Geometría

Geometría
Apuntes de cátedra

Índice general
1 Geometría 1
1.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Axiomas, definiciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Topología y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Tipos de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1 Geometrías según el tipo de espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 Geometría asociadas a transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.3 Geometría según el tipo de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Figura geométrica 5
2.1 Clasificación de las figuras geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Área 7
3.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Área de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 Área de un cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.3 Área del círculo y la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.4 Área delimitada entre dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.5 Relación área-perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Área de superficies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
i

ii ÍNDICE GENERAL
3.3.1 Superﬁcie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Cálculo general de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Unidades de medida de superﬁcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.1 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.2 Sistema anglosajón de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Perímetro 12
4.1 Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.1 Perímetro de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.2 Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.3 Semicírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Isoperimetría 14
5.1 El problema isoperimétrico en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Teorema de Tales 16
6.1 Los dos teoremas de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.1 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.1 Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.2 Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Aplicación (Tales - teorema segundo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.5 Leyenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.6 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.8 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.8.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.8.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.8.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Capítulo 1
Geometría
Alegoría de la geometría.
La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego
γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría,
‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa
del estudio de las propiedades de las figuras en el
plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos,
politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares,
curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo
técnico. También da fundamento a instrumentos como el
compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posi-
cionamiento global (en especial cuando se la considera en
combinación con el análisis matemático y sobre todo con
las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas con-
cretos relativos a medidas. Tiene su aplicación prácti-
ca en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía,
cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística,
etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en
la elaboración de artesanía.
1.1 Historia
Fragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxi-
rrinco.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Ini-
cialmente está constituida en un cuerpo de conocimien-
tos prácticos en relación con las longitudes, áreas y vo-
lúmenes.La civilización babilónica fue una de las pri-
meras culturas en incorporar el estudio de la geometría
con la invención de la rueda se abrió el camino al estu-
dio de la circunferencia, que conllevaría posteriormente
al descubrimiento del número π (pi); También desarro-
llaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año
cuenta con 360 días, además implementaron una fórmu-
la para calcular el área del trapecio rectángulo.[1]
En el
Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos
de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el
siglo III a. C. configuró la geometría[2]
en forma axiomá-
tica y constructiva, tratamiento que estableció una norma
a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana
descrita en Los Elementos.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de
determinar las posiciones de estrellas y planetas en la es-
fera celeste, sirvió como importante fuente de resolución
1

2 CAPÍTULO 1. GEOMETRÍA
de problemas geométricos durante más de un milenio.
René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de
ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva
etapa, donde las figuras geométricas, tales como las cur-
vas planas, podrían ser representadas analíticamente, es
decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enri-
quece con el estudio de la estructura intrínseca de los en-
tes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo
a la creación de la topología y la geometría diferencial.
1.2 Axiomas, definiciones y teore-
mas
Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera
tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por
la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin
errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente
los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo
establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert
propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomáti-
co, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las
definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades
de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza al-
go, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y
sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras “punto”, “recta” y “plano”
deben perder todo significado material. Cualquier con-
junto de objetos que verifique las definiciones y los axio-
mas cumplirá también todos los teoremas de la geometría
en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas
al del modelo tradicional.
1.2.1 Axiomas
La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son
proposiciones que relacionan conceptos, definidos en
función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó
cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelis-
mo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo
cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías:
la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de
Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función
de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis mate-
mático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar
de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier
función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
1.3 Topología y geometría
El nudo de trébol.
El campo de la topología, que tuvo un gran desarro-

1.4. TIPOS DE GEOMETRÍA 3
llo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de
geometría transformacional, en que las transformacio-
nes que preservan las propiedades de las figuras son los
homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geome-
tría métrica, en que las transformaciones que no alteran
las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha
sido frecuentemente expreso en la forma del dicho “la to-
pología es la geometría de la página de goma”.
1.4 Tipos de geometría
Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contri-
buciones a la geometría, particularmente a partir del siglo
XVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramas
de la geometría con enfoques muy diferentes. Para clasi-
ficar los diferentes desarrollos de la Geometría moderna
se pueden recurrir a diferentes enfoques:
1.4.1 Geometrías según el tipo de espacio
Los antiguos griegos un único tipo de geometría a saber
geometría euclídea, hábilmente codificada en los Elemen-
tos de Euclides y debido a una escuela alejandrina enca-
bezada por Euclides. Este tipo de geometría se basó en
un estilo formal de deducciones a partir de cinco pos-
tulados básicos. Los cuatro primeros fueron ampliamen-
te aceptados y Euclides los usó extensivamente, sin em-
bargo, el quinto postulado fue menos usado y con poste-
rioridad diversos autores trataron de demostrarlo a partir
de los demás, la imposibilidad de dicha deducción llevó
a constatar que junto con la geometría euclídea existían
otros tipos de geometrías en que el quinto postulado de
Euclídes no participaba. De acuerdo a las moficiaciones
introducidas en ese quinto postulado se llega a familias
diferentes de geometrías o espacios geométricos diferen-
tes entre ellos:
• La geometría absoluta, que es el conjunto de hechos
geométricos derivables a partir únicamente de los
primeros cuatro postulados de Euclides.
• La geometría euclídea, que es la geometría particu-
lar que se obtiene de aceptar como axioma también
el quinto postulado. Los griegos consideraron dos
variantes de geometría euclídea:
• Geometría euclídea del plano
• Geometría euclídea del espacio
• La geometría clásica es una recopilación de resulta-
dos para las geometrías euclídeas.
A partir del siglo XIX se llegó a la conclusión de que po-
dían definirse geometrías no euclídeas entre ellas:
• La geometría elíptica
• La geometría esférica
• La geometría finita
• La geometría hiperbólica
• La geometría riemanniana
1.4.2 Geometría asociadas a transforma-
ciones
En el siglo XIX se constató que otra forma de enfocar
los conceptos geométricos era estudiar la invarianza de
ciertas propiedades bajo diferentes tipos de transforma-
ciones matemáticas, así se clasificaron diversas propieda-
des geométricas en grupos y se plantearon subdisciplinas
consistentes en ver cuales eran las propiedades invariantes
bajo tipos particulares de transformaciones, así aparecie-
ron los siguientes tipos de enfoques geométricos:
• Geometría afín
• Geometría conforme
• Geometría convexa
• Geometría discreta
• Geometría de incidencia
• Geometría ordenada
• Geometría proyectiva
1.4.3 Geometría según el tipo de represen-
tación
Si bien Euclides básicamente se restingió a conceptos
geométricos representables mediante figuras (puntos, lí-
neas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las
matemáticas no conectadas inicialmente con la geometría
propiamente dicha, llevó a poder aplicar las herramientas
de otras ramas a problemas propiamente geométricos así
nacieron:
• La geometría algebraica
• La geometría analítica
• La geometría descriptiva
• La Topología geométrica
• La geometría diferencial que engloba como ramas a:
• Geometría diferencial discreta
• La geometría de curvas y superficies
• La Geometría diferencial de curvas
• La Geometría diferencial de superficies
• La Geometría diferencial de hipersuperficies

4 CAPÍTULO 1. GEOMETRÍA
• Geometría diferencial de variedades
• La geometría de Riemann
• La Geometría fractal
• Geometría sintética
1.4.4 Aplicaciones geométricas
Además de las subramas propiamente dichas moderna-
mente han surgido numerosas aplicaciones prácticas de
la geometría entre ellas:
• • Geometría computacional
• Geometría constructiva de sólidos
• Geometría molecular
1.5 Véase también
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con
Matemática.
• Portal:Álgebra. Contenido relacionado con
Álgebra.
1.6 Referencias
[1] Baldor, Gaaplex (2014). Geometría plana y del espacio y
trigonometría. México: publicaciones cultural. ISBN 978-
8435700788.
[2] Descubierta una geometría subyacente a la física cuántica
(en inglés).
1.6.1 Bibliografía
• Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathema-
tics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach
edición). New York: Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and
editor: A. Papadopoulos, Heritage of European
Mathematics Series, Vol. 4, European Mathemati-
cal Society, 2010.
• Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern
Geometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN
978-981-4556-70-5.
• Leonard Mlodinow, Euclid’s Window – The Story
of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK
edn. Allen Lane, 1992.
1.6.2 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Geometría. Commons
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje
sobre Geometría.Wikiversidad
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre
Geometría. Wikiquote
• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-
ción sobre geometría.Wikcionario

Capítulo 2
Figura geométrica
Figuras geométricas que delimitan superficies planas.
Una figura geométrica es un conjunto no vacío cu-
yos elementos son puntos.[1]
Las figuras geométricas
son el objeto de estudio de la geometría, rama de las
matemáticas que se dedica a analizar las propiedades y
medidas de las figuras en el espacio o en el plano.[2]
2.1 Clasificación de las figuras geo-
métricas
Para definir y clasificar las figuras geométricas, común-
mente se debe recurrir a conceptos primitivos, tales co-
mo el de punto, recta, plano y espacio, que en sí mis-
mas también se consideran figuras geométricas. A par-
tir de ellas es posible obtener todas las figuras geométri-
cas, mediante transformaciones y desplazamientos de sus
componentes.[1]
2.2 Cuerpos geométricos
Un cuerpo geométrico es una figura geométrica tridi-
mensional, es decir, que posee largo, ancho y alto, que
1 Dimension 2 Dimensions 3 Dimensions
4 Dimensions 5 Dimensions
Un segmento (1 dimensión) puede generar un polígono (2 dimen-
siones). Mediante nuevas transformaciones podemos obtener un
poliedro (3 dimensiones), un polícoro (4 dimensiones) o diversos
politopos (n dimensiones).
ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto posee un
volumen.[3]
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar a su vez en
poliedros y cuerpos geométricos redondos o no poliedros.
2.2.1 Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométri-
cos cuyas caras son todas figuras geométricas exclusiva-
mente planas. Entre los más conocidos se encuentran los
siguientes:[4]
• Sólidos platónicos
• Pirámide
• Prisma
5

6 CAPÍTULO 2. FIGURA GEOMÉTRICA
Proyección de un hipercubo, con una transformación similar a
la que se puede aplicar a un cubo de tres dimensiones o también
llamado 3D.
Cuerpos geométricos o figuras geométricas «sólidas» que delimi-
tan volúmenes.
2.2.2 Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos,
una de sus caras o superficies de forma curva. Entre los
más conocidos se encuentran:[4]
• Esfera
• Cilindro
• Toro
• Cono
2.3 Véase también
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con
Geometría.
• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Geometría constructiva de sólidos
• Geometría del espacio
• Geometría euclídea
• Lugar geométrico
• Forma (figura)
2.4 Referencias
[1] Polanía Sagra, Claudia; Sánchez Suleta, Carmen (2007).
Lorenza Correa, ed. Un acercamiento al pensamiento geo-
métrico (I edición). Universidad de Medellín, Colombia.
ISBN 978-958-98-129-0-7.
[2] MathWorld. «Geometry» (en inglés). Consultado el 7 de
abril de 2013.
[3] Icarito. «Cuerpos geométricos». Consultado el 7 de abril
de 2013.
[4] Disfrutalasmatematicas.com. «Geometría sólida». Con-
sultado el 7 de abril de 2013.
2.5 Enlaces externos
• Figuras geométricas, en profesorenlinea.cl
media sobre Figura geométricaCommons.

Capítulo 3
Área
El área es una medida de extensión de una superficie,
expresada en unidades de medida denominadas unidades
de superficie. El área es un concepto métrico que requiere
que el espacio donde se define se especifique una medida.
Para superficies planas, el concepto es más intuitivo.
Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo
un polígono, puede triangularse y se puede calcular su
área como suma de las áreas de dichos triángulos. Oca-
sionalmente se usa el término "área” como sinónimo de
superficie, cuando no existe confusión entre el concepto
geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métri-
ca asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas
se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –
que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido
un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando
la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la super-
ficie hereda una estructura métrica natural inducida por
la métrica euclidiana.
3.1 Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona el
tamaño de la región encerrada en una figura geométrica
proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la
crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la
necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola pa-
ra restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios
inventaron la geometría, según Heródoto.[1]
El modo de calcular el área de un polígono como la suma
de las áreas de los triángulos, es un método que fue pro-
puesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia
el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva gene-
ra más dificultad. El método de agotamiento consiste en
inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométri-
ca, aumentar el número de lados de dichos polígonos y
hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce co-
mo método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una
aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho
sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes
para resolver otros problemas similares,[2]
así como el
cálculo aproximado del número π.
3.2 Área de figuras planas
3.2.1 Área de un triángulo
Áreas en un plano cuadriculado.
• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre
la longitud de una base y la altura relativa a esta:[3]
A = b·h
2
donde b es la base del triángulo y h es la altura
correspondiente a la base. (se puede considerar
cualquier lado como base)
• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con
uno de los catetos, con lo cual el área es igual al se-
miproducto de los catetos:
A = a·b
2
donde a y b son los catetos.
7

8 CAPÍTULO 3. ÁREA
• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede apli-
car la fórmula de Herón.
A =
√
s(s − a)(s − b)(s − c)
donde a, b, c son los valores de las longitudes de
sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro
del triángulo.
• Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un
cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadra-
da de 3:
A =
√
3 · a2
4
donde a es un lado del triángulo.
3.2.2 Área de un cuadrilátero
A
B
C
D
b
c
d
a
e f
α
β
γ
δ
θ
Trapezoide.
• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es
igual al semiproducto de sus diagonales por el seno
del ángulo que forman.
A = AC·BD·sin θ
2
El área también se puede obtener mediante
triangulación:
A = a·d·sin α+b·c·sin γ
2
Siendo:
α el ángulo comprendido entre los
lados a y d .
γ el ángulo comprendido entre los
lados b y c .
• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son
todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de
sus lados contiguos a y b:[3]
A = a · b
• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son
iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de
sus dos diagonales:
A = AC·BD
2
• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados;
es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su
área puede ser calculada de la misma manera que la
de estos dos. En particular, dado que sus lados son
iguales, se usa la fórmula:[3]
A = a · a = a2
• El romboide tiene su área dada por el producto de
uno de sus lados y su altura respectiva:[3]
A = b · h
• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos parale-
los entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área
que viene dada por la media aritmética de sus lados
paralelos multiplicado por la distancia entre ellos
(altura):[3]
A = a+b
2 · h
3.2.3 Área del círculo y la elipse
El área de un círculo, o la delimitada por una
circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión
matemática:[4]
A = πr2
El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene
como producto del semieje mayor por el semieje menor
multiplicados por π:[5]
A = πab

3.3. ÁREA DE SUPERFICIES CURVAS 9
El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse
mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.
3.2.4 Área delimitada entre dos funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos
funciones, es utilizando el cálculo integral:
Á(a, b) =
∫ b
a
|f(x) − g(x)|dx
El resultado de esta integral es el área comprendida entre
las curvas: f(x) y g(x)[< f(x)] en el intervalo [a, b] .
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la
función f(x) = 4 − x2
en el intervalo [−2; 2] , se utiliza
la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces
evaluando la integral, se obtiene:
A(−2, 2) =
∫ 2
−2
|4 − x2
− 0|dx = 2
∫ 2
0
4 − x2
dx =
= 2
[
4x −
x3
3
]2
0
= 2
[
8 −
(
23
− 0
3
)]
=
32
3
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3 .
El volumen encerrado entre dos funciones también puede
ser reducido al cálculo de una integral, similar.
3.2.5 Relación área-perímetro
Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede
probarse que su longitud o perímetro del área encerrada
y la propia área encerrada satisfacen la relación:
A
L2 ≤ 1
4π
La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de
figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.
3.3 Área de superficies curvas
El área de una superficie curva es más complejo y en ge-
neral supone realizar algún tipo de idealización o límite
para medirlo.
• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede
con el área lateral de un cilindro o de un cono el área
de la superficie puede calcularse a partir del área
desarrollada que siempre es una figura plana. Una
condición matemática necesaria para que una super-
ficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana
sea nula.
• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo
de la superficie o la fórmula analítica para encontrar
dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de super-
ficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura
gaussiana coincide con el inverso de su radio al cua-
drado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera
es una superficie de revolución.
3.3.1 Superficie de revolución
Una superficie de revolución generada por un tramo de la curva
y=2+cos x rotada alrededor del eje x.
Cuando una superficie curva puede ser generada hacien-
do girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje
directriz, la superficie resultante se llama superficie de re-
volución y su área puede ser calculada fácilmente a partir
de la longitud de la curva generatriz que al girar confor-
ma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un

10 CAPÍTULO 3. ÁREA
tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se
genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:
Ar(a, b) =
2π
∫ b
a
f(x)
√
1 +
(
df(x)
dx
)2
dx
Ejemplos particulares de superficies de revolución son:
• El área de esfera de radio R que viene dada por
4πR2
• El área de un cono de radio R y de altura h viene
dada por πRh
√
1 + R2/h2
• El área lateral de un cilindro de radio R y altura h
es simplemente 2πRh
3.3.2 Cálculo general de áreas
Mediante la geometría diferencial de superficies o más
generalmente la geometría riemanniana puede calcularse
el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie
viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces,
dada una región Ω contenida en una superficie su área
resultar ser:
A(Ω) =
∫∫
Ω
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dxdy
De manera un poco más general si conocemos la ecuación
paramétrica de la superficie en función de dos coorde-
nadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede
escribirse como:
A(Ω) =
∫∫
Ω
√
EG − F2 dudv
Donde E, F y G son las componentes del tensor métri-
co o primera forma fundamental de la superficie en las
coordenadas paramétricas u y v.
En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede
definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión
sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas
(u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un
atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de
una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coinci-
diría con la definición de áreas dada a partir de la primera
forma fundamental.
3.4 Unidades de medida de superfi-
cies
3.4.1 Sistema Internacional de Unidades
Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades
cuadradas son las que se listan a continuación:
Múltiplos
• Kilómetro cuadrado: 106
metros cuadrados
• Hectómetro cuadrado o hectárea: 104
metros cua-
drados
• Decámetro cuadrado o área: 102
metros cuadrados
Unidad básica
• metro cuadrado: unidad derivada del SI
• Elenio: litro/centímetro
• Piornio: (candela·estereorradián)/lux
Submúltiplos
• Decímetro cuadrado: 10−2
m2
(una centésima de
metro cuadrado)
• Centímetro cuadrado: 10−4
m2
(una diezmilésima
de metro cuadrado)
• Milímetro cuadrado: 10−6
m2
(una millonésima de
metro cuadrado)
• barn: 10−28
m2
(metro cuadrado)
3.4.2 Sistema anglosajón de unidades
Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:
• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• acre
3.5 Véase también
• Unidad de medida
• Metrología
• Áreas de figuras geométricas
3.6 Referencias
[1] Heródoto Historias, Libro II.
[2] El problema del área. fca.unl.edu.ar
[3] Spiegel y Abellanas, 1992, p.9
[4] Spiegel y Abellanas, 1992, p. 10
[5] Spiegel y Abellanas, 1992, p. 11

3.7. ENLACES EXTERNOS 11
3.6.1 Bibliografía
• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992).
McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática
aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.
media sobre Área. Commons
ción sobre área.Wikcionario
• Weisstein, Eric W. «Área». En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• El problema del área, en fca.unl.edu.ar
• El valor del área representada gráﬁcamente, en
fca.unl.edu.ar

Capítulo 4
Perímetro
En geometría, el perímetro es la suma de las longitudes
de los lados de una figura geométrica.
El perímetro es la distancia alrededor de una figura de dos di-
mensiones, o la medición de la distancia en torno a algo; la lon-
gitud de la frontera.
La palabra viene del griego peri (alrededor) y metro
(medida). El término puede ser utilizado tanto para la
distancia o longitud, como para la longitud del contorno
de una forma. El perímetro de un círculo se llama lon-
gitud de la circunferencia. La mitad del perímetro es el
semiperímetro.
Calculando el perímetro tiene considerables aplicaciones
prácticas. El perímetro se puede utilizar para calcular la
longitud de la valla requerido para rodear un patio o jar-
dín.
4.1 Aplicaciones prácticas
El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en
la determinación de un polígono o una figura geométrica;
se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como
una valla. El área se utiliza cuando podemos obtener la
superficie interior de un perímetro que se desea cubrir
con algo, tal como césped o fertilizantes.
4.2 Polígonos
3
4
5
6
Los polígonos regulares son necesarios para determinar
los perímetros, no solo porque son las formas más sim-
ples, también porque los perímetros de muchas formas se
calculan mediante la aproximación de ellos.
El primer matemático conocido por haber utilizado este
tipo de razonamiento es Arquímedes, que se aproxima al
perímetro de un círculo rodeándola con polígonos regu-
lares. El perímetro de un polígono es igual a la suma de
las longitudes de sus bordes. En particular, el perímetro
de un rectángulo que es ancho (a) y longitud (l) es igual
a 2a + 2 l. Un polígono equilátero es un polígono que tie-
ne todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un
rombo es un polígono equilátero 4 caras).
Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, uno
debe multiplicar la longitud común de los lados por el
número de lados. Un polígono regular puede ser defini-
do por el número de sus lados y por su radio, es decir,
12

4.4. VÉASE TAMBIÉN 13
la distancia constante entre su centro y cada uno de sus
vértices.
4.3 Ecuaciones
4.3.1 Perímetro de un polígono
El perímetro de un polígono se calcula sumando las lon-
gitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los
triángulos es P = a + b + c, donde a , b y c son las longi-
tudes de cada lado. Para los cuadriláteros, la ecuación es
P = a + b + c + d. Más en general, para un polígono de n
lados:
P = a1 + a2 + a3 + ... + an =
∑n
i=1 ai
donde n es el número de lados y ai es la longitud del lado
i . Es entonces que para un polígono equilátero o regular,
siendo que todos los lados son iguales:
P = na
4.3.2 Círculos
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su lon-
gitud es:
P = 2πr = 2r · π
donde:
P es la longitud del perímetro
π es la constante matemática pi ( π =
3.1415... )
r es la longitud del radio
d es la longitud del diámetro
Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el
diámetro por el número π.
4.3.3 Semicírculo
Un semicírculo es delimitada por un diámetro y la mitad
de una circunferencia, por eso su perímetro es:
P = 2r + r · π = r(2 + π)
o
P = d + (d · π)/2 = d(1 + π/2)
donde:
• P es la longitud del perímetro
• π es la constante matemática pi ( π =
3.14159265... )
• r es la longitud del radio
• d es la longitud del diámetro
4.4 Véase también
• Circunferencia
• Teorema de Pitágoras
• Teorema isoperimétrico
• Geometría
• Plano
• Polígono regular
4.5 Referencias
• Weisstein, Eric W. «Perímetro». En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Semiperímetro». En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
ción sobre perímetro.Wikcionario

Capítulo 5
Isoperimetría
Isoperimetría significa literalmente “con un perímetro
igual”. En matemática, la isoperimetría es el estudio ge-
neral de las figuras geométricas que tienen contornos
iguales.
5.1 El problema isoperimétrico en
el plano
En una región no convexa, una “melladura” en su perímetro pue-
de ser “reflejada” (hacia afuera), para aumentar el área de la
región, manteniendo el mismo perímetro.
El problema isoperimétrico clásico data de la antigüedad.
El problema se puede enunciar como sigue: Entre todas
las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué
curva (si la hay) maximiza el área de la región que encie-
rra? Se puede demostrar que esta cuestión es equivalente
al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en
el plano que cierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) mi-
nimiza el perímetro?
Este problema está relacionado conceptualmente con el
principio de mínima acción de la física, en que puede
ser reescrito: ¿cuál es el principio de acción que encie-
rra la mayor área, con la mayor economía de esfuerzo?
El filósofo y científico del siglo XV, cardenal Nicolás de
Cusa, consideró la acción rotatoria, el proceso por el que
Una región alargada puede hacerse más redonda, manteniendo
fijo su perímetro y aumentando así su área.
se genera un círculo, como el reflejo más directo, en el
dominio de las impresiones sensoriales, del proceso por
el que se crea el universo. El astrónomo y astrólogo ale-
mán Johannes Kepler invocó el principio isoperimétrico
al discutir la morfología del sistema solar, en Mysterium
Cosmographicum (El misterio sagrado del Cosmos, 1596).
Aunque el círculo parece ser la solución obvia al pro-
blema, probar este hecho es bastante difícil. El primer
avance hacia la solución lo hizo el geómetra suizo Jakob
Steiner en 1838, usando un método geométrico llama-
do simetrización de Steiner. Steiner mostró que si existía
una solución, entonces tenía que ser el círculo. La prue-
ba de Steiner la completaron más adelante varios otros
matemáticos.
Steiner comienza con algunas construcciones
geométricas[1]
fáciles de entender; por ejemplo, se
14

5.4. NOTAS Y REFERENCIAS 15
puede demostrar que cualquier curva cerrada que encie-
rra una región que no es completamente convexa puede
ser modificada para encerrar un área mayor “volteando”
las áreas cóncavas para que se vuelvan convexas. Se
puede demostrar además que cualquier curva cerrada que
no sea completamente simétrica puede ser deformada
para encerrar un área mayor. La única forma que es
perfectamente convexa y simétrica es el círculo, aunque
esto, en sí mismo, no representa una prueba rigurosa del
teorema isoperimétrico (ver los enlaces externos).
El teorema se suele enunciar en forma de una desigualdad
que relaciona el perímetro y el área de una curva cerrada
en el plano. Si P es el perímetro de la curva y A es el área
de la región cerrada por la curva, entonces la desigualdad
establece que
4πA ≤ P2
.
Para el caso de un círculo de radio r, tenemos A = πr2
y
P = 2πr, e introduciendo estos valores en la desigualdad
se muestra que el círculo maximiza de hecho el área entre
todas las curvas de perímetro fijo. De hecho, el círculo es
la única curva que maximiza el área.
Hay docenas de pruebas para esta desigualdad clásica.
Varias se comentan en el artículo de Treiberg enlazado
más abajo. En 1901, Adolf Hurwitz dio una prueba pu-
ramente analítica de la desigualdad isoperimétrica clásica
basada en las Series de Fourier y en el teorema de Green.
Las formulaciones modernas de los problemas isoperi-
métricos se dan a veces en términos de geometría subrie-
manniana. En particular, el problema de Dido encuentra
la expresión en términos del grupo de Heisenberg: dado
un arco que conecta dos puntos, la “altura” z de un pun-
to en el grupo de Heisenberg corresponde al área bajo el
arco.
El teorema isoperimétrico se generaliza a espacios de
mayor dimensión: el dominio con volumen 1 con la
superficie mínima es siempre una esfera.
5.2 Véase también
• Dimensión isoperimétrica
• Problema de Dido
En inglés
• Notas sobre la desigualdad isoperimétrica para un
curso
• Treiberg: varias pruebas de la desigualdad isoperi-
métrica
• Bogomolny, Alexander. «Isoperimetric Theorem
and Inequality». Interactive Mathematics Miscellany
and Puzzles (en inglés).
5.4 Notas y referencias
[1] J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Haupt-
sätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and
Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin,
(1882).

Capítulo 6
Teorema de Tales
Tales de Mileto.
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clá-
sica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos
atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el si-
glo VI a. C.
6.1 Los dos teoremas de Tales
El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triángulo semejante a uno previamente exis-
tente (“los triángulos semejantes son los que tienen ángu-
los iguales y sus lados homólogos proporcionales”). Mien-
tras que el segundo desentraña una propiedad esencial de
los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (“en-
contrándose estos en el punto medio de su hipotenusa”),
que a su vez en la construcción geométrica es ampliamen-
te utilizado para imponer condiciones de construcción de
ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son inter-
secadas cada una por dos transversales, los segmentos de
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
las transversales determinados por las paralelas, son pro-
porcionales.
6.2 Primer teorema
Una aplicación del teorema de Tales.
Como deﬁnición previa al enunciado del teorema, es ne-
cesario establecer que dos triángulos son semejantes si
16

6.3. SEGUNDO TEOREMA 17
tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados
son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales
recoge uno de los resultados más básicos de la geometría,
a saber, que:
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras inves-
tigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De
hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse co-
mo que la igualdad de los cocientes de los lados de dos
triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin
embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón
de su fama, se deriva del establecimiento de la condición
de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el
siguiente corolario.
6.2.1 Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de
semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria
proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la ra-
zón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se
mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que,
en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces,
del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente
entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mis-
mo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo
grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos
triángulos son semejantes, se cumple que:
A
B
=
D
C
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su
utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales em-
pleó el corolario de su teorema para medir la altura de la
pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teo-
rema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la
constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguien-
te (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su
vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son
paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los
segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
6.3 Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de
geometría particularmente enfocado a los triángulos rec-
tángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, con-
siste en el siguiente enunciado:
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular
de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplica-
ción de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales
de Mileto.
6.3.1 Demostración
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B
será constante y recto.
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig
2.3), los segmentos

18 CAPÍTULO 6. TEOREMA DE TALES
OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferen-
cia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2α + 2β = π = 180◦
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por
dos, se obtiene:
ABC = α + β =
π
2
= 90◦
Con la expresión anterior el segundo teorema queda
demostrado.
6.3.2 Corolarios
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para
cualquier posición que adopte el vértice B vale la igual-
dad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la
hipotenusa, (véase fig 2.3).
El corolario 2 también surge de aplicar el teorema ante-
rior, para una comprensión intuitiva basta observar la fig
2.2.
6.4 Aplicación (Tales - teorema se-
gundo)
El “segundo teorema” (de Tales de Mileto) puede ser
aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia
k dada, que además pasen por un punto P conocido y
externo a la misma (véase figura).
Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora
desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T
(también desconocido por ahora). Se sabe por simetría
que cualquier radio r de la circunferencia k es perpen-
dicular a la tangente del punto T que dicho radio define
en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es
necesariamente recto.
Construcción de tangentes (líneas rojas) a una circunferencia k
desde un punto P, utilizando el «segundo teorema de Tales».
Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.
Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de
Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP
es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la
hipotenusa OP del mismo.
Entonces marcando el punto H como punto medio de la
hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos
dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la
figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.
Esta última circunferencia trazada se intersecará con la
circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justa-
mente los puntos de tangencia de las dos rectas que son si-
multáneamente tangentes a k y además pasan por el punto
P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar
las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto
el problema.
6.5 Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco),[1]
Tales de Mi-
leto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza
(las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios si-
glos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos
de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a
la leyenda, trató este problema con semejanza de trián-
gulos (y bajo la suposición de que los rayos solares in-
cidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de
semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángu-
los rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C
y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conoci-
ble) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro
lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de mo-
do perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y
B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra.
Realizando las mediciones en una hora del día en que la
sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara
desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando

6.7. ENLACES EXTERNOS 19
a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras,
obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide
hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que A
B = D
C ,
por lo tanto la altura de la pirámide es D = AC
B , con lo
cual resolvió el problema.
6.6 Notas y referencias
[1] Convivio dei Sette Sapienti (2, 147 A)
• Schreiber. Michael. «Thales’ Theorem». The Wol-
fram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram
Research.
• Weisstein, Eric W. «Thales’ Theorem». En Weiss-
tein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Re-
search.
• Munching on Inscribed Angles
• Thales’ theorem explained With interactive anima-
tion
• Aplicaciones del Teorema de Tales

6.8 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
6.8.1 Texto
• Geometría Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa?oldid=85708654 Colaboradores: Maveric149, Youssefsan, PA-
CO, Joseaperez, Moriel, JorgeGG, Pilaf, Larocka, Julie, Sanbec, Vivero, Zwobot, Dodo, Sms, Rsg, Cookie, Tano4595, Jsanchezes, El
Hoy, Lew XXI, Robotito, Rondador, Cinabrium, Pgimeno, Balderai, Ecemaml, Chewie, Elsenyor, Renabot, Digigalos, Kiekvogel, Un-
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Pascow, Greek, Brindys, McOil, Lobo, BuenaGente, Belb, PipepBot, Yix, Tirithel, Prietoquilmes, Jarisleif, Javierito92, HUB, Nicop, Fon-
si80, Farisori, Estirabot, Eduardosalg, Simon perez~eswiki, Leonpolanco, Chriswarrior, Petruss, Poco a poco, Alexbot, Valentin esteva-
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BOT, TobeBot, Halfdrag, Marsal20, Rameshngbot, BF14, Abece, Geoher95, Capo Di Corleone, PatruBOT, TheRandyAlex, Kamikaze-
Bot, Dinamik-bot, Skadia, TjBot, Corrector1, AstroF7, Dark Bane, Jorge c2010, Foundling, GrouchoBot, Maxsienn, Frandzi.rangel, Pedro
Lozano Barroso, GMSraykagesnake, Felipe-nico, Edslov, EmausBot, Bachi 2805, Savh, AVIADOR, HRoestBot, ChessBOT, Allforrous,
1horozco, Edsonlaura, Juan saltillo pedrero, Grillitus, Rubpe19, MercurioMT, Mecamático, Emiduronte, Jcaraballo, ChuispastonBot, Ma-
driCR, Albertojuanse, Waka Waka, WikitanvirBot, Guillelink, Daimond, CocuBot, Forgeby, Antonorsi, Satanás va de retro, Beramendi,
ChuckNorrisTrollFace, AvocatoBot, Ginés90, MetroBot, Arular, Zetaru, Acratta, Mega-buses, Sebaspapi, Lawrence McWallen, Asque-
ladd, DanielithoMoya, Josejames44, DLeandroc, Helmy oved, Alex Filth, Sorin Cojocaru, JuanpiXD2.01587, Legobot, Soljaguar, Ba-
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EmausBot, AVIADOR, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Emiduronte, Waka Waka, Mjbmrbot, Metrónomo, MerlIwBot, JABO, PAADL-
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drodes, Fiquei, Synthebot, BlackBeast, Lucien leGrey, Muro Bot, Edmenb, Bucho, Racso, Adorian, Gerakibot, SieBot, Ctrl Z, PaintBot,
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dosalg, Qwertymith, Leonpolanco, Pan con queso, Alejandrocaro35, Petruss, BetoCG, Alexbot, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, AVBOT,
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der rodriguez reyes, Rubpe19, Emiduronte, Jcaraballo, MadriCR, Waka Waka, WikitanvirBot, Figempa 2a, CocuBot, GM83, MerlIwBot,
TeleMania, Singolox, Dupergabriel, Vagobot, AvocatoBot, Travelour, Ninrouter, PR1iNzIpEh, Acratta, LlamaAl, DanielithoMoya, Santga,
Luis80214, Helmy oved, 2rombos, MaKiNeoH, Tord765, Legobot, Nahuelm85, EnGarde69, Elboy99, Balles2601, Silvia Andino, Jaco-
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Botones, Isha, JAnDbot, VanKleinen, Kved, Muro de Aguas, Gaius iulius caesar, Huzzlet the bot, Humberto, Netito777, Amanuense,
Idioma-bot, Pólux, Snakefang, Jmvkrecords, Biasoli, Bucephala, VolkovBot, Technopat, C'est moi, Galandil, Queninosta, Tarkus, Matdro-
des, House, BlackBeast, MadMan~eswiki, Jmvgpartner, SieBot, Mushii, Loveless, Drinibot, Marcelo, Mel 23, Manwë, Correogsk, Greek,

6.8. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 21
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Hemingway10, Diegusjaimes, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, MystBot, Nallimbot, Vic Fede, Markoszarrate, Barteik, Yonidebot,
Zikhen, ArthurBot, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Ricardogpn, Torrente, Botarel, Sylfred1977, ManuBOT15, HoLiC, BOTi-
rithel, Hprmedina, Vubo, FAL56, Tarawa1943, Axvolution, Edslov, Alexandervieramartiez, EmausBot, ZéroBot, Africanus, JackieBot,
Armandoas, Rubpe19, Emiduronte, Jcaraballo, Waka Waka, Movses-bot, Welteroel, MerlIwBot, JABO, AvocatoBot, Ginés90, MetroBot,
Phorious, Acratta, Freyes295, LlamaAl, Elvisor, Helmy oved, 2rombos, ProfesorFavalli, Baute2010, MaKiNeoH, Addbot, Balles2601,
Andriuja, Totito123, Silvia Andino, Danny Snake, Laberinto16, Simelemontolomeo, Jarould, Daniela dayanna lopez, Maria isabel NACA,
Sfr570, AredQ., Zamzunddv y Anónimos: 467
• Isoperimetría Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Isoperimetr%C3%ADa?oldid=70826897 Colaboradores: Tano4595, Heimy, Robot-
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domo, MastiBot, DumZiBoT, Luckas-bot, Ptbotgourou, Gusbelluwiki, RedBot, Jerowiki, Dinamik-bot, Jorge c2010, Carlo1148, Chuis-
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• Teorema de Tales Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales?oldid=85947296 Colaboradores: Romero Schmidtke, Sab-
but, Moriel, JorgeGG, Pieter, Julie, Rumpelstiltskin, Sanbec, Robin Hood~eswiki, Rosarino, Dodo, RGLago, Cinabrium, Porao, Fmari-
luis, Balderai, Elsenyor, Renabot, Richy, Petronas, Taichi, Magister Mathematicae, LarA, BOT-Superzerocool, Vitamine, BOTijo, .Sergio,
Gaeddal, Echani, Dr Juzam, Heliocrono, Götz, José., Er Komandante, Lasneyx, Voytek s, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1,
Durero, Knax, Marianov, Dbot, Baiji, Jirah~eswiki, Rastrojo, Rosarinagazo, Antur, Jjafjjaf, Gafotas, FrancoGG, Ggenellina, Thijs!bot,
RoyFocker, Alex28, LMLM, Isha, Gusgus, JAnDbot, Nachoseli, Gaius iulius caesar, Gsrdzl, Hidoy kukyo, Bot-Schafter, Humberto, Ne-
tito777, Nioger, Pólux, Jtico, Delphidius, Bucephala, Urdangaray, Technopat, Martiko, Belgrano, Matdrodes, BlackBeast, Lucien leGrey,
Tatvs, Merloi, 3coma14, Muro Bot, C h a n-Wiki, Edmenb, Komputisto, Racso, Kititta, Ctrl Z, Macarrones, Cobalttempest, Drinibot, Mel
23, Manwë, BuenaGente, Copydays, Tirithel, Javierito92, Dnu72, HUB, Addicted04, Farisori, Eduardosalg, Cuchulainn~eswiki, Leonpo-
lanco, Petruss, Juan Mayordomo, Rαge, Raulshc, Açipni-Lovrij, Ravave, Camilo, UA31, AVBOT, DayL6, Holeco, MarcoAurelio, Ialad,
Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, Arjuno3, Saloca, Andreasmperu, Spirit-Black-Wikipedista, Virgi, Roinpa, Oterin, Vic Fede, Sessho-
akat, Dangelin5, Alemon281194, Bostan Serai, Rolling Staﬀ, Miguelal84, SuperBraulio13, ChristianH, Jkbw, Ricardogpn, Metronomo,
Igna, Torrente, Botarel, Manolo felix, BOTirithel, Gusbelluwiki, Hprmedina, Halfdrag, Oxilium, PatruBOT, Neleya, Mr.Ajedrez, Humbe-
fa, Mcac12341234, Foundling, Axvolution, Savh, AVIADOR, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Africanus, Rubpe19, Jcaraballo, Khiari,
Txus.aparicio, Akma72, Waka Waka, Rikhardum, Antonorsi, Wipidedia, MerlIwBot, Engranaje, Williamgual11, Travelour, MetroBot,
Tupakarreloko, Miguelcr7, Acratta, Vetranio, Hector409a, Jkevincl, Creosota, Helmy oved, Master of the beast, Lolero~eswiki, Wachifest,
Unknown person, Marcuswargears, Perryxxx, Addbot, Balles2601, Sandrajueves, ConnieGB, DavosMat, Eslender159, Baltasaurio2014,
Martinasio, JacobRodrigues, Itnas99, Fer Murillo18, Evangelina Slavkes, Jarould, Eavendrell, Jesusedu, Matiia, Egis57, Crystallizedcarbon,
Martina123159, Astro616, Edwin Cardona MTR, Zhamakitodelalomah y Anónimos: 716
6.8.2 Imágenes
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