Árboles Binarios

DEFINICION:
Sea G=(V,A) un grafo no dirigido sin
lazos.
Un Grafo G es árbol si G es conexo y
no contiene ciclos.
Si un grafo es un árbol escribimos T
en vez de G, para enfatizar esta
estructura.

• A es el nodo raíz
• B es el padre de D y E
• C es el primo de B
• D y E son los hijos de B
• D, E, F, G, I son nodos externos o
hojas
• A, B, C, H son nodos internos
• La profundidad (nivel) de E es 2
• La altura del árbol es 3
• El grado(aridad) del nodo B es 2
La LONGITUD de un camino es #Nodos – 1
La PROFUNDIDAD DE UN NODO es la longitud del camino único desde la raíz a ese nodo.
La ALTURA DE UN ARBOL es la altura de la raíz.
La ALTURA DE UN NODO en un árbol es la longitud del camino mas largo de ese nodo a una hoja
El GRADO DE UN NODO es igual a la cantidad de hijos de dicho nodo.
El GRADO DE UN ARBOL es igual al mayor de los grados de todos los nodos.

• Mas terminologías:
Nodo rama: A un nodo que tiene hijos, o sea, a
la raíz de un subárbol.
Subárbol: Todos los nodos descendientes por la
izquierda o derecha de un nodo.
B
A
D E
H
F
K
G
C
Subárbol derecho de C
Subárbol izquierdo de C

• Identificar las terminologías del árbol:
Grado
• De A:
• De E:
• De G:
Grado del árbol:
Altura del árbol:
Nodos hojas:
Nodos ramas:
Nivel de F:

 Propiedad 1:
 Si a,b son vértices distintos de un árbol T=(V,A)
entonces hay un único camino que conecta
estos vértices

 Propiedad 2:
 Si G = (V,A) es un grafo no dirigido, entonces G
es conexo si y solo so G tiene un árbol
recubridor.
NOTA (Árbol recubridor):
Dado un grafo conexo G =(V,A)
decimos que un árbol T =(V’,A’)
es un árbol recubridor de G si
V=V’, y A A’.
En el caso de grafos valorados
interesa que la suma de pesos de
las aristas del árbol sea lo más
pequeña posible: árbol de
recubrimiento mínimo.

• Propiedad 3:
– En cualquier árbol T = (V,E),|V|=|E|+1

• Propiedad 4:
– Para cualquier árbol T = (V,E),si |V|≥2, entonces
T tiene al menos dos vértices colgantes.
Demostración:
Sea |V|= n≥2. Por la propiedad 3 sabemos que |A|=n-1, por lo que, se
sigue que 2*(n-1)=2*|A|=∑ʋ∈v grad(ʋ). Como T es conexo,
sabemos que grad(ʋ) ≥ 1 para todo ʋ∈V.
Si T tiene menos de dos vértices colgantes, entonces grad(ʋ)≥2 para
todo ʋ∈V o grad(ʋ*)=1 para un único ʋ* ∈V . En el primer caso
obtenemos la contradicción
2*(n-1)= ∑ʋ∈v grad(ʋ) ≥2|V|=2*n
Para el segundo caso
2*(n-1)= ∑ʋ∈v grad(ʋ) ≥2|V|=1+2*(n-1)
Otra contradicción

Saturados se usa para indicar que, para el
numero de átomos de carbono presentes
en la molécula, se tiene el numero de
átomos de hidrogeno.

EJERCICIOS:
• 1) Sea T1=(V1,A1), T2=(V2,A2) dos arboles tales
que |A1|=17 y |V2|=2|V1|. Determine |V1|,
|V2|, |E2|.
• 2)Sea F=(V,A) un bosque con |V|=62 y |A|=51
arboles ¿Cuántos arboles determina F?
• 2) El grafo no dirigido conexo G=(V,A) tiene 30
aristas. ¿Cuál es el máximo valor que puede
tener |V|?

ARBOLES ETIQUETADOS:
Cuando se asocia una etiqueta, o valor, a cada
nodo del árbol, a éste se le denomina árbol
etiquetado.
La etiqueta de un nodo no es el nombre del
nodo, sino que es información que está
incluida en el nodo. Es posible cambiar la
etiqueta del nodo sin modificar su nombre.

Un caso particular de los árboles etiquetados lo
constituyen los árboles de expresiones,
utilizados para la representación de
expresiones aritméticas. Las reglas para
representar una expresión mediante un árbol
etiquetado son:
1) Cada hoja está etiquetada con un
operando y sólo consta de ese operando.
2) Cada nodo interior está etiquetado con un
operador.

Ejemplo: la expresión a+b se representaría
n, n1, n2 son los nombres de los nodos cuyas
etiquetas se muestran al lado de los nodos
correspondientes. La operación a realizar se
pone en el nodo raíz y los operandos en los
descendientes de éste.
n2
n1
n
a b
+

Un vértice v de un grafo dirigido se dice que es una raíz si todos
los vértices del grafo a excepción de v tienen grado de entrada
uno, mientras que v tiene grado de entrada cero .
Un árbol con raíz es un grafo dirigido tal que posee una raíz y el
grafo no dirigido asociado es un árbol.
Representación
Convenio:
1. El vértice superior es la raíz.
2. Si un vértice u es hijo de otro vértice v, se
representa u por debajo de v uniendo ambos con
un segmento.

Ejemplo:
Vértice o nodo raíz

Un árbol T es un grafo simple que satisface la siguiente
propiedad: Si v y w son vértices de T, entonces existe un único
camino simple que une v y w.
Si G es un grafo con n vértices, las siguientes condiciones son
equivalentes:
i) G es un árbol
ii) G es conexo y no posee ciclos
iii) G es conexo y tiene n − 1 aristas
iv) G no tiene ciclos y tiene n − 1 aristas
Árbol Generador:
A es árbol generador del grafo G si A es un árbol y es
subgrafo recubridor de G.
Todo grafo conexo posee un árbol generador.

Grafo G:
Árbol no dirigido: Árbol generador de G.

Mas ejemplos:
Ejemplo de un árbol recubridor
mínimo.

Un árbol binario en un árbol en el cual cada
nodo puede tener como máximo dos hijos.
Recursivamente un árbol binario puede
definirse como: un árbol vacío, o un nodo raíz
con un subárbol izquierdo y un subárbol
derecho. A
B E
C D
F G
Hijo
Derecho
Hijo
Izquierdo
Se puede usar en la organización de información en sistemas de bases de
datos y para representar una estructura sintáctica de un programa fuente en
los compiladores …

Es un árbol en el que todos sus nodos, excepto los del ultimo nivel,
tienen dos hijos.
Número de nodos en un árbol binario completo = 2h –1
(en el ejemplo h = 4,  15) esto nos ayuda a calcular el nivel de
árbol necesario para almacenar los datos de una aplicación.
Árbol binario completo:

Un árbol es un ABB si éste es binario y sus nodos
son subárboles de búsqueda binarios y contienen
información ordenada de tal que todos los
elementos a la izquierda de la raíz son menores a
la raíz y todos lo elementos a la derecha de la raíz
son mayores a la raíz.
Arboles de Busqueda Binaria
Todos los nodos a la izquierda son menores al padre.
Todos los nodos a la derecha son mayores al padre.
Y solo pueden tener 2 hijos a lo mucho.
Características

50
95
90
110
110
88
85
100
105
102
68
34
40
45
26
42
8
Ejemplo:

Recorrido de Arboles :
• Un árbol binario se puede recorrer de tres
maneras diferentes:
Recorrido en PreOrden
Recorrido en EnOrden
Recorrido en PostOrden
6
2 8
3
1 4
7
2
7
1 8
6
5
4

 Visita el nodo raíz.
 Recorre el subárbol izquierdo.
 Recorre el subárbol derecho.
Recorrido en preorden (prefijo):
A
B C
D E F
H I
G
Preorden = A B D G C E H I F

 Visita la raíz
Recorrido en inorden (infijo)
A
B C
D E F
H I
G
Inorden: D G B A H E I C F

Recorrido en postorden (postfijo)
 Visita la raíz.
A
B C
D E F
H I
G
Postorden : G D B H I E F C A

La inserción es una operación que se puede realizar eficientemente
en un árbol binario de búsqueda. La estructura crece conforme se
inserten elementos al árbol.
Los pasos que deben realizarse para insertar un elemento a un
ABB son los siguientes:
Debe compararse el valor o dato a insertar con la raíz del árbol.
Si es mayor, debe avanzarse hacia el subárbol derecho. Si es
menor, debe avanzarse hacia el subárbol izquierdo.
Inserción en un Árbol Binarios:

Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de las
siguientes condiciones
El subárbol derecho es igual a vació, o el subárbol izquierdo es
igual a vació; en cuyo caso se procederá a insertar el elemento
en el lugar que le corresponde.
El valor o dato que quiere insertarse es igual a la raíz del árbol;
en cuyo caso no se realiza la inserción.
Inserción en un Árbol Binarios:

Supóngase que quieren insertarse las siguientes los siguientes
datos en un árbol binario de búsqueda que se encuentra
vació.
120 –87 – 43 – 65 – 140 – 99 – 130 – 22 – 56
Inserción en un Árbol Binario:

Para eliminar un nodo existen los siguientes casos:
1. Si el elemento a borrar es Terminal (hoja).
2. Si el elemento a borrar tiene un solo hijo.
3. Si el elemento a borrar tiene los dos hijo.
Eliminación en un Árbol Binario:

Caso 1
Si el elemento a borrar es terminal (hoja),
simplemente se elimina.
8
1
9
7
6
8
1
9
7
6
8
1
6
Ejemplo eliminar nodo 9
7

Caso 2
Si el elemento a borrar tiene un solo hijo, entonces tiene
que sustituirlo por el hijo
8
1
9
7
1 9
7
8
1
9
7
Ejemplo: eliminar nodo 8

Caso 3
Si el elemento a borrar tiene los dos hijos, entonces se tienen
que sustituir por el nodo que se encuentra mas a la izquierda
en el subárbol derecho, o por el nodo que se encuentra mas a
la derecha en el subárbol izquierdo.
8
1
9
7
6
8
1
9
7
7
8
1
9
7

Ejemplo : Las fórmulas algebraicas, debido a que los operadores que intervienen son
operadores binarios, nos dan un ejemplo de estructura en árbol binario.
(a + b*c) / (d - e/f)

 (2+4)*(9-2)
 ((4+3)*(2-1))*(3/1)
Genera a partir de expresiones aritméticas los árboles binarios
Enumere los vértices según un recorrido en orden preorden , un recorrido
inorden y otro recorrido Postorden
 ( ((4+3)*(2-1))*(3/1)) - ((2+5)*(1+1))

• Elimina el 22,. 99, 87, 120, 140, 135, 56
93
87
43 99
120
130
140
65
56
22
135
Insertar las siguientes los siguientes datos en un árbol binario de búsqueda que se
encuentra vació. 8 , 5 ,1 , 20 , 12, 6, 4

Alumno: Choquenaira Florez Alexander

 Un árbol de decisión es una forma gráfica y analítica de
representar todos los eventos (sucesos) que pueden
surgir a partir de una decisión asumida en cierto
momento.
 Nos ayudan a tomar la decisión “más acertada”, desde
un punto de vista probabilístico.
 Es un modelo de predicción usado en la inteligencia
artificial

Ventajas del árbol de decisiones
 Plantea el problema para que todas las opciones sean
analizadas y analizar las consecuencias de cada una de
ellas
 Nos ayuda a tomar las mejores decisiones, desde un
punto de vista probabilístico, ante un abanico de
posibles decisiones

Aplicaciones de un árbol de
decisiones
Los árboles de decisiones pueden tener todo tipo de
aplicaciones:
Para decisiones de posicionamiento de mercado de una
empresa
Para evaluar el riesgo crediticio de una persona
Para los videojuegos
Para cualquier tipo de problema, en el que se desee
analizar todas las posibles consecuencias de cada uno de
nuestros actos

Partes del Árbol
• Nodo de decisión: Indica que una decisión necesita
tomarse. Está representado por un cuadrado.
• Nodo de probabilidad: Indica que ocurre un evento
aleatorio. Está representado por un círculo.
• Rama: Nos muestra los distintos caminos que se
pueden emprender cuando tomamos una decisión

¿Como dibujar un árbol de
decisiones?
1. Lo primero que se debe hacer es escribir cuál es la
decisión que se necesita tomar.
2. Se dibuja un recuadro para representar esto en la
parte izquierda de una página grande de papel.
3. Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la
derecha para cada posible solución, y escribir cuál es
la solución sobre cada línea. Se debe mantener las
líneas lo más apartadas posibles para poder expandir
tanto como se pueda el esquema.

• Al final de cada línea se debe estimar cuál puede ser el
resultado. Si este resultado es incierto, se puede
dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra
decisión que necesita ser tomada, se debe dibujar otro
recuadro. Se debe escribir la decisión o el causante
arriba de los cuadros o círculos. Si se completa la
solución al final de la línea, se puede dejar en blanco.
• Desde los círculos se deben dibujar líneas que
representen las posibles consecuencias. Nuevamente
se debe hacer una pequeña inscripción sobre las líneas
que digan lo que significan.
• Seguir realizando esto hasta que se tengan dibujadas
tantas consecuencias y decisiones como sea posible ver
asociadas a la decisión original.

 Ahora se pueden hacer ciertas cosas a los arboles,
podemos ponerle un valor a cada posible resultados,
para esto analizaríamos cada uno de los círculos, si
usamos porcentajes deberían sumar 100%,si usamos
fracciones deberían sumar 1

Calcular el valor de los nodos de
incertidumbre
 Para hallar el valor para resultados inciertos, debemos
multiplicar el costo o ganancia de estos resultados por
la probabilidad de que estos resultados se produzcan.
El total para esos nodos es la suma de todos estos
valores

Calcular el valor de los nodos de
decisión
 Cuando evaluamos los nodos de decisión, debemos
escribir el costo de cada una de las decisiones (que
parten del nodo de decisión) y restarla con la ganancia
o sumarla con el costo (que se genero al calcular el
valor de los nodos de incertidumbre) y quedarnos con
el mas conveniente en caso de que hallan mas de 2
ramas que salen de el

• En este ejemplo aclaratorio, el beneficio que hemos
calculado para "Nuevo Producto, Desarrollo
Meticuloso" fue $210.000.Luego estimamos el futuro
costo aproximado de esta decisión como $75.000. Esto
da un beneficio neto de $135.000
• El beneficio neto de "Nuevo Producto, Desarrollo
Rápido" es $15.700, dados estos resultados escogemos
la primera opción "Nuevo Producto, Desarrollo
Meticuloso", ya que este seria nuestro mejor resultado

• Ejercicio 1:
Una compañía de seguros nos ofrece una indemnización
por accidente de 210.000$. Si no aceptamos la oferta y
decidimos ir a juicio podemos obtener 185.000$, 415.000$
o 580.000$ dependiendo de las alegaciones que el juez
considere aceptables. Si perdemos el juicio, debemos
pagar las costas que ascienden a 30.000$.
Sabiendo que el 70% de los juicios se gana, y de
éstos, en el 50% se obtiene la menor
indemnización, en el 30% la intermedia y en el 20%
la más alta.
Determinar la decisión más acertada

• Ejercicio 2:
Una fábrica está evaluada en 150 millones. La fábrica desea incorporar un
nuevo producto al mercado. Existen tres estrategias para incorporar el
nuevo producto:
Alternativa 1 Hacer un estudio de mercado del producto de forma de
determinar si se introduce o no al mercado.
Alternativa 2 Introducir inmediatamente el producto al mercado (sin
estudio).
Alternativa 3 No lanzar inmediatamente el producto al mercado (sin
estudio).
En ausencia de estudio de mercado, la fábrica estima que el producto tiene
un 55% de posibilidades de ser exitoso y de 45% de ser un fracaso. Si el
producto es exitoso, la fábrica aumentaría en 300 millones su valor, si
el producto fracasa se devaluaría en 100 millones. El estudio de
mercado vale 30 millones. El estudio predice que existe un 60% de
probabilidad de que el producto sea exitoso. Si el estudio de mercado
determina que el producto sería exitoso, existe un 85% de
posibilidades de que efectivamente lo sea. Si el estudio de mercado
determina que el producto sería un fracaso, existe sólo un 10% de
posibilidades de que el producto sea exitoso. Si la empresa no desea
correr riesgos (desea maximizar el valor esperado de la empresa).
¿Qué estrategia debería seguir ?

• Ejercicio 3:
Una pizzería está planificando su actividad para el próximo domingo. En
función de los datos que se reflejan en la siguiente tabla (beneficios
obtenidos), realizar el árbol de decisión correspondiente y en función
de este

 Ejercicio 4:
Algunas personas parecen tener toda la suerte del mundo. Debido a su mente sutil y su
encanto devastador, el gran "Paco" ha recibido tres propuestas de matrimonio durante la
semana pasada.
Después de decidir que es tiempo de sentar cabeza, "Paco" necesita ahora escoger a una
de sus pretendientes. Como es una persona muy lógica, ha determinado que los atributos
emocionales y físicos de las tres mujeres son casi los mismos y ha decidido escoger en base
a sus recursos financieros que le puedan brindar.
Parece que una de las solicitantes, Jenny, tiene un padre rico que sufre de artritis crónica.
"Paco" calcula una probabilidad de 0.3 de que el padre muera en los próximos años y les
deje una herencia de $100.000 (después de impuestos). Si el padre de Jenny vive una larga
vida, "Paco" no recibirá ni un centavo de él.
Diana, otra de las novias, es una contadora ambiciosa, calculadora y manipuladora de una
compañía con reputación. "Paco" estima una probabilidad de 0.6 de que Diana siga su
carrera y una probabilidad de 0.4 de que la deje y se dedique a sus hijos. Si continúa con su
trabajo, ella podría seguir en el Área de Auditoria, o bien cambiar al Área de impuestos de
la firma. Al quedarse en el área de Auditoria existe una probabilidad de 0.5 de que gane
$40.000 y el resto de que sean $25.000. Si deja su carrera para dedicarse a sus hijos ganará
$20.000 en un trabajo de tiempo parcial. Mary, la última competidora, sólo puede ofrecer
a "Paco" su dote de $25.000
¿Con quién debe casarse en buen "Paco"?

Llegamos a la conclusión
de que «Paco» debe
casarse con Diana

 Ejercicio 5:
La decisión inicial del grupo financiero "VALICCSA", sociedad dedicada a ofrecer
consultorías financieras fiscales, administrativas y contables, involucra la
instalación de unas nuevas oficinas en el oriente de la ciudad o bien en el cetro de
la misma. El gerente no tiene establecida la demanda de consultorías de manera
segura pero ha estimado que en el próximo año puede obtener una demanda alta,
media y baja, otorgándoles probabilidades de 0.23 para la demanda alta e igual
estimación para la demanda baja. Estos eventos son relativamente independientes
de los elementos de la disyuntiva y pueden ocurrir, sea cual sea la decisión. Si se
instalan en el oriente de la ciudad, los rendimientos de operación bonificados con
una demanda alta, moderada y baja son $33.500, $36.600 y $19.580
respectivamente. El cálculo de los costos por concepto de instalación asciende a
$16.790
La instalación en el centro de la ciudad costaría $22.546, pero ante los tres tipos de
demanda obtendrían rendimientos de $55.870, $37.690 y $25.770
respectivamente.
Elaborar el árbol de decisión y llevar a cabo su análisis para tomar la decisión más
acertada

Llegamos a la
conclusión de que
lo mejor sería
construir en el
centro

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