ESTO LE AYUDARA PARA SU EXAMEN DE ADMISION

2. Semana : 01
Tema: Leyes de exponentes
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca
ÁLGEBRA

3. Objetivos:
 Conocer la definición de las operaciones de
potenciación y radicación.
 Conocer las propiedades de las operaciones de
potenciación y radicación.
 Aplicar la definición y las propiedades en la
resolución de problemas.

4. Introducción:
Las memorias USB, laptop, celular o memoria
externa, se caracterizan por su capacidad de
almacenamiento, las unidades que se utilizan
son los Gigabyte o Terabyte.
Nombre Símbolo Múltiplo
1 byte 1B 8 bits
1 kilobyte 1kB 210 byte
1 Megabyte 1MB 220 byte
1 Gigabyte 1GB 230 byte
1 Terabyte 1TB 240 byte
Memoria
externa
1 Terabyte
Laptop
Memoria
RAM 8 GB
USB 16 GB
Celular Memoria
interna 32 GB
1 carácter <> 1 byte <> 8 bits
1 073 741 824 byte
1 Gigabyte <>
230
Mil setenta y tres millones
setecientos cuarenta y un
mil ochocientos veinticuatro
Las leyes que rigen los exponentes ayudan
a simplificar la notación de los múltiplos de
los “byte”.
Es una letra, símbolo o
espacio dentro de un
documento.
¿ A cuánto
equivaleun
Gigabyte ?

5. Potenciación
Es una operación matemática en
donde a partir de dos elementos
“𝑎” y “𝑛” vamos a obtener un
tercer elemento “𝑏”.
Notación: 𝒂
𝒏
= 𝒃
Donde:
: Base
: Exponente
: Potencia
𝑎
𝑛
𝑏
Exponenteenteropositivo:
𝒂𝒏 𝒂. 𝒂. 𝒂. … 𝒂
“𝑛” veces
• 34 3.3.3.3
• 53 5.5.5
• 72 7.7
• 41 4
• 05 0.0.0.0.0
Exponentecero:
𝒂𝟎
= 𝟏 𝑎 ≠ 0
• 60 = 1 • −3 0
= 1
5
4
0
= 1 • 2
0
= 1
00 : No definido
1
4
+
3
2
−
7
4
0
7
4
−
7
4
0
No definido
= 81
= 125
= 49
= 0
(𝑎 ∈ ℝ)
(𝑛 ∈ ℤ)
(𝑏 ∈ ℝ)
• (−3)2
(−3)(−3) = 9
Ejemplo
𝑛 ∈ ℤ+
Ejemplo
Nota
• 3
5
3
5
3
5
= =
27
125
= 00
(−𝑎)2𝑛
−𝑎2𝑛−1
=
(−𝑎)2𝑛−1
=
𝑎2𝑛
Vamos a estudiar tres casos para
el exponente:
ℤ = … ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …
ℤ+
ℤ−
cero
Ejemplo
=
=
=
=
=
=
=
=
• −50 = − 1
7
4
3
5
3
•
Nota
• (−2)4 24 = 16
=
• (−10)5 −105
= −100 000
=

6. Exponenteenteronegativo:
𝒂−𝒏
𝟏
𝒂𝒏
• 5−3 1
53
=
1
125
• (−2)−4
𝑎 ≠ 0
1
(−2)4
=
1
16
• −2−4 =
1
24
− = −
1
16
𝒂
𝒃
−𝒏
𝒃
𝒂
𝒏
=
2
3
−4
3
2
4
= =
3
2
3
2
3
2
3
2
=
81
16
Ejemplo
−𝑛 ∈ ℤ−
Ejemplo
𝑎 ≠ 0
𝑏 ≠ 0
=
=
=
Teoremas:
𝒂𝒏. 𝒂𝒎 𝒂𝒏+𝒎
=
𝒂𝒏
𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎
(𝒂𝒃)𝒏
= 𝒂𝒏𝒃𝒏
𝒂
𝒃
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
𝒂𝒏 𝒎 = 𝒂𝒏𝒎
=
𝑥2+5+6
𝑥4+3 =
𝑥13−7 𝑥6
• 𝑥8𝑥4𝑥−9 = 𝑥8+4−9 𝑥3
=
= =
• 3𝑥𝑦 2 = 32𝑥2𝑦2 9𝑥2𝑦2
=
2𝑥 4
𝑦4
=
24𝑥4
𝑦4
=
16𝑥4
𝑦4
=
• 𝑥3 5 = 𝑥3.5
= 𝑥15
• 𝑥2 4 3
=
𝑏 ≠ 0
𝑎
≠ 0
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
𝑥2𝑥5𝑥6
𝑥4𝑥3
2𝑥
𝑦
4
𝑥13
𝑥7
𝑥2.4.3
= 𝑥24
•

7. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚
→ 𝑛 = 𝑚
𝑎𝑛 𝑚
= 𝑎𝑚 𝑛
𝑎𝑛 𝑚
≠ 𝑎𝑛𝑚
Además
• 𝑥4 3
= 𝑥3 4
• 𝑥2 5
• 𝑥25
𝑥2.5
=
=
= 𝑥10
𝑥
𝑎 ≠ 1; 0; −1
Aplicación
• 𝑦350
= 𝑦 𝑦
=
Determine el valor de "𝑥"
si se cumple:
95𝑥 = 272𝑥+4
Resolución
=
32
3
1
3
9 5𝑥 27 2𝑥+4
32
5𝑥
= 33
2𝑥 + 4
3
10𝑥 = 3 6𝑥 + 12
10𝑥 = 6𝑥 + 12
4𝑥 = 12
𝑥 = 3
Aplicación
Determine el exponente final de "𝑥“ en la
siguiente expresión:
𝑥2 3 𝑥−23
𝑥24
𝑥(−3)2
𝑥−52
Trabajando por partes
• 𝑥2 3
= 𝑥2.3
= 𝑥6
• 𝑥−23
= 𝑥−8
• 𝑥24
= 𝑥16
• 𝑥(−3)2
= 𝑥9
• 𝑥−52
= 𝑥−25
Luego
𝑥6 𝑥−8
𝑥16
𝑥9
𝑥−25
=
𝑥14
𝑥−16 = 𝑥30
𝑥6−8+16
𝑥9−25
=
Exponente final de 𝑥 : 30

8. Radicación en los reales
Es una operación matemática en
donde a partir de dos elementos
“𝑎” y “𝑛” vamos a obtener un
tercer elemento “𝑏”.
Notación:
(+)
𝒏 𝒃
Donde:
: Radicando
: Índice
: Raíz
𝑎
𝑛
𝑏
• 4
↔ 𝒃
𝒏
𝒂
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝒂
=
•
5
−32
•
3
64
−2
=
= ↔
↔
↔ (−2)
5
= −32
4
3
= 64
2
2
= 4
Además:
En los reales la raíz “b” es único
Exponentefraccionario:
𝒂
𝒎
𝒏 = 𝒏
𝒂𝒎
• 3
2
5 =
5
32
• − 5
1
4 =
4
51
−
5
9
=
4
5
−
=
Teoremas:
𝒏
𝒂𝒃 = 𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
𝒏 𝒂
𝒃
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
=
𝒏 𝒎
𝒂
=
𝒏𝒎
𝒂
Ejemplo
Ejemplo
( 𝑛 = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … )
Nota:
• −2 : no es un número real
(es un número imaginario)
Ejemplo
= 16 𝑥
• 16𝑥 4
= 𝑥
•
3 𝑦
27
= 3
27
3
𝑦
=
3
3
𝑦
Ejemplo
•
3 4
𝑥
• 9
1
2 = 91
= 9 = 3
=
3.4
𝑥 12
𝑥
=
Ejemplo
(𝑎 ∈ ℝ)
(𝑏 ∈ ℝ)
= =
(+)
(−)
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
=
(−)
(+)
𝑝𝑎𝑟
=
(+)
=
4
2
𝑏 ≠ 0

9. Además
𝑛𝑘
𝑎𝑚𝑘 𝑛
𝑎𝑚
=
•
10
32
5.2
25
= = 2
𝑛
𝑎
𝑛
= 𝑎
•
3
5
3
= 5
•
6
7
6
= 7
Aplicación
Reduzca la siguiente expresión:
3
𝑥 8 + 12 + 16
18 + 27 + 36
3
𝑥
Resolución
• 8 = 4.2 = 4 2 = 2 2
• 12 = 4.3 = 4 3 = 2 3
• 16 = 4
• 18 = 9.2 = 9 2 = 3 2
• 27 = 9.3 = 9 3 = 3 3
• 36 = 6
• 3
𝑥 = 6
𝑥
•
3
𝑥 = 6
𝑥
Luego
+ +
+ +
6
𝑥 2 2 2 3 2 × 2
3 2 3 3 3 × 2 6
𝑥
2 2 + 3 + 2
3 2 + 3 + 2
2
3
3
𝑥 8 + 12 + 16
18 + 27 + 36
3
𝑥
=
=
=
=

10. w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e