MEF

1. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4. CREACIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
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3. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4. CREACIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
En este apartado se expone con detalle el procedimiento seguido para la
realización del modelo del ensayo de fragmentación de fibra única mediante el Método
de los Elementos Finitos.
Ya se ha mencionado en la definición de los objetivos de este proyecto, que para
el análisis numérico de la propagación de grietas se va a emplear un modelo de
fisuración cohesiva, empleando elementos cohesivos.
A continuación se describe el proceso seguido para la construcción de dicho
modelo, explicando con detalle todas las características más importantes del mismo, así
como los pasos seguidos para su elaboración.
4.1. SOFTWARE
Para la simulación del ensayo de fragmentación del modelo se han usado varios
paquetes comerciales que implementan el Método de los Elementos Finitos para el
análisis de problemas mecánicos.
Para la resolución del modelo se ha usado el paquete comercial ABAQUS.
Dicho paquete incluye desde su versión 6.5 entre sus funciones los elementos cohesivos
necesarios para el modelado de la superficie de propagación de la grieta de despegue
mediante el modelo de fisuración cohesiva que se utiliza en este proyecto.
Los elementos cohesivos (ABAQUS Inc., 2006) se han diseñado
específicamente para el modelado del comportamiento de juntas, adhesivos e interfases
de materiales compuestos, además de otras situaciones en las que sean de relevancia la
integridad y resistencia de las interfases entre diferentes materiales y en modelos de
fisuración cohesiva.
En general el objetivo fundamental de los cohesivos se resume en describir de
manera simple y realista el proceso de fisuración, en general de tipo no lineal, que se
produce en un sólido.
Por tanto los cohesivos pueden ser utilizados en zonas de los modelos de
elementos finitos en las que se espera la propagación de una fisura, sin ser necesaria una
fisura inicial para comenzar dicha propagación, de ahí el interés en la utilización de
dichos elemento en el modelo realizado del ensayo de fragmentación de fibra única.
En realidad, la localización del punto de inicio de propagación, así como las
características de la evolución de la fisura son determinadas como parte de la solución
del modelo.
La propagación de la fisura está restringida a la zona modelada con elementos
cohesivos, impidiéndose su propagación a lo largo de las zonas adyacentes.
Para la construcción de la geometría del modelo, le definición de las condiciones
de contorno, los materiales que componen la probeta y las cargas que actúan en el
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4. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
ensayo durante toda la historia del mismo, se ha utilizado el paquete MSC Patran 2007
r2.
Sin embargo, dicho paquete no incluye entre sus funciones los elementos
cohesivos, por tanto, los elementos cohesivos se han introducido directamente en el
fichero de ABAQUS, así como la definición del contacto existente entre las caras de la
grieta de despegue a medida que ésta progresa por la interfase entre la fibra y la matriz.
La resolución del modelo ya totalmente definido con la inclusión de los
cohesivos se ha llevado a cabo igualmente con las versiones 6.61 y 6.82 de ABAQUS,
que proporcionan los archivos de salida requeridos con el fin de extraer los resultados
necesarios para el estudio detallado de todo el proceso de ensayo simulado.
De la misma manera, para todo el postproceso de los resultados referidos se ha
utilizado el programa ABAQUS Viewer, del que se extraen los resultados que se
muestran en el desarrollo de esta memoria y de los que se extraerán las conclusiones
detalladas más adelante.
En la Figura 31 se muestra un esquema resumen de la utilización de estos
programas comerciales durante el proceso de construcción y resolución del modelo y de
la extracción de resultados del análisis realizado.
Fig.31. Esquema de los paquetes informáticos utilizados.
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5. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.2 HIPÓTESIS
Atendiendo a las características del ensayo previamente descrito, para la
simulación del mismo y la construcción del modelo de Elementos Finitos, se han
aceptado como válidas algunas hipótesis, las cuales se relatan a continuación.
El problema en estudio presenta simetría de revolución, tanto de la geometría de
la probeta como de las cargas aplicadas a la misma, alrededor del eje de la fibra. Por
tanto se trata de un problema axisimétrico, con lo que para obtener la solución del
problema, bastará con modelar una sección radial de la probeta.
Se admite que se obtendrá una solución repetitiva en el entorno de cada rotura en
la fibra y simétrica respecto al plano en que esta rotura se produce.
Además se supone que los fragmentos en que queda dividida la fibra tras el
proceso de fragmentación son lo suficientemente largos como para que no haya
interacción entre las grietas de despegue que puedan iniciarse en ambos extremos de los
fragmentos.
Teniendo en cuenta las hipótesis referidas hasta ahora, se puede simplificar la
geometría en estudio, reduciéndola al análisis del estado tensional y la propagación de la
fisura en la fracción de la probeta que corresponde a la mitad de uno de los fragmentos
en que queda dividida la fibra
Los materiales que intervienen, es decir, aquellos que constituyen tanto la fibra
como la matriz, tienen un comportamiento isótropo elástico lineal.
La interfase entre la fibra y la matriz se modela con elementos cohesivos, lo que
constituye la característica más importante del estudio realizado, dado que éste utiliza
un modelo de fisuración cohesiva para analizar la propagación de la grieta de despegue
que avanza por la interfase.
Una vez que aparece la grieta de despegue, hay que considerar el contacto entre
las caras de la misma.
En modelo emplea una formulación en grandes desplazamientos.
De esta forma, el modelo general estudiado para la simulación del ensayo,
teniendo en cuenta todas las hipótesis aceptadas y la las características del ensayo es el
que se muestra en la Figura 32.
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6. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
Fig. 32. Configuración general del Modelo de Elementos Finitos
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7. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.3 GEOMETRÍA
Hay que tener en cuenta que las dimensiones del modelo realizado para la
simulación del ensayo son completamente diferentes a las mostradas en el esquema de
la Figura 32.
Atendiendo a las longitudes típicas de las probetas utilizadas en este tipo de
ensayos, se han elegido para este modelo las dimensiones que se describen a
continuación.
Radio de la fibra (rf): rf = 5 µ m
Radio de la probeta (rm): rm = 1000 µm
Semi-longitud del fragmento (Lf): Lf = 400 µm
De esta manera, en la Figura 33, se muestra un esquema general de la geometría
en estudio, en la que pueden verse las proporciones reales entre los tamaños de la zona
de la fibra y la zona de la matriz que componen la geometría del modelo analizado.
Fig. 33. Geometría y dimensiones del Modelo de Elementos Finitos
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8. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.4 MATERIALES
Los materiales elegidos para la constitución de la probeta del ensayo de
fragmentación de fibra única son una Fibra de Vidrio-E y una matriz polimérica Epoxy
que la rodea.
En cuanto al comportamiento de los materiales que constituyen la probeta, se
acepta la hipótesis ya mencionada de que ambos presentan comportamiento isótropo
elástico lineal.
Las propiedades elásticas consideradas para los dos materiales constituyentes
son las mostradas en la Tabla 2.
Coeficiente de
Módulo de Coeficiente de
Expansión
Young, E Poisson, ν
Térmica, α
Fibra de Vidrio-E 70.000 MPa 0.2 7 E-6 K-1
Matriz Epoxy 3.500 MPa 0.3 50 E-6 K-1
Tabla 2. Propiedades de la fibra y la matriz empleadas en el modelo. París et al.
(2006)
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4.5 CONDICIONES DE CONTORNO
Atendiendo a las hipótesis consideradas, las condiciones de contorno que se
incluyen en la creación del modelo, a fin de simular todo la historia de carga seguida
por la probeta desde su fabricación hasta el proceso de ensayo, se componen de los
cuatro pasos que se describen a continuación.
PASO 1
En este paso se simula la compresión sufrida por el sólido, tras la solidificación
en el proceso de curado de la probeta a 105 ºC, hasta la temperatura ambiente (25ºC).
Para ello se introduce una variación de temperatura negativa ∆To = - 80º C y una
contracción del sólido equivalente a una deformación del -0.4% (∆ε= -0.004), que en
desplazamientos equivale a un valor de u1 = ∆ε Lf = -1.5998 µm, dato que resulta de
despreciar la contribución de la fibra en el acortamiento de la probeta. La Figura 34
muestra una representación de este paso de carga.
1
Fig.34. Paso 1 de carga
PASO 2
En este paso de carga se inicia el proceso de tracción, llegando hasta un
alargamiento medio del 1% (∆ε=0.01), respecto al comienzo del ensayo, lo que en
términos de desplazamiento equivale a un valor de u2 = u1 + ∆ε Lf = 2.4008 µm.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente durante todo el ensayo.
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10. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
En la la Figura 35 muestra una representación de las condiciones de contorno
correspondientes a esta paso de carga.
2
Fig.35. Paso 2 de carga
PASO 3
Este paso de carga simula el proceso de rotura de la fibra, por tanto, cambia la
condición uz = 0 por σzz = 0 en el plano de rotura.
El desplazamiento impuesto en la cara superior no varía respecto al paso de
carga anterior.
ABAQUS trata esta condición de contorno aplicando linealmente unas cargas en
dicha zona opuestas a las que se obtuvieron como resultado al final del paso anterior.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente.
La Figura 36 muestra una representación de este paso de carga.
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11. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
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Fig.36. Paso 3 de carga
PASO 4
En este último paso se continúa el proceso de tracción hasta alcanzar un
alargamiento medio del 3% (∆ε=0.03), respecto al comienzo del ensayo, lo que en
términos de desplazamientos equivale a un valor de u3 = u2 + ∆ε Lf = 18.4 µm.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente.
La Figura 37 muestra la representación de las condiciones introducidas en este
paso de carga.
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12. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
3
Fig. 38. Paso 4 de carga
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13. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.6 MALLADO
Para la discretización del modelo se ha empleado una malla constituida por
elementos axisimétricos de 4 nodos, dadas las condiciones de simetría respecto al eje de
la fibra del problema.
Dicha malla se ha construido de forma que en la zona de interés del problema, es
decir, aquella en que se produce la rotura en la fibra y el inicio de la propagación de la
grieta de despegue, los elementos que forman la misma sean elementos de forma regular
y del mismo tamaño. De esta forma, se ha mallado esta zona con elementos cuadrados
de dimensiones 0.5 x 0.5 µm. Uno de estos elementos axisimétricos cuadrados se
muestra en la se representa en la Figura 39.
Fig.39. Elemento axisimétrico cuadrado utilizado en la zona crítica.
En las zonas alejadas de la zona crítica mencionada, se ha permitido que los
elementos sean de mayor tamaño, debido a que la solución del problema en estas zonas
en más uniforme, disminuyendo de esta forma los recursos necesarios para el análisis
del problema.
En la Figura 40 se muestra el aspecto de la malla completa resultante de la
discretización.
En lo que sigue se denomina a esta discretización como Malla A, ya que
posteriormente se desarrollan algunas discusiones acerca del refino de dicho mallado y
se mostraran otras mallas desarrolladas que se mostraran con otras denominaciones.
Además, en la Figura 41, se muestra una vista con más detalle de la zona crítica
del modelo, mostrando los elementos cuadrados que forman la malla en la zona en que
se produce la rotura de la fibra y el comienzo de la propagación de la grieta de
despegue.
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14. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
Fig.40. Aspecto general de la Malla A completa.
Fig.41. Malla A. Detalle de la zona en que se produce la rotura de la fibra
y la propagación de la grieta de despegue.
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15. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.7 ELEMENTOS COHESIVOS
El modelado con elementos cohesivos consiste principalmente en desarrollar los
puntos que se señalan a continuación.
1- La elección del tipo de elemento cohesivo adecuado para su utilización
en el problema en estudio.
2- Incluir los elementos cohesivos en un modelo de elementos finitos,
conectándolos adecuadamente con el resto de componentes que
conforman el modelo.
3- Definir la geometría inicial de los elementos cohesivos incluidos en el
modelo.
4- Definir el comportamiento mecánico constitutivo de los cohesivos.
4.7.1 Elección del tipo de elementos cohesivos
ABAQUS incluye en su librería los siguientes tipos de elementos cohesivos:
- Elementos para análisis en dos dimensiones.
- Elementos para análisis en tres dimensiones.
- Elementos para análisis axisimétricos.
La nomenclatura utilizada por el programa para definir el tipo de elemento que
se incluye se hace según se muestra en la Figura 42.
Fig.42. Nomenclatura utilizada en ABAQUS para los elementos
cohesivos.
Atendiendo a la condición de axisimetría del problema en estudio, el tipo de
cohesivo seleccionado para modelar la interfase fibra-matriz debe ser del tipo
axisimétrico, seleccionando además que el número de nodos del mismo sea igual a 4. La
nomenclatura de los elementos cohesivos empleados es por tanto: COHAX4.
De esta forma, la disposición del tipo de elemento cohesivo seleccionado se
muestra en la Figura 43.
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16. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
Fig.43. Elementos cohesivos axisimétricos de 4 nodos
4.7.2 Inclusión de los elementos cohesivos en el modelo
El siguiente paso, una vez elegido el tipo de cohesivos que se van a utilizar, es
incluir los elementos cohesivos en el modelo de elementos finitos, conectándolos
adecuadamente con el resto de componentes que conforman el modelo, es decir,
discretizar la zona cohesiva de dicho modelo.
La zona cohesiva debe ser discretizada con una sola capa de elementos
cohesivos, una fila en el modelo que aquí se trata.
En la inclusión de los elementos cohesivos en el modelo se han conectado ambas
caras de la capa (fila en este caso) de cohesivos a los componentes adyacentes.
En caso de que los elementos cohesivos y los elementos de las zonas adyacentes
tengan correspondencia entre sus nodos, cosa que se cumple en este modelo, es
inmediato realizar la conexión de forma simple, en la que los cohesivos comparten los
nodos con los del mallado de las zonas contiguas, tal y como se muestra en la Figura 44.
Fig.44. Elementos cohesivos que comparten nodos con los elementos de
las zonas contiguas.
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17. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.7.3. Definición de la geometría inicial de los elementos cohesivos
La definición de la geometría inicial de los elementos cohesivos se ha realizado
directamente a partir de la conectividad entre los nodos que lo componen y la posición
de dichos nodos.
Es decir, la definición del elemento cohesivo se hace especificando el número
del elemento y todos los nodos que lo definen.
Resaltar que en el modelo realizado el espesor de la zona cohesiva es nulo, por
tanto las posiciones de los nodos de los elementos cohesivos coinciden dos a dos en
cada elemento, tal como se muestra en la Figura 45.
Fig.45. Elementos cohesivos con espesor nulo
De esta forma, el aspecto de la zona cohesiva con elementos de espesor nulo es
la que se observa en la Figura 46.
Fig 46. Aspecto de la malla tras la introducción de los elementos
cohesivos con espesor nulo.
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18. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
4.7.4. Definición del comportamiento mecánico constitutivo de los
elementos cohesivos
Si la zona cohesiva es muy fina tal que a efectos prácticos puede ser considerada
de espesor nulo, o directamente es realmente de espesor nulo como es el caso del
estudio tratado, las respuesta de los cohesivos suele ser especificada directamente en
términos de tracción frente a separación en la interfase.
De esta manera, en la definición de los cohesivos se incluye la orden:
*COHESIVE SECTION, RESPONSE=TRACTION SEPARATION
Por tanto, para estas situaciones, las propiedades macroscópicas del material en
la zona cohesiva dejan de tener relevancia directa y el análisis debe referirse a conceptos
derivados de la mecánica de la fractura tales como la energía necesaria para la creación
de nuevas superficies.
Los elementos cohesivos modelan la carga inicial, el comienzo del daño y la
propagación del mismo, que precede a un eventual fallo de la interfase. De esta forma,
aparecen dos zonas diferenciadas en el comportamiento mecánico de los elementos
cohesivos, tal como se puede observar en la Figura 47.
Fig.47. Respuesta típica de los elementos cohesivos.
El comportamiento previo al inicio del daño se asume que es elástico lineal y es
escrito en términos de una matriz elástica constitutiva que relaciona las tensiones
nominales con las deformaciones nominales a través de la interfase, de la siguiente
manera
(ec.5)
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19. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
El vector de tensiones nominales , , está constituido por tres componentes (dos
para problemas bidimensionales): , y . De ellas, es la tensión normal a la
interfase, y y son las tensiones en las direcciones tangenciales a la misma.
La separaciones se denotan por: , , y . Análogamente a las tensiones, ,
es la separación en la dirección normal a la interfase, y y son las separaciones en
las dos direcciones tangenciales.
Llamando al espesor constitutivo del elemento cohesivo, las deformaciones
nominales quedan definidas por:
(ec.6)
El valor de este espesor constitutivo por defecto es de valor unidad siendo
éste diferente al espesor geométrico que es cero o prácticamente nulo.
En el caso que se desee el desacoplamiento entre las componentes, como es el
caso de este estudio, basta con hacer nulos los elementos de la matriz fuera de la
diagonal, con lo que bastaría con especificar el valor de los tres elementos diagonales de
la matriz.
Para tal efecto, se incluye la orden siguiente:
*ELASTIC, TYPE=TRACTION
La segunda zona diferenciada en el comportamiento del comportamiento de los
elementos cohesivos es la correspondiente a la zona en proceso de daño.
De esta manera, el modelado de esta zona se resume teniendo en cuenta tres
factores principales: El criterio de inicio del daño, la ley de evolución de la zona de
daño y por último la elección de si se elimina o no el elemento tras alcanzar su estado de
degradación total.
El inicio de la degradación del elemento comienza cuando el valor de las
tensiones o deformaciones alcanzan cierto valor que satisface un criterio de inicio del
daño especificado.
En este estudio se ha empleado un criterio que asume que el daño se inicia
cuando la tensión nominal máxima alcanza un valor crítico elegido. Este criterio se
representa de la siguiente manera.
(ec.7)
El símbolo ‹› se usa para puntualizar que una tensión de compresión pura en la
dirección normal no produce el inicio del daño.
De esta manera, en la definición de los cohesivos se incluye la orden:
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20. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
*DAMAGE INITIATION, CRITERION=MAXS
La evolución del daño, describe de qué forma el elemento se va degradando una
vez que se ha satisfecho el criterio de inicio del fallo. Para describir esta evolución hay
que especificar dos parámetros.
El primero, se refiere a la degradación total del elemento, que puede hacerse
especificando la separación a la que comienza la rotura real, o bien, como es el caso de
este estudio, incluyendo la energía disipada cuando se alcanza la rotura, Gc.
El segundo de ellos, definiendo una variable escalar D que toma valor 0 en el
momento de la iniciación del daño y valor 1 cuando se produce la degradación total, se
refiere a la forma en que D varía entre ambos valores de 0 y 1.
En el caso de nuestro estudio, se adopta una ley lineal respecto a la separación
para esta variación, quedando definido completamente el comportamiento del cohesivo,
tal como se muestra en la Figura 48.
Fig.48. Evolución lineal del daño en el cohesivo
Además atendiendo a que en el ensayo de fragmentación ocurre todo proceso de
propagación de la grieta de despegue en modo II, se especifica el comportamiento del
cohesivo utilizando en el criterio energético su definición para modo mixto, aunque el
efecto del modo I y III no tienen influencia.
Por tanto, el criterio energético utilizado para especificar en qué momento se
alcanza la degradación total del elemento se especifica en el modelo según la ley:
(ec.8)
Considerando los tres modos de fractura, Gn se corresponde con el modo I (GI),
Gs con el modo II (GII) y Gt con el modo III (GIII).
De esta manera, en la definición de los cohesivos se incluye la orden:
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21. P.F.C. Análisis numérico mediante el Método de los Elementos Finitos del ensayo de fragmentación de fibra única
*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=ENERGY,MIXED MODE BEHAVIOR=POWER LAW, POWER=
Por último sólo queda decidir si una vez degradado completamente el elemento
cohesivo se mantiene su presencia en el modelo o se procede a su eliminación.
Por defecto, el elemento cohesivo retiene su resistencia a compresión incluso
una vez que se ha producido su degradación completa, aunque su resistencia ante otros
modos de carga haya desaparecido. Por tanto, manteniendo los cohesivos una vez
degradados, su presencia impide la interpenetración entre las superficies adyacentes.
En caso de que se eliminen los elementos cohesivos una vez degradados
completamente, no quedaría impedida la interpenetración entre las caras de la grieta de
despegue, siendo necesario introducir una condición de contacto entre dichas caras.
En principio se ha decidido en este estudio la eliminación del mismo, aunque
posteriormente se procederá a una discusión más detallada del motivo de esta elección,
así como de la condición de contacto mencionada que será preciso introducir en el
modelo.
Para ello se incluye la orden:
ELEMENT DELETION=YES
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