Este documento trata sobre las relaciones y funciones. Explica conceptos como el producto cartesiano, reglas de correspondencia, dominio, codominio y tipos de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También introduce gráficos de funciones y propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas.

2. RELACIONES
En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos
cuenta) con la noción de correspondencia Por ejemplo,
a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a
cada libro le corresponde un número de páginas, a cada
objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le
corresponde un área, etc.

3. Asocie cada una de las
imágenes de la derecha
con los de la izquierda
según su relación.
A B

4. Son todos los pares ordenados que pueden
formarse tomando el primer elemento del
primer conjunto, y el segundo elemento del
segundo conjunto.
Producto Cartesiano

5. A B
REGLA DE
CORRESPONDENCIA
x

6. Dados los
conjuntos:
A = {5, 7, 9}
B = {4, 5, 6, 7}
Encuentre el Producto
Cartesiano (A x B)
Determine y Grafique Las
Relaciones que
Cumplen con la siguiente Regla
de Correspondencia
A + B > 12
A * B > 15
A + B > 8 y < 14

7. Solución
5.
7.
9.
.4
.5
.6
.7
5.
7.
9.
.4
.5
.6
.7
5.
7.
9.
.4
.5
.6
.7
A + B > 12
A + B > 15
A + B > 8 y < 14

8. Funciones
Relación dada
mediante una regla
de correspondencia
pero que cumple con
dos condiciones
fundamentales.
Cualquier relación
que no cumpla dichos
requisitos no será
función será
únicamente relación.
FUNCIONES
UNICIDAD
EXISTENCIA

9. A DOMINIO
(x)
B CONTRA
DOMINIO (x)
Condición de existencia:
Todos los elementos del
dominio (X) están
relacionados con elementos
del contra dominio. (Y)
Condición de Unicidad:
Cada elemento del dominio está
relacionado con un único
elemento del contra dominio.
5.
7.
9.
.4
.5
.6
.7
A + B > 12

10. La nota de un estudiante esta en función a
su desempeño.
Mario.
Carlos.
Julio.
Pedro.
Luis.
.0
.5
.6
.7
.8
.9
.10
5.
7.
9.
.4
.5
.6
.7
A + B > 15
Si es función
No es función

11. TIPOS DE FUNCIONES
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
BIYECTIVA

12. Tipos de funciones
• Si a cada imagen le corresponde una
única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al
codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y
sobreyectiva simultáneamente, se
denomina biyectiva .

13. Se representa mediante un sistema
rectangular de coordenadas cartesianas
(plano cartesiano)
-x x
y
-y
I
cuadrante
II
cuadrante
III
cuadrante
IV
cuadrante

14. Representar gráficamente la función
F(x) = 2x
para x = -3 hasta 3
x F(x) = 2x
-3 2(-3) = -6
-2 2(-2) = -4
-1 2(-1) = -2
0 2(-0) = 0
1 2(1) = 2
2 2(2) = 4
3 2(3) = 6 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(y) = 2x

15. Es el cumpleaños de Carlos y ha decidido que de cada Quetzal
que reciba de regalo de sus familiares, donará 30 centavos a
una fundación para la conservación del medio ambiente.
suponiendo que le regalen 8, 10, 15, 22 y 25 Quetzales
Encontrar la función y determinar los valores para y, Graficar
en el plano cartesiano. Encuentre el punto pendiente.
x F(x) = 0.30x
8 0.3 (8) = 2.40
10 0.3 (10) = 3.00
15 0.3 (15) = 4.5
22 0.3 (22) = 6.60
25 0.3 (25) = 7.50 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15 20 25 30
cantidad
a
donar
Dinero Recibido
f(x) = 0.3x
Series1

16. Función cuadrática, observa el gráfico,
tenemos un punto mínimo cuando a > 0
y es punto máximo, cuando a < 0,
llamado vértice de la parábola
donde: x = -b/2a y = 4ac-b²/4a
y = - x2 + 2x + 3 y = x2 - 2x + 3
Pto. max.
Pto. Min.

17. Dominio, Codominio, y Recorrido de una Función
El conjunto de partida (A), corresponde el dominio de
la función, el conjunto de llegada (B), corresponde al
codominio, mientras que los elementos de (B) que son
imágenes de (A), determinan el recorrido de f(x).
A f(x) B
Codominio
Dominio Recorrido

18. Ejemplos:
1.- Sea f(x) = x – 3
Df(x) = Números reales Cf(x) = Números reales
2.- Sea f(x) =
x + 1 ≠ 0 Df(x) = Re - {- 1}
x ≠ - 1 Cf(x) = Re +
3.- Sea f(x) =
Analice la condición……… determine dominio y
codominio.
4.- Sea f(x) =
Analice la condición……… determine dominio y
codominio.

19. Tarea
Gracias por su atención
Grafique las siguientes funciones y determine el
dominio y codominio o recorrido:

21. Sea f(x)=
 Analizamos la expresión que esta dentro de la raíz.
1 - x² ≥ 0 resolvemos la desigualdad y obtenemos:
Df(x) = -1 ≤ x ≤ 1 S = [- 1 ; 1 ]
Sea f(x) = ; analizamos la condición o restricción
x² - 9 ≠ 0 Df(x) = Re - {- 3 ; 3}
Sea g(x)= ; analizamos la condición o restricción
Sea h(x)= ; analizamos la condición o restricción

22. Recorrido de la función
Sea f(x) = despejamos la x; analizamos la
función
y = x² + 1 = 1/y x² = 1/y – 1
Continúe ………
Sea g(x) = despejamos la x continuamos…….
 Función Inversa. Toda función f(x), tiene su f(x)¯¹
llamada función inversa igualmente definida por el
comportamiento de la variable implícita adoptada
como dependiente.

23. Sea h(x)= x² - 1
 Hallar h(x)¯¹
y = x² - 1 despejamos x
x² = y + 1
x = intercambio variables
h(x)¯¹= dominio de esta función inversa es el
recorrido de la función original

24. Función Exponencial y Logarítmica
Recordemos
n – veces
En x² base x exponente 2 Función Polinomial
En base 2 exponente x Función Exponencial
Sea f(x) = para cualquier número real a; positivo
distinto de 1, la función que a cada número real x, le asocia
el número se denomina Función Exponencial
elementos: a base
x exponente
Df(x) = Reales

25. Gráfica de la función exponencial
Si a > 1 función creciente
Si 0 < a < 1 función decreciente
Si f(x) = función exponencial
natural
e = 2,7182818……………….
f(0) = 1

26. Aplicaciones:
 La función exponencial se utiliza en problemas de
crecimiento, decrecimiento, interés compuesto
 Ejemplo: Un cultivo de bacterias contiene inicialmente
8500 bacterias y si se sabe que se duplican en 10 horas
cuantas bacterias habrá en 3 horas.
P = 8500 .
P = 10465 bacterias.

27. Logaritmos
Definición y Propiedades

28. Definición de Logaritmo
log a = c
b

29. Definición de Logaritmo
base
log a = c
b

30. Definición de Logaritmo
base
argumento
log a = c
b

31. Definición de Logaritmo
base
argumento
logaritmo
log a = c
b

32. Definición de Logaritmo
base
argumento
logaritmo
log a = c
b
 bc = a
Notación
Exponencial
Notación
Logarítmica

33. Grafico de la función logarítmica

34. Propiedades de los Logaritmos
Triviales:

35. Propiedades de los Logaritmos
 logb 1 = 0  b0 = 1
Triviales:

36. Propiedades de los Logaritmos
 logb 1 = 0  b0 = 1
Triviales:
• logb b = 1  b1 = b

37. Propiedades de los Logaritmos
 logb 1 = 0  b0 = 1
Triviales:
• logb b = 1  b1 = b
• logb bx = x
• blogx = x

38. Propiedades de los Logaritmos
Importantes:

39. Propiedades de los Logaritmos
1) logc (a.b) = logc a + logc b
Importantes:

40. Propiedades de los Logaritmos
1) logc (a.b) = logc a + logc b
2) logc (a/b) = logc a - logc b
Importantes:

41. Propiedades de los Logaritmos
1) logc (a.b) = logc a + logc b
2) logc (a/b) = logc a - logc b
3) logb an = n . logb a
Importantes:

42. No olvidar:
log ( a + b ) ≠ log a + log b
Aplica las propiedades:
Ejercicios: Escriba en forma exponencial
Escriba en forma logarítmica
Encuentre el valor de x Ec. Exponenciales
y logarítmicas