo activarse en t = a si se multiplica por H(t − a)