Tema 4: Transformada de Laplace

1. 1
Tema 4: Transformada de Laplace.
Profa. Nathaly Guanda

2. 2
F(s)=∫
α
β
K (s ,t)f (t)dt ,
Una de las herramientas útiles para resolver ecuaciones
diferenciales lineales son las transformadas integrales.
Una transformada integral es una relación de la forma:
(1)
donde una función dada f se transforma en otra función F por medio de
una integral. Entonces decimos que F es la transformada de f y la función
K se llama kernel de la transformación.
La idea de aplicar (1) a un problema, es transformar un problema para f
en un problema más sencillo para F, resolver dicho problema más simple y
luego recuperar la función deseada f a partir de su transformada F.
Transformada de Laplace:
Kernel: , α = 0, β = ∞. Entonces:
e
−st
L{f (t)}(s)=F(s)=∫
0
∞
e−st
f (t)dt , (2)

3. 3
Teorema 1: Si f es una función continua a trozos para t≥0 y
además , para todo t≥T donde constante,
M>0 y T>0 son constantes, entonces
existe para s > c .
|f (t)|≤M e
c t
c∈ℝ
L{f (t)}(s)=F(s)
Nota: Una función f que cumpla las hipótesis del teorema anterior se
llama “función de orden exponencial”.
M e
ct
f
t
T
M
Función continua a trozos: Es una función que es continua
excepto en una cantidad finita de puntos en su dominio.

4. 4
Demostración Teorema 1: Dado T>0 tal que f es continua
en [0,T],
L{f (t)}(s)=∫
0
∞
e−s t
f (t)dt=∫
0
T
e−st
f (t)dt +∫
T
∞
e−s t
f (t)dt
(a) (b)
La integral (a) existe por la continuidad de en [0,T]. En cuanto a (b)
tenemos
e
−st
f (t)
|∫
T
∞
e−s t
f (t)dt|=|lim
b→∞
∫
T
b
e−st
f (t)dt|≤lim
b→∞
∫
T
b
|e−st
f (t)|dt
lim
b→∞
∫
T
b
e−st
M ect
dt=lim
b→∞
M∫
T
b
e−(s−c)t
dt≤lim
b→∞
M ((
1
c−s
)e−(s−c)t
)
t=T
t=b
≤
lim
b→∞
M(
e
−(s−c)b
c−s
−
e
−(s−c)T
c−s
)=(
M
s−c
)e−(s−c)T
=
siempre que s > c.
De donde la integral impropia (b) converge para s > c.

5. 5
Ejemplo: Calcular L{f(t)} a f(t)=1, t≥0.
L{1}(s)=∫
0
∞
e−st
1dt=lim
b→∞
∫
0
b
e−st
dt lim
b→∞
(
−e−st
s
)
t=0
t=b
=lim
b→∞
(
−1
s
)(e
−sb
−1)=
1
s
,
=
S > 0.
Por lo tanto, con s > 0
L{1}(s)=
1
s
Linealidad de la transformada de Laplace:
Sean f y g dos funciones tales que L{f(t)} y L{g(t)} existen para s > c1
y s > c2
respectivamente. Sean α y β constantes, entonces
L{α f (t)+β g(t)}(s)=α L{f (t)}(s)+β L{g(t)}(s)
para s > max{c1
,c2
}.
Transformada de Laplace de f’:
Sean f continua y f’ continua a trozos en algún intervalo 0 ≤ t ≤ b.
Supongamos que f es de orden exponencial entonces
L{f '(t)}(s)=s L{f (t)}(s)−f (0) para s > c

6. 6
L{f ' '(t)}(s)=sL{f '(t)}(s)−f '(0)=s[sL{f (t)}(s)−f (0)]−f '(0) =
= s
2
L{f (t)}(s)−sf (0)−f '(0)
Inductivamente,
L{f(n)
(t)}(s)=sn
L{f (t)}(s)−sn−1
f (0)−sn−2
f '(0)−⋯−s f(n−2)
(0)−f(n−1)
(0)
La transformada inversa de Laplace:
Si L{f(t)}(s) = F(s) entonces decimos que f(t) es una transformada
inversa de Laplace y se denota así:
L
−1
{F(s)}(t)=f (t)
Linealidad de la transformada inversa de Laplace:
Sea F(s) = L{f(t)}(s). Si F(s) = F1
(s) + F2
(s) + … + Fn
(s) entonces
L
−1
{F(s)}(t)=L
−1
{F1(s)}(t)+L
−1
{F2(s)}(t)+⋯+L
−1
{Fn(s)}(t)

7. 7
Teorema 2: (Primer teorema de traslación)
●
Si F(s) = L{f(t)}(s) existe para s > c (con c constante) y si “a”
es una constante, entonces
L{e
at
f (t)}(s)=F(s−a) para s > a + c.
●
Si , entonces
f (t)=L
−1
{F(s)}(t)
e
at
f (t)=L
−1
{F(s−a)}(t)
Aplicación de la transformada de Laplace a un PVI:
Aplicable sólo a PVI cuya ED es de coeficientes constantes.
Resolver ;
y' '−4 y '+4 y=t
3
e
2t
y(0)=0; y'(0)=0
●
Aplicamos la T.L a ambos lados de la ED
L{y' '}−4 L{y '}+4 L{y}=L{t
3
e
2t
}

8. 8
●
Aplicamos la transformada de la derivada
s
2
L{y}−sy(0)− y '(0)−4(sL{y}− y(0))+4 L{y}=L{t
3
e
2t
}
Es decir,
s
2
Y (s)−4 sY (s)+4 Y (s)=
3!
(s−2)
4
●
Agrupamos y despejamos Y(s) = L{y(t)}(s).
(s
2
−4 s+4)Y (s)=
3!
(s−2)
4
Y (s)=
6
(s−2)4
(s2
−4 s+4)
Y (s)=
6
(s−2)
4
(s−2)
2
Y (s)=
6
(s−2)
6
●
Aplicamos la transformada inversa de Laplace a ambos lados
de la igualdad

9. 9
L−1
{Y (s)}(t)=L−1
{
5!6
5!(s−2)6
}(t)
y(t)=
6
5!
L
−1
{
5!
(s−2)
5+1
}(t)
y(t)=
6
5!
t
5
e
2t
Teorema 3: (Derivada de una transformada)
L{t
n
f (t)}(s)=(−1)
n dn
d s
n [L{f (t)}(s)] Con n∊ℕ
Nota: Para n =1,
L{t f (t)}(s)=(−1)
d
ds
F(s)
L{t f (t)}(s)=−F '(s)
entonces
t f (t)=L
−1
{−F '(s)}
f (t)=
−1
t
L−1
{F '(s)}

10. 10
Ejemplo: Hallar L
−1
{ln(
s−3
s+1
)}=f (t)
Por la nota anterior
f (t)=
−1
t
L−1
{[ln(
s−3
s+1
)]'}=
−1
t
L−1
{(
s+1
s−3
)(
s−3
s+1
)'} =
= −1
t
L−1
{(
s+1
s−3
)⋅(
4
(s+1)2
)}=
−1
t
L−1
{
4
(s−3)(s+1)
} =
=
−4
t
L−1
{(
1
4(s−3)
)−(
1
4(s+1)
)}=
−4
t
[(
1
4
)e3t
−(
1
4
)e−t
] =
=
(e−t
)−(e3t
)
t
Función Escalón Unitario (Función de Heaviside):
H (t−a)=U (t−a)=U a(t) =
0
0 si t < a
1 si t ≥ a
con a ≥ 0

11. 11
Nota: La función escalón unitario es una función continua a trozos en
[0,∞).
Si g(t)=Ua
(t)f(t-a) para una función f : [0,∞) → ℝ dada entonces
g(t) =
0 si t < a
f(t-a) si t≥a
Teorema 4: (Segundo teorema de traslación):
●
Si F(s) = L{f(t)}(s) existe para s > c (con c constante) y si “a” es una
constante positiva, entonces
L{Ua(t)f (t−a)}(s)=e
−a s
L{f (t)}(s)=e
−as
F(s) con s > c

12. 12
●
Si , entonces
f (t)=L
−1
{F(s)}(t)
Ua(t)=f (t−a)=L
−1
{e
−as
F(s)}
Corolario:
L{Ua(t)}(s)=e
−a s
L{1}(s)=
e
−a s
s
Definición: (Producto Convolutivo)
Sean f y g funciones continuas a trozos para t ≥ 0, el producto
convolutivo entre f y g se define por
(f∗g)(t)=∫
0
t
f (τ )g(t−τ )dτ
Teorema 5: (Transformada del Producto Convolutivo)
●
Si f y g son funciones de orden exponencial entonces
L{(f∗g)(t)}(s)=L{f (t)}(s)⋅L{g(t)}(s)=F(s)⋅G(s)

13. 13
●
L
−1
{F(s)⋅G(s)}(t)=(f∗g)(t)
Definición: Una función f se dice que es periódica de período T
(T > 0) si para todo t se cumple
f(t + T) = f(t).
Teorema 6: (Transformada de una función periódica)
L{f (t)}(s)=(
1
1−e−sT
)∫
0
T
e−st
f (t)dt
Transformada de una integral:
Si f es continua a trozos y de orden exponencial, entonces
L{∫
a
t
f (τ )dτ }(s)=(
F(s)
s
)+(
1
s
)∫
a
0
f (τ )dτ
donde F(s) = L{f(t)}(s).

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Bibliografía:
●
Zill, D. G. A First course in differential equations with
applications. Editorial Aaa.
●
Brown, M. A brief course in ordinary differential equations with
applications. Editorial Aaa.
●
Polking, Boggess and Arnold. Differential equations with
boundary value problems. University of California, Los Angeles
Edition.
●
Espinosa H. Ernesto J, Canals N. Ignacio, Muñoz M. Ismael,
Pérez F. Rafael, Prado P. Carlos D, Santiago Rubén D, Ulín J.
Carlos A. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Introducción.
Editorial Reverté UAM, 2010.