Conceptos básicos de geometría

GEOMETRÍA DEL PLANO
AUTORES:
Núñez Germán.
Arauz Fernando.
VOLUMEN 1

Índice general
1. Conceptos Básicos 7
1.1. Conceptos elementales de la geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. El punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5. El plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6. Figuras cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6.1. Figuras convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6.2. Figuras concavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6.3. Lı́neas y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7. semirrecta y semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7.1. Semirrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7.2. Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7.3. Segmentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.8. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.8.1. Ángulos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.8.2. Ángulos concavos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.8.3. Ángulos consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.8.4. Ángulos adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.8.5. Ángulo llano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3

4 ÍNDICE GENERAL
1.1.9. Clasificación de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.9.1. Ángulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.9.2. Ángulos suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.10. ACTIVIDAD I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.11. Figuras congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.11.1. Segmentos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.11.2. Segmentos consecutivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.11.3. Ángulo congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.11.4. Bisectrı́z de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.11.5. Ley de Tricotomı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.11.6. Mediatrı́z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2. Operaciones con segmentos y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.0.1. Suma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.0.2. Suma de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Angulos y rectas 27
2.1. Relaciones geométricas entre rectas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.0.1. Ángulos consecutivos determinados por la intersección de
dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.0.2. Ángulos opuestos por el vértice . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.0.3. Ángulos consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.0.4. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1. Ángulos determinados por dos rectas atravezada por una tercera . . 30
2.1.1.1. Ángulos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1.2. Ángulos exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1.3. Ángulos alternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1.4. Ángulos alternos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1.5. Ángulos alterno externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ÍNDICE GENERAL 5
2.1.1.6. Ángulos correspondientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1.7. Ángulos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. ACTIVIDAD II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Triángulos 37
3.1. Tipos de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1. Regiones de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1.1. Elementos de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2. Relación entre águlos y lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3. Clasificación de triángulos según sus ángulos . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.4. Clasificación de triángulos según sus lados . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.5. Relaciones entre ángulos de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.6. Propiedad de los ángulos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.7. Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo . . . . . . . . . 41
3.1.8. Congruencia entre rectángulos y construcción . . . . . . . . . . . . 41
Congruencia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.9. Condiciones suficientes para considerar a dos triángulos congruentes 42
3.1.9.1. Construcción de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.9.2. Construcción de triángulos conociendo dos ángulos y un
lado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. ACTIVIDAD III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Congruencia de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4. Relaciones entre lados y ángulos de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1. Caso de lados Iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1.1. Relación entre lado-ángulo en triángulos obtusos . . . . . 52
3.4.1.2. Resúmen de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Altura Mediana, Mediatrı́z y Bisectriz en un triángulo . . . . . . . . . . . . 53
3.5.0.1. Altura de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 ÍNDICE GENERAL
3.5.0.2. Mediana de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.0.3. Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.0.4. Bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6. ACTIVIDAD IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Nociones de cincunferencia 57
4.0.0.1. relaciones entre dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . 58

Capı́tulo 1
Conceptos Básicos
1.1. Conceptos elementales de la geometrı́a
Conceptos básicos:
El lenguaje de la Geometrı́a: La goemetria rara vez define un objeto por conceptos,
sino que los define según sus caracterı́sticas que le son propias. La matemática como la
geometrı́a utiliza los siguientes códigos en su lenguaje para describir:
1. Conceptos primitivos basicos: no se demuestran porque eso seria una tarea muy
tediosa, extensa y poco práctico.
2. AXIOMAS: en fı́sica se llaman postulados, son aquellas reglas o leyes que se acep-
tan sin demostrar. Cuando hablemos de Axiomas hacemos referencia a propiedades
de algún ente que se acepta sin demostrar.
3. Definiciónes: una definición es el concepto de lo son las cosas en sı́. Una definición
siempre incluye otros items.
4. Teoremas: los teoremas son leyes que se pueden demostrar. Antiguamente en los
años 60 y 70 todos los teoremas eran demostrados y se exigı́a al alumno que reten-
gan los procedimientos de la demostración. Esto hacı́a de los libros muy materiales
muy extensos y poco prácticos. Desde la publicación de los textos de TAPIA (Ni-
vel secundario) las demostraciones solo se realizaron en casos sencillos y de forma
esporadica.
5. El lenguaje lógico matemático: El lenguaje matemático es universal, más uni-
versal que el idioma Inglés. Lo que puede escribir un matemático argentino lo puede
leer un ruso, aleman, griego o árabe sin conocer el idioma español. De aqui la im-
portancia que tiene el conocer esta forma de idioma que utilizan las matematicas.
Este mismo idioma heredaron los lenguajes de programación.
7

Geometrı́a Nuñez-Arauz
1.1.1. Espacio
LLameremos espacio al conjunto que incluye todos los puntos.
E = {x/x es un punto }
Que se lee: E es el conjunto de todos los puntos x tales que esos x son puntos.
1.1.2. Figura
Una figura es un conjunto de puntos. De esta manera un conjunto de puntos determian
una figura.
1.1.3. El punto
El punto es la marca que deja un lápiz en la hoja, es un circulo relleno completo en el
papel o en el pizarrón. A cada punto se la nota con una letra mayúscula.
Figura 1.1: Puntos no alineados
CONVENCIÓN:
Los puntos con mayúscula a la derecha del punto, no constituye una regla fija es
convención, pero una vez utilizada la seguimos por todo el trayecto que nos queda. La
convención de las latras mayúscalas la impusieron y estandarizaron los programas de
geometrı́a como Geogebra y otros.
1.1.4. La recta
La recta es un conjunto no determinado de puntos con una misma dirección. Se lo re-
presenta por una lı́nea recta y se la denota por medio de una letra minúscula(esta última
convención).
La recta representa a un conjunto de puntos contiguos con grosor arbitrario, aunque se
8

Geometrı́a 1.1. CONCEPTOS ELEMENTALES DE LA GEOMETRÍA
Figura 1.2: rectas en el plano
prefiera por la linea mas fina y delgada.
En los programas de geometrı́a las rectas no tienen comienzo ni final. Mas adelante
estudiaremos los detalles de las rectas, semirectas y segmentos.
En la siguiente figura vemos algunas rectas con sus letras en minúscula en la parte
superior.
1.1.5. El plano
Es un espacio de dos dimensiones, en la geometrı́a del plano es un conjunto orde-
nadamente distribuido de infinitos puntos, por lo general es un elemento contenedor de
elementos geométricos.
Se lo denota con una letra griega minúscula por lo general aunque esto también forma
parte de la convención que se adopte.
Figura 1.3: planos α y β
AXIOMAS DE PUNTOS RECTAS Y PLANOS
AXIOMA I: Existen infinitos puntos.
AXIOMA II: Una recta esta formada por infinitos puntos en una sola dirección.
AXIOMA III: Un plano esta formado por uns distribución ordenada de infinitos puntos
9

sobre una determinada región.
AXIOMA IV: Todo punto puede pertenecer a infinitas rectas.
A∈ a, A ∈b , A∈c, ...
Dicho de otra manera por el punto A pasan las rectas a,b,c,d,e,..
AXIOMA V: Por dos puntos distintos existe solo una recta que los puede atravesar.
En matemática se dice que los punto A y B determinan la recta r.
A ∈ r , B∈ r entonces A , B ≡ r
Los puntos A y B determian la recta r.
AXIOMA VI: Por una recta pueden pasar infinitos planos.
Por la recta r pasan los planos α , β, γ, δ, ...
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AXIOMA VII:
Un punto y una recta, son tales que el punto no pertenece a la recta, entonces el punto
petenece al plano y la recta esta incluido en él.
De esta isma forma si se consideran mas de dos puntos, o un punto y una recta como
este caso ya se puede pensar en el elemento que los contiene y eso es el plano
Figura 1.4: punto y recta en el plano
A /
∈ r , A ∈ α ∧ r ⊂ α
1.1.6. Figuras cóncavas y convexas
Es complicado entender la concavidad, Vamos a considerar una figura que tiene una
curvatura (una panza) hacia adentro, esta sera una concava, y si la curvatura es hacia
afuera es convexa.
Figura 1.5: figura plano convexa y plano concava
11

1.1.6.1. Figuras convexas
La convexidad también la podemos entender como si todos los puntos dentro de una
determinada figura, estan conectados de tal forma que ningún punto o recta que une los
puntos quede fuera de la figura.
Aqui podemos observar una figura convexa ya que su figura permite:
Figura 1.6: Figuas convexas
A ∈ H , B ∈ H ∧ AB ⊂ H (1.1)
C ∈ H , D ∈ H ∧ CD ⊂ H (1.2)
De: (1.1) y (1.2) ⇒ H es Convexa (1.3)
Si analizamos los puntos y las rectas del plano M también tenemos que M es una figura
convexa.
1.1.6.2. Figuras concavas
Cuando una figura no reune las condiciones antes analizadas, donde algunos puntos o
parte de una recta queda fuera de la figura, en este caso será cóncava.
A ∈ K , B ∈ K ∧ AB ̸⊂ K ⇒ Kes cóncavo (1.4)
12

Figura 1.7: Figuas concavas
1.1.6.3. Lı́neas y curvas
La trayetoria (camino) que describe un lápiz o una birome en un papel puede consi-
derarse una curva o lı́nea.
Curva: es una trayectoria libre de un punto en movimiento.
Recta: es una tayectoria directa entre dos puntos.
CURVAS ABIERTAS Y CERRADAS
Si la trayectoria de un lápiz es tal que retorna al punto de partida se llama curva cerrada.
Si la trayectoria no regresa al punto de partida es una curva abierta.
Figura 1.8: Curvas A: cerrada B: abierta
Curva simple: Una curva simple es aquella donde la trayectoria no pasa dos veces por
un mismo punto.
Curva cruzada: Es aquella donde la trayectoria puede pasar dos veces por un punto.
Figura 1.9: Curvas simple y cruzada
13

1.1.7. semirrecta y semiplano
1.1.7.1. Semirrecta
Consiredamos la recta r y los punto, O,A y B ,tal que {O,A,B} ∈ r entonces diremos
que tenemos dos semirectas de distintos sentidos con orı́gen en el punto O.
Notación:
Semirecta ⃗
OA y semirecta ⃗
OB
OBSERVACIÓN: Por lo general el punto O siempre se usa como punto orı́gen a diferecia
de otras letras. El punto O puede dividir una recta en dos semirectas de distintos sentido,
o puede ser el orı́gen de una sola recta con un solo sentido.
1.1.7.2. Semiplanos
Consideramos un plano α y una recta r tal que r ⊂ α en la figura vemos que la recta
r divide al plano en dos semiplanos. El borde de ambos semiplano es la recta r. En uno
de los semiplanos se encuentra el punto A y en el otro el punto B.
Notación:
Spl(r,A) y el otro Spl(r,B)
Se lee semiplano r que contiene el punto A y el otro semiplano r que contiene al punto B.
14

1.1.7.3. Segmentos:
La autora del libro cabecera que utilizamos emplea una definición muy rigurosa del
concepto de segmento geométrico, pero que resulta incomprensible para un alumno de 12
años que intenta incorporarlo dentro de su lista de conceptos básicos.
Por ello aunque no resulte muy correcto solo diremo que:
SEGMENTO CONCEPTO: un segmentro es un trozo de recta comprendido únicamente
entre dos puntos.
1.1.8. Ángulos
1.1.8.1. Ángulos convexos
Consideremos un plano α si se interceptan dos rectas s y r con un solo punto en común
O, estos determinan cuatro semiplanos. En uno de los semiplanos diremos que
Figura 1.10: Ángulo convexo
los puntos A O B determinan el ángulo convexo [
AoB
Los ángulos se notan con un simbolo del sombrerito entre los puntos que determian dicho
ángulo y en la figura se coloca un arco de circunferencia donde se considera el ángulo. E
1.1.8.2. Ángulos concavos
Si en la figuro anterior en lugar de tomar un semiplano tomamos dos semiplanos
contiguos tendremos:
15

Figura 1.11: Ángulo concavo
Aqui los puntos A O C determinan el ángulo concavo: [
AoC
1.1.8.3. Ángulos consecutivos
Se dicen que dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado o un ponto en común.
Figura 1.12: Ángulos consecutivos
Analicemos la definición: el ángulo β es consecutivo al ángulo α porque ambos tienen un
solo punto en común el punto o , y un lado en común el segmento ¯
oB.
1.1.8.4. Ángulos adyacentes
Un ángulo es adyacente cuando tiene un lado o más en comun y el otro es un segmento
opuesto.
Como podemos ver el ángulo α es adyacente a β porque tienen un lado en común ⃗
oa y
los otros dos ⃗
oc y ⃗
ob son semirrectas opuestas (flechas sentido contrario).
NOTA: Puede que las semirectas no tenga sentido contrario pero ambas en la misma
dirección.
16

Figura 1.13: Ángulos adyacentes
1.1.8.5. Ángulo llano:
si una sola recta forma dos semiplanos en un plano,cada semiplano formará un ángulo
llano.
Figura 1.14: Ángulo llano
1.1.9. Clasificación de ángulos
Consideramos dos vectores ⃗
oB y ⃗
oA donde ⃗
oA puede girar en sentido positivo (hacia
la izquierda) sobre el punto o.
Figura 1.15: 1-2-3 ángulos
En la figura 1 podemos ver una ángulo nulo de 0 grados, en la figura dos un ángulo
cuyo giro es menor a 90 grados,un recto que se llama ángulo agudo. En 3 vemos un ángulo
cuyo giro de exactamente 90 grados un recto, por eso se llama ángulo recto.
En la figura 4 vemos un ángulo llano de 180 grados,en la figura 5 un ángulo de 3 rectos
llamado ángulo cóncavo, y en la ultima 6 vemos un giro completo de 360 grados o cuatro
rectos.
17

1.1.9.1. Ángulos complementarios
Si la suma de dos ángulos es igual a 90o
diremos entonces que estos ángulos son
complementarios.
Figura 1.16: Ángulos complementarios
Si α + β = 90o
= 1Recto (1.5)
α = 90o
− β (1.6)
β = 90o
− α (1.7)
Ejemplo: Sea α = 40o
, obtener la amplitud del ángulo complementario:
β = 90o
− α = 90o
− 40o
= 50o
1.1.9.2. Ángulos suplementarios
Si la suma de dos ángulos da como resultado un llano (180o
) diremos que son ángulos
suplementarios.
Si α + β = 180o
= 1 Llano (1.8)
α = 180o
− β (1.9)
β = 180o
− α (1.10)
18

Figura 1.17: Ángulos suplementarios
Ejemplo: Sea α = 40o
, obtener la amplitud del ángulo suplementario:
β = 180o
− α = 180o
− 40o
= 140o
1.1.10. ACTIVIDAD I
1. Vamos a considerar curvas al siguiente listado de letras y números ordenar en la
tabla según corresponda teniendo en cuenta la clasificación de curvas vistas previamente.
2. Calsificar las siguintes figuras con cóncavas o convexas.
3. Unir con flechas los conceptos según corresponda:
4. Clasificar en concavos y convexos los siguientes ángulos que forman los puntos.
a) [
AoB es ............... b) [
BoC es...............
c)[
CoD es ............... d)[
AoD es .................
19

5. Con la ayuda de un transportador construir los suguientes ángulos:
20

1.1.11. Figuras congruentes
Figura 1.18:
Obsevamos la figura cuyos vertices son los puntos A, B y C , si a esta figura la rotamos
90 grados obtenemos otra figura A’,B’y C’ que se dice que es congruente con la anterior.
1.1.11.1. Segmentos congruentes
Sea que tenemos varios segmentos con distintas orientaciones tal como vemos en la
siguiente figura:
Si trasportamos los segmentos y si coinciden sus puntos extremos diremos que los seg-
mentos son conguentes. Lo notamos con el sı́mbolo: ∼
=
Figura 1.19: Medición de un segmento
En tal caso deiremos: ¯
AB ∼
= ¯
CD
¯
EF < ¯
AB ⇒ ¯
EF < ¯
CD
1.1.11.2. Segmentos consecutivos:
Se dice que dos segmentos son consecutivos cuando tienen un solo punto y un extremo
en común.
21

Figura 1.20: 1-2 Segmetos consecutivos
Donde podemos ver en Figura 1.15.1 el segmento ¯
BC es consecutivo a ¯
AB porque ambos
tienen como punto en comun el punto B.
En la figura 1.15.2 el segmento ¯
DC es consecutivo al segmento ¯
BC es consecutivo a ¯
AB.
Unidad de Longitud: Para medir segmentos utilizamos el sumultiplo del metro
llamado centı́metro (cm) y el milı́metro (mm). Un centimetro equivale a 10 milı́metro
1cm = 10mm. Para medir utilizamos la regla graduada recordando siempre medir desde
el cero.
Ejemplo de medición de un segmento
Figura 1.21: Medición de la longitud de un segmento
1.1.11.3. Ángulo congruentes
Al igual que los segmentos si tenemos varios ángulos en un plano como el caso de la
imágen siguiente:
Si transportamos los ángulos y comparamos entre sı́ tendremos:
Aquı́ podemos observar que el ángulo:
[
ABC ∼
= [
HIJ Son congruentes
22

y [
ABC >
DEF
Medida de amplitud de un ángulo en grados sexagesimales
Los grados sexagesimales van de 0 a 360 para un giro, los minutos llegan como máximo a
59 y también los segundos (como la hora del reloj).
1°(grado sexagesimal)
1′
(minuto) =
1o
60
1”(segundo) =
1′
60
Ejemplo 30°45’ 15”
que se lee 30 grados 45 minutos y 15 segundos. Los minutos y segundos dan mayor precisión
para la medida de ángulos.
Ejemplo de medición de un ángulo con el transportador:
Figura 1.22: Medición de la amplitud de un ángulo en grados
Para medir un ángulo debemos colocar el transportador por encima del ángulo, haciendo
coincidir la muesca (punto O) luego observamos cuanto indica la abertura en la parte
superior. Por razones instrumentales solo podemos medir en grados.
Amplitud La abertura que medimos en grados con el transportador se llama amplitud
de un ángulo.
Todos los ángulos de la misma amplitud son congruentes entre sı́.
23

1.1.11.4. Bisectrı́z de un ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo a la recta interior que divide en dos ángulos iguales.
Figura 1.23: Bisectriz de un ángulo
1.1.11.5. Ley de Tricotomı́a
La ley de tricotomia es una verdad de perogrullo, pero es puede ser util para entrenar la
lógica de los jóvenes estuadiantes. la utilizaremos como criterios para comparar segmentos
y ángulos.
Si ≯ b y a ≮ b esto indica que: a = b
Si a ̸= b y a ≯ b esto indica que: a < b
Si a ̸= b y a ≮ b esto indica que: a > b
Ejemplos Comparar el segmento a y b y justificar por la ley de la tricotomı́a, según la
figura 1.14
Figura 1.24: Segmentos a y b
Respuesta:
En este caso a > b (a mayor que b) porque: a ̸= b (a no es igual a b) y a ≮ b (a no es
menor que b).
24

Geometrı́a 1.2. OPERACIONES CON SEGMENTOS Y ÁNGULOS
1.1.11.6. Mediatrı́z
Se llama mediatriz de un segmento a la perpendicular trazada por el punto medio del
segmento.
Figura 1.25: Mediatrı́z de un segmento
1.2. Operaciones con segmentos y ángulos
1.2.0.1. Suma de segmentos
Para sumar segmentos debemos conocer primero su longitud L y para ello debemo
medir como en la figura 1.15. El resultado de la suma será otro segmento que contenga a
los sumandos.
Sea los segmentos a y b del cual obtuvimos:
Figura 1.26: Suma de dos segmentos
L1 = Long AB y L2 = Long CD
L3 = L1 + L2 =⇒ Long AD = Long AB + Long CD
25

1.2.0.2. Suma de ángulos
Se procede a medir la amplitud de cada ángulo y luego a sumar. El angulo resultante
será la amplitud de la suma de ambos.
Figura 1.27: Suma de dos ángulos
26

Capı́tulo 2
Angulos y rectas
2.1. Relaciones geométricas entre rectas y ángulos
Dos rectas que se cortan entre si determianan cuatro regiones cuyos ángulos son α, β,
γ y δ
Figura 2.1: Ángulo determinado por dos rectas
Donde en A:
Se observa que α ,β, γ y δ son ángulos convexos.
Si α ̸= β =⇒ α es oblı́cuo a β
α ∠ β
y por opuestos resultan: α = γ y β = δ
En B:
Podemos observar que dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ángulos
congruentes entr sı́
Donde: α̂ = β̂ = δ̂ = γ̂
O sea que si a ⊥ b ⇔ α̂ = β̂ = δ̂ = γ̂
27

Figura 2.2: Ángulo determinado por dos rectas
2.1.0.1. Ángulos consecutivos determinados por la intersección de dos rectas
Son agulos contiguos (uno junto al otro).
Analizando la Figura 2.2 podemos ver que se pueden establecer diversas relaciones entre
pares de ángulos: Pares de angulos consecutivos:


α, β
β, γ
γ, δ


Pares de angulos no consecutivos:

α, γ
β, δ

2.1.0.2. Ángulos opuestos por el vértice
Observando la Figura 2.2 vemos que los ángulos α y γ (del mismo color) y el par β y
δ (no consecutivos ambos pares) se encuentran enfrentados, se los llama ángulos opuestos
por el vértice.
DEFINICIÓN: Se llaman ángulos opuestos por el vértice, a los ángulos formados por
los vértices opuestos en la intercepción de dos o más rectas.
NOTA: Dos ángulos opuestos no pueden ser consecutivos.
Teorema: Si dos ángulos son opuestos por el vertice,entonces son congruentes (iguales).
Si α es opuesto a γ =⇒ α = γ
Si β es opuesto a δ =⇒ β = δ
2.1.0.3. Ángulos consecutivos
En la Figura 2.2 los pares α , β son consecutivos como β , γ y γ ,δ.
28

Geometrı́a 2.1. RELACIONES GEOMÉTRICAS ENTRE RECTAS Y ÁNGULOS
Teorema: La suma de la amplitud de dos ángulos consecutivos es igual a la amplitud de
un ángulo llano (180o
). En la Figura 2.2 vemos que:
Si β es consecutivo con α =⇒ α + β = 180o
Si γ es consecutivo con β =⇒ β + γ = 180o
Si δ es consecutivo con γ =⇒ γ + δ = 180o
2.1.0.4. Rectas paralelas y perpendiculares
Vamos a considerar una recta r y un punto p donde pasa una otra recta s. Caso recta
punto P pertenece a r y por p pasa le recta s tendremos dos casos:
CASO A P ∈ r y s pasa por p:
Figura 2.3: recta oblı́cua y perpendicular
En la Figura 2.3.1 la recta s y la r son oblı́cuas, en este caso forma dos angulos diferentes,
un ángulo α menor a 90o
y otro β mayor a 90o
. En 2.3.2 en cambio r y s son perpendicu-
lares r ⊥ s y entre ambos forman dos ángulos iguales α = β = 90o
Segundo caso P /
∈ r y s para por p:
Figura 2.4: rectas paralelas y no paralelas
En la Figura 2.4.3 podemos ver que r y s tienen exactamente la misma dirección y no
29

tienen ningún punto en comun, por ello se dicen que son rectas paralelas r ∥ s.
En 2.4.4 r y s no tienen un punto en común.
2.1.1. Ángulos determinados por dos rectas atravezada por una
tercera
Observemos dos rectqas cualquieras r , s y una que las atraviesa, forman como vimos
cuatro ángulos.
Figura 2.5: Semiplanos formados por tres rectas
Como a ∥ b =⇒ α ∼
= α
′
, β ∼
= β
′
, γ ∼
= γ
′
, δ ∼
= δ
′
2.1.1.1. Ángulos interiores
Son los angulos comprendidos por el semiplano formado por las rectas a y b llamado
semiplano interno.
Los angulos interiores son: δ , γ, β
′
, α
′
2.1.1.2. Ángulos exteriores
Los angulos exteriores son los ángulos que estan fuera del semiplano interno, (los que
estan en el área de color crema).
Los ángulos exteriores son: β , α, γ
′
, β
′
30

2.1.1.3. Ángulos alternos
Se llaman ángulos externos a aquelos que estan en distintos semiplanos respecto de la
secante s Ejemplo: en la figura 2.5
α y γ par alterno
β y δ par alterno
α
′
y γ
′
par alterno
β
′
y δ
′
par alterno
2.1.1.4. Ángulos alternos internos
Figura 2.6: Ángulos alternos internos
Estos ángulos estan en el semiespacio interno y son alternos porque están a ambos
lados de la recta secante s , por eso se llaman alternos internos.
Son alternos internos: δ y β
′
si δ y β
′

son alternos
son internos

=⇒ Son alternos internos.
31

2.1.1.5. Ángulos alterno externos
Son ángulos alternos a ambos lados de la recta secante s que estan en el semiplano
externo.
Figura 2.7: Ángulos alternos externos
Si α y γ
′

son alternos
son externos

=⇒ Son alternos externos.
2.1.1.6. Ángulos correspondientes
Figura 2.8: Ángulos determinados por dos rectas no paralelas y una secante
Donde los pares:




α, α
′
β, β
′
γ, γ
′
δ, δ
′



 Son correspondientes.
32

En este caso a ∦ b =⇒ α ̸= α
′
, β ̸= β
′
, γ ̸= γ
′
, δ ̸= δ
′
Ángulos correspondientes: Se dice que dos ángulos determinados por dos rectas a,b
y atravezados por una secante s, cuando están en el mismo lugar respecto a la secante s,
pero uno es interno y otro externo.
2.1.1.7. Ángulos conjugados
Se dice que dos ángulos determinados por dos rectas a y b atravezada por una secante
s, son conjugados internos (externos) cuando estan estan en el mismo plano respecto de
la secante s y ambos son interiores o exteriores.
Figura 2.9: A:ángulos conjugados internos B:ángulos conjugados externos
Donde en la figura 2.9 A podemos ver al par de ángulos δ y α
′
son conjugados internos
(están en el semiplano interno).
En B vemos a los ángulos α y δ
′
son conjugados externos (semiplano externo).
33

2.2. ACTIVIDAD II
1. Representar en una hoja cuadriculada con la escala que se indica la siguiente suma
de segmentos.
2. Clasificar en rectas paralelas oblicuas o perpendiculares en los siguientes esquemas:
Figura 2.10: Colocar sı́mbolo y valor del ángulo que forman r y s
3. Calcular los ángulos determinados por la intersección de las rectas:
4. Clasificar los ángulos en alternos y conjugados segı́n corresponda:
34

Geometrı́a 2.2. ACTIVIDAD II
5. Calcular los ángulos que faltan:
6. Teniendo en cuenta las siguientes condiciones calcular:
35

Capı́tulo 3
Triángulos
3.1. Tipos de triángulos
Triláteros Llamamos trilateros a tres segmentos consecutivos no alineados que forman
trea lados. Hay triláteros abiertos y cerrados. Las figuras formadas por más de cuatro
segmentos lo llamamos genericamente multiláteros.
Un trilátero cerrado es basicamente un triángulo, y como su nombre lo indica forma tres
ángulos en su interior.
3.1.1. Regiones de un triángulo
Un triángulo posee una región interior, exterior y una frontera..
3.1.1.1. Elementos de un triángulo
Cada uno de los puntos se llaman vértices del triángulo.
Las lineas de frontera que conectan a los puntos, forman los segmentos AB,BC, CA que
se llaman lados a, b c respectivamente.
37

Los ángulos:
[
ABC, [
BCA y [
CAB se llaman ángulos interiores del triángulo.
3.1.2. Relación entre águlos y lados
Ángulo adyacente a un lado: Un ángulo es adyacente cuando tiene contacto con
el lado.
Ángulo opuesto a un lado: Un ángulo es opuesto a un ángulo cuando ambos no tienen
ningún punto de contacto.
Figura 3.1: Relación de ángulos y lados
38

Geometrı́a 3.1. TIPOS DE TRIÁNGULOS
3.1.3. Clasificación de triángulos según sus ángulos
Si en un triágulo [
ABC, un lado puede girar por el lado AB formará varios triangulos
que se clasifican segun sus ángulos.
Figura 3.2: Relación según sus lados
3.1.4. Clasificación de triángulos según sus lados
Para clasificar por sus lados debemos tener en cuenta si son iguales o diferentes entre
si.
Figura 3.3: Clasificación por lados
39

3.1.5. Relaciones entre ángulos de un triángulo
Si en un triángulo cualquiera tomamos uno de sus lados en este caso el lado ¯
AB y lo
proyectamos desde el punto C obtenemos el lado ¯
CB′ y los ángulos α′
, β′
donde se verifica
que:
Figura 3.4: Triángulo con proyección del lado AB sobre el punto C
Que el ángulo β = β′
por ser ángulos alternos de dos segmentos paralelos ¯
AB ∥ ¯
CB′,
cortados por la recta que determina el lado ¯
AC
Donde el ángulo α = α′
por ser ángulos correspondientes formados por dos segmentos
paralelos cortados por una recta que determina el lado ¯
AC
Nota: Esto se cumple únicamnte porque el lado ¯
AB es paralelo al lado ¯
CB′
3.1.6. Propiedad de los ángulos interiores
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos 2R o un
ángulo llano.
Figura 3.5: Ángulos interiores de un triángulo
40

3.1.7. Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
En todos triángulo el lado complementario de un lado cualquiera ,es igual a la suma
de los otros dos lados no adyacentes.
Figura 3.6: Ángulo complementario de un triángulo
En la figura 3.6 podemos observar que δ es el ángulo suplementario de γ, entonces éste
tendrá el valor que la suma de los otros águlos que no tienen contacto con γ o sea α y β.
Demostración: Tenemos que:
α + β + γ = 2R
por propiedad de los ángulos internos. Tambien sabemos que:
γ + δ = 2R
Igualando las expresiones tendremos que:
α + β + γ = γ + δ
Donde gamma con gamma se cancelan y resulta:
α + β = δ
Quedando demostrada la relación
3.1.8. Congruencia entre rectángulos y construcción
Veamos un caso donde dos rectángulo puede estar en distintas posiciones y parecer
diferentes pero en realidad son congruentes, para ello debemos tener en cuenta unos cuan-
tos criterios que nos van a guiar a determinar con precisión si realmente dos triángulos
son congruentes a pesar de sus apariencias.
Obsevamos las suiguientes figuras y analicemos cada situación.
41

Definición: Dos triángulos se consideran congruentes cuando se pueden superponer
mediante alguna rotación o traslación pero aún ası́ coinciden sus ángulos y lados.
Figura 3.7: Congruencia de triángulos
Donde a ∼
= a′
, b ∼
= b′
, c ∼
= c′
, es decir tiene todos los lados congruentes aunque se
encuentren en distintas posiciones.
Congruencia total Dos triángulo o culaquier figura es congruente cuando coinciden
todos sus ángulos y todos sus lados.
el triangulo
ì
ABC ∼
= í
A’B’C’ =⇒


¯
ab ∼
= ¯
a′b′
¯
bc ∼
= ¯
b′c′
¯
ca ∼
= ¯
c′a′

 Congruencia de lados
ì
ABC ∼
= í
A’B’C’ =⇒


Â ∼
= Â′
B̂ ∼
= B̂′
Ĉ ∼
= Ĉ′

 Congruencia de ángulos
3.1.9. Condiciones suficientes para considerar a dos triángulos
congruentes
Condición I (2L1A dos lados un ángulo)
Si un triángulo posee dos lados y el ángulo comprendido congruente, entonces el triángulo
es congruente.
42

Vemos la sigueinte figura donde se observa los lados congruentes a , a’ y b , b’ y el
ángulo α conguente con α′
Figura 3.8: Primera condición de congruencia
Donde:
α ∼
= α′
a ∼
= a′
∧ b ∼
= b′
Entonces vemos que cumplida enta condición ya es suficiente para determinar que dos
triángulos son congruentes.
CONDICIÓN II 2A1L ángulo lado ángulo
La segunda codición dice que es suficiente para que dos triangulos sea congruentes que
tenga dos ángulos y el lado adyacente a los ángulos congruentes.
Figura 3.9: Segunda condición de congruencia
Donde podemos observar en la figura 3.9 que al tener dos ángulos congruentes y el lado
adyacente a ambos ya es condicion suficiente para que dos triángulos sean congruentes.
Donde:
α ∼
= α′
, β ∼
= β′
∧ a ∼
= a’
43

CONDICION III lado-lado-lado
Una condición para que dos triángulos sean congruentes es que tengan todos su lados
conguentes.
Figura 3.10: Tercera condición de congruencia
Donde son conguentes todos los lados:
c ∼
= c’ , a ∼
= a’ , b ∼
= b’
3.1.9.1. Construcción de triángulos
Triángulos Equiláteros de tres lados iguales:
Tomamos una regla y trazamos la longitud del segmento entre dos puntos A y B. Colocan-
do la punta de la aguja del compaz en el Punto A, abrimos el compas hasta el punto B y
luego trazamos una circunferencia aproximadamente. Luego colocamos la punta aguja del
compás en el punto B y repetimos la operación. Donde se intersecta las curvas marcada
determinara el tercer punto que buscamos, el punto B.
44

Triángulo isóscele:dos lados iguales y uno desigual
De la misma manera que el anterior, tomamos una regla y trazamos la longitud del seg-
mentos de la base determinado por dos punto uno A y el otro B, con la diferencia que el
caso anterior no tomo la longitud del segmento, sinó que otro de mayor longitud que el
segmento de la base y trazo los arcos de circunferencias al ingual que el punto anterior,
quedaran dos curvas que se intersectan en un punto ese será nuestro nuevo punto C.
NOTA: Observe que hemos considerado dos longutudes la del segmeto horizontal de la
base hecha con regla, y otra longitud mayor, el cual seran identicos los lados laterales.
Triángulo escaleno
Un triángulo escaleno posee los tres lados desiguales. Para construirlo debemos tomar tres
medidas, una para la base que la hacemos con regla determinando los puntos A y B, otro
para la abertura del compas que se apoya en el punto A, y otra longitud para la abertura
del compas que se apoya en el punto B. Luego trazamos las curvas y donde estas curvas
se intersectan tendremos nuestro punto C.
45

3.1.9.2. Construcción de triángulos conociendo dos ángulos y un lado de la
base
Para construir un triángulo no rectagulo conociendo dos lados , debemos proceder de
la siguiente manera:
Primero debemos trazar con regla la longitud del segmento de la base, es decir el segmento
entre los punto A y B. Luego tomamos el transportador haciendo concidir la linea del cero
con el punto A o B, luego contamos los grados del angulo y marcar en la parte superior
un punto. Luego con el lápiz unir el punto A o B del segmento de la base con el punto que
marcado, repetir la operación con el siguiente ángulo y en el punto donde se intersectan
las lı́neas es el vertice buscado.
46

Geometrı́a 3.2. ACTIVIDAD III
3.2. ACTIVIDAD III
1. Indicar cuales son los vertices correspondientes:
2. En el siguiente triángulo indicar como son sus lados
Donde:
El lado a respecto al ángulo A es ......................
El lado b respecto al ángulo A es .....................
El ángulo B es un ángulo ....................
3. Teniendo en cuenta la propiedad de los ángulos interiores de un triángulos completar
la siguiente tabla:
Ángulos Ao
Bo
Co
Tipo de triángulos S/ángulo
1 35o
50o
2 35o
90o
3 100o
30o
4 60o
60o
47

4. Calcular los ángulos sabiendo que la suma de los tres debe ser igual a un ángulo
llano.
Â = 5α , B̂ = 3α ,Ĉ = 4α
5. Calcula el ángulo interior que falta en la siguiente figura sabiendo que:
6. Calcular los ángulos interiores α, β y γ de la siguiente figura:
7. Utilizando una regla y un compás, construir un triángulo con dos lados iguales a
5cm, e indicar de que tipo de triángulo se trata.
8. En el siguiente rectangulo se le han trazado dos diagonales como se indican en la
figura:
Donde quedan determinados los triángulos:
ì
AOB, ì
BOC, ì
DOC, ì
AOD
Idicar:
48

Geometrı́a 3.2. ACTIVIDAD III
Son triángulos congruentes:..................................................
¿Qué tipo de triángulos son Isosceles/Equilatero/Ecaleno?
49

3.3. Congruencia de triángulos rectángulos
Analicemos el siguiente triángulo:
Un triángulo rectángulo es un tipo especial de triángulo con un lado recto. Aquı́ se sim-
plifican las condiciones de congruencia.
Figura 3.11: Condiciones de congruencia de triángulos rectángulos
En la figura dos triángulos son congruentes cuando:
En A podemos ver:
Dos triángulos coinciden dos catetos.
En B vemos:
Coinciden en un cateto y un ángulo.
En C:
Coincide la hipotenusa (lado más largo) y un ángulo cualquiera.
En D:
Coinciden la hipotenusa y un cateto.
50

Geometrı́a
3.4. RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
3.4. Relaciones entre lados y ángulos de un triángulo
Si tenemos un triángulo donde uno de sus lados puede girar por el punto o, determian-
do nuevos lados ¯
oB′, ¯
oB′′ , a medida que α aumenta su valor, donde podemos observar
una relación directa entre ángulo y lado.
Existe una relación directa de un lado con su ángulos opuesto. Veamos el siguiente gráfico
y analicemos:
Figura 3.12: Relación de lados con ángulos opuestos
Aquı́ podemos ver que cuando un lado a simple vista es menor que otro, su ángulo opuesto
tambien se comporta de la misma manera.
El lado ¯
AB ¯
BC =⇒ Ĉ Â
3.4.1. Caso de lados Iguales
Cuando un triángulo posee dos lados congruentes sus ángulos opuestos también seran
congruentes.
51

Vamos el siguiente grafico donde se observa un triángulo isosceles (dos lados iguales y
uno desigual).
3.4.1.1. Relación entre lado-ángulo en triángulos obtusos
El ángulo opuesto del lado más largo de un triángulo obtuso es mayor que los otros
dos.
Figura 3.14: Ángulos de lados de triangulos obtusos
3.4.1.2. Resúmen de propiedades
Propiedad I : Si en un triángulo sus lados son congruentes (inguales) sus angulos
también los son. Ejemplo un triángulo equilateros tiene los tres lados y los ángulos iguales.
Propiedad II : Si un triángulo posee dos lados no congruentes, al lado mayor se opone
el ángulo de mayor abertura.
52

Geometrı́a
3.5. ALTURA MEDIANA, MEDIATRÍZ Y BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO
3.5. Altura Mediana, Mediatrı́z y Bisectriz en un
triángulo
3.5.0.1. Altura de un triángulo
La altura h de un triángulo es el segmento perpedicular al lado opuesto del ángulos
que se encuentra en la parte superior del triángulo.
Figura 3.15: Altura de un triángulo
3.5.0.2. Mediana de un triángulo
Es el segmento que parte de un vertice de un ángulo y conecta con la lı́nea media de
su lado opuesto.
Figura 3.16: Mediana de un lado de un triángulo
53

3.5.0.3. Mediatriz
La mediatriz de un lado de un triángulo es el segmento perpendicular al lado, trazado
por el punto medio de dicho lado.
Figura 3.17: Mediatriz de un lado en un triángulo
3.5.0.4. Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo en un triángulo, es el segmento de divide en dos parte iguales
un ángulo y conecta con el lado opuesto de dicho ángulo.
Figura 3.18: Mediatriz de un lado en un triángulo
54

Geometrı́a 3.6. ACTIVIDAD IV
3.6. ACTIVIDAD IV
1. Los siguientes ángulos y lados corresponden a un triángulo rectángulo, indicar que
lado corresponde a la hipotenusa (lado más largo) y cuales son los catetos teniendo
en cuenta las propiedades I y II
α = 36o
lado opuesto a
β = 90o
lado opuesto b
γ = 54o
lado opuesto c
a )La hipotenusa corresponde al lado .....
b) Entre los dos catetos el más largo es el lado........
2. Un triangulo posee los siguientes ángulos:
α = 60o
β = 60o
γ no se conoce
a) Corresponde a un triángulo isósceles, escaleno o equilátero.
3. Indicar si los triángulos rectángulos son congruentes o no.
4. Se conoce un triángulo que posee las siguientes medidas:
α = 120o
lados adyacentes b y c opuesto a
β = 26o
γ =
a) Calcular el ángulo γ.
b) Construir el triángulos con regla y transportador.
55

5. En las siguintes figuras, determine la conguencia de triangulos por los lados:
6. Indicar si se trata de una congruencia en dos triángulos teniendo en cuenta los si-
guientes datos:
56

Capı́tulo 4
Nociones de cincunferencia
DEFINCIÓN: Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano p cuya dis-
tancia a un punto fijo O siempre se mantiene constante.
Esa distancia fija se llama radio R.
C{o,R} = {x/x ∈ p Tal que ¯
op = R}
Uso del Compas
La herramienta para dibujar una circunferencia es el compas, en los programas como Geo-
gebra podemos trazar circunferencias conociendo el radio o a mano alzada. Para trazar
una circunferencia en papel solo necesitamos abrir el compas con la amplitud del radio
seleccionar el punto o y dibujar la circunferencia.
57

Puntos de una circunferencia
Los puntos de una circunsferencia pueden ser interiores exteriores o frontera, los puntos
p son puntos frontera.
El punto centro o donde se apoya a aguja del compás, siempre es una cooodenada en el
plano, aunque su estudio se realiza con más detalle en otra asignatura llamada Geometrı́a
Analı́tica.
4.0.0.1. relaciones entre dos circunferencias
Si establecemos una relación entre la distancia de los puntos del centro ¯
OO′ de cada
circunferencia y la suma de sus radios R +r podemos clasificar a las circunferencias como
exteriores, tangente exterior, secantes, tangente interior y concéntrica (cuando comparten
el mismo punto orı́gen).
58

Bibliografı́a
[1] Repetto, Celina , et al. (1856). Geometrı́a del Plano . Bs As Argentina: Edit Kapelusz.
[2] Repetto Celina, et al.(1970) Matemática Moderna - Geometrı́a 3. Bs As Argentina.Edit
Kapelusz S.A.
[3] Tapia, Nelly et al. (1994). Matemática .Bs As Argentina: Edit Estrada.
59

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