Vigas

1. 1
04 - Elementos de finitos
de flexión de vigas
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales

2. 2
Contenido
● Viga de Euler-Bernoulli
● Viga de Timoshenko
– Problema del bloqueo de por cortante (shear
locking)
– Integración reducida
– Imposición del campo de deformación por cortante

3. 3
Teoría de Euler-Bernoulli
● Los desplazamientos verticales (flechas) de
todos los puntos de una sección transversal
son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el
coeficiente de Poisson se asume cero).
● Las secciones transversales normales al eje de
la viga antes de la deformación, permanecen
planas y ortogonales a dicho eje después de la
deformación.

4. 4

5. 5
Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo
de desplazamientos de un punto cualquiera se
puede escribir como:

6. 6
Campo de deformaciones

7. Campo de esfuerzos
Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero se
obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.

8. 8
Momento flector
Observe que aquí el momento
negativo produce tracción en
la fibra superior

9. 9
Momento flector

10. 10
Sentidos positivos de la carga

11. 11
PTV para vigas
+
+

12. 12

13. 13
+ +

14. 14
Ecuaciones diferenciales de la viga
de Euler-Bernoulli
q es positiva
hacia arriba
Aquí se hace la
sumatoria de
momentos
-q
+
+

15. 15
Solución mediante el comando bvp5c
de MATLAB

16. 16
Solución mediante el comando bvp5c
de MATLAB (para E, I constantes)
Se obtiene por lo tanto el sistema de ecuaciones:
La solución de este sistema con bpv5c brindará:

17. 17
Condiciones de apoyo
Q Q

18. 18
EJEMPLO 1

19. 19

20. 20
EJEMPLO 2

21. 21

22. 22

23. 23
Interpolación polinómica de Hermite
Polinomio interpolador de
Lagrange

24. 24
Interpolación polinómica de Hermite

25. 25

26. 26
Elemento finito hermítico de dos nodos

27. 27

28. 28

29. 29
O sea:

30. 30

31. 31
Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite

32. 32
Curvatura en
el punto de
coordenada ξ

33. 33

34. 34
Esta matriz coincide con aquella obtenida
por los métodos vistos en Estructuras III
+ +

35. 35
f
+
positivo hacia arriba
++

36. 36
positivo hacia arriba
+

37. 37
EJEMPLO

38. 38
Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones
flectores

39. 39
Repaso de mínimos cuadrados

40. 40
Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones

41. 41
Propiedad de las raíces del
polinomio de Legendre
Suponga que tenemos un polinomio de grado n y
otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste
por mínimos cuadrados del anterior.
Ambos polinomios se intersectan en la ubicación
de las raíces del polinomio de Legendre de orden
n

42. 42

43. 43
Cuadraturas
de Gauss
Legendre

44. 44

45. 45

46. 46

47. 47
Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones

48. 48
Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones
flectores

49. La viga de Timoshenko

50. 50
La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko aproxima mejor la
deformación real de la sección transversal de
vigas de gran canto que la teoría de Euler-
Bernoulli. A medida que la relación longitud/altura
disminuye, las secciones transversales dejan de
conservarse planas después de la deformación.

51. 51
La viga de Timoshenko
● Los desplazamientos verticales (flechas) de
todos los puntos de una sección transversal
son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el
coeficiente de Poisson se asume cero en
cuanto a la deformación lateral; G puede ser
diferente de E/2).
● Las secciones transversales normales al eje de
la viga antes de la deformación, permanecen
planas pero no necesariamente ortogonales a
dicho eje después de la deformación.

52. 52
La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la
sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir
considerándose plana.

53. 53

54. 54
Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo
de desplazamientos de un punto cualquiera se
puede escribir como:

55. 55
Campo de deformaciones
Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el
efecto de la deformación angular

56. Campo de esfuerzos
Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ
pero uno diferente de cero en G se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.

57. Fuerza cortante y momento flector
- - - -
Un momento negativo
produce tracción en
la fibra superior

58. Fuerza
cortante y
momento
flector

59. - -

61. Principio de los trabajos virtuales
+ +

62. La energía virtual interna se puede expresar como:
Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras
de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de
elementos finitos de clase C0
-

63. Elementos finitos de dos nodos para
la flexión de vigas de Timoshenko

67. +

68. +

70. Integración exacta de las matrices
de rigidez

74. Integración con cuadraturas de Gauss-
Legendre y singularidad de la matriz K

75. Ejemplo
Num
nodos
#gld/nodo #gdl
restringidos
Puntos de integración de Gauss-Legendre
En este caso en particular
se debe usar la estrategia de integración d

76. Singularidad de la matriz de rigidez
El criterio anterior es aplicable a cualquier tipo de
elemento finito y también es aplicable a la
estructura en su totalidad.

77. La técnica de integración reducida

78. Integración reducida de las matrices
de rigidez de cortante
Integración
exacta con 1
punto de GL
Integración
reducida con
un punto de
GL
NO USAR
Integración exacta (2p GL)
Integración reducida (1p GL)

79. EJEMPLO
K exacta

87. Kf Kc

88. Viga modelada con un solo elemento
finito de Timoshenko lineal
2 – 1x1 = 1 2 – 1x2 = 0
Kc 2 – 1x1 = 1 2 – 1x2 = 0
K 2 – 2x1 = 0 2 – 2x2 = -2
Integración
reducida p=1
Integración
exacta p=2
j-kp j-kp
Kf
j=2

89. Viga modelada con un solo elemento
finito de Timoshenko lineal
1 – 1x1 = 0 1 – 1x2 = -1
Kc 1 – 1x1 = 0 1 – 1x2 = -1
K 1 – 2x1 = -1 1 – 2x2 = -3
Integración
reducida p=1
Integración
exacta p=2
j-kp j-kp
Kf
j=1

90. Evaluación de los momentos
flectores y las fuerzas cortantes

91. Ejemplo
Euler-
Bernoulli vs
Timoshenko

92. Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.01m
L=19m, h=0.01m
Shear lockingShear locking
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta

93. Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.4m
L=19m, h=0.4m
Integración reducidaIntegración reducidaIntegración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta

94. Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=2.0m
L=19m, h=2.0m
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta

95. Elemento de viga de Timoshenko
cuadrático

97. Cálculo de la curvatura

98. Cálculo de la deformación por
cortante

101. Matrices de rigidez para el elemento de viga de
Timoshenko de tres nodos obtenidas con una
cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos