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Estructuras

Al finalizar la sesión, el estudiante identifica,
resuelve y grafica funciones cuadráticas. Modela
problemas sencillos y los resuelve.

Datos/Observaciones
¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una regla de correspondencia
de variable real y de valor real definida por:
f : R  R
x  f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales, con a  0

1. Verificar la “concavidad” (abertura).
Ejemplo: determinar las concavidades en cada caso:
2
( )
f x ax bx c
  
: 0,.... cóncava hacia arriba
: 0,.... cóncava hacia abajo
Si a
Si a


2
2
2
2
( ) 2 3 1
( ) 3 2
( ) 3
( ) 9
f x x x
f x x x
f x x
f x x
  
   
 
 
1
… 2 > 0, Cóncava hacia arriba
… -3 < 0, Cóncava hacia abajo
… -1 < 0, Cóncava hacia abajo
… 1 > 0, Cóncava hacia arriba
RAFICAR LA FUNCIÓN
CUADRÁTICA?
1

Datos/Observaciones
2. Encontrar el vértice (V) de la parábola:
Donde el vértice: V=(h; k) se obtiene:
Sea:
2
, ( )
2 4
b b
h k f h c
a a
    
2
( ) 6 5
f x x x
  
2a
-b
h =
2(1)
-6
h = h = -3

4a
k =c - b2
4(1)
62
k =5 -  k = -4
)
4
;
3
(
4
,
3
,
1
:









V
k
h
a
Donde

3. Hallamos las intersecciones (si es que lo hubiese): (x1;0),
(x2;0),
(0;f(0)) donde x1 y x2 son las soluciones de la ecuación
Del ejemplo anterior:
se lo lleva a la forma:
entonces se tiene:
Intersección con el eje “x”: y= f(x) =0
Intersección con el eje “y”: x=0
2
( ) 6 5
f x x x
  
2
( ) ( 3) 4
f x x
  
2
( ) 0 ( 3) 4
f x x
   
2
( 3) 4
x   3 2
x
   
2
(0) (0 3) 4
f
   
(0) 5
f
 
int sec :(0;5)
se er ta en

1
x  
5
x  
( 1;0)
( 5;0)
y
 


Datos/Observaciones
4. Gráfica.
Cóncava hacia arriba (1>0).
Vértice
Intersecciones con el eje x
Intersecciones con el eje “y”
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 6𝑥 + 5
[
;
4
[ 





f
Ran
f
Dom

Datos/Observaciones
Sea la función: 𝑓 𝑥 = 2𝑥2
− 12𝑥 + 15 . Indicar el mínimo
valor que toma dicha función
2
, ( )
2 4
b b
h k f h c
a a
    
3
4
12
)
2
(
2
)
12
(





h
h
h
3
18
15
8
144
15
)
2
(
4
)
12
(
15
2









k
k
k
k

Graficar la función: 𝑓 𝑥 = −2𝑥2
+ 4𝑥 + 6
2
, ( )
2 4
b b
h k f h c
a a
    

Datos/Observaciones
¿Para qué valor de “x” la función será máxima? 𝑓 𝑥 = −𝑥2
− 16
2
, ( )
2 4
b b
h k f h c
a a
    

El costo de la construcción de un edificio(en miles de soles) tiene un
comportamiento cuadrático de la forma C 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 5 , donde 𝑥
son los pisos que se han decidido edificar. Si tuviera 5 pisos su
construcción costaría 𝑆/ 75 000 . Si tuviera 6 pisos costaría 𝑆/ 107 000.
Se sabe que el edificio tiene 10 pisos. ¿Cuál es el costo de
construcción?

Datos/Observaciones
Determinar la gráfica correspondiente a: 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 3 2
− 1
EJERCICIO EXPLICATIVO 5:

Datos/Observaciones
Determinar la gráfica correspondiente a: 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 3 2
− 1
EJERCICIO EXPLICATIVO 6:

Datos/Observaciones
EJERCICIO EXPLICATIVO 7:

Función cuadrática