Análisis matemático 1 Funciones trigonométricas Funciones exponenciales Dominio y rango de una función Gráfica de funciones

1. FUNCIONES
MATEMÁTICA 1

2. Valor absoluto
Definición: Al valor absoluto del número real x, denotaremos por x y se
define por la regla:
x =
x si x ≥ 0
-x si x < 0
Propiedades:
i) a ≥ 0,  a  R
iii) a = -a
ii) a ≥ a,  a  R
iv) a.b = a.b
v)
a
b
a
b = , b ≠ 0 vi) a + b ≤ a + b

3. Valor absoluto
Propiedades para resolver ecuaciones e inecuaciones:
a) a = 0  a = 0
c) a = b  a = b  a = - b
b) a = b  b ≥ 0   a = b  a = - b
d) Si b > 0, entonces:
d1) a < b  -b < a < b d2) a ≤ b  -b ≤ a ≤ b
e) Si a, b  R, se verifica:
e1) a > b  a > b  a < -b e2) a ≥ b  a ≥ b  a ≤ -b
f2) a2 = a2f1) a = a2

4. Ejercicios
1. Resolver la ecuación: 2x + 5 = 7

5. 2. Resolver la ecuación:  x - 3 =  5 - 2x

6. 3. Hallar los valores de x que satisface la
siguiente ecuación: 3x - 1 = 5x - 15

7. 4. Resolver la siguiente inecuación:
3x - 3
< 2
x + 1

8.  x - 12 + 2  x - 1 - 3 < 0
5. Resolver la siguiente inecuación:

9. 6. La comisión mensual de un agente de ventas es el
15% de las ventas por arriba de S/.12 000. Si su
objetivo es lograr una comisión de al menos S/.3 000
por mes. ¿Cuál es el volumen (valor) mínimo de
ventas que debe alcanzar?

10. 7. El costo unitario de publicación de una revista es
de S/.0,65, se vende al distribuidor en S/.0,60 cada
una, y la cantidad que recibe por publicación es el
10% de la recibida por todas las revistas vendidas
arriba de los 10 000. Encuentre el menor número de
revistas que pueden ser publicadas sin pérdida, esto
es, que la utilidad sea mayor que cero (suponga que
toda la emisión será vendida)

11. 8. Una empresa automotriz desea saber si le
conviene fabricar sus propias correas para el
ventilador, que ha estado adquiriendo de
proveedores externos a S/.2,50 cada unidad. La
fabricación de las correas por la empresa
incrementará sus costos fijos en S/.1 500 al mes,
pero sólo le costará S/.1,70 fabricar cada correa.
¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes
para justificar la fabricación de sus propias correas?

12. 9. Un fabricante puede vender todas las unidades de
un producto a $.25,00 cada uno. El costo C (en
dólares) de producir por unidades cada semana está
dado por C = 3 000 + 20x- 0,1x2. ¿Cuántas unidades
deberá producir y vender a la semana para obtener
alguna utilidad?

13. Funciones
Una función f es una regla que asigna a cada
elemento x de un conjunto A exactamente un
elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

14. Funciones
Definición geométrica.- f es una función, si y sólo si,
cualquier recta perpendicular al eje X corta a la
gráfica de f en un solo punto.

15. Dominio y rango de una función
Sea f: A B es una función de A en B, llamaremos
dominio de f al conjunto de todas las primeras
componentes y denotaremos por Df, o sea:
Df = x  A /  y  B  (x; y)  f   A
Y llamaremos rango de la función f al conjunto de las
imágenes de los elementos de A y denotaremos Rf, es
decir:
Rf =  y  B /  x  A  (x; y)  f   B

16. 1. Identifica el dominio y rango en las siguientes gráficas
de funciones:
a) b)

17. 2. Se da la gráfica de una función h.
(a) Encuentre h(-2), h(0), h(2) y h(3).
(b) Encuentre el dominio y rango de h.
(c) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) = 3.
(d) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) ≤ 3.

18. 3. Se da la gráfica de una función g.
(a) Encuentre g(-2), g(0) y g(7).
(b) Encuentre el dominio y rango de g.
(c) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) = 4.
(d) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) > 4.

19. 4. Se dan las gráficas de las funciones f y g.
(a) ¿Cuál es mayor, f (0) o g(0)?
(b) ¿Cuál es mayor, f (-3) o g(-3)?
(c) ¿Para cuáles valores de x es f(x) = g(x)?

20. 5. Se da la gráfica de una función. Determine los
intervalos en los que la función es (a) creciente y (b)
decreciente.

21. 6. Halla el rango de la función: f(x) = x2 – 4x + 7, si
x  2; 3

22. 7. Halla el dominio y rango de la función:
f(x) = 2 + x – x2

23. Funciones especiales
a) Función constante.- Una función f, es constante, si
su regla de correspondencia es:
f(x) = c, donde c es una constante.
El dominio de una función constante es el conjunto de
los números reales R y rango de la función (Rf)
constante es el conjunto unitario, cuyo elemento es c.
Df = R
Rf = c
c
x
y
f(x) = c
0

24. b) Función identidad.- Una función f, es identidad, si
su regla de correspondencia es:
f(x) = x
También se define como:
f(x, y) = (x, y)  R  R / y = x, donde:
Df = R
Rf = R
x
y f(x) = x
0

25. c) Función lineal.- Una función f, es lineal, si su regla
de correspondencia es:
f(x) = ax + b, donde “a” y “b” son constantes y a ≠ 0.
También se define como:
f(x, y) = (x, y)  R  R / y = ax + b , donde:
Df = R
Rf = R
x
y
f(x) = ax + b
0
b
f(x) = mx + b

26. d) Función raíz cuadrada.- Su regla de
correspondencia es:
f(x) = x
También se define como:
f(x, y) = (x, y)  R  R / y = x , donde:
Df = R+
Rf = 0, +
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5
Función raíz cuadrada
y
x

27. e) Función signo.- Una función f, se denomina función
signo, si su regla de correspondencia es:
Donde:
Df = R
Rf = -1; 0; 1
x
y
0
1
-1
f(x) = sig(x) =
x
x
, x ≠ 0
0, x = 0
También se puede expresar como:
f(x) = (x, y)  RR / y = sig(x)

28. f) Función máximo entero o entero mayor.- Una
función f, se denomina función máximo entero, si su
regla de correspondencia es:
Donde:
Df = R
Rf = Z
f(x) = x, donde x = n  n  x < n + 1, nZ
También se puede expresar como:
f(x) = (x, y)  RR / y = x
x
y
0
1
-1
-2
1
2
2 3-1-2

29. g) Función valor absoluto.- Una función f, se
denomina función valor absoluto, si su regla de
correspondencia es:
Donde:
Df = R
Rf = 0, +
f(x) = x, donde x =
También se puede expresar como:
f(x) = (x, y)  RR / y = x
x; x ≥ 0
-x; x < 0
x
y
0 1 2-1-2

30. 1. Graficar: f(x) = 2x - 2

31. 2. Graficar: f(x) = x + x

32. h) Función cuadrática.- Una función f, es cuadrática, si su
regla de correspondencia es:
f(x) = ax2 + bx + c, donde “a”, “b”, “c”  R y a ≠ 0.
También se define como:
f(x, y) = (x, y) RR / y = ax2 + bx + c,
a, b, c R  a ≠ 0.
Donde:
Df = R
Rf = depende de
cada función
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Gráfico de la función y = x2 - 4x - 3
Del gráfico:
Df = R
Rf = -7; +

33. EJERCICIOS
1. Halla el dominio y rango de la función y esboce un
gráfico:
f(x) = 3x2 + 6x - 11

34. 2. Halla el dominio y rango de la función y esboce un
gráfico:
f(x) = 2 + x - x2

35. 3. Halla el dominio de la función:
f(x) = x2 – 4x + 3

36. 4. Halla el dominio de la función:
f(x) = 1 - x

37. 5. Halla el rango de la función:
f(x) = x2 – 4x + 7, si x2; 3

38. 6. Determina el dominio y construya la gráfica de la
función:
f(x) =
2x + 1
4x - 1

39. 6. Determina el dominio de la función:
f(x) = 4 – x2
x

40. 7. Determina el dominio de la función:
f(x) = x 2 – 5x + 6
x - 1

41. 8. Determina el dominio de la función:
f(x) =  x2 + 3x
2x2 – x - 1

42. 9. Determina el dominio de la función:
f(x) =  - x4 + 17x2 - 16
(x2 – 4).(x2 – 9)

43. i) Función inversa.- Una función f tiene inversa,
solamente cuando es inyectiva (correspondencia de
uno a uno), se representa por f-1 o f *.
Donde:
Df * = Rf
Rf * = Df
f-1(x) = (f(x), x) / xDf 
Las gráficas de f y f * son
simétricas respecto de
la recta y = x.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Una función lineal y = 2x + 3 y su inversa
f(x) = 2x + 3 f*(x) = 0,5(x - 3) y = f(x) = x

44. 1. Dada la función: f(x) = 2x - 5. Graficar: a) f(x) y
b) f-1(x)

45. 2. Dada la función: f(x) = 0,5x + 2. Graficar: a) f(x)
y b) f-1(x)

46. Funciones trigonométricas (F.T.)
F.T = (x; y)RR / y = RT(x)
Se denomina función trigonométrica al conjunto de
pares ordenados (x; y), tal que la primera
componente “x” es la medida de un ángulo
trigonométrico en radianes (número real) y a segunda
componente “y” es el valor de la razón
trigonométrica de x.

47. Función seno
f(x) = (x; y)RR / y = sen(x), x  R
O simplemente:
y = f(x) = sen x, xR
Dsen x = R
Rsen x = -1; 1

48. f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x  R
O simplemente:
y = f(x) = cos x, xR
Dcos x = R
Rcos x = -1; 1
Función coseno

49. f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ
O simplemente:
y = f(x) = tan x
Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ
Rtan x = R
Función tangente

50. Método práctico para el trazado de gráficas
y = f(x) + k
1. Desplazamiento vertical
La gráfica se desplaza hacia arriba
si k > 0
La gráfica se desplaza hacia abajo
si k < 0
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x) + 3
b) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x) + 2
c) Si f(x) = cos x, graficar y = f(x) - 3

51. y = f(x - k)
2. Desplazamiento horizontal
La gráfica se desplaza
hacia la derecha si k > 0
La gráfica se desplaza
hacia la izquierda si k < 0
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x - 2)
b) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x + 3)
c) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x - /4)
d) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x + /2)

52. y = - f(x)
3. Reflejo vertical
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = -sen x
b) Graficar: f(x) = x2 – 2x, y y = -f(x)

53. y = f(-x)
4. Reflejo horizontal
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = (2/3)x - 3, y y = f(-x)
b) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = sen (- x)
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Gráfica de sen x y sen (-x)
sen x sen (-x)

54. y = af(x)
Si 0 < a < 1 la gráfica se
comprime “a” veces.
Si a > 1 la gráfica se
dilata “a” veces.
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = (0,5)sen x
b) Graficar: f(x) = 2.sen x
5. Dilatación o compresión vertical

55. y = f(ax)
Si 0 < a < 1 la gráfica se
dilata con el factor 1/a.
Si a > 1 la gráfica se
comprime con el factor 1/a.
6. Dilatación o compresión horizontal
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(2x)
b) Si f(x) = cos x, graficar y = f(0,5x)

56. y = f(x) = A F.T. (Bx + C) + D
Periodo de las funciones compuestas
de la forma:
Caso 1:
f(x) = A sen (Bx + C) + D, ó
f(x) = A cos (Bx + C) + D
Periodo: B
2
T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = 1 – 3.sen (2x + /4)
b) f(x) = 2 + 5.cos (/6 - 3x)

57. Caso 2:
f(x) = A sec (Bx + C) + D, ó
f(x) = A csc (Bx + C) + D
Periodo: B
2
T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = sec (/3 - x)
b) f(x) = 6 + 2.cos (2x/3 - /2)

58. Caso 3:
f(x) = A tan (Bx + C) + D, ó
f(x) = A cot (Bx + C) + D
Periodo: B

T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = 1 - tan (/8 - 2x)
b) f(x) = 3.cot (3x/4 - /3)

59. Líneas
trigonométricas
E(1; tg )
Q(ctg ; 1)
P(cos ; sen )

60. Líneas
trigonométricas
C(sec ; 0)
D(0; csc )

61. Resumen de las características de las funciones trigonométricas

62. Ejercicios
1. Determine el dominio de la función:
h(x) = cot x + sen x

63. 2. Calcule el dominio de la función:
f(x) = cos x
sen x + 7

64. 3. Calcule el dominio de:
f(x) =
sen x - 2
sen x

65. 4. Si el rango de la función:
f(x) = a.cos x + b; Rf -1; 3
Calcule el valor de la expresión
M = 2a - b

66. 5. Determine el dominio de la función:
F = (x; y) / y = 2sen x – 1 + sen x;
0  x  2

67. 6. Calcula el rango de la función:
f(x) = (1 + sen x) (3 + sen x)

68. 7. Calcula el rango de la función f, cuya regla de
correspondencia es:
f(x) = 4sen2 x + 4sen x

69. 8. Calcular el máxima valor de: sen  + cos 
9. Calcular el máxima valor de: R = 2sen  - 3cos 

70. 10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

71. 11. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

72. 12. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

73. 14. De la figura mostrada, determina el área (en u2) de la
región sombreada.

74. 13. La función: y = f(x) = - 4.cos (2x + /3) - 3;
es igual a -1 cuando x es igual a:
a) /6 b) /4 c) 2/3 d)  e) 2

75. 1. Calcula el rango de la función f, si:
f(x) = cos2 x + 2cos x;  x 0; /2
2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4
Trabajo grupal

76. 2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
0 22.5 45 67.5 90 112.5 135 157.5 180 202.5 225
Gráfico de la función: y = 1 + 0,5.sen (2x - /4)
x (°) x (rad) y
22,5 0,39 1,00
45 0,79 1,35
67,5 1,18 1,50
90 1,57 1,35
112,5 1,96 1,00
135 2,36 0,65
157,5 2,75 0,50
180 3,14 0,65
202,5 3,53 1,00

77. 2. Graficar: f(x) = 2 + sen (2x - /4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 22.5 45 67.5 90 112.5 135 157.5 180 202.5 225
y = 2 + sen (2x - /4) = 2 + sen (2x - 45°)
x (°) x (rad) y
22,5 0,39 2,00
45 0,79 2,71
67,5 1,18 3,00
90 1,57 2,71
112,5 1,96 2,00
135 2,36 1,29
157,5 2,75 1,00
180 3,14 1,29
202,5 3,53 2,00

78. Función exponencial
f(x) = ax, a > 0  a ≠ 1
Una función exponencial, es una función de la forma
f(x) = ax, donde a es un número real positivo distinto
de 1.
Para toda función exponencial, de la forma y = ax o
f(x) = ax, donde a > 0  a ≠ 1.
El dominio de la función es el conjunto de los
números reales.
El rango de la función exponencial es 0; +
La gráfica pasa por los puntos (-1; 1/a), (0; 1) y (1; a)

79. 1. Grafique la función exponencial y = f(x) = 2x,
determine el dominio y rango de la función.

80. 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x

81. 2. Grafique la función exponencial y = f(x) = ( )x,
determine el dominio y rango de la función.
2
1

82. 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x

83. Gráfica de las funciones exponenciales

85. 3. Una suma de $.1 000 se invierte a una tasa de
interés de 12% al año. Encuentre las cantidades en la
cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza
anual, semestral, trimestral, mensualmente y a
diario.

86. 4. Si se invierten $.10 000 a una tasa de interés
del 3% al año, capitalizada semestralmente,
encuentre el valor de la inversión después de 10
años.

87. 5. Si se invierten $.2 500 a una tasa de interés del
2,5% por año, capitalizado a diario, encuentre el valor
de la inversión después de 2 años.

89. Logaritmos
La función logarítmica está definida, como:
Propiedades:
logbN = x  N = bx, N > 0, b > 0  b ≠ 1
i) logb1 = 0 ii) logbb = 1
iii) logbAn = n.logbA iv) logbA = logbA
vi) logb( ) = logbN - logbM
v) logb(N.M) = logbN + logbM
n
n
1
M
N
vii) logbN =
logab
logaN
Cambio de base

90. Cambio de logaritmo natural de un
número cualquiera al logaritmo vulgar
viii) ln(N) =
log e
log N
Halla ln(100) =

91. -3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
1. Grafique y determina el dominio y rango de la
función f(x) = log2x

92. Comparando gráficas de funciones exponenciales y
logarítmicas.
De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos
reescribir esta función como y = loga x, que es una ecuación
donde y está despejada. Por consiguiente, y = ax y y = loga x
son funciones inversas, y podemos escribir: si f(x) = ax,
entonces f -1(x) = loga x.

93. 2. Calcular: log5 (5)3 + log7(7)2 =2

94. 3. Calcula el valor de x en: log2(x) + log2(4) = 4

95. 4. Resuelva: log(27) - log(3) + 2 + loga(a)3
2
3

96. 5. Resuelva: 2.log(x) + log(64) = log(x)3

97. 6. Resuelva: 5.log(x) - log(32) = log( )2
x

98. OPERACIONES CON FUNCIONES
Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones
dadas, mediante la adición, sustracción, multiplicación y
división de sus valores. Las nuevas funciones se conocen
como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones
originales.
Igualdad de funciones:
Las funciones f y g son iguales si y sólo si:
i) Df = Dg
ii) f(x) = g(x)  x Df = Dg
Las funciones f(x) = x3 – 1, g(x) = x3 – 1; son iguales, porque
Df = Dg = R

99. OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas las funciones f y g, tenemos:
i) La suma, denotada por f + g, es la función definida por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
ii) La diferencia, denotada por f - g, es la función definida por:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
iii) El producto, denotada por f . g, es la función definida por:
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
iv) El cociente, denotada por f / g, es la función definida por:
(f / g)(x) = f(x) / g(x); g(x)  0
En cada caso, el dominio de la función resultante consta de
aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, pero para
el caso iv) g(x)  0

100. Aplicaciones:
1. Dadas las funciones:
f = (-2; 3), (0; 3), (4; 0), (5; -3), (6; 3) y
g = (0; -2), (-2; 5), (3; 2), (5; 0), (8; -2).
Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

101. 2. Dadas las funciones:
f = (2; 1), (-2; 3), (1; 5), (-3; 4), (7; 8) y
g = (3; -2), (7; 2), (-3; 1), (2; 4).
Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

102. Determine el dominio de la función resultante:
a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g; e) g / f; en:
3. f(x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 2
4. f(x) = x ; g(x) = x2 + 1

103. 5. Calcular (f + g)(x) si:
f(x) =
g(x) =
2x + 1, si x ≥ 1
x2 - 2, si x < 0
2x3, si x > 10
3x + 1, si x  8



104. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta,
denotada por f  g, está definida por
(f  g)(x) = f(g(x))
El dominio de f  g, es el conjunto de todos los números x del
dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.
a.
b.
c.
d.
n.
m.
p.
q.
r.
s.
t.
v.
A B C
f  g
fg
(f  g)(a) = f(g(a)) = f(m) = t
(f  g)(d) = f(g(d)) = f(p) = r
f  g = (a, t); (d, r)
E
j
e
m
p
l
o

105. PROPIEDADES DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Consideremos las funciones f, g, h y la “I” (identidad):
i) (f  g)(x)  (g  f )(x) no es conmutativa
iii) (f + g)  h = (f  h) + (g  h) distributiva
ii) (f  g)  h = f  (g  h) es asociativa
v) f  I = I  f = f, f
iv) (f . g)  h = (f  h) . (g  h)

106. 1. Sea f = (0; 1), (1; 2), (2; 3), (4; 3), (5; 2) y
g = (6; 7), (5; 4), (4; 3), (2; 4), (1; 4), (0; 7)
Halla a) f  g, b) Dfg y c) Rfg

107. 2. Sea f, g: R R tal que: f(x) = x2 + 2x + 3, g (x) = x - 5
Hallar:
(g o f)(1) + (f o g) (2).(f o g) (3) - (g o g) (2)
(f o g) (2)

108. 3. Sean: f(x) = g (x) = 2x + 1
x - 2
5 y
Obtenga (f o g)(3) de dos maneras.

109. 4. Si f y g están definidas por:
Calcule: a) (f o f) b) (g o g) c) (f o g) d) (g o f)
f (x) = x y g(x) = x2 - 1

110. 5. Sea:
Hallar:
(gog)(1) + 2.g(-1)
g(x) =
x - 1, si x < 1
-3x2 + 1, si x ≥ 1

g2(1) + (gog)(-1)

111. FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
1. La nómina de pago diario de una cuadrilla es directamente
proporcional al número de trabajadores, y una cuadrilla de 12 tiene
una nómina de $.810. a) Encuentre un modelo matemático que exprese
la nómina de pago diario como una función del número de
trabajadores. b) ¿Cuál es la nómina de pago diario para una cuadrilla
de 15 trabajadores?

112. 2. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240 m de cerca. a)
Encuentre un modelo matemático que exprese el área del terreno como
una función de su longitud. b) ¿Cuál es el dominio de la función? c)
¿Cuáles son las dimensiones del campo rectangular de mayor área que
pueda cercarse con 240 m?

113. 3. Realice el ejercicio anterior (2) considerando ahora que un lado del
terreno está sobre la orilla de un río, por lo que tiene un límite natural,
y el material para cercar se empleará en los otros tres lados.

114. Trabajo grupal
1. Graficar la función: f (x) = (1/3)x
2. Si se invierten $.2 000 a una tasa de interés del 3,5% al año,
capitalizado continuamente, encuentre el valor de la inversión
después de 4 años.
4. Sean: f(x) = g (x) = 2x - 3
x + 3
5 y
Obtenga (f o g)(2) de dos maneras.
3. Calcular (f . g)(x) si:
f(x) = g(x) =2x + 1, si x ≥ 1
x2 - 2, si x < 0 2x3, si x > 10
3x – 1, si x  8
 