6. mef

Introducción al método de los elementosIntroducción al método de los elementos
finitos aplicado al análisis estructural.finitos aplicado al análisis estructural.
Fundamentos del método y aplicación
a barras traccionadas o comprimidas

Bibliografía recomendada:Bibliografía recomendada:
 El Método de los Elementos
Finitos aplicado al análisis
estructural. Manuel Vázquez, Eloísa
López. Ed. Noela 2001. ISBN:
9788488012067
 Cálculo de Estructuras por el
Método de los Elementos
Finitos. Análisis elástico lineal.
Eugenio Oñate. Ed. UPC 2004. ISBN:
9788487867002

Características básicas del M.E.F.Características básicas del M.E.F.
 Es una generalización del método matricial
 Discretiza la estructura en ELEMENTOS (trozos)
 Los elementos contienen puntos llamados NODOS
(generalmente en los bordes)
 Los elementos que comparten nodos están unidos.
 En cada nodo tendremos unos determinados
GRADOS DE LIBERTAD que definen el estado del
mismo.
 Los grados de libertad en un análisis estructural
simple (nuestro caso) se corresponden con
DESPLAZAMIENTOS y/o GIROS de los nodos.
 OBJETIVO: conocer los resultados en los G.D.L. de
los nodos para así saber cómo se deforma la
estructura.

División en elementos finitosDivisión en elementos finitos
 Modelización: dividimos la estructura en elementos.
◦ Se consideran las cargas en los nodos (si no lo están, deben trasladarse a
los nodos mediante simplificaciones)
◦ El método calcula de forma exacta resultados en los nodos. Los
resultados intermedios se obtienen a partir de estos por aproximaciones.
◦ A mayor número de elementos
mayor número de nodos y, por
tanto, mayor precisión en el
cálculo.
◦ En las zonas con cargas
concentradas o donde se
prevea concentración de
tensiones se discretiza en
un mayor número de
elementos.

Tipos de elementos finitosTipos de elementos finitos
 Elementos unidimensionales
◦ En estructuras son elementos tipo barra.
 Elementos bidimensionales
◦ En estructuras son elementos planos cuadrilaterales o
triangulares.
 Elementos tridimensionales
◦ En estructuras son elementos tetraédricos, hexaédricos o
prismáticos.
 Los nodos no tienen por qué estar solamente en los
vértices. Puede haber en los lados y en el interior del
elemento
◦ Esto implica más complejidad en el estudio del elemento
 En cada nodo puede interesarnos considerar uno o
varios grados de libertad.
◦ Recordemos: los grados de libertad en problemas
estructurales simples son desplazamientos y/o giros de
los nodos.
◦ A menor número de G.D.L. más simple es el problema.
Nodo
Cuadrilateral
Hexaédrico

Vector desplazamientos del elemento: {Vector desplazamientos del elemento: {uuee}}
 Los desplazamientos de las zonas situadas entre nodos se obtienen
de forma aproximada.
 Para trabajar con dichos desplazamientos debemos:
1. Escribirlos en función de los parámetros nodales (desplazamientos) en
los grados de libertad de los nodos.
2. Decidir cómo supondremos que varían esos desplazamientos en la zona
entre nodos.
 La forma que seleccionemos irá implícita en una matriz llamada
matriz de aproximación o matriz de funciones de forma [Ne]
 Así, conociendo el vector de los parámetros nodales o
desplazamientos de los nodos del elemento {δe}:
{ } [ ]{ }e e eu N δ=
Vector de desplazamientos
del elemento
Matriz de funciones de
forma del elemento
Desplazamientos
nodales del elemento

Funciones de forma NFunciones de forma Nii unidimensionalesunidimensionales
 Tomamos como ejemplo un elemento de
longitud L que sólo puede estar sometido a
tracciones o compresiones (barra biarticulada,
p. ej.)
 Consideramos que los únicos grados de
libertad son los desplazamientos axiales u1 y u2
(la barra sólo puede alargarse o acortarse).
 El desplazamiento axial u(x) de un punto
cualquiera del elemento puede expresarse con
una función de aproximación: u(x)=ax+b
 La elegida es una función lineal (polinomio de
primer grado), pero puede haber otros casos
en los que interese utilizar funciones
cuadráticas (2º grado), cúbicas (3er
grado), etc.
 Los coeficientes a y b de esas funciones de
aproximación pueden escribirse dependiendo
de u1 y u2. Ya que:
◦ u1=u(0) y u2=u(L)
Nodo1 Nodo2
Elemento 1-2
u1 u2
L
x
0
u(x)
Lineal : u(x)=ax+b
Cuad. : u(x)=ax2
+bx+c
Cúb.: u(x)=ax3
+bx2
+cx+d
1
1
2 1
2
(0) ·0
( ) ·
b u
u u a b
u u
u u L a L b a
L
=
= = + 
⇒ −
= = + =

Funciones de forma NFunciones de forma Nii unidimensionales (II)unidimensionales (II)
 Cuando tenemos los coeficientes a, b de las funciones de aproximación
escritos en función de los desplazamientos de los nudos u1, u2 puede escribirse
la función de aproximación de desplazamientos u(x) como:
 A las funciones que van multiplicadas por los parámetros nodales
(desplazamientos u1 y u2) se les llama funciones de forma. En este caso, son:
◦ N1=1-x/L
◦ N2=x/L
 Así, la función de aproximación de desplazamientos puede escribirse:
u(x)=N1·u1+N2·u2
 Lo que se puede escribir en forma matricial:
 Que es la expresión buscada:
2 11
1 1 2
2 1
( )
( ) 1
u x ax b
u u x xb u
u x x u u u
L L Lu u
a
L
= + 
 −=   
⇒ = + = − +  ÷
 − =

[ ] 1
1 2
2
( )
u
u x N N
u
 
=  
 
{ } [ ]{ }e e eu N δ=
del elemento
forma del elemento
Desplazamientos
= x
1
2
( ) 1
ux xu x
L L u
  = −     

Interpretación gráfica de las funciones de formaInterpretación gráfica de las funciones de forma
 Las funciones de forma de un elemento son polinomios que tienen un valor
unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en el resto.
x
1
N1
0 L
u1=1 u2=0
L
x
0
u(x)
u(x)
x
x
1 N2
0 L
u1=0 u2=1
L
x
0
u(x)
u(x)
x
 Las función de forma Ni determina cómo son los desplazamientos en un punto
cualquiera del elemento (x) cuando el desplazamiento del nodo i es 1 y 0 el del
resto de los nodos.
 En el ejemplo presentado usamos una función de aproximación lineal, es decir,
se supone que el desplazamiento axial u de los puntos del elemento varía
linealmente entre los nodos. Esto es exacto para elementos comprimidos
o traccionados uniformemente. FF

Funciones de forma de elemento cuadráticoFunciones de forma de elemento cuadrático
 Cuando un elemento tiene nodos entre los
extremos decimos que se trata de un elemento de
grado superior.
 Si continuamos con el caso simple de barras que
sólo pueden estar sometidas a tracciones o
compresiones, podemos pensar en un elemento
con 3 nodos.
 Como se dijo, las funciones de forma de un
elemento son polinomios que tienen un valor
unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en
el resto.
Nodo1 Nodo3
Elemento 1-2-3
Nodo2
x
1
N1
0 LL/2
u1 u3
x3=L
x
x1=0
u(x) u2
x2=L/2
x
1
N2
0 LL/2
x
1
N3
0
L
L/2
 Las funciones de forma pueden obtenerse mediante la siguiente
aplicación de los polinomios de Lagrange: ( )
( )
j
i
i j i j
x x
N
x x≠
−
=
−
∏Es un polinomio de valor 1 en el
nodo i y 0 en el resto de nodos

Funciones de forma de elemento cuadrático (II)Funciones de forma de elemento cuadrático (II)
 N1: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 1 y valor 0 en los
nodos 2 y 3.
nodos 1 y 3.
nodos 1 y 2.
 Un elemento cuadrático como este implica que las deformaciones axiales
varían de forma parabólica entre los nodos. Esta suposición es exacta en
barras con carga axial distribuida uniformemente.
1
N1
0 L/2 L
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )2 3
1 2
1 2 1 3
12 2
0 0
2
Lx x Lx x x x
N x L x L
Lx x x x LL
− −− −
= = = − −
− − − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )1 3
2 2
2 1 2 3
0 4
0
2 2
x x x x x x L
N x x L
L Lx x x x LL
− − − −
= = = − −
− − − −
1
N2
0 LL/2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1 2
3 2
3 1 3 2
0 12 2
0
2
Lx xx x x x
N x x L
Lx x x x LL L
− −− −
= = = −
− − − −
1
N3
0
L
L/2
Ejemplo: barra sometida a su
peso propio. q=cte=γA. γ
A
R
q

Funciones de forma de elementos de grado n-1Funciones de forma de elementos de grado n-1
 Si trabajamos con cargas aún más complejas en barras sometidas a
tracciones y compresiones hay que utilizar elementos de grado
superior.
 Ejemplo: Obtener las funciones de forma de un elemento
lagrangiano de cuatro nodos.
u1 u3u2
L/3
u3
L/3 L/3
( )( )( )
( )( )( )
1
2
3 3
20 0 0
3 3
L Lx x x L
N
L L L
− − −
=
− − −
( ) ( )( )
( )( )( )2
20
3
20
3 3 3 3
Lx x x L
N
L L L L L
− − −
=
− − −
( ) ( )( )
( )( )( )3
0
3
2 2 20
3 3 3 3
Lx x x L
N
L L L L L
− − −
=
− − −
( ) ( )( )
( ) ( )( )4
20
3 3
20
3 3
L Lx x x
N
L LL L L
− − −
=
− − −
N1
N2
N3
N4
Mediante los polinomios de Lagrange se obtienen funciones cúbicas.

Condición de polinomio completo de u(x)Condición de polinomio completo de u(x)
 Recordemos que:
 Las funciones de desplazamientos que se obtengan deben ser un
polinomio completo (debe contener todos los términos de grado
inferior).
 P. ej.: ax2
+c no es polinomio completo, falta el término en x.
 P. ej.: ax3
+cx+d no es polinomio completo, falta el término en x2
.
 El grado de las funciones de desplazamientos es el grado de las funciones
de forma Ni.
 Si se omite algún término puede que no se alcance la solución exacta
aunque se utilice un polinomio de grado elevado.
{ } [ ]{ }e e eu N δ=
del elemento
forma del elemento
Desplazamientos
= x

Obtención de la matriz de rigidez elemental [kObtención de la matriz de rigidez elemental [kee]]
 La matriz de rigidez para un elemento se obtiene aplicando:
◦ El Principio de los Trabajos Virtuales. (Ppio. Despl. Virt.)
◦ Las ecuaciones de Compatibilidad y Comportamiento.
 El Principio de los trabajos virtuales (PDV). Aplicación general:
◦ Tenemos un sistema real de fuerzas en equilibrio sobre el elemento:
 {Pe} aplicadas en los nodos
 {qe} distribuidas en su volumen
 {pe} distribuidas en su superficie.
◦ En ese sistema real habrá unas tensiones reales {σ}
◦ Consideramos un sistema virtual de desplazamientos compatibles con
las condiciones del contorno:
 {δe}* desplazamientos nodales
 {ue}* desplazamientos entre nodos
◦ En ese sistema virtual habrá unas deformaciones virtuales ε*
relacionadas con los desplazamientos.
◦ PTV ⇒Trabajo virtual externo=Trabajo virtual interno
σ
ε*
P p
q

Obtención de [kObtención de [kee] (II): planteamiento del PTV] (II): planteamiento del PTV
 PTV ⇒Trabajo virtual externo=Trabajo virtual interno
◦ Trabajo virtual externo: las fuerzas externas reales realizan
trabajo sobre desplazamientos virtuales.
 Usando las funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe}
 Aplicando la relación ([a][b])T
=[b]T
[a]T
 {ue} T
={δe}T
[Ne]T
, por tanto también: {ue
*
} T
={δe
*
}T
[Ne]T
◦ Trabajo virtual interno: las tensiones reales realizan trabajo sobre
las deformaciones virtuales.
{ } [ ] { } { } { } { }* * *
( )
e e
T T T
e ext e e e e e e e e
V S
W P u q dV u p dSδ= + +∫ ∫
{ } { }*
(int)
e
T
e e
V
W dVε σ= ∫
{ } [ ] { } [ ] { } { } [ ] { }* * *
( )
e e
T T TT T
e ext e e e e e e e e e e
V S
W P N q dV N p dSδ δ δ= + +∫ ∫
ε*σ
P
p
q

Obtención de [kObtención de [kee] (III): condiciones [] (III): condiciones [∂∂] y [] y [DD]]
 Uso de las condiciones de compatibilidad y comportamiento.
◦ Las condiciones de compatibilidad relacionan las deformaciones y los
desplazamientos. Las simbolizaremos como [∂]
◦ Las condiciones de comportamiento son las que relacionan tensiones y
deformaciones (leyes de Hooke en elasticidad). Las simbolizaremos como
[D]
 Si aplicamos estas condiciones en el We(int)
 A [∂][Ne] le llamaremos matriz de deformación del elemento [Be]
◦ Y como: [Be]T
=([∂][Ne])T
= [Ne]T
[∂]T
{ } [ ]{ }euε = ∂
{ } [ ]{ }Dσ ε=
{ } { }
{ } { } [ ] { } [ ] [ ]
{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ][ ][ ]{ }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }
* * *
*
(int)
*
(int) · ·
e
e
T T TT T T
T e e e
e e
V e e e
T T T
e e e e e e
V
u N
W dV
D D u D N
W N D N dV
ε δ
ε σ
σ ε δ
δ δ
 = ∂ = ∂ 
= →  
= = ∂ = ∂  
= ∂ ∂
∫
∫
{ } [ ] [ ][ ]{ }*
(int)
e
T T
e e e e e e
V
W B D B dVδ δ= ∫

Obtención de [kObtención de [kee] (IV): ecuación final] (IV): ecuación final
 Igualando trabajos externos e internos:
 Eliminando de los dos términos {δ*
e}T
:
que es la ecuación matricial de equilibrio del elemento.
{ } [ ] { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] [ ][ ]{ }* * * *
e e e
T T T TT T T
e e e e e e e e e e e e e e e
V S V
P N q dV N p dS B D B dVδ δ δ δ δ+ + =∫ ∫ ∫
[ ] [ ] { } [ ] { } [ ] [ ][ ] { }·
e e e
T T T
e e e e e e e e e e e
V S V
P N q dV N p dS B D B dV δ+ + =∫ ∫ ∫
Fuerzas en
nodos Fuerzas de volumen
trasladadas a nodos
Fuerzas de superficie
trasladadas a nodos
MATRIZ DE
RIGIDEZ DEL
ELEMENTO
Desplazamientos
en los nodos
{ } [ ]{ }ee eF k δ=

Cálculo matricialCálculo matricial
 Una vez obtenidas las matrices de rigidez elementales
y trasladadas las fuerzas a los nodos se trabaja del mismo
modo que en cálculo matricial de estructuras:
◦ Se han de pasar las matrices de los elementos y los vectores de fuerzas
o desplazamientos a coordenadas globales.
 Se usa la matriz de rotación [R] para las submatrices de la matriz de rigidez.
◦ Se debe ensamblar la matriz de rigidez global [K0] uniendo las
diferentes matrices elementales.
◦ Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.
x
y
x'
y’
1
2
u’1
u’2
α
[ ]
cos
cos
sen
R
sen
α α
α α
− 
=  
 { } [ ]{ }e eG L
F R F=
{ } [ ]{ }e eG L
Rδ δ=
También se usa la matriz [R] para cambiar
el sistema de referencia en vectores
{ } [ ]{ }00 0F K δ=

Resumen del métodoResumen del método
1. Discretizar la estructura en elementos
2. Obtener la matriz de funciones de forma [Ne]
◦ Funciones que tienen valor 1 en el nudo correspondiente y 0 en el resto.
1. Identificar las condiciones de
◦ Compatibilidad [∂]: que relacionan deformaciones y desplazamientos de
los elementos.
◦ Comportamiento [D]: que relacionan tensiones y deformaciones. Ley
de Hooke en casos elásticos.
1. Obtener la llamada matriz de deformación del elemento [Be]
2. Obtener la matriz de rigidez del elemento [ke]
3. Pasar las matrices de rigidez elementales a coordenadas globales si
es necesario
4. Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura.
5. Obtener el vector de fuerzas {Fe} a través de las fuerzas en los
nodos equivalentes a las cargas distribuidas de volumen qe o de
superficie pe. Considerando los diferentes vectores de fuerzas
elementales se obtiene el global {F0}
6. Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos
de los nodos y las reacciones.
{ } [ ]{ }euε = ∂
{ } [ ]{ }Dσ ε=
[ ] [ ][ ]e eB N= ∂
[ ] [ ] [ ][ ]
e
T
e e
V
e B D B Vek d= ∫
{ }
[ ] { }
[ ] { }
e
e
e
T
e e e
V
T
e e e
S
e
P
N q dV
N p dS
F







∫
∫
{ } [ ]{ }00 0F K δ=

Ej. de aplicación a barra comprimida (1)Ej. de aplicación a barra comprimida (1)
 Tenemos una barra con tres secciones
diferentes sometida a una compresión P y a su
peso propio (densidad γ). Obtener la reacción
correspondiente y el desplazamiento de los
puntos donde hay cambio de sección.
1. Discretizar en elementos. Tomaremos 3 elementos,
uno para cada tramo (I, II y III).
2. Obtener las funciones de forma. En este punto hay
que tomar una decisión sobre el tipo de funciones de
aproximación a usar. Si utilizamos funciones de
aproximación lineales:
P=2γAh
A
2A
4A
hhh
γ
γ
γ
x
1
N1
0 L
u(x)
x
x
1 N2
0 L
u(x)
x
Para un elemento, N1 es la
función lineal de valor 1 en el
1er
nodo y valor 0 en el 2º.
Para un elemento, N2 es la
función lineal de valor 0 en el
1er
nodo y valor 1 en el 2º.
( )
( )
j
i
i j i j
x x
N
x x≠
−
=
−
∏
( )
( )1 1
0
x L x
N
L L
−
= = −
−
( )
( )2
0
0
x x
N
L L
−
= =
−
Usando polinomios
de Lagrange:
I
II
III

Ej. de aplicación a barra comprimida (II)Ej. de aplicación a barra comprimida (II)
3. Identificar las condiciones de
compatibilidad: [∂] como las barras sólo
pueden sufrir deformaciones
longitudinales, la única condición de
compatibilidad que influye en nuestro
problema es: x
u
x
ε
∂
=
∂
{ } [ ]{ } [ ]e x
u
u
x x
ε ε
∂ ∂
= ∂ ⇒ = ⇒ ∂ =
∂ ∂
3. Identificar las condiciones de comportamiento: [D] Como las barras
sólo pueden tener tensiones y deformaciones en la dirección longitudinal
las leyes de Hooke que definen el comportamiento se resumen en:
x
x
E
σ
ε ={ } [ ]{ } [ ]·x xD E D Eσ ε σ ε= ⇒ = ⇒ =

Ej. de aplicación a barra comprimida (III)Ej. de aplicación a barra comprimida (III)
4. Obtener la matriz de deformación del elemento[Be] a partir de las
condiciones de compatibilidad y las funciones de forma
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]1 2
1 1 1
1 1 1e e
x x
B N N N
x x L L L L L
∂ ∂    
= ∂ = = − = − = −   ∂ ∂    
5. Obtener la matriz de rigidez del elemento[ke] a partir de la matriz
anterior y la matriz de comportamiento
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2
1 1 11 1
· · 1 1 ·
1 1 1
1 1
1 1
e
T e
e e e
V L L
e
e
e
EA
B D B dVe E A dx
L
k dx
L L
EA
k
L
− −   
= = − =   −   
 

   


−
=
−
∫ ∫ ∫
Considerando una sección Ae
y un material E constante
para cada elemento, ambos
salen de la integral.
dVe=Aedx, así ya podemos
integrar para la longitud
L del elemento.
1 1
1 1IIIk
EA
h
 
 
 
 

−
=
−
1 12
1 1IIk
EA
h
 
 
 
 

−
=
−
1 14
1 1I
EA
h
k
 
 
 
  
−
=
−
I
II
III
P=2γAh
A
2A
4A
hhh
γ
γ
γ
Particularizando
para cada uno de
los tres
elementos del
modelo tenemos
tres matrices
elementales:

Ej. de aplicación a barra comprimida (IV)Ej. de aplicación a barra comprimida (IV)
6. Pasar a coordenadas globales las matrices de rigidez elementales: en
este caso no es necesario este paso puesto que en el problema
planteado sólo nos interesa una coordenada que es la dirección del
eje de la barra.
I
II
III
x7. Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura:
4
3
2
1
1 2
1
2
1 1
1 1
4
I
EA
k
h
 
 − 

 
−

 
 =
2 3
2
3
1 1
1 1
2
II
EA
h
k  
 
 −
 
 − 
=
3 4
3
4
1 1
1 1
III
EA
h
k 
 
 − 


− 


=
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1
2 2
3 3
4 4
0
4 4 0 0 4 4 0 0
4 4 2 2 0 4 6 2 0
0 2 2 1 1 0 2 3 1
0 0 1 1 0 0 1 1
EA EA
h
K
h
   
   − −
   
   =− + − − −
   
− + − − −   
   − −  
  

=

Ej. de aplicación a barra comprimida (V)Ej. de aplicación a barra comprimida (V)
8. Obtener el vector de fuerzas equivalentes en cada elemento:
se ensamblarán posteriormente obteniendo el vector de
fuerzas nodales de toda la estructura.
{ }
{ }
[ ] ( )
{ } ( )
( )
( )
2
11
1 11 1
2
2 2
2
4
41
2 2
0 0 4
4 22
I
I
I I
T
L
e I
L
P hx Ah
A h R
R R hL
F A dx
x Ahhd AL
F
N A x
h
γγ
γ
γ
γ γ
      − −− −  ÷           +  ⇒ = + − = + =         
        − −−          
∫
∫
{ }
{ }
[ ] ( )
{ }
( )
( )
2
2
3
3
2 2
0 2 2
0 22
22
II
II
T
e II
I
L
I
P A h Ah
F
AhA hN d
F
A x
γ γ
γγγ
 −   
−         + ⇒ = + =      
−     − −
      
∫
{ }
[ ] { }
[ ] { }
e
e
e
T
e e e
V
T
e e e
S
e
P
N q dV
N p dS
F







∫
∫
{ }
{ }
[ ] ( )
{ }
3
3
4
4
0 2 2
2
2
2 2
III
III
T
e III
II
L
I
P Ah Ah
F
Ah Ah Ah
N A dx Ah
F
γ γ
γ γ γ
γ γ
    
− −         + ⇒ = + =      
−     − − − −
       
∫
{ }
11
2
0 3
4
2
3
3
2
5
2
R Ah
Ah
Ah
A
F
h
γ
γ
γ
γ
− 
 − 
 
=  −
 
 
− 
 
Puede observarse que cuando tenemos carga uniformemente
repartida el total de las carga en cada elemento (γAeL) se reparte
por igual entre los nodos.
γAe
γAeL/2
γAeL/2
L
Reacción en el nodo 1 (incógnita)
Fuerza puntual en el nodo 4

Ej. de aplicación a barra comprimida (VI)Ej. de aplicación a barra comprimida (VI)
9. Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de
los nodos y las reacciones.
{ } [ ]{ }00 0F K δ=
Para resolver suele diferenciarse entre grados de libertad libres (en los que desconocemos el
desplazamiento) y restringidos (donde desconocemos las reacciones).
{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ }
LL LR
RL RR
L LL L LR R
R
L
RL L R
L
R RR R
K K F K K
K F K KK
F
F
δ
δ
δ δ
δ δ
   = +
= ⇒ 
= +
 
 


  
 

  
I
II
III
4(L)
3(L)
2(L)
1(R)
De manera que si los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son
0 (como en este caso). Se puede usar la matriz reducida de los grados de libertad
libres [KLL] para obtener los desplazamientos nodales desconocidos {δL}.
{ } [ ]{ } { } [ ] { }
2 3 4
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
26 2 0
2 3 1
0 1 1
3
3
2
5
2
1,75
3,75
6,25
L LL LLLL L K F
Ah
Ah EA
K
u
u
u
F
h
Ah
h
E
γ
γ
δ δ
γ
γ−
 

 
 −
 
 
− 
− 
 

 
 
 
 
 
= ⇒ =
−  

−  
⇒ = =  
 

−
 
−
 

−
−
−
{ } [ ]{ } [ ]1
2
12 4 0 0
1,75
3,75 9
6,25
R RL L
EA
F K R Ah
h
h
R Ah
E
δ γ
γ γ
 
 
= ⇒ − = − ⇒ 
 
 
−
− =
−
Una vez calculados los desplazamientos nodales incógnita se
pueden calcular las reacciones.

Ej. de aplicación a barra comprimida (VII)Ej. de aplicación a barra comprimida (VII)
2
3
4
2
1,75
3,75
6,25
u
u
u
h
E
γ
  
  
=   
   
   
−
−
−
Una vez calculados los desplazamientos nodales
incógnita se pueden calcular las funciones de
desplazamiento que nos darán los desplazamientos
para los puntos que no son los nodos de acuerdo a las
funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe}.
[ ]
2
1
1 2
2
0
( ) 1 1,75
1,75
I
u h hx xu x N N x
h hu E E
γ γ    = = − = −     −  
[ ]
2 2
2
1 2
3
1,75
( ) 1 1,75 2
3,75
II
u h h hx xu x N N x
h hu E E E
γ γ γ−    = = − = − −     −  
[ ]
2 2
3
1 2
4
3,75
( ) 1 3,75 2,5
6,25
III
u h h hx xu x N N x
h hu E E E
γ γ γ−    = = − = − −     −  
Como en este caso calculamos las funciones de forma sólo para un
elemento genérico cuyo primer nodo tenía una coordenada x=0
deberemos entender los resultados del mismo modo. Es decir, en x=0
estará el primer nodo y x=h estará el segundo nodo
x
x=0
x=h

Ej. de aplicación a barra comprimida (VIII)Ej. de aplicación a barra comprimida (VIII)
 Después de obtener las funciones de desplazamiento pueden obtenerse las
tensiones aplicando las ecuaciones de compatibilidad y de
comportamiento.
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ }
· ( )
·
·
e x
x
x x
d
u u x du
dx E
dx
D E
ε ε
σ
σ ε σ ε

= ∂ ⇒ = 
=
= ⇒ = 
x
x=0
x=h
Como antes, se considera para cada elemento que en x=0
está el primer nodo y x=h está el segundo nodo
2
2
· · 1,75 1,75
· · 1,75 2 2
· · 3,75 2,5 2,5
I
xI
II
xII
III
xIII
du d h
E E x h
dx dx E
du d h h
E E x h
dx dx E E
du d h h
E E x h
dx dx E E
γ
σ γ
γ γ
σ γ
γ γ
σ γ
 
= = − = − ÷
 
 
= = − − = − ÷
 
 
= = − − = − ÷
 
I
II
III
-1,75γh
-2γh
-2,5γh
P=2γAh
A
2A
4A
hhh
γ
γ
γ
Tensiones σx
Como vemos, en este caso utilizar funciones de
forma lineales supone una simplificación que no
da la solución exacta, puesto que intuitivamente se
ve que las tensiones debieran ser variables en cada
tramo debido al peso propio.

Estructuras articuladas:[kEstructuras articuladas:[kee]]
x
y
x'
y’
1
2
α
u’2
v’2
u’1
v’1
 Si en lugar de considerar únicamente barras aisladas
sometidas a tracción y compresión consideramos una
estructura de barras con nudos articulados y cargas en los
nudos:
◦ Las barras sólo podrán tener esfuerzos normales (tracción o
compresión)
◦ Cada barra puede discretizarse en un elemento de dos nodos si no
hay cargas distribuidas sobre ellas.
◦ Como vimos en el ejemplo, la matriz de rigidez elemental en
coordenadas locales para el elemento con 2 grados de libertad
longitudinales u será:
◦ Sin embargo, en la estructura articulada los nodos también pueden
desplazarse en la dirección transversal (grados de libertad v), por
tanto hay que añadir esos “huecos” en la matriz de rigidez en
locales.
1 1
1 1
e
Lek
EA
L
 
 
 



−
=
−
x
y
x'
y’
1
2
u’1
u’2
α
1 1 2 2
1
1
2
2
' ' ' '
'
'
'
'
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
u v u v
u
e
v
u
v
Le
A
k
E
L
 
 
 
 
 
 
 
  
  
−
=
−
La matriz de rigidez
elemental debe ser de
dimensión nxn siendo
n el número de
grados de libertad
que se consideren en
el elemento.

Estructuras articuladas: cambio de base.Estructuras articuladas: cambio de base.
 Dado que en general no tiene por qué coincidir
el sistema de referencia local de la barra con el
global, habrá que cambiar de base la matriz de
rigidez con ayuda de la matriz de rotación [R].
 La matriz de rotación [R] es válida para cambios
de referencia que impliquen 2 g.d.l. Por tanto, las
submatrices correspondientes a nodos ij (de
2x2) se cambian de base usando [R] y [R]T
 Para cambiar de sistema de referencia la matriz
de una barra completa con 2 nodos (4 g.d.l. )
debe utilizarse una matriz mayor (4x4): la matriz
de cambio de base [L].
x
y
x'
y’
1
2
α
u’2
v’2
u’1
v’1
[ ]
cos
cos
sen
R
sen
α α
α α
− 
=  
 
[ ]
cos 0 0
0 cos 0 0
0 0 0 cos
0 0 cos
sen
R sen
L
R sen
sen
α α
α α
α α
α α
− 
 
   = =   − 
 
 
[ ] [ ][ ] [ ]
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ·cos cos ·cos
·cos ·cos
/
cos ·cos cos ·cos
·cos ·cos
T
e e eG L
sen sen
sen sen sen sen
k L k L A E L
sen sen
sen sen sen sen
α α α α α α
α α α α α α
α α α α α α
α α α α α α
 − −
 
− − = =
 − −
 
− − 
Así, la matriz elemental en
coordenadas globales para una
estructura articulada es:
[ ] [ ]
T
ij ijG L
k R k R   =   

6. mef

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