MAT1930_Geometria_I.pdf

MAT1930 — Geometría I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Diapositivas de Geometría

Aspectos Generales
Sección Profesor Horario Horario Sala (*) Sala (*)
cátedra ayudantía cátedra ayudantía
1 Luis Dissett L, W : 1 W. V : 3 C – 403 C – 402

Descripción
Este curso es de carácter teórico y está orientado a desarrollar las competencias
disciplinares en el ámbito de la Geometría Euclidiana sobre la cual se construye la
geometría a nivel escolar.
El estudiante logrará sistematizar las relaciones entre los diferentes conceptos,
axiomas y teoremas de esta rama de las matemáticas y desarrollar las
capacidades de justificar afirmaciones en el contexto de la geometría.
Durante el curso los estudiantes podrán aplicar los conocimientos geométricos
para resolver problemas y construir procesos de argumentación fundamentados
en métodos de razonamiento deductivo e inductivo.

Objetivos
Al finalizar el curso, el alumno será capaz de:
1. Comprender la importancia del método axiomático para la construcción del
conocimiento geométrico y matemático.
2. Utilizar el razonamiento inductivo y deductivo para la resolución de problemas
geométricos.
3. Caracterizar las figuras 2D y 3D en función de sus elementos y sus
propiedades.
4. Utilizar estrategias para el cálculo de perímetro, área y volumen de figuras 2D
y 3D.
5. Analizar las semejanzas en figuras planas, a partir de la aplicación del
concepto de proporcionalidad.

Relación de este curso con el Perfil de Egreso
Este curso se articula con el Perfil de Egreso de la carrera de Pedagogía Básica,
contribuyendo esencialmente al desarollo de las siguientes dos competencias
profesionales (referidas al egresado de la carrera):
1. Comprende los modos de conocer y su relación con la estructura y
habilidades de cada disciplina para lograr aprendizajes significativos en los
estudiantes de educación básica.
2. Domina conocimientos disciplinarios en lenguaje, matemática, ciencias
sociales y ciencias naturales para generar aprendizajes de calidad en los
estudiantes de educación básica.

Énfasis del curso
El énfasis central del curso está en los contenidos disciplinares, no en la parte
pedagógica que —necesariamente— debe complementar dichos contenidos en la
formción integral del futuro profesor.
Así, aunque ocasionalmente se mencionarán aspectos pedagógicos relacionados
con los contenidos tratados en el curso, el objetivo central de este no es el de
proporcionar orientaciones pedagógicas para la futura enseñanza.
Sin embargo, vale la pena hacer notar que los contenidos del curso cubren el
100% de aquellos presentes en el eje de Geometría del actual Currículum Escolar
Chileno de Educación Básica, y cubren el 80% de los “Estándares Orientadores
para la Formación Inicial de Profesores de Educación Básica” de la parte
disciplinar del eje de Geometría.

Contenidos
Durante el curso, estudiaremos los siguientes contenidos:
1. Razonamiento en Geometría y Matemáticas: Razonamiento inductivo y
deductivo. Tipos de demostraciones. Conceptos primitivos y axiomas.
Definiciones y teoremas.
2. Elementos básicos de Geometría euclidiana: Conceptos geométricos
primitivos. Axiomas y teoremas básicos sobre puntos, rectas y planos.
Medida de trazos y ángulos. Ángulos complementarios y suplementarios.
Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Figuras geométricas y
construcciones básicas.
3. Congruencia de triángulos: Definición de congruencia. Criterios de
congruencia y aplicaciones. Figuras geométricas y algunas construcciones:
simetrales, bisectrices, perpendiculares. Desigualdades en el triángulo.

Contenidos (cont.)
4. Rectas paralelas: Definición. El postulado de las paralelas. Teoremas sobre
rectas paralelas. Medidas de los ángulos interiores y exteriores de un
triángulo. El criterio de congruencia LAA. El criterio de congruencia de la
hipotenusa y el cateto.
5. Cuadriláteros y paralelogramos: Definiciones y propiedades básicas de los
cuadriláteros. Propiedades de los paralelogramos. El teorema de la mediana.
Rectángulos, rombos y cuadrados. Trapecios. Las medidas de los ángulos
interiores y exteriores de un polígono. Concurrencia en triángulos.
6. Proporcionalidad y semejanza: Razones y proporciones. Variación
proporcional directa e inversa. Definición de semejanza. Criterios de
semejanza y aplicaciones. El teorema de Tales.
7. Circunferencia y círculo: Definición. Medida de arcos. Cuerdas y
tangentes. Medidas de ángulos inscritos y ángulos formados por cuerdas.
Ángulos y segmentos formados por secantes.

Contenidos (cont.)
8. Perímetro y área de figuras planas: Perímetro de polígonos. Concepto de
área. Área del cuadrado y del rectángulo. Área de triángulos. Área de
paralelogramos y trapecios. Área de polígonos regulares. Perímetro y área
de circunferencia.
9. Sólidos: Pirámides y prismas. Los poliedros regulares. Área lateral de
prismas y pirámides. Volumen de un cuerpo. Postulados de volumen.
Pirámides. Volumen y área de la esfera.

Bibliografía Mínima
El siguiente libro será utilizado como texto guía en el curso:
Proyecto FONDEF D09I-1023.
Geometría para futuros profesores de Enseñanza Básica.
Ediciones SM Chile, Santiago de Chile, 2014.
El sistema de bibliotecas cuenta con al menos 20 copias de este libro.

Bibliografía Complementaria
Stanley R. Clemens.
Geometría.
Addison Wesley Longman, México, 1998.
Moise, Edwin E.; Downs, Floyd L.
Geometría
Fondo Educativo Interamericano, 1972.
Beckman, Sybilla.
Mathematics for Elementary Teachers
Pearson-Addison-Wesley, 2010.
Sowder, Judith; Sowder, Larry; Nickerson, Susan.
Reconceptualizing Matehmatics for Elementary School Teachers
W. H. Freeman and Company
Hall, H. S.; Stevens, F. H.
A school geometry
The MacMillan Company of Canada, Toronto, 1919

Evaluación
◮ Durante el semestre se entregarán tareas, que serán resueltas por
estudiantes solos o por parejas de estudiantes.
◮ La nota de tareas T de cada estudiante es el promedio de las notas
obtenidas en los ejercicios de tarea.
◮ Se tomarán cuatro interrogaciones en las fechas y horas que se indican:
I1 : lunes 3 de abril, de 18:30 a 20:30 hrs.
I2 : miércoles 3 de mayo, de 18:30 a 20:30 hrs.
I3 : miércoles 7 de junio, de 18:30 a 20:30 hrs.
I4 : jueves 29 de junio, de 15:30 a 17:50 hrs.

Evaluación (cont.)
◮ Habrá cuatro controles, en las fechas que se indican:
C1 : viernes 24 de marzo
C2 : viernes 21 de abril
C3 : viernes 26 de mayo
C4 : viernes 16 de junio
Todos los controles serán en la hora y sala de la ayudantía.
Los alumnos que justificadamente falten a un control reemplazarán la nota
de éste por la nota de una pregunta de la siguiente interrogación (que será
determinada por el profesor).
En la ayudantía siguiente a cada control, se realizará un taller formativo
basado en este, que se dedicará esencialmente a aclarar dudas sobre su
solución, de manera de servir de retroalimentación respecto a los
aprendizajes evaluados en dicho control.

Evaluación (cont.)
◮ La nota final de cada alumno será calculada de acuerdo a la siguiente
fórmula:
NF =
C + 2 · T + 3(I1 + I2 + I3 + I4)
15
.

Inasistencias a interrogaciones
Aquellos alumnos que, en forma debidamente justificada ante su escuela,
hubieren faltado a una interrogación, podrán reemplazar la nota de esta
interrogación por la nota de una evaluación recuperativa, que será tomada el día
lunes 3 de julio a las 10:00 hrs.

Página Web
El presente documento, así como otra información del curso, está disponible en la
página web. Para acceder a dicha página, ingrese a http://labmat.puc.cl,
haga clic en “MAT 1930 Geometría I”, y vaya a “Material Docente/Otros
Documentos”.
En dicho sitio web también estará disponible (Material Docente/Otros
Documentos) una rúbrica, que será utilizada para corregir los ejercicios
consistentes en demostraciones en este curso.

Reglamento del curso
1. Todas las evaluaciones presenciales de este curso (interrogaciones, examen)
deben ser respondidas por los estudiantes usando lápiz a pasta, y sin
usar corrector líquido. Si comete un error y desea borrar parte de lo
escrito, tárjelo y siga más abajo. No se aceptarán evaluaciones escritas
con lápiz mina, o que hayan sido borradas.
2. Se recuerda que
el artículo 39 del reglamento del alumno de pregrado establece (en parte) que:
“. . . Todo acto contrario a la honestidad académica realizado
durante el desarrollo, presentación o entrega de una actividad
académica sujeta a evaluación, será sancionado con la suspensión
inmediata de la actividad y con la aplicación de la nota mínima. La
nota mínima (1.0) podrá ser aplicada por el profesor como nota final
al ramo que corresponda, cuando la gravedad de la infracción así lo
amerite.. . . . ”

Reglamento del curso (cont.)
3. Durante la toma de una interrogación o el examen, el(la) alumno(a) sólo debe
tener a mano aquellos implementos que necesita para responder dicha
prueba (lápiz a pasta, regla, formularios permitidos, etc.) y su credencial
universitaria. Todo otro objeto (bolsos, teléfonos celulares, cuadernos, libros,
calculadoras, computadores, etc.) debe estar lejos del alumno. No se
permitirá el uso de calculadoras o celulares durante las evaluaciones.
Aquel alumno que sea sorprendido con una calculadora o celular será
sancionado inmediatamente con la nota mínima en la evaluación, sin
perjuicio de que se apliquen sanciones adicionales.
4. Las evaluaciones (tareas, controles e interrogaciones) ya corregidas serán
entregadas en la clase de cátedra correspondiente, dentro del plazo fijado
por el Departamento de Matemática.

Reglamento del curso (cont.)
5. Las solicitudes de recorrección (también conocidas como “reclamos”) las
aceptará por escrito el profesor del curso, hasta una semana después de la
fecha en que la evaluación respectiva haya sido entregada.
Al solicitar recorrección de su trabajo, tenga en cuenta que:
5.1 Su puntaje puede subir o bajar, pudiéndose incluso recorregir (subiendo o
bajando la nota) aquellas preguntas que usted no solicitó recorregir.
5.2 Reclamos sobre la cantidad de puntaje asignado a una parte de la solución
(“me parece que el plantear la ecuación debería tener 2.5 puntos, no 1.5”) no
serán tomados en cuenta.

¿Qué estaba escrito a la entrada de la Academia?
Al menos de acuerdo a la leyenda ...
µηδεὶς αγεωµέτρητoς εὶσίτω
(Medeis ageometretos eisito . . . )
O sea:
No entre aquí el que no sepa Geometría . . .
O mejor:
No entre aquí el que no sea capaz de aprender Geometría.

¿Pero qué significa saber (o aprender) Geometría?
¿Sabemos Geometría?
Veamos . . .

Complete l’oración:
◮ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es . . .
◮ La cantidad de rectas que pasan por dos puntos distintos en el plano es . . .
◮ Si dos lados de un triángulo son congruentes (tienen igual medida), entonces
los ángulos opuestos a dichos lados son . . .
◮ Si dos rectas son cortadas por una transversal formando ángulos alternos
internos congruentes, entonces las rectas son . . .
◮ Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y se dimidian,
entonces el cuadrilátero es un . . .

Subamos el nivel
◮ Elija cualquiera de las frases de la lista anterior (ya completada con la
respuesta correcta).
◮ Diga por qué esa frase es verdadera.

Aquí están:
◮ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180◦.
◮ La cantidad de rectas que pasan por dos puntos distintos en el plano es
exactamente una.
◮ Si dos lados de un triángulo son congruentes (tienen igual medida), entonces
los ángulos opuestos a dichos lados son congruentes.
◮ Si dos rectas son cortadas por una transversal formando ángulos alternos
internos congruentes, entonces las rectas son paralelas.
◮ Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y se dimidian,
entonces el cuadrilátero es un rombo.

¿Cómo aprendemos la Geometría?

¿Cómo quisiéramos aprenderla?

PREVIO:
Razonamiento en Geometría

Razonamiento inductivo
Llamamos inducción al proceso que, a partir de la observación, formula principios
generales, para después tratar de aplicarlos a situaciones nuevas.
Un problema del razonamiento inductivo es que —a veces— nos lleva a
conclusiones erróneas.
Ejemplos
◮ Considérese la expresión
n2
− n + 41.
Reemplácese n por los valores 1, 2, . . . ¿Qué se observa?
¿Es verdad que para todo natural n esta expresión da como resultado un
primo?

Otro ejemplo
Sea n un natural cualquiera, elija n
puntos en una circunferencia y una
todos los pares de puntos elegidos con
cuerdas.
¿Cuál es el número máximo de
regiones en que puede quedar dividido
el interior de la circunferencia?
Observamos que, para valores
pequeños de n, es posible dividir el
interior de la circunferencia en, a lo
más, las siguientes cantidades de
regiones:
n N◦ máx. de regiones
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
¿Qué nos vemos “tentados” a concluir?
Si agregamos un punto a los 5 que ya
hemos elegido, descubriremos que
esos 6 puntos pueden determinar, a lo
más, . . . ¡31 regiones!

Una circunferencia con 6 cuerdas y máximo número de regiones
1
7
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
verificar que solo tenemos 31 regiones. ¡Nuestra conjet

Afirmaciones universales
Una afirmación del tipo:
“Para todo objeto de tipo . . . , se cumple . . . ”
es llamada una “afirmación universal”.
Para demostrar que una afirmación universal es falsa, basta exhibir un
contraejemplo.
Para demostrar que una afirmación universal es verdadera, no basta ni siquiera
con una cantidad infinita de ejemplos.
El único caso en que es posible demostrar una afirmación universal en base a
ejemplos es cuando éstos agotan todos los casos posibles.

Conjeturas
Una conjetura en Matemática es una afirmación que no se ha demostrado, pero
para la cual hay “mucha evidencia empírica”.
O sea, todos los ejemplos conocidos son consistentes con la afirmación (no se
conocen contraejemplos) pero tampoco se conoce una demostración irrefutable.
Ejemplo
La llamada Conjetura de Goldbach (formulada en 1742) afirma que todo número
par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de 2 primos (por ejemplo,
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, etc.).
No se conoce una demostración, pero se ha verificado que la propiedad es válida
para números pares hasta 1018.
Esta conjetura ha inspirado al menos una novela (“El tío Petros y la Conjetura de
Goldbach”) y una película (“Calculus of Love”).
Para más información, lea la Wikipedia en español.

Razonamiento inductivo vs. razonamiento deductivo
Hasta aquí, hemos usado el método del razonamiento inductivo para obtener
generalizaciones sobre relaciones entre los objetos de nuestro discurso.
Lamentablemente, el método inductivo no es suficiente para convencernos
absolutamente de la veracidad de nuestras generalizaciones (hemos visto
contrajemplos a generalizaciones muy tentadoras).
Para poder estar 100% seguros de que una afirmación universal respecto a
nuestros objetos de estudio es verdadera, debemos usar el razonamiento
deductivo.

Justificaciones y definiciones
La esencia del proceso de raciocinio en geometría (y de hecho en otras áreas de
la matemática) es el justificar las afirmaciones que se hacen.
Asimismo, cada vez que sea posible, los distintos conceptos que se utilizan en
dicho raciocinio son definidos en términos de otros conceptos, definidos
previamente o conocidos a priori.
Sin embargo, es imposible mantener a ultranza esta postura de justificarlo todas
las afirmaciones y definir todos los conceptos en términos de otros, ya que:
◮ o bien se produce en algún momento un ciclo en la cadena de afirmaciones o
definiciones,
◮ o bien la lista de afirmaciones o definiciones ocupada crece infinitamente.
Por lo anterior, es necesario partir de ciertos conceptos, que no son definidos en
base a otros, y de ciertas afirmaciones, que no son demostradas en base a otras.

Razonamiento deductivo
Para usar el método del razonamiento deductivo, partimos de una serie de
premisas que son aceptadas sin cuestionarlas (ya sea porque nos parecen tan
evidentes que no necesitan ser demostradas, o porque simplemente queremos
“jugar a ver qué pasa si son ciertas”).
Estas afirmaciones son llamadas postulados o axiomas.
Cualquier afirmación general que pueda probarse, usando las reglas de la lógica,
a partir de los postulados, es llamada un teorema.
A partir de ahora, aceptaremos como ciertos sólo los postulados y los teoremas
que podamos probar a partir de ellos.

Afirmaciones condicionales, hipótesis y tesis
En general, demostraremos afirmaciones del tipo “si A entonces B”, donde A y B
son afirmaciones independientes (por ejemplo, A puede ser “T es un triángulo
equilátero” y B “todas las alturas de T concurren a un punto”.
Una afirmación de este tipo es llamada una arirmación condicional, y sus dos
elementos son llamados la hipótesis y la tesis.
En nuestro caso, la hipótesis es “T es un triángulo equilátero”, y la tesis es “en el
triángulo T todas las alturas concurren”.

El “valor de verdad” de una proposición condicional
¿Cuándo es una proposición condicional verdadera?
Considérese el siguiente escenario:
◮ El papá le dice al hijo: “si pasas el ramo de Geometría, te regalo un
computador”.
La hipótesis de esta afirmación condicional es “el muchacho pasa Geometría, y la
tesis es “el papá le regala un computador”.
Note que el único caso en que podemos decir que el papá “faltó a su promesa” es
si el niño pasa el curso, y el no le hace el regalo prometido.
Así, tenemos que el único caso en que una afirmación condicional es falsa, es si
la hipótesis es verdadera y la tesis falsa.

Notación para condicionalidad y negación
Definiremos una notación para simplificar el trabajo con las proposiciones
condicionales.
Si denotamos una proposición por el símbolo P y otra por el símbolo Q, entonces:
◮ Denotaremos la proposición “Si P entonces Q” por P → Q.
◮ Denotaremos la negación de P (o sea, la proposición “No es cierto que P”)
por ∼ P.
Otra notación común para la negación es ¬P.

Proposiciones recíproca, inversa y contrarrecíproca
A partir de la proposición condicional P → Q, podemos formar tres proposiciones
relacionadas con ella. Éstas son:
Recíproca: Q → P.
Inversa: ∼ P →∼ Q.
Contrarrecíproca: ∼ Q →∼ P.
Note que la contrarrecíproca de P → Q es la inversa de su recíproca (o,
equivalentemente, la recíproca de su inversa).

Valor de verdad de las proposiciones relacionadas
Supongamos que la proposición condicional P → Q es verdadera.
¿Qué valores de verdad tienen su recíproca, inversa y contrarrecíproca?
Vemos que, bajo el supuesto de que P → Q es verdadera, su contrarrecíproca
debe necesariamente ser verdadera.
Sin embargo, las proposiciones recíproca e inversa de P → Q no necesariamente
son verdaderas.

Proposiciones “si y sólo si”
Si tanto una proposición P → Q como su recíproca Q → P son verdaderas,
decimos que P y Q son proposiciones equivalentes.
Resumiremos este hecho diciendo que “P si y sólo si Q” (en símbolos, P ↔ Q).
Quizás una expresión más familiar para este tipo de proposición es la frase
“siempre y cuando”:
“Te regalo un computador a final de semestre, siempre y cuando pases
el ramo de Geometría”.
O sea, el regalo llega si y sólo si se pasa el ramo . . .

CAPÍTULO I:
Elementos básicos de geometría

En un principio eran los conceptos primitivos y los postulados . . .
Como no podemos definir los conceptos primitivos, nos conformaremos con
manejar las nociones intuitivas de ellos que desarollamos anteriormente.
Estamos en condiciones de dar nuestro primer postulado:
Postulado 1 (Puntos y recta)
Dos puntos distintos están contenidos en exactamente una recta.
Si A y B son puntos distintos, la única recta que los contiene es denotada por
←→
AB .

Primera definición
Nuestra primera definición es:
Definición 1
Dos o más puntos se dicen colineales si existe una recta que los contiene. De
hecho, por el Postulado 1, dos puntos son siempre colineales.
Ejercicio
Demuestre que dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común.
Ayuda: Use el Postulado 1.

Más definiciones
Definición 2
Dos rectas distintas son secantes, o se intersecan si tienen exactamente un punto
en común.
Definición 3
Dos rectas se dicen paralelas si no tienen puntos en común.
Definición 4
Tres o más rectas se dicen concurrentes si existe un punto común a todas.
El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto dado es llamado un haz.

Distancia entre puntos, “entre”, segmentos y rayos
El siguiente postulado introduce la noción de distancia entre puntos:
Postulado 2 (Distancia entre puntos)
A cada par de puntos distintos le corresponde un único número positivo,
denominado “distancia entre los puntos”. La distancia entre dos puntos A y B es
denotada por AB, y satisface que dados dos puntos distintos A y B, AB = BA.
Note que al enunciar este postulado no hemos definido una unidad de medida de
distancias: no hemos dicho si la distancia entre dos puntos se mide en milímetros,
kilómetros o años luz. Solo sabemos que existe una medida (abstracta) de la
distancia entre puntos; para todos nuestros efectos, la distancia entre puntos es
simplemente un número.

El postulado de la recta numérica
El siguiente postulado nos permite asociar números reales a los puntos de una
recta, lo que servirá para medir las distancias entre ellos1:
Postulado 3 (De la recta numérica)
Dada una recta cualquiera, es posible establecer una correspondencia biunívoca2
entre los puntos de la recta y los números reales, de modo que la distancia entre
dos puntos cualesquiera sea el valor absoluto de la diferencia entre los números
asociados a dichos puntos.
El número asociado a cada punto de la recta es llamado su coordenada.
1
Clemens llama a este postulado “de la regla”, pero queremos reservar ese nombre para un
momento más adecuado.
2
También llamada una biyección.

El postulado de la recta numérica (cont.)
Una forma de entender este postulado es que toda recta puede ser vista como
una “recta numérica” (ver figura)
Figura 1.

Figuras geométricas
Estamos en condiciones de definir algunas figuras básicas: segmento, rayo,
circunferencia. Para las dos primeras, necesitamos previamente la noción de
“estar entre”:
Definición 5
Dados tres puntos distintos A, B y C, decimos que B está entre A y C (en
símbolos, A − B − C) si y solo si B está en
←→
AC y AB + BC = AC.
Definición 6
Dados dos puntos distintos A y B, el segmento AB es el conjunto de puntos de
←→
AB formado por A, B y los puntos de
←→
AB que están entre A y B.

Congruencia
Definición 7
Dos segmentos AB y CD se dicen congruentes (lo que anotamos AB ∼
= CD) si
AB = CD.
Entre los puntos de un segmento, destacamos su punto medio:
Definición 8
El punto medio de un segmento es aquel de sus puntos que lo divide en dos
segmentos congruentes. Así, M es el punto medio de AB si y solo si AM = BM.

Rayos. Circunferencias.
Definición 9
Dados dos puntos distintos A y B, el rayo
−→
AB es el conjunto de puntos C de
←→
AB
tales que A no está entre B y C.
El punto A es llamado el origen del rayo
−→
AB .
Definición 10
Dados un punto P y un número positivo r, llamamos la circunferencia de centro en
P y radio r (que denotaremos por C(P, r)) al conjunto de puntos del plano que
están a distancia r de P.

Postulados de la regla y del compás
Los siguientes postulados nos permiten formalizar la noción de que podemos usar
“regla y compás”:
Postulado 4 (De la regla)
Dados dos puntos distintos A y B, es posible trazar el segmento AB; además, dado
cualquier segmento, es posible prolongarlo tanto como se quiera en cualquiera de
sus dos sentidos.
Postulado 5 (Del compás)
Dados tres puntos P, Q y R (con Q 6= R), es posible trazar la circunferencia de
centro en P cuyo radio es la distancia QR (o sea, C(P, QR)).

Primeras construcciones
Construcción 1
Dado un segmento AB y un rayo
−→
CD, copiar el segmento sobre el rayo, con el
origen y un segundo punto de este como extremos.
Otra forma de ver esto es, dado un punto C en un rayo, encontrar un punto E en él
tal que CE = AB.
Solución:
◮ Con centro en C, trácese la circunferencia de radio AB.
◮ Esta circunferencia corta al rayo en exactamente un punto, este es el punto E
buscado.

Separación del plano, ángulos, perpendicularidad
Definición 11
Un conjunto de puntos se dice convexo si, dados dos puntos distintos
cualesquiera de él, el segmento que los une está completamente contenido en el
conjunto.
Ejemplo
De las dos figuras, la de la izquierda es convexa (se deja al lector el comprobarlo),
y la de la derecha no lo es.
Figura 2. Figura 3.

Para pensar
Dados dos conjuntos convexos, ¿es necesariamente convexa su unión? ¿su
intersección?
Argumente.

Rectas y semiplanos
Postulado 6 (Separación de planos)
Dada una recta l contenida en el plano, los puntos del plano que no están en l
forman dos conjuntos convexos, llamados semiplanos.
Estos semiplanos tienen la propiedad de que todo segmento con un extremo en
cada uno de ellos interseca a l.
La recta l es llamada la arista de cada semiplano.

Ángulos
Definición 12
Un ángulo es la unión de dos rayos con un origen común, cuya unión no es una
recta. El origen común de los rayos es llamado el v́ertice del ángulo, y los rayos
son los lados del ángulo. Si los rayos son
−→
AB y
−→
AC , el ángulo es denotado
indistintamente por ∠BAC o ∠CAB.

Medidas de los ángulos
Postulado 7 (Medida de ángulos)
A cada ángulo le corresponde un único número positivo, menor que 180,
denominado “medida del ángulo”.
Denotamos la medida del ángulo formado por los rayos PA y PB por m∠APB (que
es igual a m∠BPA).
Definición 13
Dos ángulos ∠ABC y ∠DEF se dicen congruentes (lo que anotamos
∠ABC ∼
= ∠DEF) si m∠ABC = m∠DEF.

El postulado del transportador
El siguiente postulado nos dice que, dada una recta y un punto cualquiera en ella,
podemos usar un “transportador” para “medir” los ángulos que se forman a un
lado de la recta, con vértice en el punto dado:
Postulado 8 (“del transportador”)
Dado un punto P cualquiera en la arista de un semiplano H, es posible establecer
una biyección (correspondencia biunívoca) entre los rayos con origen P que están
contenidos en H o en la arista de H, y los números entre 0 y 180 inclusive, de
modo que la medida de cada ángulo con vértice P formado por dos rayos no
colineales sea el valor absoluto de la diferencia entre los números asociados a
dichos rayos.

Ejercicio propuesto
Demuestre que, en la situación descrita por el postulado del transportador, los
números asignados a los rayos colineales cuya unión es la arista del semiplano
son (en algún orden) 0 y 180.

Ejercicio propuesto
Construcción 2
Dado un ángulo ∠ABC, un semiplano S con arista la recta l, y dos puntos P, Q ∈ ℓ,
encontrar un punto R ∈ S tal que m∠ABC = m∠PQR.

Solución al ejercicio
◮ Con centro en Q, dibújese la circunferencia de radio AB.
◮ Esta circunferencia corta a la recta
←→
PQ en dos puntos, de los cuales uno
(digamos, X) está en el rayo
−→
QP (y el otro no).
◮ Con centro en Q, dibújese la circunferencia de radio BC.
◮ Con centro en X, dibújese la circunferencia de radio AC.
◮ Las dos últimas circunferencias se cortan en dos puntos, de los cuales
exactamente uno está en el semiplano S.
Este último punto es el R buscado.
La justificación de esta construcción la veremos más adelante.

El interior de un ángulo
Definición 14
Dado un ángulo ∠ABC, su interior consiste en la intersección de dos semiplanos:
◮ el semiplano determinado por la
recta
←→
BC que contiene a A,
Figura 4.
y
◮ el semiplano determinado por la
recta
←→
AB que contiene a C,
Figura 5.

El interior de un ángulo (cont.)
El interior del ángulo es la región marcada en oscuro en la figura siguiente:
Figura 6.

La bisectriz de un ángulo
Definición 15
Dado un ángulo, su bisectriz es un rayo que tiene como origen el vértice del
ángulo, que está contenido en el interior de este, y que lo divide en dos ángulos
congruentes.
Figura 7.

Ángulos complementarios y suplementarios
Definición 16
Dos ángulos son llamados complementarios si sus medidas suman 90.
Definición 17
Dos ángulos son llamados suplementarios si sus medidas suman 180.

Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
Definición 18
Dos ángulos son llamados adyacentes3 si tienen el mismo origen, comparten un
lado y la unión de sus otros lados es una recta.
Definición 19
Dos ángulos son llamados opuestos por el vértice si al unir los cuatro rayos que
los forman se obtienen dos rectas.
3
En otras latitudes se dice que forman un par lineal.

Ejercicio
Demuestre, a partir del postulado del transportador, el siguiente teorema:
Teorema 1
Ángulos adyacentes son suplementarios.
Solución:
Sean ∠AOB y ∠BOC adyacentes (ver figura).
Figura 8.
Así, A, O y C son colineales, o sea, O ∈
←→
AC .

Solución del ejercicio (cont.
Aplicando el postulado del transportador (tomando como P al punto O, y como
semiplano H al determinado por la recta
←→
AC que contiene a B), sabemos que la
biyección dada por el postulado le asigna 0 a
−→
OA y 180 a
−→
OC (o viceversa).
Sea x el número asignado a
−→
OB; así, m∠AOB = |x − 180| = 180 − x y
m∠BOC = |0 − x| = x, o viceversa. En ambos casos, es claro que
m∠AOB + m∠BOC = 180.

Ejercicio
Demuestre el siguiente teorema:
Teorema 2
Ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Solución:
Considérese una pareja de ángulos opuestos por el vértice en la siguiente figura,
por ejemplo, la pareja formada por los ángulos 1 y 3.
Figura 9.
Ambos ángulos son adyacentes al ángulo 2, y por lo anterior, ambos son
suplementarios con el ángulo 2. Así,
m∠1 = 180 − m∠2 = m∠3.

Perpendicularidad
Definición 20
Dos rectas se dicen perpendiculares si se cortan formando ángulos adyacentes
congruentes (note que, por lo demostrado anteriormente, si esto ocurre entonces
los cuatro ángulos que forman las rectas al cortarse son congruentes).
La noción de perpendicularidad puede ser extendida a segmentos y rayos; por
ejemplo, dos segmentos se dicen perpendiculares si las rectas que los contienen
son perpendiculares.
Decimos que un ángulo es recto si está formado por dos rayos perpendiculares.

clasificación de los ángulos
De acuerdo a su medida, clasificamos los ángulos en:
Agudos: si su medida es > 0 y < 90.
Rectos: si su medida es 90.
Obtusos: si su medida es > 90 y < 180.

Comentarios sobre la definición de ángulo
Note que nuestra definición no contempla ángulos extendidos ni nulos; veremos
en seguida que tampoco se consideran ángulos “cóncavos”.
La razón para esto es que, al menos en un principio, esta definición nos
simplificará el trabajo.

La mediatriz de un segmento
Ejercicio
Demuestre que la medida de un ángulo recto es necesariamente 90.
De todas las rectas perpendiculares a un segmento dado, una que será
especialmente importante es su mediatriz:
Definición 21
Dado un segmento cualquiera, su mediatriz es la recta perpendicular a él que
pasa por su punto medio.

Comentario sobre la definición
Note que preferimos el término mediatriz al de simetral, ya que el segundo, pese a
estar más difundido en Chile, al parecer habría sido acuñado localmente (a partir
de conceptos como “eje de simetría” del segmento), y no es muy usado fuera de
nuestras fronteras.
Pensando en que nuestros futuros estudiantes y profesores están inmersos en un
mundo globalizado, hemos decidido dar preferencia al uso de términos más
aceptados en español por sobre aquellos de uso local, facilitando de esta forma el
uso de fuentes alternativas a textos nacionales.

CAPÍTULO III:
Triángulos y congruencia

Definiciones
Definición 22
Un triángulo es la unión de tres segmentos, cuyos extremos están dados por tres
puntos no colineales. Los segmentos son llamados los lados del triángulo, y sus
extremos son llamados los vértices de este.
En un triángulo, los ángulos formados por los lados son llamados los ángulos
interiores del triángulo.

Tipos de triángulos
A continuación definimos los distintos tipos de triángulos, de acuerdo a diversas
propiedades de las medidas de sus lados y de sus ángulos.
Definición 23
Un triángulo es escaleno si no tiene pares de lados congruentes.
Definición 24
Un triángulo es isósceles si tiene al menos un par de lados congruentes.
Definición 25
Un triángulo es equilátero si tiene todos sus lados congruentes.

Tipos de triángulos (cont.)
Definición 26
Un triángulo es acutángulo si tiene todos sus ángulos agudos.
Definición 27
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
Definición 28
Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.

Elementos secundarios de un triángulo
En un triángulo, los vértices, lados y ángulos reciben el nombre de elementos
principales. Es posible identificar otros elementos en el triángulo, que son
llamados sus elementos secundarios. Entre estos, encontramos las mediatrices
de sus lados, y las bisectrices de sus ángulos, que son llamadas mediatrices y
bisectrices del triángulo.
Además, definimos los siguientes conceptos:
Definición 29
Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto.
Definición 30
Una altura de un triángulo es un segmento que une un vértice con un punto del
lado opuesto, o de la recta que contiene a este, y que es perpendicular a dicha
recta.

Comentario
Note que hemos llamado “mediana” a lo que suele ser llamado, en nuestro país,
una “transversal de gravedad”. La razón para preferir el término “mediana” es que
en la literatura (fuera de Chile) este es el nombre que reciben dichos segmentos;
incluso el diccionario de la R.A.E. así lo consigna.
En Chile, además, se suele usar el término “mediana” para denotar el segmento
que une los puntos medios de dos lados de un triángulo; nosotros le llamaremos
simplemente “segmento medio”.

Definición de congruencia de triángulos
Para los triángulos es posible dar una versión simplificada de la noción de
congruencia, en términos de la congruencia de sus lados y ángulos
“correspondientes4”, como sigue:
Definición 31 (Congruencia de triángulos)
Dos triángulos se dicen congruentes si existe una correspondencia biunívoca
entre sus vértices de modo que cada par de lados correspondientes y cada par de
ángulos correspondientes son congruentes.
Para indicar que dos triángulos son congruentes, usamos el mismo símbolo que
para indicar congruencia de segmentos o de ángulos, es decir, ∼
=.
4
En un sentido que aclaramos en breve.

Congruencia de triángulos (cont.)
Al indicar que △ABC ∼
= △DEF no solo estaremos afirmando que existe una
correspondencia biunívoca como la deseada, sino que estaremos fijando dicha
correspondencia de acuerdo al orden en que se mencionan los vértices de cada
triángulo (es decir, la notación implícitamente determina la correspondencia como
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
Así, decir que △ABC ∼
= △DEF significa que:
◮ AB ∼
= DE.
◮ BC ∼
= EF.
◮ CA ∼
= FD.
◮ ∠ABC ∼
= ∠DEF.
◮ ∠BCA ∼
= ∠EFD.
◮ ∠CAB ∼
= ∠FDE.
Pero, por ejemplo, de △ABC ∼
= △DEF no es posible concluir que AB ∼
= DF o que
∠ACB ∼
= ∠EDF.

Criterios de congruencia de triángulos
¿Qué necesitamos saber respecto a dos triángulos para convencernos de que
son congruentes? En principio, de acuerdo a la definición, deberíamos revisar
seis pares de elementos correspondientes (tres pares de lados y tres pares de
ángulos), pero aceptaremos como postulados la posibilidad de revisar menos y
aún así tener la certeza de que los triángulos son congruentes.

Criterios de congruencia de triángulos (cont.)
Los postulados que nos dicen que bastan estas condiciones son llamados los
criterios de congruencia.
En particular, aceptaremos como postulados los siguientes criterios de
congruencia:
Criterio LAL (lado-ángulo-lado): Si dos lados y el ángulo comprendido de un
triángulo son congruentes a los elementos correspondientes de otro
triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo): Si dos ángulos y el lado comprendido de un
triángulo son congruentes a los elementos correspondientes de otro
triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLL (lado-lado-lado): Si los tres lados de un triángulo son congruentes a
los lados correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos
son congruentes.

Pons Asinorum y sus consecuencias
Una propiedad básica de los triángulos isósceles es la siguiente5:
Teorema 3 (Pons Asinorum)
En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a lados congruentes son
congruentes.
A continuación presentamos algunas demostraciones de esta propiedad, y
discutimos algunas de sus consecuencias.
5
En la antigüedad, este teorema fue llamado “pons asinorum”, literalmente, “el puente de los
asnos”. La interpretación de este nombre era que aquellos que lo entendían (no solo su enunciado,
sino sobre todo su demostración) habían logrado “cruzar el puente que separaba a los ansnos de
los seres pensantes”. En la película “Goodbye Mr Chips (2002)” esto es mencionado, entre los
tiempos 58:25 y 58:58 (véalo en YouTube, parte 4/7, 13:49–14:22)

Primeras demostraciones.
Sea △ABC un triángulo isósceles, digamos con AB ∼
= BC (ver figura).
Figura 10.

Demostración de Pons Asinorum (cont.)
.
Una primera idea para demostrar este
teorema consiste en trazar un
segmento que una el vértice del ángulo
formado por los dos lados congruentes
con el lado opuesto a él (la base),
dando lugar a dos triángulos.
Figura 11.
Si logramos probar que estos dos nuevos triángulos (en la figura, △ABD y △CBD)
son congruentes, obtendremos como consecuencia la congruencia de los dos
ángulos “basales” (en nuestro caso, ∠CAB y ∠ACB).

Posibilidades para BD
.
¿Cómo elegir el segmento BD?
A primera vista, tenemos cuatro posibilidades, ya que BD puede ser:
◮ la mediana trazada desde B,
◮ la bisectriz de ∠ABC,
◮ la altura trazada desde B, o
◮ la mediatriz de AC.
Sin embargo, un análisis más cuidadoso nos muestra que algunas de estas
opciones no sirven para nuestro propósito. Estudiemos cada una por separado:

Usando la mediana
.
BD es la mediana trazada desde B:
En este caso, tenemos (ya que D es el punto medio de AC) que
AD ∼
= DC.
Además, tenemos por hipótesis que AB ∼
= BC; finalmente, sabemos
(ya que todo segmento es congruente a sí mismo) que BD ∼
= BD.
Así, se cumplen las hipótesis del criterio de congruencia LLL, por lo
que △ABD ∼
= △CBD, de donde ∠DAB ∼
= ∠DCB, o lo que es lo mismo,
∠CAB ∼
= ∠ACB.

Usando la bisectriz
.
BD es la bisectriz de ∠ABC:
En este caso, por ser BD la bisectriz de ∠ABC, tenemos
∠ABD ∼
= ∠CBD.
Además, al igual que en el caso anterior, tenemos (hipótesis) que
AB ∼
= BC, y que BD ∼
= BD.
Así, tenemos las condiciones para ocupar el criterio LAL, de donde
concluimos que △ABD ∼
= △CBD, y procedemos como en la
demostración anterior.

¿Qué pasa con la altura y con la mediatriz?
.
BD es la altura trazada desde B:
Si BD es la altura trazada desde B, entonces BD ⊥ AC, por lo que
∠ADB ∼
= ∠CDB. Lamentablemente, esto no nos sirve, ya que al unirlo
con la otra información que tenemos (AB ∼
= BC y BD ∼
= BD) no nos
permite concluir que △ABD ∼
= △CBD (necesitaríamos tener un
criterio de congruencia LLA, que no tenemos).
BD es la mediatriz de AC:
Finalmente, esta idea tampoco sirve para demostrar lo que
queremos, ya que al trazar la mediatriz de AC, no tenemos en este
momento argumentos para asegurar que dicha mediatriz pasa
efectivamente por el vértice B. Por supuesto, es cierto que dicha
mediatriz pasa por ese vértice, pero no estamos en condiciones de
demostrar esta afirmación.

Resumen
Así, tenemos dos demostraciones diferentes de Pons Asinorum, basadas en la
misma idea.
Nótese que, usando cualquiera de ellas, hemos llegado a demostrar que los
triángulos △ABD y △CBD son congruentes, de manera que:
◮ ∠ABD ∼
= ∠CBD, de donde BD es la bisectriz de ∠ABC.
◮ AD ∼
= DC, de donde D es el punto medio de AC, por lo que BD es la mediana
trazada desde B.
◮ ∠ADB ∼
= ∠BDC, de donde BD ⊥ AC, por lo que BD es la altura trazada desde
B.
◮ Finalmente, por las dos propiedades recién enunciadas,
←→
BD es una recta
perpendicular a AC que pasa por su punto medio, por lo que es la mediatriz
de dicho segmento.

Teorema
Estas cuatro propiedades pueden ser resumidas en el siguiente teorema:
Teorema 4
En todo triángulo isósceles, la mediatriz de la base contiene a la altura, a la
bisectriz y a la mediana trazadas desde el vértice opuesto a la base.

Otra forma de demostrar Pons Asinorum
Una segunda idea para demostrar Pons Asinorum consiste en demostrar que el
triángulo es congruente consigo mismo, considerando dos órdenes distintos de
los vértices. Considere la siguiente figura (note que el segundo triángulo no es
más que el primero, “reflejado”):
Figura 12.

La congruencia de “los dos” triángulos
Observamos que, al considerar “los dos triángulos” △ABC y △CBA (que son el
mismo triángulo con los vértices en órdenes distintos), tenemos:
◮ Por hipótesis, AB ∼
= CB.
◮ Por la misma razón, CB ∼
= AB.
◮ Finalmente, por ser AC = CA, tenemos AC ∼
= CA.
En cada una de las congruencias, el primer segmento dado corresponde a △ABC
y el segundo a △CBA.
Las tres afirmaciones anteriores nos permiten establecer (criterio LLL) que
△ABC ∼
= △CBA, de donde se deduce que ∠CAB ∼
= ∠ACB.

El recíproco de Pons Asinorum
Teorema 5
En todo triángulo, si dos ángulos son congruentes, entonces los lados opuestos a
dichos ángulos son congruentes, por lo que el triángulo es isósceles.
Usaremos la misma idea que usamos en la última demostración.

Demostración del recíproco de Pons Asinorum
Demostración.
Considerando los mismos triángulos △ABC y △CBA que antes, vemos que ahora
la hipótesis es ∠CAB ∼
= ∠ACB, y la tesis es AB ∼
= CB. Así, tenemos:
◮ Por hipótesis, ∠CAB ∼
= ∠ACB.
◮ Por la misma razón, ∠ACB ∼
= ∠CAB.
◮ Finalmente, por ser AC = CA, tenemos AC ∼
= CA.
En cada una de las congruencias, el primer segmento o ángulo dado corresponde
a △ABC y el segundo a △CBA.
Las tres afirmaciones anteriores nos permiten establecer (criterio ALA) que
△ABC ∼
= △CBA, de donde se deduce que AB ∼
= CB.

Algunas construcciones geométricas
Estamos en condiciones de demostrar la corrección de la construcción 2,
mostrada en 72.
Demostración de la corrección de la construcción 2.
Por estar X en C(Q, AB), tenemos QX ∼
= AB.
El punto R está en la intersección de las circunferencias C(Q, BC) y C(X, AC), por
lo que QR ∼
= BC y XR ∼
= AC.
Así, por criterio LLL, tenemos que △XQR ∼
= △ABC.
De esto se deduce que ∠XQR ∼
= ∠ABC. Pero como X ∈
−→
PQ, ∠XQR = ∠PQR, de
donde ∠PQR ∼
= ∠ABC como se deseaba.

Versiones constructivas de los criterios de ∼
=
Una versión “constructiva” de los criterios de congruencia de triángulos la dan las
siguientes construcciones:
Construcción 3 (LLL)
Dados tres segmentos AB, PQ y RS, construir —de ser posible— un triángulo
△ABC tal que tenga a AB como uno de sus lados, y donde AC ∼
= PQ y BC ∼
= RS.
Solución:
Constrúyanse las circunferencias C(A, PQ) y C(B, RS).
Si estas circunferencias no se cortan, no es posible construir un triángulo.
Si se cortan, sea C cualquiera de los puntos en común. Claramente, el △ABC
satisface las condiciones pedidas.

Versión constructiva de LLL (cont.)
Note que, dado AB, la recta
←→
AB divide al plano en dos semiplanos, y si las
circunferencias se cortan en dos puntos hay exactamente uno en cada semiplano.
Así, es posible especificar en cuál de los semiplanos determinados por
←→
AB
estará contenido el triángulo.
Ejercicio
Un caso particular de la construcción anterior es la siguiente:
Construcción 4
Dado un segmento AB, construir un triángulo equilátero que tenga a AB por lado.
Si se desea, se puede especificar en cuál de los semiplanos determinados por
←→
AB estará contenido el triángulo.
Indique cómo realizar esta construcción.

Versión constructiva de LAL
Construcción 5 (LAL)
Dados dos segmentos PQ y RS, y un ∠TUV, construir —de ser posible— un
triángulo △ABC tal que AB ∼
= PQ, BC ∼
= RS y ∠ABC ∼
= ∠TUV.
Solución:
Sobre una recta cualquiera, cópiese el segmento PQ, llamando A y B a sus
extremos (construcción 1).
Cópiese el ∠TUV sobre el rayo
−→
BA , dando lugar a un rayo
−→
BD (construcción 2).
Sobre el rayo
−→
BD, con extremo B cópiese el segmento PQ, obteniendo un punto C
(construcción 1).
El △ABC satisface las condiciones pedidas.

Versión constructiva de ALA
Construcción 6 (ALA)
Dados un segmento PQ y dos ángulos ∠RST y ∠UVW, construir —de ser
posible— un triángulo △ABC tal que AB ∼
= PQ, ∠BAC ∼
= ∠RST y ∠ABC ∼
= ∠UVW.
Solución:
Sobre una recta cualquiera, cópiese el segmento PQ, llamando A y B a sus
extremos (construcción 1). Cópiese el ∠RST sobre el rayo
−→
BA , dando lugar a un
rayo
−→
BD (construcción 2). Cópiese el ∠RST sobre el rayo
−→
AB , dando lugar —en el
mismo semiplano en que se construyó
−→
BD— a un rayo
−→
AE (construcción 2).Si los
rayos
−→
BD y
−→
AE no se cortan, no es posible construir un triángulo como el pedido.
Si se cortan, sea C el punto en común. Claramente, el △ABC satisface las
condiciones pedidas.

Construcción de la mediatriz
Dos construcciones importantes son la de la mediatriz de un trazo y la de la
bisectriz de un ángulo:
Construcción 7
Dado un segmento AB, construir una recta que sea la mediatriz de AB, o sea, que
sea perpendicular al segmento y que pase por su punto medio.
Solución:
◮ Construya las circunferencias
C(A, AB) y C(B, AB).
Figura 13.

Construcción de la mediatriz (cont.)
.
◮ Estas circunferencias se cortan en
dos puntos, sean ellos P y Q.
Figura 14.
◮ La mediatriz buscada es la recta
←→
PQ .
Figura 15.

Corrección de la construcción
Teorema 6
La recta
←→
PQ obtenida con la construcción anterior es efectivamente la mediatriz
del segmento AB.

Demostración
Demostración.
En la figura, considérense los triángulos
△PAQ y △PBQ.
Claramente, se tiene
AP = BP = AQ = BQ = AB.
Así, tenemos AP ∼
= BP, AQ ∼
= BQ y
PQ ∼
= PQ, por lo que (criterio LLL)
△PAQ ∼
= △PBQ. De lo anterior se
desprende que ∠APQ ∼
= ∠BPQ, de
donde
−→
PQ es la bisectriz de ∠APB.
Figura 16.

Continuación de la demostración
.
Pero entonces el triángulo △ABP es
isósceles — AP ∼
= BP— y PM es la
bisectriz del ángulo opuesto a la base.
Pero en un triángulo isósceles la recta
mediatriz de la base contiene a la
bisectriz del ángulo opuesto a la base
(teorema 4), de donde
←→
PM =
←→
PQ es la
mediatriz de la base, o sea, de AB.
Figura 17.

Construcción 8
Dado un ángulo ∠AOB, construir un rayo que lo biseque.
Solución:
◮ Elija arbitrariamente una medida
r > 0 y construya la circunferencia
C(O, r). Llame P y Q a los puntos
donde dicha circunferencia corta a
los rayos
−→
OA y
−→
OB
respectivamente.
Figura 18.

Construcción de la bisectriz (cont.)
◮ Construya un triángulo equilátero,
que tenga por lado a PQ y que esté
contenido en el semiplano opuesto
al que contiene a O (construcción
4). Sea R el tercer vértice de este
triángulo.
Figura 19.
◮ El rayo
−→
OR es la bisectriz buscada.
Figura 20.

Corrección de la construcción
Teorema 7
El rayo
−→
OR obtenido con la construcción anterior es efectivamente la bisectriz del
∠AOB.
Demostración.
En la figura, considérense los triángulos
△OPR y △OQR. Por construcción,
△PQR es equilá- tero, por lo que
PR ∼
= QR; además, como OP = OQ = r,
se tiene OP ∼
= OQ, y —claramente—
OR ∼
= OR.
Figura 21.
Lo anterior nos lleva a concluir (criterio LLL) que △OPR ∼
= △OQR, de donde
∠POR ∼
= ∠QOR, por lo que
−→
OR es la bisectriz de ∠AOB.

Ejercicios resueltos
1. Dada una recta l y un punto P fuera de ella, construir una perpendicular a l
que pase por P.
Solución:
Con centro en P, trácese una circunferencia con un radio suficientemente
grande para tener dos puntos en común con la recta. Sean A y B estos
puntos.
Figura 22.

Continuación del ejercicio
El triángulo △APB es isósceles (PA = PB), por lo que la mediatriz de AB pasa por
P (Teorema 4).
Figura 23.
Así, para construir la perpendicular pedida basta aplicar la construcción 7 al
segmento AB.

Otro ejercicio resuelto
2. Dada una recta l y un punto P ∈ ℓ, construir una perpendicular a l que pase
por P.
Solución:
Con centro en P, trácese una circunferencia con un radio cualquiera. Esta
circunferencia cortará a l en dos puntos. Sean A y B estos puntos.
Así, AP = BP, por lo que P es el punto medio de AB, de donde la
perpendicular pedida no es más que la mediatriz de AB, por lo que solo resta
aplicar la construcción 7 al segmento AB.

Desigualdades en el triángulo
Un concepto básico en lo que sigue es la noción de ángulo exterior.
Definición 32
Dado un triángulo, llamamos ángulos exteriores a los que son adyacentes con los
ángulos interiores.
Figura 24: Ángulos exteriores en un triángulo.

La desigualdad del ángulo exterior
Note que un triángulo tiene 6 ángulos exteriores, y estos son congruentes de a
pares (por ser opuestos por el vértice).
Quizás una de las propiedades más conocidas de los ángulos exteriores es la
siguiente:
“La medida de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de
las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes”.
A futuro (teorema 24) demostraremos esta propiedad, pero por ahora nos faltan
herramientas para hacerlo, por lo que nos conformaremos con demostrar las
siguiente propiedad más “débil”:
Teorema 8 (Desigualdad del ángulo exterior)
En todo triángulo, la medida de cualquiera de los ángulos exteriores es mayor que
las medidas de cada uno de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Demostración de la desigualdad del ángulo exterior
.
Consideremos un triángulo cualquiera
△ABC, y tómese un punto D en la
prolongación de AB más allá de B. Así,
∠DBC es un ángulo exterior del △ABC.
Figura 25.
Sea M el punto medio de AB, y sea E ∈
−→
CM tal que CM ∼
= ME.

Demostración de la DAE (cont.)
.
Es fácil demostrar (LAL) que △AMC ∼
= △BME.
Figura 26.
Pero entonces —por definición de “congruencia de triángulos”— tenemos que
∠BAC = ∠MAC ∼
= ∠MBE.
Como además ∠MBE ∼
= ∠DBF (por ser estos opuestos por el vértice), tenemos
que ∠BAC ∼
= ∠DBF.

Demostración de la DAE (cont.)
.
Pero —por estar
−→
BF en el interior de ∠DBC, se tiene
m∠BAC = m∠DBF < m∠DBC,
o sea, el ángulo exterior ∠DBC es mayor que el ángulo interior no adyacente
∠BAC.
Por supuesto, la demostración de que m∠DBC > m∠ACB, y las de que los otros
ángulos exteriores son mayores a los ángulos interiores no adyacentes, son
análogas.

Consecuencias
El teorema anterior tiene consecuencias muy importantes, algunas de las cuales
indicamos a continuación:
Teorema 9
En todo triángulo, la suma de las medidas de dos ángulos cualesquiera es menos
de 180.

Demostración
Demostración.
Considérese el triángulo ABC de la figura. Probaremos que
m∠ABC + m∠BCA < 180.
Figura 27.
Para ello, prolónguese
−→
AB , obteniéndose el ángulo exterior ∠CBD.

Demostración (cont.)
.
Figura 28.
Por la desigualdad del ángulo exterior, tenemos m∠CAB < m∠CBD; por lo tanto
m∠ABC + m∠CAB < m∠ABC + m∠CBD = 180.

Consecuencias (cont.)
Teorema 10 (A mayor lado se opone mayor ángulo)
Si en un triángulo un lado es mayor que otro, entonces el ángulo opuesto al
primer lado es mayor que el ángulo opuesto al segundo lado.

Demostración
Demostración.
Sea ABC un triángulo en el que AC > AB. Demostraremos que m∠ABC > m∠ACB.
Figura 29.
Sea D ∈
−→
AC tal que AD = AB.

.
Por ser AC > AB, D está en el interior del segmento AC, por lo que BD está en el
interior de ∠ABC y ∠ADB es un ángulo exterior al triángulo △BCD.
Figura 30.
Así, tenemos que:
◮ m∠ABC > m∠ABD (ya que BD está en el interior de ∠ABC);
◮ m∠ABD = m∠ADB (ya que △ABD es isósceles); y finalmente
◮ m∠ADB > m∠ACB (por ser ∠ADB un ángulo exterior al triángulo △BCD).
Juntando estas tres desigualdades, concluimos que m∠ABC > m∠ACB.

Consecuencias (cont.)
Teorema 11 (A mayor ángulo se opone mayor lado)
Si en un triángulo un ángulo es mayor que otro, entonces el lado opuesto al
primer ángulo es mayor que el lado opuesto al segundo ángulo.

Desigualdad triangular
La última conclusión de la desigualdad del ángulo exterior es la llamada
desigualdad triangular:
Teorema 12 (Desigualdad triangular)
En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor
que la longitud del tercer lado.
Demostración.
Considérese un triángulo cualquiera
△ABC, en el que el mayor de los lados
es BC.
Figura 31.
Demostraremos que AB + AC > BC.

.
En efecto: prolónguese BA en dirección
de A, y encuéntrese un punto D ∈
−→
BA
tal que AD = AC.
Figura 32.
Vemos que m∠BDC = m∠ACD (por ser △ACD isósceles), y m∠ACD < m∠BCD (ya
que
−→
AC está en el interior de ∠BCD).
Así, en el triángulo △BCD, tenemos m∠BDC < m∠BCD, de donde (Teorema 11)
BD > BC.
Pero —por construcción— BD = AB + AD = AB + AC, de donde se concluye que
AB + AC > BC.

Ejercicios propuestos
1. Demuestre que dado un punto P fuera de una recta l, es imposible que en l
haya más de dos puntos que estén todos a la misma distancia de P.
2. Demuestre que en todo cuadrilátero convexo el perímetro es mayor que la
suma de las dos diagonales.
3. Demuestre que en todo cuadrilátero convexo el perímetro es menor que el
doble de la suma de las dos diagonales.

Definición básica
Recordemos la
Definición 33
En el plano, dos rectas se dicen paralelas si son disjuntas, o sea, si no tienen
puntos en común6.
En este capítulo estudiaremos algunas propiedades de las rectas paralelas,
centrándonos en la situación en que dos rectas coplanares son cortadas por una
transversal. En particular, nos interesa preguntarnos: ¿en qué condiciones es
posible asegurar que dichas rectas son paralelas? Recíprocamente, ¿qué
podemos asegurar si sabemos que dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal?
6
Si las rectas están en el espacio, no basta que sean disjuntas para ser paralelas; además es
necesario que exista un plano que las contenga a ambas. Si las rectas son disjuntas pero no
coplanares entonces se dicen alabeadas.

Demostraciones por contradicción
Una técnica común para demostrar afirmaciones en matemática es la de
demostración por contradicción, o demostración por reducción al absurdo.
La idea central es la siguiente: si suponemos que una afirmación P es falsa, y a
partir de eso llegamos a una afirmación que sabemos es falsa (una
contradicción), entonces la afirmación P es necesariamente verdadera.
Daremos un ejemplo de uso de esta técnica, que es un verdadero “clásico”.

Ejemplo: la raíz cuadrada de 2 es un número irracional
Demostración.
Supongamos que lo que queremos demostrar no es cierto. O sea, supongamos
que existe un racional s > 0 tal que s2 = 2.
Como s es un racional, puede ser escrito como s = m
n con m y n “primos entre sí”
(o sea, sin factores comunes aparte del 1).
Si s2 = 2, tendríamos m2 = 2n2, por lo que m2 es par, y por ende m es par.
Pero entonces m2 sería divisible por 4, por lo que 2n2 también es divisible por 4, y
por lo tanto n2 sería par y n también sería par.
Pero el hecho de que m y n sean pares contradice la hipótesis de que m y n son
primos entre sí.
Esta contradicción muestra que es imposible que exista s.

La leyenda
Se cree que esta demostración (aunque en realidad de la propiedad planteada
como “la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables”) fue
descubierta por Hipaso de Metaponto, discípulo de Pitágoras.
Cuenta la leyenda que, al descubrir Hipaso esta demostración durante un viaje en
barco, entusiasmado la comunicó a sus condiscípulos, quienes en premio . . . ¡lo
arrojaron por la borda!
La explicación sería que el resultado contradice uno de los dogmas de los
pitagóricos, a saber, que todas las magnitudes que aparecen en la naturaleza (y
en particular en la geometría) son conmensurables, o sea, dadas dos magnitudes
del mismo tipo existe una unidad común que está contenida un número entero de
veces en cada una de ellas.

Algunos comentarios
Las demostraciones por contradicción son una parte importante del arsenal lógico
con el que cuenta el matemático a la hora de demostrar teoremas. Esta técnica,
conocida desde la antigüedad con el nombre de “reducción al absurdo” o
“demostración indirecta”, es en muchos casos la forma más simple de demostrar
un teorema.
Godfrey H. Hardy7 hizo el siguiente comentario:
“[La demostración por contradicción . . . ] es un gambito mucho más fino
que cualquier gambito en ajedrez: un ajedrecista puede ofrecer el
sacrificio de un peón o incluso de una pieza, pero un matemático ofrece
la partida”.
7
Matemático inglés, 1877–1947.

La demostración por contradicción
El ficticio detective Sherlock Holmes menciona, en más de una ocasión, que “una
vez que se ha eliminado lo imposible, lo que queda, no importa cuán improbable
parezca, debe ser verdad”8.
En lo que viene tendremos ocasión de poner en práctica la técnica de
demostración por contradicción.
8
Esta frase aparece, con variaciones menores, en las siguientes obras de Arthur Conan Doyle:
“La señal de los cuatro”, “La diadema de berilio” y “La aventura del soldado de piel pálida”

Rectas cortadas por una transversal I
Definición 34
Sean ℓ1 y ℓ2 dos rectas coplanares, y sea T una recta que las corta a ambas en
dos puntos distintos P ∈ ℓ1 y Q ∈ ℓ2. Diremos que T es una transversal a las
rectas ℓ1 y ℓ2.
Las propiedades más importantes de rectas cortadas por una transversal9 tienen
que ver con el que dichas rectas sean o noparalelas. Así, en esta sección
estudiaremos condiciones en que podemos asegurar que las rectas cortadas por
la transversal son paralelas (condiciones suficientes para el paralelismo de estas),
y más adelante en este capítulo estudiaremos consecuencias del paralelismo de
dichas rectas (o sea, condiciones necesarias para que las rectas sean paralelas).
9
O por más de una, considere por ejemplo el teorema de Tales.

Un punto de cuidado
Un error frecuente al estudiar rectas cortadas por una transversal es hacer la
suposición (consciente o inconsciente) de que dichas rectas son siempre
paralelas, aunque es fácil ver que este no es el caso (véase la figura).
Figura 33: Dos rectas cortadas por una transversal.

Pares de ángulos entre rectas
Dadas dos rectas cortadas por una transversal, nos fijaremos en los pares de
ángulos que se forman entre las rectas y la transversal. De estos pares de
ángulos, no nos interesan aquellos en los que ambos ángulos tienen el mismo
vértice, ya que en ese caso o los ángulos son opuestos por el vértice (y por lo
tanto congruentes) o adyacentes (y por lo tanto suplementarios). Así, por ejemplo,
en la figura anterior, nos interesan las parejas de ángulos formadas por un ángulo
de entre 1, 2, 3 y 4, y otro de entre 5, 6, 7 y 8.

Clasificación de los ángulos en la figura
Los ángulos que se forman en la situación descrita son divididos en interiores (si
están “entre” las rectas cortadas por la transversal) y exteriores (si no); así, en la
figura 33 los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores, mientras que los 1, 2, 7 y 8 son
exteriores.
También distinguimos entre ángulos “a cada lado de la transversal”; por ejemplo,
en la misma figura los ángulos 1, 3, 5 y 7 están a un lado de la transversal,
mientras que los 2, 4, 6 y 8 están al otro lado10.
10
En este caso podríamos decir que los primeros están “al lado izquierdo” y los otros “al lado
derecho” de la transversal. En otros casos quizás sea mejor hablar de ángulos “sobre” y “bajo” esta.

Ángulos alternos, correspondientes y otros
Un par de ángulos formados por la transversal en cada una de las rectas l1 y l2 se
dicen alternos si están uno a cada lado de la transversal. Dentro de esta
categoría, distinguiremos las siguientes clases de pares de ángulos:
Alternos internos si además de ser alternos, ambos ángulos son interiores. Así,
en la figura 33, los ángulos 3 y 6, así como los ángulos 4 y 5, son
pares de ángulos alternos internos.
Alternos externos si además de ser alternos, ambos ángulos son exteriores. Así,
en la figura 33, los ángulos 1 y 8, así como los ángulos 2 y 7, son
pares de ángulos alternos externos.
Alternos “del mismo lado” 11 si además de ser alternos, uno de los ángulos es
interior y el otro exterior. Así, en la figura 33, los pares de ángulos 1 y
6, 2 y 5, 3 y 8, 4 y 7 son alternos del mismo lado.
11
O, más precisamente, “alternos del mismo lado de las rectas”.

Ángulos al mismo lado de la transversal
Si dos ángulos formados por la transversal en cada una de las rectas l1 y l2 no
son alternos, diremos que están al mismo lado de la transversal. Dentro de esta
categoría, distinguiremos las siguientes clases de pares de ángulos:
Ángulos internos del mismo lado cuando ambos son interiores. Así, en la figura
33, el par de ángulos 3 y 5, y el par 4 y 6, son internos del mismo
lado.
Ángulos externos del mismo lado cuando ambos son exteriores. Así, en la figura
33, el par de ángulos 1 y 7, y el par 2 y 8, son externos del mismo
lado.
Ángulos correspondientes si además de estar al mismo lado de la transversal,
uno es interior y el otro es exterior. Así, en la figura 33, los pares de
ángulos 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 son correspondientes.

Condiciones suficientes para que las rectas sean paralelas
El teorema básico de esta sección es el siguiente:
Teorema 13
Sean l1 y l2 dos rectas coplanares cortadas por una transversal T . Si un par de
ángulos alternos internos entre los que se forman son congruentes, entonces l1 y
l2 son paralelas.

Demostración
.
Sean l1 y l2 dos rectas coplanares como en la figura 33, y supongamos que dos
ángulos alternos internos, digamos ∠3 y ∠6, son congruentes.
Como debemos demostrar que l1 k ℓ2, supondremos que esto es falso, o sea
l1 6k ℓ2; si logramos llegar a una contradicción, habremos logrado nuestro objetivo.
Figura 34.

Demostración del teorema (cont.)
.
Bajo la suposición de que l1 6k ℓ2,
ambas rectas deben tener un punto
común R. Supongamos que dicho
punto se encuentra en el mismo lado de
la transversal que ∠3.
Entonces se forma un triángulo △PQR,
donde ∠3 es un ángulo interior y ∠6 es
un ángulo exterior no adyacente a ∠3
(ver figura).
Figura 35.
Pero por hipótesis, ∠3 ∼
= ∠6, lo que es imposible (Teorema 8). Así, hemos
llegado a una contradicción, lo que prueba que nuestra suposición —que l1 y l2 no
son paralelas— es imposible. Esto completa la demostración.

Para pensar
¿Por qué no es problema suponer que los ángulos alternos internos congruentes
son ∠3 y ∠6?
Figura 36.
¿Qué ocurriría si en lugar de esto los ángulos congruentes fueran ∠4 y ∠5?
Del mismo modo, cuando supusimos que las rectas l1 y l2 se encontraban en un
punto P, este podría haber estado hacia el otro lado de la transversal. ¿Por qué
no es esto un problema?

Demostraciones sin pérdida de generalidad
Cuando en una demostración hay varios casos que, si bien son distintos, pueden
ser tratados de la misma manera (cambiando pequeños detalles), es costumbre
mencionar que decidimos analizar solo uno de dichos casos “sin perder
generalidad”.
Otra forma de expresar la misma idea es analizar uno de los casos y después
mencionar que el o los otros casos se tratan de manera “análoga”.
Así, en nuestra demostración anterior, podríamos haber dicho
“Sin perder generalidad, supondremos que l1 y l2 se cortan del lado de la
transversal que contiene a ∠3”;
otra forma de decir lo mismo sería
“Si las rectas l1 y l2 se cortan del lado de la transversal que contiene a
∠3, entonces . . . ; el caso en que dichas rectas se corten del otro lado es
análogo”.

Variaciones sobre el tema
Una variante del teorema 13 es la siguiente:
Teorema 14
ángulos correspondientes entre los que se forman son congruentes, entonces l1 y
l2 son paralelas.
A primera vista, parecería que necesitamos demostrar este teorema por
contradicción, de manera similar a como demostramos el teorema 13. Sin
embargo, es posible dar una demostración más sencilla:

Demostración
Supongamos que en la figura 33 se tiene ∠1 ∼
= ∠5 (los demás casos son
análogos). Entonces, por ser ∠4 opuesto por el vértice con ∠1, tenemos
∠4 ∼
= ∠1 ∼
= ∠5, de lo que concluimos que ∠4 ∼
= ∠5.
Pero entonces tenemos dos ángulos alternos internos (a saber, ∠4 y ∠5) que son
congruentes, por lo que —aplicando directamente el teorema 13— obtenemos
que l1 k ℓ2.

Demuestre los siguientes teoremas:
Teorema 15
ángulos alternos externos entre los que se forman son congruentes, entonces l1 y
l2 son paralelas.
Teorema 16
ángulos internos del mismo lado entre los que se forman son suplementarios,
entonces l1 y l2 son paralelas.
Note cómo todos los teoremas de esta sección tienen la forma “si ocurre alguna
condición entre los ángulos que forman las rectas con la transversal, entonces las
rectas son paralelas”. O sea, todos estos teoremas hablan de condiciones
suficientes para que las rectas dadas sean paralelas.

El postulado de las paralelas
Quizás el postulado más famoso de la Geometría Euclidiana es el “quinto
postulado”, o “postulado de las rectas paralelas”.
Hoy en día, formulamos este postulado de la siguiente forma:
“Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela a ella.”
Sin embargo, ésta no es la redacción de Euclides, sino una redacción equivalente
debida a Ptolomeo. Originalmente, Euclides lo formuló su postulado como sigue:
“Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una
misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son
menores que dos rectos.”
La redacción de Ptolomeo es equivalente a ésta.

El horror al infinito
¿Por qué los griegos fueron tan reticentes a aceptar este postulado? Parte del
problema es que, en su redacción original, el postulado habla de que dos rectas
se cortarán “en algún punto”. Pero eso puede pasar muy lejos, muy lejos . . .
Los griegos le tenían espanto a hablar de cosas que ocurrieran “en el infinito”.
Véase por ejemplo el comentario de Proclo12:
“La afirmación de que como convergen más y más a medida que se prolongan,
llegarán alguna vez a encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es
necesaria a falta de un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las
líneas rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan
indefinidamente pero permanecen sin tocarse, por más improbable y paradójico
que parezca, también es cierto y está completamente comprobado en relación
con líneas de otro tipo. ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible lo
mismo que ocurre con las líneas mentadas?”
12
Filósofo neo-platonista griego (412–485).

Intentos de demostración del postulado
A lo largo de la historia, muchos matemáticos (Proclo, Girolamo Saccheri, Omar
Khayam, etc.) intentaron demostrar el postulado de las paralelas a partir de los
otros.
En el siglo XIX, Nikolái Lobachevski13, János Bolyai14, y Bernhard Riemman15
publicaron trabajos en los que mostraban que, suponiendo que el postulado era
falso, podían consturirse nuevas “geometrías”, que fueron llamadas geometría
elíptica y geometría hiperbólica.
Esta última fue usada por Einstein para modelar el universo, en su “Teoría de la
Relatividad”.
13
Matemático ruso, (1792–1856).
14
Matemático húngaro (1802–1860).
15
Matemático alemán (1826–1866); discípulo de Gauss, famoso por, además de su trabajo en
Geometría, sus contribuciones al análisis matemático y a la teoría analítica de números. En esta
última área, un problema planteado por Riemann hace más de 150 años y aún no resuelto fue
seleccionado como uno de los siete “Problemas del Milenio” por el Clay Mathematics Institute.

Rectas cortadas por una transversal II
El postulado de las paralelas nos permite demostrar los recíprocos de los
teoremas demostrados en la sección 146, vale decir, propiedades que satisfacen
las rectas paralelas cortadas por una transversal.
El teorema básico de esta sección es el siguiente:
Teorema 17
Si dos rectas paralelas l1 y l2 son cortadas por una transversal, entonces los
pares de ángulos alternos internos que se forman son congruentes.

Demostración
.
De nuevo, hacemos nuestra demostración por contradicción.
Supongamos que l1 k ℓ2 y que la recta transversal T forma ángulos alternos
internos ∠1 y ∠2 no congruentes (ver figura).
Figura 37.

.
Sabemos (postulado 8, “del
transportador”) que es posible trazar
una recta l3 que pase por el punto P y
que forme con T un ángulo ∠3
congruente con el ángulo ∠2 (ver figura
38).
Así, por el teorema 13, tenemos que l3
debe ser paralela a l2.
De este modo, por el punto P pasan dos
rectas que son paralelas a l2, a saber l1
y l3. Pero esto contradice el postulado
de las paralelas, ya que entonces por P
no habría una única recta paralela a l2.
Figura 38.

Consecuencia de la demostración
Este teorema nos permite demostrar de manera muy simple el siguiente:
Teorema 18
pares de ángulos correspondientes que se forman son congruentes.

Demostración
Demostración.
Al igual que al demostrar el teorema 14,
no necesitamos repetir toda la
demostración del teorema anterior.
Sean l1 y l2 dos rectas paralelas
cortadas por una transversal T , y sean
∠1 y ∠2 dos ángulos correspondientes
formados entre ellas. Sin perder
generalidad, podemos suponer que
dichos ángulos son como los mostrados
en la figura 39.
Figura 39.

.
Pero entonces (ver figura 40) el ángulo
∠3 es opuesto por el vértice con ∠1, y
por lo tanto (teorema 2), ∠1 ∼
= ∠3.
Por otra parte, ∠3 y ∠2 son alternos
internos entre paralelas, y por lo tanto
(teorema 17), ∠3 ∼
= ∠2.
De las dos últimas congruencias de
ángulos se desprende que ∠1 ∼
= ∠2.
Figura 40.

Teorema 19
pares de ángulos alternos externos que se forman son congruentes.
Teorema 20
pares de ángulos alternos del mismo lado que se forman son suplementarios.

Consecuencias del postulado de las paralelas
El postulado de las paralelas tiene varias consecuencias interesantes. En esta
sección demostramos algunas de ellas.
Teorema 21
En todo triángulo, las medidas de sus ángulos suman 180.
Demostración.
Sea △ABC un triángulo cualquiera.
Por el postulado de las paralelas,
sabemos que existe una recta l paralela
a AB que pasa por C (ver figura 41).
De hecho, el postulado nos dice que
esta recta es única, pero aquí no
necesitamos la unicidad. Figura 41.

.
Así, en el punto C se forman los ángulos ∠1 y ∠2, (ver figura 42)
Figura 42.
y tenemos que ∠1 ∼
= ∠BAC y ∠2 ∼
= ∠ABC; en ambos casos gracias al teorema 17.
Como claramente m∠1 + m∠ACB + m∠2 = 180, tenemos
m∠BAC + m∠ACB + m∠ABC = m∠1 + m∠ACB + m∠2 = 180.

Consecuencias directas del teorema anterior
Dos consecuencias de este teorema son las siguientes:
Teorema 22
En todo polígono convexo16 de n lados, la suma de las medidas de los ángulos
interiores es (n − 2)180.
Demostración.
Sea P un polígono convexo, y sea P uno de sus vértices. Si desde P se trazan los
n − 1 segmentos que lo unen con los otros vértices, encontramos que entre ellos
hay 2 lados y n − 3 diagonales de P. Estas n − 3 diagonales permiten dividir a P
en n − 2 triángulos, y la suma de las medidas de los ángulos interiores de P es
igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores de estos n − 2 triángulos,
que termina siendo (n − 2)180.
16
No demostramos esta propiedad para polígonos cualesquiera ya que si un polígono no es
convexo entonces uno de sus “ángulos interiores” mide “más de 180”.

El criterio LAA
Teorema 23 (Criterio de congruencia LAA)
Dados dos triángulos cualesquiera, si dos ángulos y un lado cualquiera de uno de
ellos son congruentes a los elementos correspondientes del otro triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.

Demostración
Sean △ABC y △DEF dos triángulos en que dos ángulos de △ABC son
congruentes a los ángulos correspondientes de △DEF, y un lado de △ABC es
congruente al lado correspondiente de △DEF.
Sin perder generalidad, supongamos que ∠ABC ∼
= ∠DEF y ∠ACB ∼
= ∠DFE.
Entonces
m∠BAC = 180 − (m∠ABC + m∠ACB)
= 180 − (m∠DEF + m∠DFE) = m∠EDF.
Así, tenemos que ∠BAC ∼
= ∠EDF, o sea, tenemos la congruencia de todos los
pares de ángulos, por lo que si agregamos la congruencia de un par de lados
correspondientes estamos en condiciones de aplicar directamente el criterio ALA,
por lo que △ABC ∼
= △DEF.

Medida del ángulo exterior
El siguiente teorema es la versión más fuerte del teorema 8:
Teorema 24
En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

Demostración
.
En un triángulo △ABC cualquiera, prolónguese
−→
AB para obtener el ángulo
exterior ∠DBC. Sabemos que m∠DBC = 180 − m∠ABC (ya que ambos ángulos
son adyacentes). Pero (teorema 21) 180 = m∠BAC + m∠ACB + m∠ABC, por lo que
m∠DBC = 180 − m∠ABC
= (m∠BAC + m∠ACB + m∠ABC) − m∠ABC
= m∠BAC + m∠ACB.

Más propiedades
Teorema 25
Si dos rectas distintas son paralelas a una tercera entonces son paralelas entre sí.
Demostración.
Sean l1, l2 y l3 tres rectas tales que l1 k ℓ2 y l2 k ℓ3.
Si l1 6k ℓ3 entonces l1 y l3 tendrían un punto en común, digamos P.
Pero entonces P es un punto fuera de l2 por el que pasan (al menos) dos
paralelas a dicha recta, lo que contradice el postulado de las paralelas.

Teorema 26 (Criterio de congruencia hipotenusa/ángulo)
Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes las hipotenusas y un par de
ángulos, entonces los triángulos son congruentes.
Teorema 27 (Criterio de congruencia hipotenusa/cateto)
Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes las hipotenusas y un par de
catetos, entonces los triángulos son congruentes.

Más ejercicios
1. Demuestre los siguientes teoremas:
Teorema 28
Si una recta corta a una de dos rectas paralelas, entonces corta a la otra.
Teorema 29
En todo triángulo, dos mediatrices cualesquiera se intersecan.
2. Indique cómo realizar la siguiente construcción:
Construcción 9
Dada una recta l y un punto P fuera de ella, construir la recta paralela a l que pasa
por P.

CAPÍTULO V:
Cuadriláteros y paralelogramos

Conceptos básicos
Recordemos que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados; dicho de otra
forma, es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos entre los
cuales no hay tres colineales, y de modo que los segmentos se encuentren solo
en los extremos, y que cada segmento se interseque con exactamente otros dos.
Los segmentos que forman el cuadril’atero son llamados los lados del
cuadrilátero; los puntos que determinan los lados son llamados los vértices de
éste.
Al igual que en los triángulos, en un cuadrilátero se forman ángulos interiores y
ángulos exteriores.
Dos lados que comparten un vértice son llamados adyacentes; dos lados sin
vértices comunes se llaman opuestos.
Si dos ángulos tienen vértices que son extremos del mismo lado se dicen
consecutivos; en caso contrario se llaman opuestos.

Clasificación de los cuadriláteros
De acuerdo a si un cuadrilátero tiene o no pares de lados paralelos (y cuántos),
recibe uno de los siguientes nombres:
Paralelogramo: si tiene dos pares de lados paralelos.
Trapecio: si tiene exactamente un par de lados paralelos.
Trapezoide: si no tiene pares de lados paralelos.

Tipos especiales de cuadriláteros
Definimos ciertos tipos especiales de cuadriláteros:
◮ Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.
◮ Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.
◮ Un cuadrado es un rombo en el que al menos un ángulo es recto.
Note que no damos, como parte de la definición, que un cuadrado tiene sus
cuatro ángulos rectos.Eso será demostrado posteriormente, como un teorema
que se deduce, entre otras cosas, de la definición.
Alternativamente, es posible definir un cuadrado como un rectángulo con dos
lados adyacentes congruentes.
Note también que no incluimos en la definición el hecho de que rombos,
rectángulos y cuadrados son paralelogramos; esto también se deduce a partir de
ella, y de los teoremas que demostramos a continuación.

Paralelogramos
A continuación estudiamos algunas propiedades de los paralelogramos.
Dividimos estas propiedades en dos grupos: en primer lugar, estudiaremos varias
condiciones necesarias para que un cuadrilátero sea paralelogramo, es decir,
condiciones que todo paralelogramo necesariamente cumple; en segundo lugar,
estudiaremos algunas condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea
paralelogramo.

Condiciones que necesariamente se cumplen en un paralelogramo
Teorema 30
En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes.
Teorema 31
En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.
Teorema 32
En todo paralelogramo, los ángulos consecutivos son suplementarios.

Condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea paralelogramo
Teorema 33
Si en un cuadrilátero ambos pares de lados opuestos son congruentes, entonces
el cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema 34
Si en un cuadrilátero ambos pares de ángulos opuestos son congruentes,
entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema 35
Si en un cuadrilátero un par de lados son congruentes y paralelos, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.

Otra caracterización de los paralelogramos
Terminamos esta sección con la siguiente propiedad:
Teorema 36
Un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y solo si sus diagonales (es decir,
los segmentos AC y BD) se dimidian mutuamente.

El teorema del segmento medio
Una aplicación de las propiedades de los paralelogramos es el siguiente teorema:
Teorema 37 (Teorema del segmento medio)
Cada segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es
paralelo al tercer lado, y mide la mitad de este.
El siguiente es un corolario del teorema anterior:
Corolario
Los puntos medios de todo cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo.
La demostración se deja como ejercicio.

Rectángulos, rombos y cuadrados
Teorema 38
Un cuadrilátero es un rectángulo si y solo es un paralelogramo con diagonales
congruentes.

Una caracterización de los rombos
Teorema 39
Un cuadrilátero es un rombo si y solo si es un paralelogramo con diagonales
perpendiculares.

Otra caracterización de los rombos
Teorema 40
Un cuadrilátero es un rombo si y solo si es un paralelogramo en el que cada
diagonal es la bisectriz de dos ángulos opuestos.

Trapecios
Recordemos que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados
paralelos.
Definición 35
Los lados paralelos de un trapecio son llamados las bases de éste.
Definición 36
Un trapecio es isósceles si los lados que no son bases son congruentes.
El teorema del segmento medio tiene su versión para trapecios:
Teorema 41
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio
es paralelo a las bases, y su longitud es la semisuma de las longitudes de éstas.

Demostración
Demostración.
En la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC respectivamente.
Figura 43.
Queremos demostrar que MN k AB y que MN =
AB + CD
2
.

.
Para ello trazamos la diagonal BD, y llamamos P al punto donde esta diagonal
corta a MN.
Figura 44.
Afirmamos que P es el punto medio de BD.

.
Si no lo fuera, el punto medio Q de BD no sería colineal con M y con N, por lo que
←→
MQ y
←→
QN serían distintas:
Figura 45.
Pero esto es imposible, ya que por el teorema del segmento medio (aplicado a los
triángulos △ABD y △BCD), los segmentos MQ y QN son paralelos las bases del
trapecio, por lo que si
←→
MQ y
←→
QN fueran dos rectas distintas, habría dos paralelas
a las bases que pasan por el mismo punto, lo que contradice el postulado de las
paralelas.

Demostración (conclusión)
.
Así, P es el punto medio de BD, por lo que —aplicando el teorema del segmento
medio a los triángulos △ABD y △BCD— vemos que MN k AB y que MP = AB/2,
NP = CD/2. Sumando estas dos igualdades llegamos a la igualdad que debíamos
probar.

Más propiedades
Las demostraciones de las dos propiedades siguientes se dejan como ejercicios.
Teorema 42
En un trapecio isósceles, los ángulos formados en los extremos de una base son
congruentes.
Teorema 43
En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes.

Teoremas de concurrencia en triángulos
Concluimos este capítulo estudiando propiedades que nos dicen que ciertas
rectas o segmentos importantes en un triángulo son concurrentes.
Para ello, previamente enunciamos —sin demostración, la que dejamos como
ejercicio— dos propiedades que nos serán útiles, que caracterizan a mediatrices
de segmentos y bisectrices de ángulos.

Caracterizaciones
Teorema 44 (Caracterización de la mediatriz)
Si un punto equidista de los dos extremos de un segmento, entonces está sobre
la mediatriz de este.
Recíprocamente, si un punto está sobre la mediatriz de un segmento, entonces
equidista de sus extremos.
Teorema 45 (Caracterización de la bisectriz)
Si un punto está en el interior de un ángulo y equidista de los dos lados de este,
entonces está sobre la bisectriz del ángulo.
Recíprocamente, si un punto está sobre la bisectriz de un ángulo, entonces
equidista de los lados del ángulo.

Concurrencia de las mediatrices
Teorema 46
Las tres mediatrices de un triángulo cualquiera concurren.
Demostración.
Sea P el punto en el que se cortan las mediatrices de AB y BC.
Por estar P en la mediatriz de AB, se tiene PA = PB. Por estar P en la mediatriz de
BC, se tiene PB = PC.
Pero entonces PA = PC, por lo que P está en la mediatriz de AC. Así, las tres
mediatrices concurren al punto P.
Como el punto en el cual concurren las tres mediatrices equidista de los tres
vértices, es el centro de una circunferencia que pasa por dichos vértices. Esta
circunferencia es llamada la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro (el
punto de concurrencia de las mediatrices) es llamado el circuncentro.

Concurrencia de las bisectrices
Teorema 47
Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren.
Demostración.
Sea P el punto en el que se cortan las bisectrices de ∠ABC y ∠ACB.
Por estar P en la bisectriz de ∠ABC, P equidista (está a la misma distancia) de
←→
AB
y de
←→
BC . Por estar P en la bisectriz de ∠ACB, P equidista de
←→
AC que de
←→
BC .
Pero entonces P equidista de
←→
AB y de
←→
AC , y como además P está en el interior
del ángulo ∠BAC (dejamos la demostración de esta propiedad como ejercicio),
está en su bisectriz.
Así, las tres bisectrices concurren al punto P.

La circunferencia inscrita
Note que, si desde el punto de concurrencia de las bisectrices se trazan los
segmentos perpendiculares trazados a cada uno de los lados, estos tres
segmentos miden lo mismo (esto debido a que dicho punto de concurrencia
equidista de los tres lados).
Así, la circunferencia con centro en el punto de concurrencia y radio la distancia
común a los lados es tangente a los tres lados (la justificación de esto se deja
como ejercicio).
Esta circunferencia es llamada la circunferencia inscrita al triángulo, y su centro
(el punto de concurrencia de las bisectrices) es llamado el incentro.

Concurrencia de las alturas
Teorema 48
Las tres alturas de un triángulo concurren.
Demostración.
Sea △ABC un triángulo cualqiera. Por
cada uno de sus vértices, tracemos la
paralela al lado opuesto, y llamemos A′,
B′ y C′ a los puntos de concurrencia de
las paralelas que pasan por los
extremos de, respectivamente BC, AC y
AB (ver figura).
Figura 46.

.
Como los tres triángulos que se forman
(aparte de △A′B′C′) son congruentes a
△ABC, los puntos A, B y C resultan ser
los puntos medios de B′C′, A′C′ y A′B′
respectivamente.
Figura 47.
Además, cada uno de los lados del
triángulo original es paralelo a un lado
del triángulo △A′B′C′, por lo que cada
altura de △ABC es una mediatriz de
△A′B′C′; por ejemplo, la figura muestra
la altura (en △ABC) trazada desde A,
que en △A′B′C′ es la mediatriz del lado
B′C′.

.
Pero entonces las tres alturas de △ABC concurren, ya que las tres mediatrices de
△A′B′C′ concurren (teorema 46).

Concurrencia de las medianas
Concluimos esta sección con la demostración de que las tres medianas de un
triángulo concurren a un punto, el llamado baricentro o centro de gravedad del
triángulo.
Teorema 49
Las tres medianas de un triángulo concurren.

Demostración
.
Al igual que en la demostración de la concurrencia de las bisectrices o de las
mediatrices, partimos considerando el punto en que se cortan dos de las tres
medianas.
En el triángulo △ABC, sean M es el punto medio de BC, N el punto medio de AC,
G el punto donde se cortan las medianas AM y BN, P el punto medio de AG, y Q el
punto medio de BG (ver figura).
Figura 48.

.
Aplicando el teorema del segmento medio (teorema 37) a los triángulos △ABG y
△ABC, vemos que PQ k AB k MN y que
PQ =
AB
2
= MN,
por lo que PQ y MN, dos lados opuestos del cuadrilátero PQMN, son paralelos y
congruentes.
Pero esto implica (teorema 35) que PQMN es un paralelogramo, por lo que sus
diagonales se dimidian (teorema 36), o sea, PG = GM y QG = GN. Pero P y Q son
los puntos medios de AG y BG, por lo que
AP = PG = GM y BQ = QG = GN.

.
Así, vemos que G es un punto de trisección17 de AM, más cercano a M que a A, y
también un punto de trisección de BN, más cercano a N que a B.
Pero entonces —aplicando el mismo razonamiento—, cuando tracemos la
mediana desde C, el punto de corte de dicha mediana con AM también debe ser
un punto de trisección de AM, pmás cercano a M que a A. Pero el único punto de
AM que satisface esta condición es precisamente G, por lo que la tercera mediana
también pasa por G, de donde se desprende que las medianas concurren.
17
O sea, que lo divide en tres segmentos congruentes.

1. Demuestre el corolario al teorema 37.
2. De un paralelogramo se conocen tres vértices. Muestre cómo encontrar el
cuarto vértice del paralelogramo (¡note que hay más de una solución!).
3. Muestre cómo construir un paralelogramo del cual se conocen las longitudes
de un lado y las de las dos diagonales.
En otras palabras: muestre cómo construir, dados tres segmentos PQ, RS y
TU, un paralelogramo ABCD tal que AB ∼
= PQ, AC ∼
= RS y BD ∼
= TU.
4. Demuestre el teorema 40.

Ejercicios propuestos (cont.)
9. Complete la demostración del teorema 47: demuestre que, si P es el punto
en el que se cortan las bisectrices de ∠ABC y ∠ACB, entonces P está en el
interior de ∠BAC.
10. Demuestre que si Q es un punto de la recta l, y PQ ⊥ l, entonces l es
tangente a la circunferencia C(P, PQ) (la de centro en P y radio PQ).
11. Complete los detalles de la demostración del teorema 48, demostrando que:
11.1 Los triángulos △ABC′
, △AB′
C y △A′
BC son (para algún orden de los vértices)
congruentes a △ABC.
11.2 Cada altura de △ABC es una mediatriz de A′
B′
C′
.
12. Complete la demostración del teorema 49, demostrando que todo segmento
tiene exactamente dos puntos de trisección, cada uno más cercano a uno de
los extremos.

Proporciones
Definición 37
Una proporción es la igualdad entre dos razones:
a
b
=
c
d
.
Las proporciones tienen las siguientes propiedades:
1. a
b = c
d si y solo si b, d 6= 0 y ad = bc.
2. Si b, c, d 6= 0 entonces a
b = c
d si y solo si a
c = b
d .
3. Si a
b = c
d entonces a+b
b = c+d
d y a−b
b = c−d
d .
4. Si a
b = c
d entonces a
b = a+c
b+d = a−c
b−d .

División de un trazo en una razón dada
Sean AB un trazo, P ∈
←→
AB , y r ∈ R.
Decimos que P divide a AB en razón r si y sólo si:
1. P ∈ AB, r ≥ 0, y
AP
PB
= r, o bien
2. P /
∈ AB, r < 0, y
AP
PB
= −r.
Teorema
Si P divide a AB en razón r entonces r 6= −1.

Distancias orientadas
Una manera alternativa de definir la división de un trazo en una razon dada, es
considerando distancias orientadas: en cada recta, habrá un sentido en que las
distancias serán positivas y otro en el que serán negativas.
En realidad, no nos interesa tanto cuál es el sentido positivo y cuál el negativo,
sino si acaso dos distancias tienen el mismo signo o signos distintos.
En el primer caso, la razón entre ambas distancias será positiva, y en el segundo
caso negativa.
Así, diremos que P divide a AB en razón r, simplemente si
AP = r(PB).
Note que aquí, como las distancias pueden ser negativas, la razón de división
será negativa justamente cuando P /
∈ AB.

El teorema de Tales
Si tres o más paralelas
son cortadas por dos transversales
dos segmentos de una de ellas,
dos segmentos cualesquiera,
dos segmentos de una de ellas
son proporcionales
a los dos segmentos
correspondientes
de la otra.
(Johann Sebastian Masstropiero, “El Teorema de Tales”, divertimento
matemático, Opus 48).

El teorema de Tales (versión simplificada)
Teorema
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados (o a
sus prolongaciones), entonces los divide proporcionalmente.
Ejercicio
Demuestre que la versión simplificada del teorema de Tales implica la versión
general.

Demostración del teorema de Tales
Sea ABC el triángulo, sea ℓ la recta paralela al lado BC, y supongamos que ℓ
divide al lado AB en razón r.
Probaremos primero que si r es racional positivo, entonces ℓ divide al lado ACen
razón r.
En efecto:
Sean m, n ∈ N tales que r =
m
n
.
Sean P y Q los puntos en que ℓ corta a AB y AC respectivamente (ver figura).
A P
Q
C
B

Demostración del teorema de Tales, r ∈ Q
Ya que P divide a AB en razón r, podemos encontrar m − 1 puntos X1, X2, . . . , Xm−1
en AP y n − 1 puntos Y1, Y2, . . . , Yn−1 en PB tales que
AX1 =X1X2 =. . .=Xm−2Xm−1 =Xm−1P=PY1 =Y1Y2 =Yn−2Yn−1 =Yn−1B.
Ejemplo: supongamos que r = 5/3. Los puntos X1, X2, X3, X4, Y1, Y2 se muestran
en la figura.
1
X
Q
C
A P B
X X X 1
2 3 4 Y Y2

El caso en que r ∈ Q (cont.)
Trazando las paralelas a BC que pasan por los puntos X1, X2, . . . , Xm−1,
Y1, Y2, . . . , Yn−1, obtenemos lo siguiente:
1
X
Q
C
A P B
X X X 1
2 3 4 Y Y2

Trazando ahora las paralelas a AC por los puntos X1, X2, . . . , Xm−1, P,
Y1, Y2, . . . , Yn−1, obtenemos lo siguiente:
1
X
Q
C
A P B
X X X 1
2 3 4 Y Y2

Se puede demostrar (LAL) que todos los triángulos que se forman (ver figura) son
congruentes.
1
X
Q
C
A P B
X X X 1
2 3 4 Y Y2
Entonces los paralelogramos son todos congruentes, por lo que las rectas
paralelas a BC cortan a AC dividen a este segmento en m + n segmentos
congruentes; en particular, el punto Q divide a AC en razón m
n .

El recíproco del teorema de Tales
Ejercicio
Demuestre el recíproco del teorema de Tales, o sea, si una recta
←→
PQ corta a
←→
AB
en P y a
←→
AC en Q, y P y Q dividen a AB y a AC en la misma razón, entonces
←→
PQ k
←→
BC .

MAT1930_Geometria_I.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a MAT1930_Geometria_I.pdf

Similar a MAT1930_Geometria_I.pdf (20)

Último

Último (20)

MAT1930_Geometria_I.pdf