Fundamentos físicos de la electrónica y circuitos

PRESENTACIÓN
Este libro tiene como objetivo proporcionar a los alumnos de informática los
principios básicos sobre campos electrostáticos, Teoría de Circuitos y Dispositivos
Electrónicos y Fotónicos. El manejo de estos conceptos permitirá a los alumnos
comprender algunos de los conceptos estudiados en los últimos temas de Funda
mentos de Sistemas Digitales y, por supuesto, el funcionamiento de algunos de
los dispositivos utilizados en informática. Hay que decir que la mayoría de los
libros existentes dedicados a electrostática no llegan a estudiar los dispositivos
electrónicos y fotónicos ni las puertas lógicas necesarias a la hora de implementar
cualquier circuito electrónico y además, presentan un enfoque físico.
El contenido de este libro se dividen en tres partes:
P a r t e I : E l e c t r o m a g n e t i s m o
El electromagnetismo es el estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos causa
dos por cargas eléctricas en reposo o en movimiento. Un campo eléctrico variable
con el tiempo está acompañado por un campo magnético, y viceversa. En otras
palabras, los campos eléctricos y magnéticos variables con el tiempo están aco
plados, produciendo un campo electromagnético.
Las fuerzas electromagnéticas controlan la estructura de los átomos y de todos
los materiales, y la luz. El electromagnetismo está en la base de la producción de
energía eléctrica, la radio, la TV, la informática y los medios de telecomunicación,
por lo que podemos decir que juega un papel crucial en nuestra vida. Nos pro
ponemos abordarlo de forma sencilla, sin gran aparato matemático, para hacer
comprensibles algunas de sus características más importantes.
Los dos primeros capítulos de esta primera parte, presentan el desarrollo de la
teoría del campo electrostático, es decir, de cargas eléctricas en reposo respecto
al observador. Las leyes y teoremas que vamos a estudiar tienen su origen en
fenómenos observados macroscópicamente, y es precisamente desde este punto de
vista como van a ser estudiadas. El tercer capítulo se dedica al estudio de los
campos magnéticos.
P a r t e II: T e o r í a d e C i r c u i t o s
La Teoría de Circuitos es aquella parte que comprende los fundamentos para el
estudio de los circuitos eléctricos permitiendo calcular los niveles de tensión y co
rriente en cada punto de un circuito en respuesta a una determinada excitación.
IX

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA
Realmente, la Teoría de Circuitos es una simplificación de la Teoría Electromag
nética de Maxwell la cual se basa en considerar las corrientes cuasiestacionarias,
lo que implica que sólo puede aplicarse cuando la longitud de onda de las señales
(ondas electromagnéticas) presentes en el circuito es mucho mayor que las dimen
siones físicas de éste. Esto quiere decir, que la propagación de las ondas en el
circuito es instantánea.
Las bases de esta parte están en la Ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, las cuales
fueron aplicadas inicialmente a corrientes que no varían con el tiempo debido a
la utilización de generadores de corriente continua tales como las pilas eléctricas.
Sin embargo, cuando apareció la corriente alterna la teoría tuvo que adecuarse a
magnitudes que varían de forma sinusoidal con el tiempo lo que introdujo el uso
de vectores estacionarios o fasores.
Esta parte de la asignatura se ha dividido en tres capítulos. El primero se dedica
al estudio de los circuitos de corriente continua. Es en este capítulo donde se
analizarán las distintas reglas para el análisis de los circuitos eléctricos. En el
segundo capítulo se analiza el comportamiento de los circuitos cuando en ellos se
produce un cambio brusco de las condiciones, por ejemplo, cuando se cierra un
interruptor. Finalmente, el tercer capítulo se centra en el estudio de los circuitos
de corriente alterna.
P a r t e I I I : D i s p o s i t i v o s E l e c t r ó n i c o s y F o t ó n i c o s
Una vez adquirida la base para entender los circuitos, esta última parte de la
asignatura se centra en el estudio de los dispositivos electrónicos y los dispositivos
fotónicos.
Los dispositivos electrónicos (diodos, transistores bipolares y transistores de efecto
campo) se emplean en la síntesis de los operadores lógicos (AND, OR, NOT,
NAND y ÑOR) que serán utilizados en el diseño de un sistema digital. El propósito
final es estudiar las distintas familias lógicas. Cada.familia lógica corresponde a
una forma específica de diseñar los operadores básicos. Este estudio nos va a
proporcionar los argumentos físicos para la caracterización de los circuitos lógicos
en términos de parámetros tales como la velocidad o consumo. Por consiguiente, es
el puente con la Electrónica Digital donde ya no se hace referencia a las estructuras
internas de las puertas lógicas pero se depende de la solución tecnológica usada
en la implementación. De hecho, una parte importante de las prestaciones de
un sistema de cálculo dependen de la familia lógica usada en la síntesis de sus
memorias y unidades de proceso.
X

Los dispositivos fotónicos se emplean en la transmisión de información. Entre éstos
encontramos los láseres que transforman la energía eléctrica en energía óptica; los
fotodetectores que producen una señal eléctrica al detectar una señal óptica y las
células solares que convierten la energía óptica en eléctrica. El propósito de esta
parte es presentar al alumno los fundamentos físicos de los dispositivos fotónicos.
El primer capítulo de esta tercera parte, se centra en el estudio de la conducción
eléctrica en los semiconductores para, a continuación, analizar el comportamien
to de los distintos dispositivos electrónicos. En el segundo capítulo se presentan
las distintas familias lógicas. Finalmente, en el tercer capítulo se describen los
fundamentos físicos que permiten entender el funcionamiento de los dispositivos
fotónicos.
XI

Indice general
I Electrom agnetism o 1
1. Campos Electrostáticos 3
1.1. Carga e lé ctrica .......................................................................................... 5
1.1.1. Cuantificación de la c a r g a ......................................................... 7
1.1.2. Conservación de la carga ......................................................... 8
1.1.3. Cargas eléctricas puntuales y distribuciones continuas de
carga eléctrica ............................................................................. 8
1.1.3.1. Densidad lineal de carga ......................................... 9
1.1.3.2. Densidad superficial de carga ................................. 9
1.1.3.3. Densidad volumétrica dec a r g a .................................. 10
1.2. Fuerza eléctrica:Ley de Coulomb ........................................................ 10
1.2.1. Fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales ......................... 10
1.2.2. Principio de superposición lineal ............................................ 12
1.2.3. Fuerza eléctrica ejercida por un sistemas de cargas
p u n tu ales....................................................................................... 13
1.2.4. Fuerza eléctrica ejercida por distribuciones continuas
de ca rg a .......................................................................................... 14
1.3. Campo E lé c tric o ....................................................................................... 18
1.3.1. Campo eléctrico creado por una carga puntual ................... 19
1.3.2. Campo eléctrico de un sistema de cargas puntuales............ 20
XIII

1.3.3. Campo eléctrico de distribuciones continuas.......................... 22
1.3.4. Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos . . . . 27
1.4. Los dipolos eléctricos................................................................................ 29
1.4.1. Campo eléctrico creado por un dipolo .................................... 30
1.4.2. Comportamiento de los dipolos dentro de un campo
eléctrico........................................................................................... 32
1.5. Las líneas del campo eléctrico................................................................ 34
1.6. Ley de G a u ss ............................................................................................. 36
1.7. Conductores y aislantes ....................................................................... 49
1.8. Resumen y Ecuaciones Básicas ............................................................. 51
1.9. Ejercicios de Autoevaluación................................................................... 53
2. P otencial E léctrico 59
2.1. Potenpial eléctrico ................................................................................... 61
2.1.1. Potencial eléctrico de un sistema de cargas puntuales. . . . 63
2.1.2. Potencial eléctrico de distribuciones continuas decarga. . . 64
2.2. Superficies equipotenciales....................................................................... 70
2.3. Energía potencial electrostática............................................................. 71
2.4. Capacidad.................................................................................................... 74
2.5. Almacenamiento de la energía eléctrica................................................ 75
2.6. Condensadores.......................................................................................... 78
2.6.1. Condensadores de placas planas paralelas ............................. 78
2.6.2. Condensadores cilin dricos............' . .......................................... 80
2.7. Asociación de condensadores .......................................................... 83
2.7.1. Condensadores en paralelo.................................................. 83
2.7.2. Condensadores en serie......................................................... 85
2.8. D ieléctricos................................................................................................ 89
2.8.1. Estructura molecular de un dieléctrico................................... 89
XIV

ÍNDICE GENERAL
2.8.2. Ley de Gauss en dieléctricos...................................................... 91
2.8.3. Dieléctricos en condensadores................................................... 92
2.8.4. Condensadores con varios dieléctricos...................................... 94
2.8.5. Energía almacenada en condensadores con dieléctricos . . . 95
2.9. Resumen y Ecuaciones Básicas ...............................................................100
2.10. Ejercicios de Autoevaluación..................................................................... 102
3. Campos Electromagnéticos 109
3.1. Im anes........................... 111
3.2. Fuerza ejercida por un campo m agnético.............................................. 111
3.2.1. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga
móvil ................................................................................................ 111
3.2.2. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente
eléctrica .............................................................................................114
3.2.3. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira
rectangular.......................................................................................118
3.2.4. Energía en las espiras .................................................................. 121
3.3. Líneas de campo m agn ético..................................................................... 122
3.4. Efecto Hall .................................................................................................. 123
3.5. Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento . . . 125
3.6. Campo magnético creado por corrientes eléctricas: Ley de Biot y
S a v a rt............................................................................................................. 127
3.7. Flujo m agnético............................................................................................136
3.8. Ley de Gauss para el magnetismo............................................................137
3.9. Ley de A m p é re ............................................................................................137
3.10. Ley de Faraday y Ley de L en z..................................................................143
3.10.1. Medios estacionarios...................................................................... 145
3.10.2. Medios en m ovim iento................................................................... 146
3.11. Inductancia.................................................................................................. 148
XV

:
3.11.1. Autoinducción ............................................................................... 148
3.11.2. Inducción m u tu a ............................................................................ 150
3.12. Energía m agn ética......................................................................................152
3.13. Resumen y Ecuaciones B á sica s................................................................153
3.14. Ejercicios de Autoevaluación......................................................................155
II Teoría de Circuitos 163
4. Circuitos de CorrienteContinua 165
4.1. Introducción...................................................................................................167
4.2. La corriente eléctrica...................................................................................170
4.3. Resistencia y Ley deO h m .......................................................................... 172
4.4. Circuitos eléctricos......................................................................................175
4.4.1. Concepto de circuito eléctrico.....................................................176
4.4.2. Magnitudes fundamentales en loscircuitos eléctricos . . . . 177
4.4.3. Elementos básicos ......................................................................... 181
4.4.3.1. Las fuentes de energía eléctrica...................................182
4.4.3.2. Las resistencias................................................................185
4.4.3.3. Los condensadores......................................................... 191
4.4.3.4. Las bobinas......................................................................193
4.4.3.5. Los transformadores......................................................194
4.4.3.6. Componentes electrónicos............................................ 195
4.4.4. Partes de un circu ito.....................................................................195
4.5. Leyes de K irch h off..................................... ............................................. 196
4.6. Aplicación de las Leyes de Kirchhoff alanálisis de circuitos.................197
4.7. Teorema de N orton ........................ 205
4.8. Teorema de Thevenin..................................................................................208
4.9. Teorema de M illm an ..................................................................................213
4.10. Resumen y Ecuaciones B á s ica s ..............................................................214
4.11. Ejercicios de Autoevaluación......................................................................216
XVI

ÍNDICE GENERAL
5. Fenómenos Transitorios 221
5.1. Introducción..................................................................................................223
5.2. Resolución de ecuaciones diferenciales deprimer o r d e n ......................224
5.2.1. Condensadores.................................................................................. 227
5.2.2. Bobinas...............................................................................................227
5.3. Circuito RC s e rie .................................................................................... 228
5.4. Circuito RL s e r ie ....................................................................................239
5.5. Análisis del régimen transitorio de circu ito s................................... 245
5.6. Resumen y Ecuaciones Básicas .............................................................. 250
5.7. Ejercicios de Autoevaluación.....................................................................251
6. Circuitos de Corriente Alterna 255
6.1. Representación de las señales alternas: fasores.................................... 257
6.2. Concepto de Impedancia y Adm itancia..................................................260
6.3. Comportamiento de los com ponentes.....................................................262
6.3.1. Resistencias..................................................................................... 262
6.3.2. C ondensadores...............................................................................263
6.3.3. B o b in a s............................................................................................264
6.4. Asociaciones de impedancias y admitancias ........................................266
6.4.1. Asociación serie...............................................................................266
6.4.2. Asociación paralelo.........................................................................269
6.5. Análisis de circuitos de corriente a ltern a .............................................. 273
6.6. Potencia ..................................................................................................... 281
6.7. Resumen y Ecuaciones Básicas ............. , ...............................................292
6.8. Ejercicios de Autoevaluación.....................................................................293
XVII

III Dispositivos Electrónicos y Fotónicos 299
7. Dispositivos Electrónicos 301
7.1. Teoría de las bandas de los sólidos .........................................................303
7.2. Conducción eléctrica en semiconductores................................................305
7.2.1. Conducción en semiconductores intrínsecos ........................... 306
7.2.2. Conducción en semiconductores extrínsecos........................... 309
7.2.3. Corrientes en los semiconductores.............................................. 311
7.3. D iod os.............................................................................................................311
7.3.1. Polarización directa ..................................................................... 313
7.3.2. Polarización inversa ..................................................................... 314
7.3.3. Curva característica y modelo m atem ático.............................. 315
7.3.4. Modelos equivalentes del d i o d o ..................................................317
7.3.5.' Diodos en conmutación ...............................................................327
7.3.5.1. Tiempo de conmutación de conduccióna corte . . 327
7.3.5.2. Tiempo de conmutación de corte a conducción . . 328
7.3.6. Tipos de diodos...............................................................................328
7.3.7. Aplicaciones elementales de los diodos . . ...............................332
7.4. Transistor Bipolar ...................................................................................... 333
7.4.1. Funcionamiento........................................................... .... 336
7.4.2. Curvas características y regiones de funcionamiento...............338
7.4.3. El transistor en pequeña señal..................................................... 341
7.4.4. El transistor en corte y en saturación........................................ 342
7.4.5. Modelos equivalentes del transistor bipolar ........................... 343
7.4.6. Transistores en conmutación........................................................ 345
7.5. Transistores de efecto campo.......................................................................351
7.5.1. Curvas características y modelo elemental de lostransisto
res M O S F E T 355
XVIII

ÍNDICE GENERAL
7.5.2. Modelos equivalentes del transistor M O S F E T ........................357
7.5.3. Tipos de M O S F E T .........................................................................357
7.6. Resumen y Ecuaciones Básicas ............................................................... 359
7.7. Ejercicios de Autoevaluación...................................................................... 360
8. Familias Lógicas 365
8.1. Introducción................................................................................................... 367
8.2. Puertas ló g ic a s .............................................................................................368
8.2.1. La puerta N O T ...............................................................................368
8.2.2. La puerta O R .................................................................................. 369
8.2.3. La puerta A N D ...............................................................................369
8.2.4. La puerta Ñ O R ...............................................................................369
8.2.5. La puerta N A N D ............................................................................370
8.3. Características de las puertas ló g ica s ......................................................370
8.3.1. Características estáticas...............................................................371
8.3.2. Margen de r u i d o ........................................................................... 372
8.3.3. Flexibilidad, l ó g ic a ........................................................................ 373
8.3.4. Disipación de p oten cia..................................................................374
8.3.5. Velocidad de actuación..................................................................374
8.4. Familia Lógica Bipolar (B J T ) ...................................................................376
8.4.1. El inversor b ip o la r ........................................................................ 376
8.4.2. Lógica Resistencia-Transistor ( R T L ) ........................................378
8.4.2.1. Puerta ÑOR en RTL ................................................... 378
8.4.2.2. Puerta NAND en R T L ................................................... 380
8.4.3. Lógica Diodo-Transistor (D T L )..................................................381
8.4.3.1. Puerta ÑOR en DTL ................................................... 381
8.4.3.2. Puerta NAND en DTL ................................................382
8.4.4. Lógica Transistor Transistor (T T L )........................................... 383
XIX

8.4.4.1. Puerta NAND en TTL ................................................386
8.5. Familia Lógica de EmisoresAcoplados ( E C L ) ...................................... 389
8.5.1. Amplificador diferencial...............................................................389
8.5.2. El inversor ECL ............................................................................392
8.5.3. Puerta ÑOR en E C L .....................................................................394
8.6. Familia Lógica M O S ................................................................................. 396
8.6.1. El inversor M O S ............................................................................396
8.6.2. Puerta ÑOR en NMOS ...............................................................399
8.6.3. Puerta NAND en NMOS ............................................................399
8.6.4. El inversor en C M O S .....................................................................400
8.6.4.1. Inversor de tres esta d os................................................401
8.6.5. Puerta ÑOR en CMOS ...............................................................401
8.6.6. Puerta NAND en C M O S...............................................................402
8.7. Resumen........................................................................................................403
8.8. Ejercicios de Autoevaluación.................................................................... 404
9. Dispositivos Fotónicos 407
9.1. Propiedades de la lu z ................................................................................. 409
9.1.1. La luz como onda electromagnética ........................................ 409
9.1.2. La luz como modelo corpuscular ...............................................410
9.1.3. Propagación de la luz ..................................................................411
9.2. Elementos optoelectrónicos .................................................................... 416
9.2.1. Fotorresistores ............................... ' ..............................................416
9.2.2. Células Fotovoltaicas . ...............................................................417
9.2.3. Fotodiodos ..................................................................................... 417
9.2.3.1. Modelo equivalente del fotodiodo ............................420
9.2.3.2. Tipos de Fotodiodos ...................................................422
9.2.4. Fototransistores............................................................................... 423
XX

In d ic e g e n e r a l
9.2.5. Dispositivos de acoplamiento de carga (CCDs) ..................... 424
9.2.6. Fotomultiplicadores......................................................................... 426
9.3. Comunicaciones Ó p tica s............................................................................426
9.4. Resumen.........................................................................................................429
XXI

Capítulo 1
Campos Electrostáticos
C o n t e x t o
El propósito de este capítulo es desarrollar la teoría del campo electrostático, es
decir, de cargas eléctricas en reposo respecto al observador. Las leyes y teoremas
que vamos a estudiar tienen su origen en fenómenos observados macroscópica
mente por lo que van a ser analizados desde ese punto de vista. Su extrapolación
a fenómenos microscópicos no se puede hacer sin tener en cuenta otras considera
ciones en las que interviene la mecánica cuántica, lo cual se sale fuera del contexto
de este libro.
Por otro lado, mientras no se especifique lo contrario, se considera que las le
yes se aplican en el vacío. Cuando se disponga de otros medios materiales, los
caracterizaremos por parámetros definidos mediante parámetros macroscópicos.
En este capítulo vamos a comenzar estudiando la carga eléctrica y sus propieda
des. En las siguientes secciones se presenta una descripción vectorial del campo
electrostático. El punto de partida lo constituye la ley de Coulomb relativa a la
iteración eléctrica para pasar a un concepto más amplio que es el campo eléctri
co. Se introducirán las líneas de campo eléctrico para intentar visualizarlo y se
estudiará la ley de Gauss de campo eléctrico. Finalmente, vamos a definir los ma
teriales como aislantes y conductores, dependiendo de su comportamiento cuando
adquieren una carga eléctrica.
3

FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INFORMÁTICA
C o n o c im ie n t o p r e v i o n e c e s a r io
Dado que las fuerzas así como el campo eléctrico son magnitudes vectoriales, para
entender los conocimientos de este capítulo es necesario manejar con soltura el
cálculo vectorial y la trigonometría. Además, como veremos a lo largo del capítulo,
cuando se dispone de distribuciones continuas de carga resulta imprescindible el
manejo de integrales para el cálculo de la fuerza o campo eléctrico.
O b j e t iv o s d e l c a p í t u l o
Los objetivos del capítulo son:
1. Estudio del concepto de carga eléctrica.
.2. Conocer las distintas distribuciones de carga.
3. Saber calcular la fuerzas que aparecen en una determinada distribución de
cargas mediante la aplicación de la ley de Coulomb así como el campo
eléctrico que dicha distribución crea en un punto del espacio.
4. Conocer la ley de Gauss. Esto supone saber aplicar esta ley para el cálculo
del campo eléctrico creado por una determinada distribución de cargas.
5. Desde el punto de vista del comportamiento eléctrico, diferenciar los distin
tos tipos de materiales.
G u ía d e e s t u d io
Lo conveniente es seguir el estudio del capítulo de manera secuencial.
4

CAPITULO 1. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS
1.1. Carga eléctrica
Los primeros trabajos sobre los fenómenos eléctricos se remontan a los griegos
los cuales ya realizaron observaciones de la atracción eléctrica. Detectaron que al
frotar el ámbar, éste atraía pequeños objetos como plumas. De ahí que la palabra
eléctrico proceda del vocablo griego asignado al ámbar, elektron.
Para entender la existencia de la carga eléctrica podemos realizar el siguiente ex
perimento. Supongamos que frotamos una barra de plástico con un trozo de piel y
la suspendemos de una cuerda que puede girar libremente. Si aproximamos a esta
barra una segunda barra de plástico, frotada también contra la piel, observamos
que la barras se repelen entre sí. Un resultado semejante se obtiene si repetimos
el experimento con dos barras de vidrio frotadas con seda. Sin embargo, cuando
utilizamos una barra de plástico frotada con piel con una barra de vidrio frotada
con seda, observamos que las barras se atraen entre sí. Si repetimos este expe
rimento con distintos tipos de materiales comprobamos que algunos de ellos se
atraen y otros se repelen.
La explicación a este fenómeno es que al frotar una barra se carga eléctricamente,
además deducimos que dependiendo del material usado dicha carga es distinta, lo
que hace que las barras se repelan o se atraigan entre sí. En base a este experimento
podemos decir que todos los objetos cargados pueden clasificarse en dos tipos:
aquellos que se cargan como la barra de plástico frotada con un trozo de piel y los
que se cargan como la barra de vidrio frotada con un paño de seda. Este fenómeno
fue explicado por Benjamín Franklin (1706-1790) el cual propuso que todos los
objetos tienen una cantidad "normal” de electricidad pero cuando dos objetos se
frotan entre sí, parte de la electricidad de uno se transfiere al otro, lo que hace
que uno de ellos tenga exceso de carga y el otro deficiencia. Franklin les asignó
los nombres de positiva o negativa. Así, la barra de vidrio frotada con un paño de
seda la llamó positiva, lo cual significaba que el paño de seda adquiría una carga
eléctrica de igual magnitud. Por contra, el plástico frotado contra la piel adquiere
una carga negativa y la piel adquiere una carga positiva de igual magnitud. Como
vimos en nuestro experimento, dos objetos con el mismo tipo de carga se repelen
entre sí, mientras que con cargas opuestas se atraen.
En resumen, la electrización es el fenómeno mediante el cual un objeto adquiere
carga eléctrica ya sea positiva o negativa. Así, dos objetos electrizados con el
mismo tipo de carga se repelerán, mientras que con cargas distintas se atraerán.
Podemos observar distintos ejemplos de electrización en la vida cotidiana cuando
nos cepillamos el pelo o cuando la puerta del coche nos da una descarga. Resulta
5

incluso de gran importancia el conocimiento de los fenómenos de electrización
cuando manejamos circuitos electrónicos ya que éstos pueden verse dañados si se
produce una descarga eléctrica.
Tal y como se ha visto anteriormente una forma de comunicar carga eléctrica a un
objeto es por fricción, en donde frotamos el objeto con otro objeto. El frotamiento
sirve sólo para establecer un buen contacto entre muchos puntos de las superficies,
pasando electrones de una a la otra. Otra posibilidad de cargar un objeto es por
contacto en cuyo caso se pone en contacto un objeto cargado con otro descargado
transfiriéndose cargas entre ellos de manera que ambos resultan electrizados con
el mismo tipo de carga. Finalmente, un objeto puede ser cargado por inducción la
cual se produce sin necesidad de contacto entre los objetos y se debe a las fuerzas
eléctricas de Coulomb ejercidas por un objeto cargado sobre los electrones de otro
objeto descargado. Precisamente, este fenómeno es fundamental en la polarización
de aislantes, en la carga de los condensadores o en la actuación de los elementos
electrónicos como los transistores de efecto de campo.
Para entender este último caso de electrización, veamos el ejemplo mostrado en
la figura 1.1, en donde se representa la sección transversal de una esfera metálica
cuando aproximamos una barra cargada negativamente. El efecto de la barra
sobre la esfera es la repulsión de los electrones, haciendo que parte de éstos se
desplace a la superficie de la esfera opuesta a la barra. Esto produce una pérdida
de carga negativa y, por tanto, un exceso de carga positiva en la superficie de la
esfera próxima a la barra y un exceso de carga negativa en la zona opuesta. Tales
excesos de carga se denominan cargas inducidas. Hemos de observar que no existió
transferencia de carga de la barra a la esfera y que ésta sigue siendo eléctricamente
neutra. Las cargas inducidas permanecerán mientras mantengamos cerca la barra
cargada.
+
+
+
+
Figura 1.1: Cargas inducidas en una esfera metálica
Antiguamente para medir la presencia de carga en un objeto se disponía del elec
troscopio (creado por el médico inglés William Gilbert). Este dispositivo es un ins
trumento que permite determinar en un objeto, la presencia de cargas eléctricas,
basándose en el fenómeno de separación de cargas por inducción. El electroscopio
consiste en una varilla metálica que tiene una esfera en la parte superior y en el
6

extremo opuesto dos láminas de oro muy delgadas. La varilla está sostenida en
la parte superior de una caja de vidrio transparente con un armazón de cobre en
contacto con tierra. Cuando las láminas de oro no están cargadas, permanecen
juntas en posición vertical. Sin embargo, cuando aproximamos un objeto cargado
a la esfera las láminas se separan. Si, por ejemplo, el objeto está cargado positiva
mente, por inducción, la esfera va a quedar cargada con cargas negativas dejando
cargas positivas en las laminas. Al tener el mismo tipo de carga éstas se repelen
y se separan, siendo su divergencia una medida de la carga. Cuando separamos
el objeto cargado de la esfera las láminas vuelven a juntarse. Actualmente es
te instrumento no es más que una curiosidad de museo, dando paso a mejores
instrumentos electrónicos.
1.1.1. Cuantificación de la carga
La materia está constituida por átomos eléctricamente neutros. Un átomo se com
pone de un núcleo de carga positiva formado por protones y neutrones alrededor
del cual se encuentra una nube de electrones de carga negativa. La cantidad de
protones contenidos en el núcleo del átomo se conoce como núcleo atómico, el
cual se representa por la letra Z. Los protones están cargados positivamente, los
neutrones no tienen carga y los electrones están cargados negativamente. La carga
de un protón es +e y la de un electrón es -e, siendo e la unidad fundamental de
carga. Por ello, al existir igual número de protones que de electrones, el átomo
posee una carga neta cero. La masa, carga y el espín de un electrón o protón es
una propiedad intrínseca de la partícula.
Las cargas se presentan en múltiplos enteros de la unidad fundamental de carga e.
Nunca se han observado cargas menores que la del electrón. De este modo, toda
carga Q puede escribirse en la forma Q = ± n e, siendo ne, un número entero. Sin
embargo, en sistemas macroscópicos, ne puede ser un número muy grande y la
carga parece ser continua.
La unidad de carga en el Sistema Internacional (SI) es el culombio (C), el cual
se obtiene en función de la unidad de corriente o intensidad eléctrica, el amperio,
que será estudiado en el capítulo 4. El culombio es la cantidad de carga que fluye
a través de un cable conductor en un segundo cuando la intensidad de corriente
en el mismo es un amperio. La unidad fundamental de carga eléctrica e está
relacionada con el culombio por:
e = 1/602177 •K r 19C (1.1)
7

1.1.2. Conservación de la carga
Los experimentos descritos anteriormente indican que la carga se conserva. Esto
es, cuando dos objetos se frotan, en uno de ellos aumenta el número de electro
nes resultando una carga negativa y en el otro disminuye el número de electrones
resultando una carga positiva al contener más protones que electrones. La carga
total, suma de las cargas de los dos objetos, no varía, es decir, la carga se conser
va. La ley de conservación de la carga es una ley fundamental en la naturaleza.
Aunque se produzcan interacciones entre partículas elementales se creen o des
truyan electrones siempre van a crearse o destruirse cantidades iguales de cargas
positivas de forma que la carga del universo no cambia.
1.1.3. Cargas eléctricas puntuales y distribuciones continuas de
carga eléctrica
Cuando se trabaja con partículas cargadas, como electrones, protones, iones, etc.,
se puede considerar a dichas cargas como puntuales, esto es, como una carga
concentrada en un punto geométrico del espacio. También se consideran cargas
puntuales aquellas para las que calculamos magnitudes eléctricas a distancias
mucho mayores que las dimensiones del objeto cargado.
La carga de un electrón o un protón es tan pequeña que su cuantificación no
se pone de manifiesto a nivel macroscópico. Por ejemplo, un cuerpo con carga
neta de -50 nC contiene unos 3,12-1011 electrones en exceso. Podemos, por tanto,
considerar que las cargas netas macroscópicas están distribuidas de forma continua
ya que están muy cerca unas de otras en comparación con las demás distancias
de interés y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla
e<^.dq q.
Dependiendo de cómo se reparta la carga neta podemos encontrarnos con distintos
tipos de distribución de carga. Cuando está repartida a lo largo de una dimensión
tendremos una distribución lineal de carga, si está repartida a lo largo de dos
dimensiones tendremos una distribución superficial de carga y si está repartida a
lo largo de tres dimensiones resulta una distribución volumétrica. Para cualquier
tipo de distribución continua de carga, el elemento de carga dq es tan pequeño
que se comporta como una carga puntual, es decir, los elementos de línea (di),
de superficie (dS) o de volumen (dV) deben ser pequeños desde el punto de vista
macroscópico. Veamos a continuación la definición de los tres tipos de densidad
de carga.

CAPÍTULO 1. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS
1.1.3.1. Densidad lineal de carga
Si la carga neta está repartida de forma continua a lo largo de un hilo, tendremos
una densidad lineal de carga que se simboliza por A, representando la cantidad
de carga por unidad de longitud. En un elemento diferencial de longitud, di,
tendremos un elemento diferencial de carga, dq cumpliéndose:
con unidades de C/m en el SI.
La cantidad de carga neta a lo largo de un tramo de hilo se obtiene despejando
dq en la ecuación (1.2) e integrando:
Si la carga está uniformemente repartida a lo largo del hilo, la densidadlineal de
carga A será constante, facilitando la resolución de esta integral.
1.1.3.2. Densidad superficial de carga
Si la carga neta está distribuida de forma continua a lo largo de unalámina
sin espesor, tendremos una densidad superficial de carga que se simboliza por
cr, representando la cantidad de carga por unidad de superficie. Siendo dS un
elemento diferencial de superficie, tendremos:
con unidades de C/m2 en el SI.
La cantidad de carga neta en una superficie se obtiene despejando dq en la ecua
ción (1.4) e integrando:
Si la carga neta está uniformemente repartida a lo largo de la superficie, la densi
dad superficial de carga cr será constante, facilitando la resolución de esta integral.
(1.3)
(1.5)
9

1.1.3.3. Densidad volumétrica de carga
Cuando la carga neta está distribuida en un volumen, se introduce la densidad
volumétrica de carga que se simboliza por p, representando la carga por unidad
de volumen. Si dV es un elemento diferencial de volumen, tendremos:
_ d<í (^ R

P dV )
con unidades de C /m 3 en el SI.
La cantidad de carga neta en un volumen se obtiene despejando dq en la ecuación
(1.6) e integrando:
Si la carga neta está uniformemente repartida a lo largo del volumen, la densidad
volumétrica de carga p será constante, facilitando la resolución de esta integral.
1.2. Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb
En 1785 Charles Coulomb dedujo la ley de fuerza electrostática usando una balan
za de torsión semejante a la que se utilizó para medir la constante gravitacional.
En sus experimentos Coulomb utilizó unas esferas cargadas, muy pequeñas en
comparación con la distancia entre ellas de manera que las cargas podían consi
derarse como puntuales. Los resultados de los experimentos de Coulomb y otros
científicos sobre la fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra se resumen
en la ley de Coulomb:
“La fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de
las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa,
su dirección es la de la recta que une las cargas y el sentido depende de los signos
respectivos, de atracción si son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo
signo. ”
1.2.1. Fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales
La magnitud de la fuerza eléctrica ejercida por una carga puntual qi sobre otra
carga puntual separadas por una distancia r viene dada por la siguiente expre
sión matemática:
(1.7)
(1.8)
10

donde k es una constante determinada experimentalmente, llamada constante
de Coulomb. Su valor depende de las unidades empleadas para la medida de la
fuerza, carga y distancia. En el sistema internacional tiene el valor de 8,988 •
109iV. •TO
2/C'2que para simplificar los cálculos, en este texto, aproximaremos a
9 •109N •m2/C2.
La constante de la ley de Coulomb, k, depende del medio en el que se encuentren
las cargas a través de un parámetro eléctrico de dicho medio llamado constan
te dieléctrica del medio o permitividad del medio. Cuando el medio es el vacío,
comportamiento semejante al aire seco, medio en el que Coulomb realizó sus ex
perimentos, la constante de Coulomb es:
k = T — (E9)
47T
£0
donde la constante eQ
, es la permitividad eléctrica del vacio. Su valor en el SI es:
eo = 8/85-10 ~12C 2/ N -m 2 (1.10)
Siempre que no se diga lo contrario, el medio en el que trabajaremos es el vacío.
La fórmula vectorial de la fuerza ejercida por una carga gi, situada en r í , sobre
una carga gy, situada en rt, viene dada por:
¡r * 1 (111)
47T£0
La figura 1.2muestra losvectores de posición correspondientes a las cargas qi y
g2 queaparecen enla ecuación (1.11). Dicha ecuación expresa la dirección de la
fuerza mediante el vector unitario:
(1.12)
r 2 —n|
y la distancia entre cargas viene dada por | ?2 —ñi|.
Nótese que la fuerza electrostática:
1. Es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccio-
nan.
2. Disminuye con el inverso de la distancia de separación entre cargas al cua
drado y cuando las cargas son esféricas con distribuciones radiales de carga,
dicha distancia se toma de centro a centro.
11

Figura 1.2: Vectores de posición de dos cargas puntuales
3. Tiene como dirección la recta que une a ambas cargas y su sentido depende
del signo de las cargas, siendo repulsiva si las dos cargas tienen el mismo
signo y atractiva si tienen distinto signo.
4. Es aplicable a distancias mayores que unos 10_4m, pues a distancias infe
riores predominan las fuerzas nucleares.
5. La fuerza cumple la ley newtoniana de acción y reacción, es decir, Fi# =
—1 *2 ,1 , la fuerza de qj sobre <72 es igual a menos la fuerza de 3 2 sobre q.
6. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria (unas 1036 veces), a pesar
de que la primera nos parece menos familiar que la segunda pero no hay que
olvidar que las fuerzas eléctricas son responsables de la estructura atómica.
En un sistema de cargas, cada una de ellas ejerce una fuerza dada por la ecuación
(1.11) sobre las restantes. A continuación vamos a estudiar cómo se obtiene la
fuerza que sobre una carga ejerce una distribución de cargas. Para ello es necesario
establecer, en primer lugar, el principio de superposición lineal.
1.2.2. Principio de superposición lineal
El principio de superposición lineal expresa que, la fuerza electrostática sobre
una carga, es la suma vectorial de las componentes individuales ejercidas sobre la
carga, debidas a cada carga puntual o densidad de carga.
Este principio se cumple siempre en el vacío. Cuando se calcula el campo en
medios materiales, debemos tener en cuenta si el medio tiene una respuesta lineal
en el intervalo de valores de la intensidad de campo considerada, de lo contrario
12

no se puede aplicar el principio de superposición lineal, y para calcular el campo
debido a una suma de campos, debemos conocer la variación que experimentan
los parámetros que caracterizan el medio con la intensidad de campo. Estos casos
se salen fuera del propósito de esta asignatura.
1.2.3. Fuerza eléctrica ejercida por un sistemas de cargas
puntuales
La fuerza sobre una carga q situada en el punto debida a un sistema de cargas
puntuales ©, con i = 1,2,..., JV, situadas respectivamente en los puntos rt, será
la suma vectorial de las fuerzas que cada carga individual ejerce sobre la carga q,
esto es:
i N
V •--* > : .... r) (1.13)
E j e m p l o 1 .1
Supongamos un sistema formado por tres cargas en el vacío q = 12nC,
<72 = —5 nC y 9 3 = 10 nC situadas en las posiciones expresadas en metros
rt = (4,6,0) m, r| = (10,4,0) m y r| = (—2,0,0) m, respectivamente. Se
desea calcular la fuerza sobre la carga q-¿.
Para determinar la fuerza resultante sobre q$ debemos aplicar el principio de
superposición el cual nos dice que la fuerza neta sobre 9 3 es el vector suma de la
fuerza ejercida sobre ésta por qi, F i¿, más la fuerza ejercida sobre ésta por <
7 2 ,
-P2,3-
Para ello, se comienza determinando los vectores distancia entre cargas, los cuales
se representan en la figura 1.3, y su módulo correspondiente:
(^3 - r í ) = ( - 2 , 0 , 0 ) - ( 4 ,6 ,0 ) = ( - 6 , - 6 , 0 ) m
1^3 - tÍ |= V (—6 ) 2 + (—6 ) 2 = V72m
f á - r % ) = (-2 ,0 ,0 ) - (10,4,0) = (-1 2, -4 ,0 ) m
|r3 - V2 = (—1 2 ) 2 + (—4) 2 = Vl60m
A continuación, se calcula la fuerza que ejerce cada' una de las cargas del sistema
sobre la carga <73 aplicando la ecuación (1 .1 1 ):
13

Figura 1.3: Vectores de posición de cargas puntuales
Fl = 9 ■K)9 12,10 9 ' 1 0 - ^ _ 9 - ( 6> 6’ °j. = (—io'606, —K /606,0) n N
(a/72)3 V ’
ñ i = 9 . 109 ( - 5) ,10" , 1 0 ^ : 9 , ( - 12’ --4’ 0) = (*668, G'889,0) nN
(VÍ60)3
La fuerza resultante sobre será la suma vectorial de ambas fuerzas:
Fneta = *1,3 + *2,3 = (-7'938, -9'717,0) nN
1.2.4. Fuerza eléctrica ejercida por distribuciones continuas
de carga
La fuerza sobre una carga q, situada en el punto ~F", debida a una distribución
lineal continua de carga, A, se obtiene sumando las fuerzas que cada elemento de
carga, dqi ejerce sobre la carga q. Es decir, suponiendo un tramo elemental dZ¿,
situado en el punto r¡ de la distribución, la carga elemental es A(rj)dZ¿, y dicha
carga elemental ejerce una fuerza sobre q. La suma de todas las fuerzas
se convierte en integral, por lo que la expresión para calcular la fuerza sobre la
carga q es ahora de la siguiente forma:
i / - A t F H T - í í M ,
14

De forma análoga se obtienen las fuerzas en el caso de distribuciones superficiales
y volumétricas de carga. Para una distribución superficial de densidad de carga
superficial a (rt), obtendremos la fuerza sustituyendo en la ecuación (1.14) la dis
tribución de carga lineal, A(r¿), por la densidad de carga superficial a (r¡ ) y el
elemento diferencial, dZ¿, por un elemento diferencial de superficie dsi. Evidente
mente, la integral pasará a ser una integral de superficie. Análogamente, para el
caso de una distribución con una densidad volumétrica de carga p (rf), sustituire
mos en la ecuación (1-14), A(rt) por p (rt) y el elemento diferencial de longitud,
dk, por un elemento diferencial de volumen Ahora la integral pasará a ser
una integral de volumen.
E j e m p l o 1.2
Supongamos que tenemos una distribución lineal A situada sobre una
circunferencia de radio R, cuyo centro es el origen de coordenadas y su
plano el X Y tal y como muestra la figura 1.4. Se desea calcular la fuerza
que esta distribución ejerce sobre una carga q situada en un punto z
del eje Z.
Figura 1.4: Cálculo de la fuerza ejercida por una distribución lineal de carga de forma
circular sobre una carga q
Tomamos sobre la circunferencia un elemento diferencia dij tal y como se re
presenta en la figura 1.4, cuyas coordenadas vienen dadas por ~r¡ = (t¿,r/¿, 0).
Observamos que tanto como y, varían de valor según nos movemos por la cir
cunferencia. Esto dificulta el cálculo de la integral. Sabemos de trigonometría que
15

Xi = R cos9 y que yi = R sen9, luego podemos expresar las coordenadas de este
elemento diferencial como = (i? cosd, R senO, 0) de esta forma conseguimos
expresar dichas coordenadas en función de una única variable facilitando el cálculo
de la integral.
Para calcular la fuerza sobre una carga q, situada en = (0,0, z) comenzamos
calculando los vectores de posición:
(~r^ — r¿) = ( - R cosO, —R senO, z )
sabiendo que (eos2 0 + sin2 9) = 1, su módulo resulta:
(T> — rt) |= JR 2cos26 + R2sin29 + z2 = y/R2(cos29 + sen29) + z2 = y/R2 + z2
A continuación, calculamos la fuerza aplicando la ecuación (1.14):
q f A (T* —T^i) J1 q [ A (—R cos9vt - R sen9ñl + züt)
* = 4¿r0 J i ^ - ^ i 3 i = ^ T o J ( v w + ^ r k
siendo los vectores unitarios en las tres coordenadas cartesiana. Sa
biendo que el elemento diferencial sobre la circunferencia puede expresarse en
función de 9 como dk = R d9 e integrando resulta:
F = -----------, — / (—Rcos9u^ —R sen 9vl + zv?z)dQ =
4tt e0(VR2 + z2)3 Jo
q X R [-R s e n 9 v t + R c o s 9 ^ + z9ü t] f =
47re0(y/R2 + z2)3
o A R
[—i? (sen2it —sentí) ut + R (cos2ir —cosO) + z (27r)ut] =
4T
T
E
0(y/R2 + z2 ) 3
q A R
4t
t
e
0(y/R2 + z2)3
z 27TU
Z
de donde obtenemos finalmente el valor de la fuerza que se ejerce sobre una carga
q situada en el punto z:
= A — ^ J _R (1.15)
2e0 V z2 + R2)3
16

Observamos que al integrar (sumar) las componentes elementales d F , la com
ponente radial (compuesta por las coordenadas x e y) se elimina ya que cada
longitud elemental, dli, siempre va a tener una simétrica, y por consiguiente,
la suma de las fuerzas que crean ambas, en la dirección de los ejes X e Y, será
nula (ver figura 1.4).
E j e m p l o 1.3
Supongamos un disco de radio R uniformemente cargado con una den
sidad de carga e
r situado en el plano X Y y centrado en el origen de
coordenadas. Calcular la fuerza ejercida por dicho disco sobre una car
ga, q, situada en el eje Z a una distancia z del origen de coordenadas.
En este caso, tomamos como elemento diferencial un aro de radio r, ancho dr y
área ds (ver figura 1.5), se cumple:
ds = 2irr dr
donde 2nr es el perímetro del aro.
Figura 1.5: Cálculo de la fuerza ejercida por una distribución superficial circular sobre
una carga q
Este aro puede asimilarse a una circunferencia de radio r con una densidad lineal
A dada por:
, Qarocr ds a 2ttr dr
A - —
---- = — = — = a dr
2ttr 27rr 2-irr
siendo Qaro la carga del aro. Así, la fuerza elemental ejercida por dicho elemento
17

diferencial sobre la carga q es, utilizando la expresión obtenida en el ejemplo 1 .2 :
Por otro lado, si observamos la figura vemos que:
sena
r — z taga = 2: ■
da
cosa
y su derivada
dr = z-
con lo que sustituyendo y operando resulta:
da sena
d i = —-----------eos2a------cosa _ a senQ, ¿a
/ r z / vo 2s0
2 . í sena V
c o sa )
Integrando:
Í = dL f ai 7 <
? a r íai Qa n l ->
/ (7 sena da uz = - — [—
cosaj0 uz = - — [1 —cosaij uz
o Jo l £0
Observando la figura 1.5 vemos que:
C O S Q l
C ? 2 + R2
con lo que la fuerza ejercida sobre la carga q por el disco resulta ser:
2en
1.3. Campo Eléctrico
z
1 -
V z2 + R2
(1.16)
Tal y como hemos estudiado con la ley de Coulomb, una carga ejerce una fuerza
sobre otra aunque estén separadas una gran distancia. Michael Faraday sugirió
un modo para explicar este fenómeno: un cuerpo influye sobre el espacio que le
rodea, estableciendo un campo a su alrededor, que está presente siempre, haya o
18

no otros cuerpos. Cuando un segundo cuerpo se localiza en un determinado punto,
el campo que hay en dicho punto actúa sobre éste. En resumen, podemos definir el
campo como la región del espacio donde se produce un efecto físico caracterizado
por una magnitud escalar o vectorial, que puede además ser o no dependiente del
tiempo.
Pues bien, es lógico pensar que cualquier distribución de cargas, positivas o nega
tivas, producirán un campo eléctrico que actúa sobre cualquier carga colocada en
él. La intensidad de campo eléctrico se define comola fuerzapor unidad de carga
que experimenta unacarga de prueba estacionaria muypequeña alcolocarse en
una región donde existe un campo eléctrico, es decir,
— ^ - f
É = lim — (1.17)
n o g '
Vemos que la intensidad de campo eléctrico es proporcional a la fuerza y tiene
su misma dirección. El motivo por el que se utiliza una carga de prueba pequeña es
que si fuera grande podría hacer que las cargas responsables del campo eléctrico
se movieran debido a la fuerza de Coulomb, alterando la distribución original
de carga que produce el campo eléctrico. Por otro lado, en la práctica, la carga
de prueba no puede ser cero, de hecho, no puede ser menor que la carga de un
electrón.
Una relación inversa de la ecuación (1.17) da la fuerza sobre una carga esta
cionaria q en un campo eléctrico ~É:
l^ = qlí¡ (1.18)
Tomando como unidades las utilizadas en el SI, esto es, la fuerza en newtons (N)
y la carga en coulombs (C), la intensidad de campo eléctrico tiene unidades de
newtons partido por coulombs (N/C) que como veremos más adelante equivale a
voltios partido por metro (V/m ).
1.3.1. Cam po eléctrico creado por una carga puntual
El caso más sencillo de un campo eléctrico es el creado por una carga puntual
q. Supongamos dos cargas puntuales q y q2, separadas y situadas en r f y rf,
respectivamente. La ley de Coulomb establece que la fuerza que ejerce la
19

carga q sobre <72 es igual a:
W * = 1 gig2 ( r 2 - n )
1 ,2 4tT£ 0 |y| _ y* | 3
Si decimos que 5 2 es nuestra carga de prueba podemos emplear la ecuación (1.17)
para determinar el campo eléctrico, resultando:
^ 1 91 g2(ra—rt)
-Á Fx 2 47re° |?í—
5=í|a 1 q i { r t - r Í )
£j = hm — — = lim !
--------------= íim---------- ^ — _u ó
92^-0 q2 52^-0 q2 q2->04:7r£o |r| — Ti |
= 1 gl(r2 - rt)
4tt£ 0 | F | -ft¡3
o expresado en función de la constante de Coulomb:
-g = ■),(U - U )
|
Ü
2 “ 7l |
(1.19)
(1.20)
(1.21)
En la figura 1.6 observamos que este campo es radial y su sentido dependerá del
signo de la carga que crea el campo, es decir, el campo eléctrico se aleja de una
carga positiva y cuando la carga es negativa, el campo eléctrico tiene la misma
magnitud pero sentido opuesto, esto es, se acerca a la carga.
t / ? U
/ f
(a) (b)
Figura 1.6: Campo eléctrico debido a una carga puntual (a) positiva; (b) negativa
1.3.2. Cam po eléctrico de un sistema de cargas puntuales
Si hay más de una carga puntual responsable del campo, empleamos el principio
de superposición, ya visto en el aparatado anterior, para determinar el campo
neto. Pues bien, según el principio de superposición, el campo eléctrico neto, en
20

un punto del espacio, es la suma vectorial de los campos de las cargas individuales
presentes.
Así, el campo eléctrico en un punto V debido a un sistema de N cargas,
situadas respectivamente en los puntos rt es,
E j e m p l o 1 .4
Se desea calcular el campo eléctrico en el punto p, situado en"r^= (3,1,0)
y creado por un sistema de cargas puntuales formado por tres cargas
qi = 2 nC, q2 = —In C y g3 = —2n C situadas en rí = (0,0,0), = (0,2,0)
y Ü
3 = (3,0,0), respectivamente. Todas las distancias están expresadas
en metros.
Para determinar el campo eléctrico resultante en el punto p debemos aplicar el
principio de superposición el cual nos dice que el campo neto en el punto p es el
vector suma del campo creado por qi, Ei, mas el campo creado por q2, É 2, mas el
campo creado por q%
, E¡. Para determinar cada una de estos campos se comienza
calculando los vectores distancia y sus módulos:
V - rí = (3,1,0) - (0,0,0) = (3,1,0) m
~V — rf |= -/32 + l 2 = VlÓ m
V - r| = (3,1, 0) - (0,2,0) = (3, -1 ,0 ) m
- r¿| = a/32 + ( - 1 ) 2 = VlO m
V - T % = (3,1,0) - (3,0,0) = (0,1,0) m
—¥3 [ = W * = 1 m
Aplicando la ecuación (1 .2 0 ) a cada una de las cargas tenemos:
(1.22)
Ei
1 qi 9 •109 ■2 •10-9 ■(3,1, 0)
S í i í E A f f ' — ~ 1 A 0)3---------------
El = (l'70,0'56,0) N/C
21

n? 1 <?2 /-a —
y
Airso]^ ~ 7 ¡ 3 (VlO) 3
J
E
^ = (-0'85,0'28,0) N/C
1 9 3 ^ ^ . , 9- 1 0 9 - ( - 2 ). 1 0 - 9 -(0 , 1 , 0 )
4tT£ 0 l 3
pf3 = (0 , —18,0) N/C
Por tanto, el campo neto resultante en el punto p vendrá dado por:
= e [ + E^ + E^ = (o'85, —1714,0) N/C
1.3.3. Cam po eléctrico de distribuciones continuas
El campo eléctrico en un punto V* debido a la distribución volumétrica de densidad
P(rt) es,
-V 1 f p (rt)C ? -r$ )d v i
e - ^ r J v i f - u i 3 ( ’
De forma análoga se obtienen el campo eléctrico en el caso de distribuciones super
ficiales y lineales de carga. Para una distribución superficial cri/rl) obtendremos
el campo eléctrico sustituyendo en la ecuación (1.23) la distribución de carga
volumétrica, p(r¿), por la densidad de carga superficial, c (r f), y el elemento di
ferencial de volumen, dvi, por un elemento diferencial de superficie, ds¿. Para el
caso de una distribución lineal, A(rf), sustituiremos en la ecuación la distribución
de carga volumétrica, p(r¡) por la densidad de carga lineal, A(r¡) y el elemento
diferencial de volumen, dvi, por un elemento diferencial lineal, dl¿.
E j e m p l o 1 .5
Sea un segmento de línea finito situado sobre el eje X desde 0 hasta L
y cargado uniformemente con una carga +q. Se desea calcular el campo
eléctrico creado por dicho segmento de línea en un punto p situado
sobre el eje X a una distancia xp del origen de coordenadas tal que
xp > L.
Como la carga está distribuida uniformemente a lo largo de la longitud de la línea,
la densidad lineal A será |). El campo eléctrico en un punto situado sobre el eje X
22

a una distancia xp del origen de coordenadas tal que xp > L, se calcula aplicando
la ley de Coulomb sobre un elemento diferencial dx situado respecto al origen en
x. Teniendo en cuanta que los vectores distancia son (ver figura 1.7):
Tp = (xp, 0,0); T^ = (a;, 0,0)
( íp -T * ) = (xp - £ ,0 , 0 ); |?p - = (xp - x)
Aplicando la ecuación (1-23) y poniendo dq = A dx resulta:
-á 1 dq (r% - 1
? ) X dx (xp - x)
C
uC/ --- > O / r> U'J'
4 7 re0 4 7 re0 (xp - x )3
siendo el vector unitario en la dirección del eje X .
Figura 1.7: Vectores distancia para el cálculo del campo eléctrico creado por un segmento
lineal de carga de longitud L
Como vemos, el campo eléctrico debido a la carga dq situada en dx está dirigido a
lo largo del eje X , con lo que pondremos únicamente la componente x del campo,
esto es:
^ A dx
4ty£o (Xp - x ) 2
Haciendo el cambio de variable u = xp —x de manera que du = —dx, resulta que
cuando x = 0, u — xp y cuando x = L , u = xp —L e integrando:

Operando tenemos finalmente que el campo eléctrico viene dado por:
2j '1 __ ^______ ^
' _ 4______ Q q 2 4 )
X 4:T
T
£o X2 —LíCp 4 7 T
£ 0 x2 —Lxp
E j e m p l o 1 .6
Sea un segmento de línea de longitud L y cargada uniformemente, si
tuada sobre el eje X entre los puntos x i y X'¿- Se desea calcular el campo
eléctrico en un punto P situado en (0,y,0).
Como la carga está distribuida uniformemente a lo largo de la longitud de la
línea, la densidad lineal A será El campo eléctrico en un punto situado sobre
el eje Y a una distancia y del origen de coordenadas, se calcula aplicando la ley
de Coulomb sobre un elemento diferencial dx situado respecto al origen en x.
Teniendo en cuanta que los vectores distancia son:
rt = (0 ,2/,0 ); 1 * = (z ,0 , 0 )
( r ^ -r ^ ) = (—x, y, 0 ) ; r%- r^
| = Jx2 + y1
Aplicando la ecuación (1.23) y poniendo dq = A dx resulta:
d~
g? = 1 dq (Tp —T -) = A dx ( - x , y, 0)
^'Keo |
Tp —~Fj3 47T£ 0 (y^X2 + J
/ 2 ) 3
Para simplificar el cálculo de la integral anterior realizamos el cambio de variable
x = ytgO y derivando, dx — y^sgdd (ver figura 1.8). Los vectores distancia
después del cambio de variable quedarán:
(r£ - 7 * ) = (—ytgO, y, 0)
rt - = VV2 tg2e + y2 — y y/tg28 + 1 =
Sustituimos en la ecuación (1.23) y despejamos:
r í f = A dx (r^ - ~f) _ A -~ 2Q d d (-y tg 9,y,Q)
4t
t
e0 |P
> _ y>|3 “ 4t
t
£0 ( ¿ j )3
Integrando entre &iy 82 se obtiene:
v P@
2
E = - / (—sen8,cos8, 0)d8 = [(cos8,sen8. 0)]í2
4tte0y j ei 4ire0y ne'
= {—senO. cos8, 0) d6
4v£0y
24

Figura 1.8: Campo eléctrico creado por un segmento lineal de carga
de donde obtenemos la expresión del campo eléctrico para cada coordenada car
tesiana:
Ex = [cosO 2 —cosOi] (1-25)
47T£ay
Ey = [send2 —sendi] (1-26)
d7T£o?/
~ÉZ = 0 (1.27)
E j e m p l o 1 .7
Se desea calcular el campo eléctrico creado por una distribución lineal
e infinita, situada sobre el eje X , en un punto p, situado en (0,y,0),.
Esto es lo mismo que decir en el ejemplo 1.6 que xi = —oo y X2 = +oo y,
en consecuencia, el ángulo 0 oscilará entre 9i = ^ y 62 = f ■ Por tanto, las
ecuaciones anteriores quedaran:

donde y es la distancia desde el punto p a la distribución lineal medida sobre la
perpendicular. Nótese que podríamos haber expresado el campo en función de la
densidad lineal de carga resultando:
27T£ay
Ey = (L28)
E j e m p l o 1 .8
Dada la distribución lineal de carga A sobre el arco de circunferencia
de radio R, representado en la ñgura 1.9, calcular el campo eléctrico en
el origen de coordenadas.
Figura 1.9: Distribución lineal con forma de arco
Tomamos sobre el arco de circunferencia un elemento diferencia di, cuyas coorde
nadas vienen dadas por r¿ = (rr¿,y¿,0). En la figura 1.10, observamos que tanto
Xi como yi varían de valor según nos movemos por el arco de circunferencia. Esto
dificulta el cálculo de la integral. Sabemos de trigonometría que = RcosO y
que yi = RsenO luego podemos expresar las coordenadas de este elemento dife
rencial como Ti = {RcosO, RsenO, 0). De esta forma conseguimos expresar dichas
coordenadas en función de una única variable facilitando el cálculo de la integral.
Figura 1.10: Diferencial sobre el arco
26

Para calcular el campo en el origen de coordenadas 7^ = (0, 0,0) comenzamos
calculando los vectores de posición:
(7^ — rf) = (—R cos6, —R send, 0)
sabiendo que (eos2 9 + sin2 9) = 1, su módulo resulta:
|(7^ — r¿) | = JR2cos29 + R 2sen29 = JR2(cos29 + sen29) = R
A continuación, calculamos el campo:
_ 1 1 f (—R cos9vt —Rsen9u¡j) J7
h - 4 ^ o J I T ^ T ^ I 3 - * ¿ T o J (S p :
siendo (üt,üy,üz) los vectores unitarios en las tres coordenadas cartesiana. Sa
biendo que el elemento diferencial sobre el arco de circunferencia puede expresarse
en función de 9 como di = R d9 e integrando resulta:
= i í {—RcosBu^ —Rsen9u¡u)d9 =
4.tc£0(R)¿ J0
X [-i? senO^t + R cos9ül]l =
47T£o(R)2
A
'U
'X Uq?
~ 4tt£0R ^
luego el valor del campo en el origen de coordenadas es:
A
1.3.4. M ovim iento de cargas puntuales en campos eléctricos
Cuando una partícula cargada está en una región donde existe un campo eléctrico
~É, sobre ella actúa una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del
campo eléctrico, esto es, q ~É. Cuando la carga es positiva experimenta una fuerza
en el sentido del campo y cuando la carga es negativa el sentido de la fuerza es
contrario al campo. Si la fuerza eléctrica es la única fuerza significativa que actúa
sobre la partícula, la aceleración que ésta adquiere viene dada por:
q~É
a = -— 1.30)
m
27

donde m es la masa de la partícula. Así, para un campo eléctrico conocido, la
relación carga-masa de la partícula puede determinarse midiendo su aceleración.
Precisamente, Thonson en 1897 para demostrar la existencia de los electrones y
medir su relación carga-masa se basó en la desviación de éstos en un campo eléctri
co uniforme. Aparatos como el osciloscopio, los antiguos monitores de ordenador
y televisiones son ejemplos de aparatos basados en el movimiento de electrones
en campos eléctricos.
E j e m p l o 1 .9
Supongamos que se proyecta un electrón en un campo eléctrico unifor
me ~É = 100 v t N/C con una velocidad inicial de vq = 2 -1 0 6 m/s en la
dirección del campo según se muestra en la figura 1.11. Se desea calcu
lar la distancia que recorre el electrón hasta que se detiene. Sabemos
que la masa del electrón es de 9'11 •10~slK g y su carga de 1/610_19CI
.
-»
E
►
►
Figura 1.11: Electrón con velocidad paralela a un campo eléctrico
Como la carga del electrón es negativa, la fuerza que actúa sobre él posee una
dirección opuesta a la del campo, es decir, será —e íl. Como ~É es constante, la
fuerza también lo es, y por tanto aplicando la segunda ley de Newton l?' — m~ct
tenemos:
—
¥ —e i . .
d = — = -------- (1.31)
m m
es decir, la partícula sigue un movimiento decelerado o lo que es lo mismo con
aceleración negativa. Por otro lado, para conocer el tiempo que tarda en pararse
el electrón utilizamos las ecuaciones de dicho movimiento:
= V
Q + ~át (1-32)
—y
v0
28

Finalmente, sustituyendo el tiempo en la fórmula del espacio recorrido por el
electrón se obtiene:
1.4. Los dipolos eléctricos
Un dipolo es un sistema de dos cargas de igual magnitud pero de signos opuestos
muy cercanas entre sí. El interés de los dipolos radica en su alta presencia en
la naturaleza ya que existen moléculas en las que no coincide el centro de la
distribución de las cargas positivas con el de las negativas, es decir, disponen de
una distribución no uniforme de la carga dentro de la molécula. A estas moléculas
se las llama moléculas polares y ejemplos de éstas son la molécula de agua (ver
figura 1.12) o la del cloruro de hidrógeno entre otras. En estas moléculas, que
están unidas por lo que se llama enlace iónico, siempre hay un momento eléctrico
dipolar permanente, concepto que será introducido en este mismo apartado. Por
otro lado, con frecuencia, los campos externos, inducen separaciones de carga
positiva o negativa de un lado, o del otro. Por tanto, ocasionan un momento
eléctrico dipolar inducido.
A nivel molecular, cuando los efectos de los campos dipolares eléctricos tienen
gran importancia física, los momentos dipolares permanentes siempre son mucho
mayores que los inducidos. Por ejemplo, para una molécula de agua el momento
dipolar es p = 6 •10~3O
C' m, mientras que un átomo de hidrógeno en el seno de
un campo eléctrico muy intenso (E = 3 •106N / C ) , adquiere un momento dipolar
inducido de p ~ 3 ■10-34C m.
Un ejemplo de uso de los dipolos se encuentra en los hornos microondas los cuales
se basan en el momento dipolar eléctrico del agua para calentar los alimentos.
2 ñol? —2 ñf + + vf —2 ~Ú
"vq —ñf
21? 21?
2 lf
sustituyendo valores queda finalmente:
29

Oxígeno
104'5°
-
Hidrógeno
Hidrógeno
Figura 1.12: Ejemplo del dipolo formado por la molécula de agua
Lo que en realidad hace la radiación 2.4 GHz utilizada en los microondas es la
excitación del enlace O-H presente, principalmente, en el agua aunque también
existe en otros compuestos. Al absorber la energía de la onda microonda el enlace
pasa a un estado excitado que contribuye a elevar la energía media de las moléculas
y por tanto, su temperatura.
1.4.1. Cam po eléctrico creado por un dipolo
En primer lugar, vamos a estudiar el campo eléctrico creado por un dipolo y des
pués estudiaremos su comportamiento cuando actúa sobre él un campo eléctrico
externo.
Tal y como hemos dicho, un dipolo eléctrico consta de dos cargas, q — +q y
q2 = —q, de igual magnitud pero con signo contrario, separadas una pequeña
distancia L según se muestra en la figura 1.13 (a). Para determinar el campo
eléctrico creado por un dipolo tenemos que aplicar el principio de superposición
ya que disponemos de dos cargas. Así, el campo neto en el punto P vendrá dado
por:
siendo el campo E debido a la carga q y el campo E2 debido a la carga <72 (ver
figura 1.13 (a)).
Las magnitudes de los dos campos son iguales, al ser el valor de las cargas el
mismo en magnitud, pero E apunta alejándose de q mientras que E2 se dirige
hacia <
7 2 •Vemos que las componentes Y de ambos campos se anulan entre sí y
(1.33)
30

+q
P
(b)
Figura 1.13: (a) Campo eléctrico creado por un dipolo en un punto P; (b) dirección del
dipolo eléctrico
sólo nos quedamos con la componente X , que será el doble de la componente X
de cada uno de los campos de manera independiente:
¿ — Ib/;Aj: — (l {XT j Ux — 2 Ex A
;/; (1.34)
Por tanto, vemos que se reduce el cálculo a determinar el campo eléctrico creado
por la carga q en el punto P.
Tenemos que los vectores de posición y vectores distancia son: r f = (—j , 0, 0),
¥$ = (0, P, 0) , (Fp — r£) = ( f,P , 0) y |rp - ?í| = ^ /( f ) 2 + P 2 = r con lo que
aplicando la ecuación (1 -2 0 ) obtenemos:
Ex
1 q i ( r p - r í) 1 91(1, P 0)
47T£„ |
rP - rx| Anen
de donde obtenemos las distintas componentes de este campo:
Plx
1 91 f rrt
47T£0 r3 3
1
(1.35)
Ey
1 91
Aiy£0 r3 Uy
(1.36)
E u
I
I
o
a
(1.37)
Aplicando la ecuación (1.34) obtenemos:
= o 1 qi I _ 9l E _>
47T£„ r3
'U
n
’ --
47T
£0r3
+9 A
' ^
7
1
4 7 T£0 r3
(1.38)
31

Vemos que el campo decrece con r en la forma siendo r el radio. El campo
eléctrico sólo depende del producto qL, que se llama momento eléctrico dipolar o
momento del dipolo eléctrico y se representa por la letra p. Hacemos que p = q L
sea un vector, definiendo a como dirigido de —q hacia +q (ver figura 1.13 (b)).
Así el momento dipolar eléctrico es:
= q í (1.39)
Finalmente podemos expresar el campo eléctrico en función del momento
eléctrico como:
47r£0 rá
Si r » L , entonces r ~ P y tendremos que:
-a t
47T
£0P 3
Hemos visto como el campo del dipolo eléctrico, no depende ni de q ni de L
únicamente, sino de su producto. Esto es válido para el campo eléctrico del dipolo
en cualquier punto en el espacio. Por tanto, sólo se puede determinar este producto
a partir del campo de un dipolo eléctrico y no se pueden determinar q y L por
separado.
1.4.2. Com portam iento de los dipolos dentro de un campo
eléctrico
Una vez determinado el campo eléctrico creado por un dipolo en un punto P,
vamos a estudiar su comportamiento cuando se introduce en una región donde
existe un campo eléctrico uniforme y no uniforme.
Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico uniforme, ambas cargas, separadas
una distancia L , experimentan fuerzas de igual magnitud y de sentido opuesto y,
en consecuencia, la fuerza neta es cero y no hay aceleración lineal pero aparece un
par que tiende a alinear el dipolo en la dirección del campo eléctrico. En la figura
1.14 vemos que el momento alrededor de la carga negativa tiene la magnitud:
FL senO = qE L send = p E senO
dipolar
(1.40)
(1.41)
32

El momento es perpendicular al papel y hacia dentro, situando el momento dipolar
~
p¡ en la dirección del campo eléctrico ~É. El momento del par puede escribirse
como el producto vectorial del momento dipolar y el campo eléctrico ~É:
= (1-42)
Figura 1.14: Un dipolo en un campo eléctrico uniforme experimenta fuerzas iguales y
opuestas que tienden a girar al dipolo, de modo que su momento dipolar tiende a alinearse
con el campo eléctrico
Cuando el dipolo gira un ángulo dd, el campo eléctrico realiza un trabajo
dW =. —t dd = — p E send dd
El signo menos indica que el momento tiende a disminuir 6. Igualando este trabajo
con el decremento de energía potencial, resulta:
dU = —dW = + p E send dd
e integrando
U = —p E cosd + U0
Normalmente, se toma como energía potencial cero la energía potencial corres
pondiente a una situación en la que el dipolo es perpendicular al campo eléctrico,
es decir, cuando d = 90°. Entonces Uo = 0 y la energía potencial del dipolo es:
U = —p E eos 0 = (1-43)
En un campo eléctrico no uniforme un dipolo eléctrico experimenta una fuerza, ya
que el campo eléctrico tiene magnitudes distintas en los centros de la carga positiva
y negativa. Un ejemplo es la atracción que mantiene un globo electrostáticamente
cargado contra una pared. La carga sobre el globo crea un campo no uniforme que
polariza las moléculas de la pared y las atrae. Por otro lado, una fuerza opuesta
pero de igual magnitud se ejerce por las moléculas de la pared sobre el globo.
33

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMATICA
1.5. Las líneas del campo eléctrico
El campo eléctrico debido a una distribución de carga se puede representar me
diante las líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza. Las líneas de campo eléctrico
son continuas en el espacio, en contraste al campo mismo, que está representado
por un vector distinto en cada punto del espacio. Son líneas imaginarias que des
criben, si los hubiese, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto
a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido, se
trata de una cantidad vectorial, y las líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico
indican las trayectorias que seguirán las partículas positivas si se las abandonase
libremente a la influencia de las fuerzas de campo. El campo eléctrico será un
vector tangente a las líneas de fuerza en cualquier punto considerado.
En resumen, las líneas de campo eléctrico son líneas uniformes y direccionables
en el espacio, definidas por el campo eléctrico, de acuerdo con dos reglas:
1. Las líneas de campo eléctrico se dibujan de manera que la tangente a ellas,
en cada punto, determine la dirección del campo eléctrico, ~É, en ese punto.

2. La densidad espacial de las líneas de campo eléctrico en un punto, es pro
porcional a la intensidad de campo eléctrico en ese punto.
Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:
a El campo eléctrico no cambia en forma abrupta su dirección al pasar por
una región del espacio libre de cargas. Así, en una región pequeña, las líneas
del campo eléctrico son casi paralelas entre sí.
■ El vector de campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada
punto.
■ Las líneas de campo eléctrico salen siempre de las cargas positivas o del
infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas.
■ El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga
negativa es proporcional a dicha carga.
m La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del
campo eléctrico en dicho punto.
34

■ Nunca se cruzan dos líneas de campo. No pueden, porque el campo eléctrico
tiene magnitud y dirección definidas en cualquier punto en el espacio. Si se
cruzaran dos o más líneas de campo en algún punto, entonces la dirección
del campo eléctrico en ese punto sería ambigua.
■ A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente
espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga pun
tual.
Figura 1.15: Las líneas negras son las líneas de campo eléctrico debidas a dos cargas
puntuales positivas de igual magnitud y las representadas en rojo son las superficies
equipotenciales que serán estudiadas en el capítulo siguiente
Figura 1.16: Las líneas representadas en rojo son las líneas de campo eléctrico debidas
a dos cargas puntuales de igual magnitud y signos contrarios y, las representadas en rojo
son las superficies equipotenciales que serán estudiadas en el capítulo siguiente
35

FUNDAMENTOS FtSICOS DE LA INFORMÁTICA
La mejor manera de demostrar la utilidad de las líneas de campo es examinando
algunos ejemplos. En la figura 1.15 se muestra las líneas de campo como líneas
negras que pasan por un plano creadas por dos cargas positivas de igual magnitud.
Observamos como las líneas de campo eléctrico llegan hasta el infinito, porque
no hay cargas negativas en las que puedan terminar. Las líneas de campo que
se acercan entre sí, entre las dos cargas positivas, parecen repelerse para evitar
cruzarse.
Otro ejemplo se muestra en la figura 1.16 en donde se dibujan las líneas de fuerza
(líneas negras) creadas por una carga positiva y otra negativa de igual magnitud.
En este caso, al tener igual magnitud ambas cargas, tendrán el mismo número de
líneas pero al ser de signo contrario, toda línea que nace en q desemboca en —q.
Observamos que cerca de cada carga, las líneas de campo eléctrico son radiales,
pero se desvían de la dirección radial para poder alcanzar la otra carga.
1.6. Ley de Gauss
La descripción del campo eléctrico mediante las líneas de campo eléctrico, está
relacionada con la ecuación matemática de la llamada ley de Gauss, que relaciona
el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de
la superficie. Esta ley permite calcular, de manera sencilla, los campos eléctricos
debidos a distribuciones simétricas de carga, tales como los creados por una esfera
o una línea infinita cargadas. Para ello, necesitamos definir una nueva magnitud
llamada flujo.
Si encerramos un dipolo eléctrico por una superficie, tal y como se muestra en la
figura 1.17 (a) en donde la superficie se ha pintado de azul, vemos como el número
de líneas negras que abandonan la superficie es exactamente igual al número de
líneas negras que entran en ella sin que importe donde se dibuje la superficie siem
pre que se encierren en ella ambas cargas, esto es, cuando la carga neta encerrada
por la superficie es nula, el flujo también lo es. Para superficies que encierran otras
distribuciones de carga no nulas, el número neto de líneas que sale por cualquier
superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de
dicha superficie. Precisamente, la magnitud matemática que está relacionada con
el número de líneas del campo netas que atraviesa una superficie se llama flujo
eléctrico, <
p
.
Sea el vector campo eléctrico, ~rt el vector unitario perpendicular a la superficie
y zt el vector área de magnitud igual al área de la superficie y dirección coincidente
36

con el vector i t (ver figura 1.18). Se define como flujo eléctrico al producto escalar
(■) del vector campo eléctrico y el vector área:
4
>= ~É •yf =~É ■A ~rt = E A cosd (1-44)
donde se ha aplicado la definición de producto escalar y siendo 6 el ángulo entre
~É , E el módulo del campo eléctrico y A el módulo del vector área.
Figura 1.17: Líneas de campo eléctrico de un dipolo encerrado por una superficie de
forma arbitraria
Figura 1.18: Líneas de campo eléctrico correspondientes a un campo uniforme que atra
viesa un área A
Nótese que cuando el vector campo eléctrico es perpendicular a la superficie, el
ángulo 6 es igual a 0 o y, en consecuencia, su coseno es igual a uno, mientras que
cuando el vector campo eléctrico es paralelo a la superficie, el ángulo 6 es igual
37

a 90° siendo su coseno igual a cero. Por tanto, podemos simplificar la expresión
anterior poniendo:
4
>= E n A (1.45)
siendo En la magnitud de la componente perpendicular a la superficie del vector
campo eléctrico. Las unidades del flujo son N m 2/C en el SI.
Supongamos que se dispone de una superficie arbitraria como la representada en
la figura 1.19 sobre la cual el campo eléctrico puede variar. Para calcular el flujo
tomamos un elemento de área A Ai. Si el elemento de área es suficientemente
pequeño, podemos considerarle como un plano y la variación del campo eléctrico
a través del elemento puede despreciarse. El flujo del campo eléctrico a través de
este elemento utilizando la ecuación (1.44) es:
A(j)i = r
É ■ i t (1.46)
I
Figura 1.19: Cálculo del flujo que atraviesa una superficie debido a un campo eléctrico
que varía en módulo y dirección a través de ésta
El flujo total a través de la superficie es la suma de los flujos elementales, Afa.
En el límite, cuando el número de elementos tiende a infinito y el área de cada
elemento tiende a cero, esta suma se convierte en una integral. Así, la definición
del flujo eléctrico es:
0 = f ~É ■ d A jf = f En dA (1.47)
Js Js
en donde el índice S nos indica que estamos integrando sobre una superficie.
En una superficie cerrada, el vector normal unitario ~rt se define de modo que
está dirigido hacia fuera en cada punto. La integral para el caso de una superficie
38

cerrada se indica por el símbolo <
fi con lo que el flujo neto a través de una superficie
cerrada viene dado por:
<
t>
totai = <
f E ' d A lt = j ) E n dA (1.48)
El flujo total a través de una superficie cerrada es positivo o negativo dependiendo
de que ~É esté dirigido hacia fuera o hacia dentro de la superficie.
Ahora, supongamos que tenemos una superficie esférica de radio R con su centro
en la carga puntual q, tal y como se muestra en la figura 1.20. El campo eléctrico
en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie, radial y
tiene de magnitud:
^ = (L49)
o bien expresado en función de la constante de coulomb:
En = § (1.50)
El flujo total a través de esta superficie esférica se obtiene aplicando la ecuación
(1.48)
<Ptotai = ® En dA = En (í) dA (1-51)
en donde En ha salido fuera de la integral por ser constante en todos los puntos
de la superficie de la esfera. La integral de dA extendida a toda la superficie es
el área de una esfera, igual a 4 7 rf?2. Con este valor y sustituyendo por En se
obtiene:
4>total = ~^Í47tR2 = 4lrkq (L52)
Figura 1.20: Superficie esférica que tiene en su interior una carga puntual q
39

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMATICA
Observamos como el flujo total a través de una superficie esférica con una carga
puntual en el centro es independiente del radio de la esfera y es igual a 4wk veces
la magnitud de dicha carga. Esto está de acuerdo con el hecho de que el número
de líneas de fuerza que atraviesan una superficie es proporcional a la carga interior
a la superficie. Además, este número de líneas de fuerza es el mismo sea cual sea
la forma de la superficie que encierre a la carga. Por tanto, el flujo total a través
de cualquier superficie que rodea a una carga puntual q es igual a Aixkq.
Podemos generalizar este resultado a sistemas de más de una carga puntual. Su
pongamos un sistema constituido por tres cargas puntuales q±, q2 y qs y suponga
mos una superficie que encierre a dos de estas cargas (gi y q2) quedando 5 3 fuera
de la superficie tal y como se muestra en la figura 1.21. El campo eléctrico en un
punto de la superficie es el vector suma de los campos eléctricos producidos por
cada una de las cargas y, en consecuencia, el flujo total será la suma de los flujos
debidos a cada una de estas cargas. Así, el flujo debido a la carga q, interior a la
superficie vendrá dado por Airkqi y el debido a la carga 9 2 , también interior a la
superficie, es 4-Kkq2. Sin embargo, el flujo producido por la carga <73 es cero ya que
cada línea de fuerza procedente de ésta carga que llega a la superficie en un punto,
abandona la misma en algún otro punto, es decir, el número de líneas neto que
atraviesan la superficie es cero. Por tanto, el flujo total a través de la superficie es
igual a 4irk(qi + 5 2 ) que puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de los
signos y valores de las dos cargas.
Figura 1.21: Superficie que incluye las cargas puntuales q± y q2 pero no qs
En resumen, podríamos enunciar la ley de Gauss diciendo que el flujo eléctrico a
través de cualquier superficie cerrada es igual a 4nk veces la carga dentro de la
superficie:
(1.53)
40

0 bien, expresarla en función de la permitividad del vacío como
< t> = ¡E n d A = ^ ^ (1.54)
JS ^o
donde se ha aplicado la expresión (1.9) que relaciona k con la permitividad del
vacío.
Vamos a ver, a continuación, como la ley de Gauss resulta muy útil para calcular
el campo eléctrico en distribuciones especiales de carga con alto grado de simetría.
Podemos definir dos tipos de simetría: simetría plana o simetría esférica.Una dis
tribución de carga tiene simetría plana si tiene la misma forma vista desde todos
los puntos de una superficie plana infinita. En este caso, se escogerá como super
ficie gaussiana un cilindro de modo que la distribución cargada lo atraviese por el
medio. Una distribución tiene simetría esférica cuando desde todos los puntos de
cualquier otra superficie esférica concéntrica con la distribución de carga se obser
va el mismo sistema electrostático. Ahora, se escogerá como superficie gaussiana
una superficie esférica centrada en la carga.
Los pasos a seguir para el cálculo del campo eléctrico mediante la aplicación de
la ley de Gauss son:
1. Se elige una superficie cerrada imaginaria llamada gaussiana. Hay que tener
en cuenta que la superficie gaussiana óptima es aquella en la que En es
constante y En y i t son perpendiculares o paralelos entre sí. Cuando estos
vectores sean perpendiculares el flujo será nulo mientras que cuando sean
paralelos el flujo será En ■A.
2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48). Quedará una expresión del
flujo en función del campo eléctrico.
3. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.53) o la ecuación (1.54).
4. Se igualan las dos expresiones del flujo calculadas en los pasos anteriores y
se despeja la expresión del campo eléctrico.
E j e m p l o 1 .1 0
Se desea calcular el campo eléctrico debido a una distribución uniforme
A sobre un hilo recto e indefinido coincidente con el eje Z en un punto
cualesquiera del espacio.
41

Observamos como la distribución dada presenta simetría plana con lo que resulta
muy conveniente utilizar la ley de Gauss para resolver el problema. Aplicamos los
pasos descritos:
1. Al presentar simetría plana se va a considerar como superficie gaussiana un
cilindro de radio r y altura L y cuyo eje coincide con el hilo tal y como
se muestra en la figura 1.22 (a). De esta manera se consigue que el campo
eléctrico sea constante en toda la superficie gaussiana.
2 . Se aplica la ecuación (1-48) sobre un elemento diferencial de área dA para
determinar el flujo:
donde ETes la componente radial del campo eléctrico que es la componente
perpendicular a la superficie. Nótese que sólo existe componente radial del
campo eléctrico y por consiguiente no existe flujo a través de la superficie
superior e inferior del cilindro. Esto es debido a que en cualquier punto del
espacio el campo debido a un elemento diferencial A di de la distribución
lineal tiene un simétrico A di' de manera que la suma vectorial de ambos
campos únicamente tiene componente radial (ver figura 1 . 2 2 (b)).
Figura 1.22: Cálculo del campo eléctrico creado por una línea infinita aplicando la ley de
el campo creado por dos elementos diferenciales simétricos de la línea
3. Llamando al elemento diferencial del perímetro del cilindro dp, y tal y como
se muestra en la figura 1.22 (a), se cumple que dA = L dp = L r dtp, con lo
que resulta:
z
(a) 0 >
)
Gauss. (a) Superficie Gaussiana. (b) Componente debcampo eléctrico obtenida al sumar
42

4. Se calcula el flujo a través de la superficie considerada aplicando la ecuación
(1.54) y la ecuación (1.3) resultando:
* = A í Ldl = ^
So Jo S0
5. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo, obteniéndose como
expresión del campo eléctrico:
E r^ -r-^ — ut (1.55)
2ire0r
Observamos como el resultado obtenido utilizando la ley de Gauss es el mismo que
obtuvimos en la ecuación (1.28) del ejemplo 1.7 donde aplicamos directamente la
definición de campo eléctrico aunque ahora los cálculos han sido más sencillos.
Eje m plo 1 . 1 1
Se dispone de una distribución superficial de carga a sobre un plano
indefinido coincidente con el eje X Z . Se desea calcular el campo creado
por dicha distribución en un punto cualesquiera del espacio, P.
Vemos que la carga se distribuye uniformemente por el plano indefinido y por
tanto, el campo es, en todo punto, uniforme y perpendicular al plano. Dada la
simetría del problema aplicaremos la ley de Gauss para su resolución. Pasos:
1. Como la distribución presenta simetría plana, se elige como superficie gaus-
siana un cilindro de radio r y altura L situado como indica la figura 1.23
para conseguir que el campo eléctrico sea constante en las bases del cilindro.
Nótese que el flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo al ser
el vector campo y ~ft perpendiculares.
2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48):
(f> j_) En (1.A (j) (Ij |
(If-rcchii "t" E liz q u ie r d a ) J
- = (j) 2 E (JA
donde Ei¿erecha y Enzquier¿a son los módulos de las componentes normales
a ambas caras del cilindro gaussiano, siendo vectores de igual magnitud (E)
pero de sentidos opuestos.
43

Sabiendo que la superficie de un círculo es 7rr2 se obtiene:
ó = 27rr2 i?
indefinido
Figura 1.23: Superficie gaussiana seleccionada para el cálculo del campo eléctrico creado
por un plano infinito
3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1-54) y (1.5):
Qdentro
4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la mag
nitud del campo eléctrico:
resultando así:
E =
É =
E2 ' =
2ea
& ^
2e0Uy
ILy
E j e m p l o 1 .1 2
Se desea calcular el campo eléctrico creado por una distribución uni
forme de carga p de forma esférica, en su interior y en su exterior.
44

Como se trata de una distribución simétrica vamos a aplicar la ley de Gauss para
el cálculo del campo eléctrico en un punto de su interior primero y después en un
punto de su exterior.
Campo eléctrico en el interior.
Pasos:
1. Cuando la distribución es esférica, se elige como superficie gaussiana una
esfera centrada a la distribución y de radio r de manera que para calcular
el campo en el interior se elige r < R (ver figura 1.24 (a)).
(b)
Figura 1.24: Superficie gaussiana de radio r para determinar el campo eléctrico creado
por una esfera (a) en un punto de su interior y (b) en un punto del exterior
>En dA = (h Er dA = Er ® dA = Er 4nr2
en donde se ha sustituido el área de una superficie esférica por su expresión.
3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54) y (1.5):
0 = qdentro = ¡ v P ¿ V = p ^ T T r3
So So £o
en donde se ha sustituido el volumen de una esfera por su expresión.
45

z
p P r -*
h r = — ur
3e0
Nótese que su dirección será radial.
Campo eléctrico en el exterior.
Pasos:
1 . Ahora se elige como superficie gaussiana una esfera centrada a la distribución
y de radio r tal que r > R (ver figura 1.24 (b)).
= (h Bn d A = (t) Er dA = E r. (b dA = Er Airr2
donde se ha sustituido la expresión del área de una superficie esférica por
su expresión.
3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54) y (1.7):
^ Adentro = f v P ¿V = PgTuR3
e0 £ 0
en donde se ha sustituido el volumen de una esfera por su expresión.
E = 11 vb
±jr — 9 u-r
3£0r
Nótese que su dirección será radial.
E j e m p l o 1 .1 3
Se tienen dos cilindros metálicos de longitud L y concéntricos de radios
a y b (con a < b) y cargados uniformemente con una carga igual y
opuesta tal que Qa = —Q y = Q según muestra la figura 1.25. Se pide
46

hallar el cam po eléctrico en puntos a distancia r del eje com ún en los
siguientes casos: (1 ) r > b; (2 ) r < a; (3) b > r > a.
( 1 ) r > b
Vamos a aplicar Gauss dada la simetría del problema. Pasos:
1. Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores
y de radio r tal que r > b (ver figura 1.26 (a)):
Qb
Qa
L
Figura 1.25: Cilindros metálicos concéntricos
3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54):
i Q d e n tro Q a d“ Qb
= 0
Er L 2t
t
r = 0

b a
Qb b a b a
r
Qb
Qa
Qb
(a ) r > b (b ) r < a (c ) a < r < b
Figura 1,26: Superficies gaussianas seleccionadas para aplicación de la ley de Gauss
(2 ) r < a
1. Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores
y de radio r tal que r < a (ver figura 1.26 (b)).
En dA = (p Er dA = Er L 2irr
Er L 2wr = 0
luego:
(3) b > r > a
48

1 . Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores
y de radio r tal que b > r > a (ver figura 1.26 (c)).
<
f>= (j) ~É ■d X = (j) En dA = (j) Er dA = Er L 2nr
/ Qd entro Q
Er L 2nr = —
£o
luego:
F - ~Q N
r 2ir£0 r L C
1.7. Conductores y aislantes
Una vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica, lo que suceda después depende
de si el material es aislante o conductor.
En los materiales aislantes o dieléctricos, como el vidrio, plástico o madera, todos
los electrones están ligados a los átomos próximos y ninguno puede moverse libre
mente, es decir, son materiales que resisten el paso de la corriente. Esto implica
que la carga situada en un aislante permanece en la zona en la que se colocó
inicialmente.
En los materiales conductores parte de los electrones pueden moverse libremente
en el seno del material. Esto es debido a que cuando un gran número de átomos
de un metal se unen para formar una red cristalina de ese metal, el enlace de los
electrones de cada átomo individual se modifica por interacciones con los átomos
próximos. Uno o más de los electrones externos de cada átomo queda en libertad
para moverse por todo el metal. El número de electrones libres depende del metal
particular, pero típicamente oscila alrededor de un electrón por átomo. Cuando
49

a un átomo se le quita o se le añade un electrón, con la aparición de una carga
neta se convierte en un ion. Así, en el metal los iones se distribuyen regularmente
formando la red. En principio, un conductor es eléctricamente neutro porque
tiene igual número de iones con carga positiva que de electrones. Sin embargo, un
conductor puede adquirir carga cuando se le añaden o se le quitan electrones.
Cuando introducimos un conductor dentro de un campo eléctrico externo, cons
tante y estático, éste hará que los electrones se muevan de manera que se anule
el campo eléctrico dentro del material. Es decir, en equilibrio electrostático los
conductores no tienen campo eléctrico estático interno neto. Esta propiedad de
los conductores se representa en la figura 1.27, en donde se muestra un conductor
en un campo eléctrico externo. Los electrones del metal se mueven hacia el lado
izquierdo del conductor dejando una deficiencia de electrones en el lado derecho
del conductor (carga positiva). El exceso de electrones en el lado izquierdo y la
ausencia de ellos en el lado derecho produce un campo eléctrico interno que se
dirige hacia la izquierda. Este campo interno anulará al externo de manera que el
campo neto en el interior del conductor es nulo.
Eextemo
Figura 1.27: Conductor sin carga en un campo eléctrico externo
Veamos ahora que ocurre cuando se añaden cargas a un conductor. Supongamos
una superficie gaussiana en el interior de dicho conductor. Si a esa superficie le
aplicamos la ley de Gauss, veremos que como no hay campo, no hay flujo y por
consiguiente, no hay carga neta dentro de un metal. Esto implica que en equilibrio
electrostático todo exceso de carga está en la superficie externa de un conductor.
Los mejores conductores eléctricos son los metales y sus aleaciones, aunque existen
otros materiales, no metálicos, que también poseen la propiedad de conducir la
electricidad como son el grafito, las soluciones salinas y cualquier material en
estado de plasma. Para el transporte de la energía eléctrica el mejor material es
la plata pero es muy caro por lo que el material empleado universalmente es el
cobre en forma de cables de uno o varios hilos. Alternativamente, se emplea el
aluminio, metal que si bien tiene una conductividad eléctrica del orden del 60 %
50

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