Secciones Cónicas: Circunferencias, Elipses, Hipérbolas y Parábolas

Secciones Cónicas
Generalidades

Índice general
1 Circunferencia 1
1.1 Propiedades de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Posiciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 La circunferencia y un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 La circunferencia y la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Ángulos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Longitud de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Área del círculo delimitado por una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Circunferencia en topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8.1 Familia de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Circunferencias especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9.1 Circunferencias de Cardanus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9.2 Circunferencia directriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9.3 Circunferencia osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Elipse 9
2.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Elementos de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Puntos de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Ejes de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Excentricidad de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 Excentricidad angular de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.5 Constante de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.6 Directrices de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.7 Elementos gráﬁcos de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Dibujo de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i

ii ÍNDICE GENERAL
2.3.1 Elipse “del jardinero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Modo de determinar los focos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Método de radios vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.4 Método de la tarjeta, compás de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.5 Construcción por aﬁnidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6 Por haces proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.7 La elipse como hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.8 Anamorfosis de una circunferencia en una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Ecuaciones de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 En coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 En coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Formas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Área interior de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.5 Perímetro de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.6 Propiedades notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 La elipse como cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Elipses semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 La elipse en mecánica celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 La elipse en la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Hipérbola 20
3.1 Etimología. Hipérbole e hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Ecuaciones de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Ecuaciones en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Elementos de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Eje mayor o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.2 Eje menor o imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.3 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.4 Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.5 Focos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.6 Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.7 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Parábola (matemática) 24

ÍNDICE GENERAL iii
4.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Propiedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Lado recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Semejanza de todas las parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 Tangentes a la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Ecuaciones de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Ecuación involucrando la distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.2 Ecuación general de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Parábolas no cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5.1 Parábola cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5.2 Parábola semicúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.7 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.10.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.10.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.10.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capítulo 1
Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde
todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los
puntos contenidos en dicha circunferencia o también la
circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo
los puntos de la circunferencia están a una distancia igual
al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad
nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los fo-
cos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices
están en el infinito. También se puede describir como la
sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o
cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados,
cuya apotema coincide con su radio.
La intersección de un plano con una superficie esférica
puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien
un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia,
si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador[1]
La circunferencia de centro en el origen de coordena-
das y radio 1 se denomina circunferencia unidad o
circunferencia goniométrica.[2][3][4][5][6]
1.1 Propiedades de la circunferen-
cia
secante
cuerda
tangente
Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferen-
cia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en
1

2 CAPÍTULO 1. CIRCUNFERENCIA
la circunferencia:
• Centro, es el punto interior equidistante de todos los
puntos de la circunferencia;
• Radio. Es el segmento que une el centro de la cir-
cunferencia con un punto cualquiera de la misma. El
radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a
la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
• Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el
segmento que une dos puntos de la circunferencia
y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del
radio. El diámetro es igual a la longitud de la circun-
ferencia dividida entre π;
• Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos pun-
tos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de
longitud máxima.
• Recta secante. Es la línea que corta a la circunfe-
rencia en dos puntos.
• Recta tangente. Es la línea que toca a la circunfe-
rencia en un sólo punto.
• Punto de Tangencia es el punto de contacto de la
recta tangente con la circunferencia.
• Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las
partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Un arco de circunferencia se denota con el símbolo
sobre las letras de los puntos extremos del arco.
• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos de-
limitados por los extremos de un diámetro.
Diámetros conjugados
Par de diámetros conjugados en una elipse
Dos diámetros de una sección cónica se denominan con-
jugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es
bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la
circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente
conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados
si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un
diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.
Punto interior
Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distan-
cia al centro de la circunferencia es menor que el radio.
El conjunto de todos los puntos interiores se llama inte-
rior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente,
se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es
precisamente la respectiva circunferencia.[7]
1.2 Posiciones relativas

1.3. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA 3
1.2.1 La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro
al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del
centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro
al punto es menor a la longitud del radio.
1.2.2 La circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior, si no tienen ningún punto en común con
ella y la distancia del centro a la recta es mayor que
la longitud del radio.
• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tan-
gencia o tangente) y la distancia del centro a la recta
es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a
una circunferencia es perpendicular al radio que une
el punto de tangencia con el centro.
• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la
corta en dos puntos distintos y la distancia del centro
a la recta es menor a la longitud del radio.
• Segmento circular, es el conjunto de puntos de la
región circular comprendida entre una cuerda y el
arco correspondiente
1.2.3 Dos circunferencias
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relati-
vas, se denominan:
• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distan-
cia que hay entre sus centros es mayor que la suma
de sus radios. No importa que tengan igual o distinto
radio. (Figura 1)
• Tangentes exteriormente, si tienen un punto co-
mún y todos los demás puntos de una son exteriores
a la otra. La distancia que hay entre sus centros es
igual a la suma de sus radios. No importa que tengan
igual o distinto radio. (Figura 2)
• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la
distancia entre sus centros es menor a la suma de sus
radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en
más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes
ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en
los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
• Tangentes interiormente, si tienen un punto co-
mún y todos los demás puntos de una de ellas son
interiores a la otra exclusivamente. La distancia que
hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la
diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener
mayor radio que la otra. (Figura 4)
• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto
común y la distancia entre sus centros es mayor que
0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de
sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio
que la otra.
• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro
(la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio.
Forman una ﬁgura conocida como corona circular o
anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que
la otra. (Figura 5)
• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mis-
mo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos
puntos comunes, necesariamente son circunferen-
cias coincidentes.
1.3 Ángulos en una circunferencia
ángulo
central
ángulo
inscrito
ángulo
semi-inscrito
Ángulos en la circunferencia.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.
Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la
del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunfe-
rencia y sus lados contienen dos cuerdas.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo ar-
co y por tanto son iguales.
La amplitud de un ángulo inscrito en una se-
mi circunferencia equivale a la mayor parte del
ángulo exterior que limita dicha base. (Véase:
arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la cir-
cunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta
tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tan-
gencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la
mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la cir-
cunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad
de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan
sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia
1.4 Longitud de la circunferencia
El interés por conocer la longitud de una circunferencia
surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros
con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio
con la circunferencia.[8]
• La longitud ℓ de una circunferencia es:
ℓ = π · 2r
donde r es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por deﬁnición, es el cociente entre
la longitud de la circunferencia y el diámetro:
π =
ℓ
2r
1.4.1 Área del círculo delimitado por una
circunferencia
Área =
Área del círculo =
π× r2
r2
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = π · r2
1.5 Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circun-
ferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de
todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación an-
terior se simpliﬁca al
x2
+ y2
= r2

1.5. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 5
1 2 3
1
2
3
-1
-2 -1
-2
x
y
-3
-3
x
2
+y
2
= 4
circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
La circunferencia con centro en el origen y de radio la
unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circun-
ferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
se deduce:
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
resultando:
a = −
D
2
b = −
E
2
r =
√
a2 + b2 − F
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
(x1, y1), (x2, y2) ,
la ecuación de la circunferencia es:
(x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0.
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene
por ecuación vectorial:⃗r = ⟨R cos(θ), R sen(θ)⟩ . Don-
de θ es el parámetro de la curva, además cabe destacar
que θ ∈ [0, 2π) . Se puede deducir fácilmente desde la
ecuación cartesiana, ya que la componente X y la compo-
nente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el
radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta
misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando
el parámetro Z libre.
Sea C un punto ﬁjo del plano, r un real positivo, P un pun-
to cualquiera de ℝ2
, la ecuación |P - C|= r es la ecuación
vectorial de la circunferencia de centro C y radio r.[9]
Ecuación en coordenadas polares
(cos t, sen t)
y
x
1
t
Circunferencia unitaria.
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el ra-
dio es c, se describe en coordenadas polares como (r, θ)
r = c.
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto
(s, α) y el radio es c , la ecuación se transforma en:
r2
− 2sr cos(θ − α) + s2
= c2
Ecuación paramétrica de la circunferencia
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se
parametriza con funciones trigonométricas como:
x = a + c cos t, y = b + c sen t, t ∈ [0, 2π]
y con funciones racionales como
x = a + c
(
1−t2
1+t2
)
, y = b +
c
(
2t
1+t2
)
, −∞ ≤ t ≤ ∞ , donde t re-
corre todos los valores reales y se llama pará-
metro.[10]

1.6 Circunferencia en topología
En topología, se denomina circunferencia a cualquier cur-
va cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia
usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional).
Se la puede definir como el espacio cociente determinado
al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.[11]
Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera.
Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican
como S2
.[12]
La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo,
la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- esto
es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado-
y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeo-
morfo con una circunferencia, es igual a 1.[13]
También el
caso de una poligonal cerrada.
1.7 Circunferencia en un plano de
ejes de referencia no ortogona-
les
Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no
se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano
ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos con-
ceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal
ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría.
Se debe tener presente que en este plano una ecuación de
circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta
razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el
plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.
1.8 Otras propiedades
B
B
B
A
A
P
2
3
1
2
3
P P PP P P
• Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan,
el producto de los segmentos formados en la una, es
igual al producto de los segmentos formados en la
otra cuerda, A1P · PB1 = A2P · PB2 .
• El segundo teorema de Tales muestra que si los tres
vértices de un triángulo están sobre una circunferen-
cia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la
circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este la-
do es un ángulo recto (véase arco capaz).
Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
• Dados tres puntos cualesquiera no alineados, exis-
te una única circunferencia que contiene a estos
tres puntos (esta circunferencia estará circunscri-
ta al triángulo definido por estos puntos). Dados
tres puntos no alineados en el plano cartesiano
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) , la ecuación de la cir-
cunferencia está dada de forma simple por la deter-
minante matricial:
det




x y x2
+ y2
1
x1 y1 x2
1 + y2
1 1
x2 y2 x2
2 + y2
2 1
x3 y3 x2
3 + y2
3 1



 = 0.
1.8.1 Familia de circunferencias
Lehmann menciona las siguientes [14]
1. Circunferencias que tienen el mismo centro.
2. Circunferencias que pasan por dos puntos.
3. Circunferencias tangentes a una recta en un punto
fijo.

1.12. ENLACES EXTERNOS 7
4. Circunferencias que pasan por las intersecciones de
dos circunferencias.
1.9 Circunferencias especiales
1.9.1 Circunferencias de Cardanus
Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial
e interiormente, una sobre la otra guardando una razón
entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por
el matemático italiano, Girolamo de Cardano [15]
1.9.2 Circunferencia directriz
Usada en una alternativa deﬁnitoria de la elipse y de la
hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las cir-
cunferencias tangentes a la llamada circunferencia direc-
triz [16]
.
1.9.3 Circunferencia osculatriz
Al tratar de la curvatura de una curva o de una superﬁcie,
en el punto de contacto, además de la tangente se toma
en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada cir-
cunferencia osculatriz[17] [18]
1.10 Véase también
• Círculo
• Circunferencia de Apolonio
• Disco (topología)
• 3-esfera | n-esfera
• Sección cónica
• Elipse | Parábola | Hipérbola
• Teorema segundo de Tales
1.11 Referencias
[1] Editorial Bruño: Geometría Superior
[2] “Introducción a la geometría” Eugenio Roanes Macías.
Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
[3] “Geometría Diferencial” Antonio López de la Rica, Agus-
tín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
[4] “Geometría analítica del plano y del espacio”. Jesús M.
Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
[5] “Cálculus” (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edi-
ción, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
[6] “Cálculo” (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler,
Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006.
ISBN 970-10-5274-9
[7] Correlacionando con conceptos básicos de topología ge-
neral
[8] Boyer: Historia de la matemática
[9] Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
[10] Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor,
Santaló y Balanzat, pág. 76
[11] Diccionario de términos de topología empleados por
Jacques Lacan.
[12] Weisstein, Eric W. «Sphere». En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el
2009.
[13] Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de con-
juntos y a la topología, Editorial Vicens Vives, Barcelona,
España, 1966
[14] Lehmann, Charles H. Geometría Analítica (1980) Edito-
rial Limusa, S. A. Mexico 1, D.F. p.110
[15] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-
0832-7
0832-7
0832-7
[18] Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría Diferencial
pág. 80 Limusa Wiley
1.12 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre círculos y circunferencias. Commons
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje
sobre Circunferencia.Wikiversidad
• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la cir-
cunferencia
• Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Na-
cional de Información y Comunicación Educativa.
Ministerio de Educación, Política Social y Depor-
te de España
• Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes
• Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve,
de la Universidad de Los Andes, Venezuela
• Weisstein, Eric W. «Circunferencia “Circumferen-
ce"». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés).
Wolfram Research.

• Weisstein, Eric W. «Circunferencia y círculo “Cir-
cle"». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés).
Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Disco “Disk"». En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Capítulo 2
Elipse
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya defini-
ción más usual es:
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría
que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de
la generatriz respecto del eje de revolución.[1]
Una elipse
que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide
achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de
su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es
también la imagen afin de una circunferencia [2]
Elipse
2.1 Historia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por
Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atri-
buye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la
sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pap-
pus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era
ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de
una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler intro-
dujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en
1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora
lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas
(Egipto).
Sol.[3]
2.2 Elementos de una elipse
C f a
F2
b
−f−a
F1
−b
e = f ÷ a
0 < e < 1 e = PF2÷PD
d
P
D
PF1+PF2 = 2a
P
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto
a dos ejes perpendiculares entre sí:
• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
9

10 CAPÍTULO 2. ELIPSE
2.2.1 Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del
centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distan-
cias desde cualquier punto P de la elipse a los dos fo-
cos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor
(d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre
dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una cons-
tante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertene-
cerá a la elipse si se cumple la relación:
PF1 + PF2 = 2a
donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.
2.2.2 Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos pun-
tos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las
distancias de cualquier punto a los focos es constante y
equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor dis-
tancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de
la elipse son perpendiculares entre sí.
2.2.3 Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre
su semidistancia focal (longitud del segmento que parte
del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), de-
nominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se
encuentra entre cero y uno.
ε = c
a , con (0 ≤ ε ≤ 1)
Dado que c =
√
a2 − b2 , también vale la relación:
ε =
√
a2
− b2
a2
=
√
1 −
b2
a2
o el sistema:



ε =
c
a
c =
√
a2 − b2
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse
será más redondeada cuanto más se aproxime su excen-
tricidad al valor cero.[4]
La designación tradicional de la
excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se re-
serva para la base de los logaritmos naturales o neperia-
nos. Véase: número e).
2.2.4 Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el
valor de la función trigonométrica seno concuerda con la
excentricidad ε , esto es:
α = sin−1
(ε) = cos−1
(
b
a
)
= 2 tan−1
(√
a − b
a + b
)
;
2.2.5 Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vec-
tores correspondientes a cada punto P de una elipse, los
vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes
de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1
(color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilus-
tra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lu-
gar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la
suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una
cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un
conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

2.2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE 11
C f a d
P
D
0 < e < 1
e = PF÷PD
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
2.2.6 Directrices de la elipse
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta para-
lela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de
la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse
hasta el foco F es una fracción constante de la distancia
perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en
la igualdad:
ε = PF
PD
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad
ε de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con
la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada
como otra definición alternativa de la elipse.
Además de la bien conocida relación ε = f
a , también es
cierto que ε = a
d , también es útil la fórmula d = a
ε .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco
derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya
distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a
la directriz anterior. Ver más adelante cómo se dibuja la
directriz.
2.2.7 Elementos gráficos de la elipse
Nomenclatura
La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.
• Los diámetros principales o ejes principales son
los diámetros máximo y mínimo de la elipse, per-
pendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tra-
dicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C
el menor, aunque también se utilizan otras nomen-
claturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor.
• El centro de la elipse se suele nombrar O (origen).
En la circunferencia los focos coinciden con el cen-
tro.
• Los focos se suelen nombrar con la letra F acompa-
ñada de algún medio de diferenciarlos, F1 - F2, o F'
- F” .
• El diámetro mayor de la elipse se suele designar
2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se
denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia
de cada foco al centro se denomina c.
• Los segmentos que van de cada foco a un punto de
la elipse se denominan radios vectores; la suma de
los radios vectores de cada punto es una constante
igual a 2a.
En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y
puntos importantes de la elipse.
• La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene
como centro el de la elipse, y como radio a. Se pue-
de definir como el lugar geométrico de todos los
pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el
ejemplo).
• Las circunferencias focales (c. f., en verde tam-
bién) son las que tienen como centro cada foco y
como radio 2a. Las circunferencias focales y la prin-
cipal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro
en cada foco (el de la circunferencia focal contraria).
• La recta t en color cian es una tangente por un
punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo sue-
le nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendi-
culares a las tangentes que pasan por los focos, aquí

en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia
focal del foco opuesto. No coinciden con la normal
a la tangente salvo en los extremos de los ejes prin-
cipales.
• Los puntos donde se cruzan las normales con sus
tangentes son los pies de la tangente. Ese punto per-
tenece siempre a la circunferencia principal. Al do-
ble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de
la normal con la circunferencia focal del foco opues-
to.
Diámetros conjugados
Se denominan diámetros conjugados a cada par de diá-
metros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por
el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo
el dibujo de la derecha).
Otra definición es que son conjugados los diámetros cu-
yos afines en una circunferencia afín a la elipse son per-
pendiculares (dibujo de la izquierda).
Los diámetros principales serían también diámetros con-
jugados. Existen varios métodos para hallar los diámetros
principales a partir de los conjugados.
Rectas directrices
La definición de las rectas directrices está en una sec-
ción anterior (véase), y también la definición de la elipse
a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de
la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra
en la siguiente imagen.
Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un
foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el
punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en
el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del
diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al
diámetro mayor.
2.3 Dibujo de la elipse
2.3.1 Elipse “del jardinero”
El método se basa en la definición más corriente de
la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya
Modo de dibujar la elipse conocido como “elipse del jardinero”,
mediante dos puntos fijos y una cuerda
suma de distancias a los focos es constante. Los clavos
o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la
cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En
el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir
la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve
el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los
dos focos.
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve
para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y preci-
sión suficiente, con medios modestos. Ver en la sección
siguiente el modo de determinar los focos a partir de los
ejes.
2.3.2 Modo de determinar los focos
El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un
eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición.
Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás
la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro
en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje
mayor en los focos.
Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a

2.3. DIBUJO DE LA ELIPSE 13
Focos de la elipse, y dimensiones principales
cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del
eje menor.
Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero
debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor,
luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos
tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la
mitad del eje mayor.
2.3.3 Método de radios vectores
También denominado “por puntos"; con este método di-
bujamos un número suﬁciente de puntos mediante el
compás. Como en el método tradicional visto antes usa-
mos los radios vectores y la propiedad de que la suma de
los radios vectores de un punto es igual a la medida del
eje mayor.
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se
toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O
y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y prefe-
riblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.
Tomamos con el compás la distancia de un extremo del
eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Ha-
ciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medi-
da. A continuación tomamos el resto de la medida del eje
mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa
medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos
los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que
pertenecen a la elipse.
Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario
obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a
mano o mediante plantillas de curvas.
2.3.4 Método de la tarjeta, compás de Ar-
químedes
Se puede dibujar la elipse mediante una regla de medir,
un juego de escuadra y cartabón y un lápiz. Dibujamos
los ejes principales con sus medidas, y determinamos los
focos. Tomamos con la regla graduada, desde el 0, la dis-
tancia del centro al extremo del eje mayor, y después des-
de la marca del extremo del eje mayor, restamos la mitad
del eje menor (ver dibujo). Apoyando el 0 de la regla en
cualquier punto del eje menor y la diferencia calculada
en el eje mayor, marcamos la medida del eje mayor. Para
más claridad véase el dibujo.
Animación de los principios del Compás de Arquímedes o
elipsógrafo
Esta misma operación se puede hacer con una tarjeta, y
de ahí su nombre tradicional, haciendo marcas en el borde
con las medidas dadas.
Para construirla con reglas y compás marcamos puntos
arbitrarios en el eje menor. Tomando con el compás la
medida de la mitad de la diferencia entre el eje mayor
y el menor, hacemos centro en los puntos y señalamos
puntos correspondientes en el eje mayor, a ambos lados.
Dibujamos rectas desde los puntos del eje menor a sus co-
rrespondientes del eje mayor, prolongándolas. Sobre esas
rectas, con el compás y desde cada punto del eje mayor,

tomamos la medida de la mitad del eje menor, marcán-
dola sobre la línea, lo que nos da los puntos de la elipse.
Existe una máquina sencilla (un elipsógrafo) hecha a base
de guías o raíles y barras y llamada compás de Arquíme-
des, que se basa en este principio.
2.3.5 Construcción por afinidad
Partimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujan
dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros sean los
de la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cual-
quiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desde
el extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralela
al eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde el
punto donde el radio corta la circunferencia menor traza-
mos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce la
línea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde se
cortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.
Repitiendo la operación se obtienen todos los puntos que
sean necesarios; la elipse se completa a mano o con plan-
tillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistema-
tiza; en lugar de los radios dibujamos diámetros comple-
tos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacen
de una vez mediante paralelas a los ejes.
En este método se puede considerar una de las circunfe-
rencias como una doble transformación afín de la otra, y
los puntos unidos por el mismo radio serían entonces afi-
nes. Una de las líneas auxiliares es la recta de afinidad de
dos puntos (uno en la circunferencia, otro en la elipse),
mientras la otra línea auxiliar da la reducción que corres-
ponde
También se puede considerar la relación de las dos cir-
cunferencias una homología en la que el centro de homo-
logía coincide con el centro de una circunferencia, mien-
tras su homóloga pertenece a un plano paralelo y tam-
bién es concéntrica; estas homologías con rectas límite
impropias son homotecias.
Por afinidad, a partir de conjugados
A partir de dos diámetros conjugados (A-B y C-D) se
puede realizar la siguiente construcción, en la que hace-
mos afines los extremos del diámetro conjugado menor
(C y C', la línea de afinidad en azul) con el de una circun-
ferencia auxiliar de diámetro igual al mayor y perpendi-
cular a él (en rojo), mientras el diámetro mayor es el eje
de afinidad. Cada punto de la circunferencia es afín a otro
de la elipse.
Por afinidad, dentro de un paralelogramo
Una construcción corriente para dibujar una elipse o un
arco de elipse en un paralelogramo es hacerlo afín a otro
ortogonal en el que podamos trazar un arco de circunfe-
rencia o una circunferencia completa. Esto es útil en par-
ticular para elipses proyectadas en axonométrica u otra
proyección cilíndrica.
Como se ve en el dibujo hacemos que dos puntos sean afi-
nes, así como dos rectas que se corten en otra que hará de
eje de afinidad. El resto consiste en ir trasportando puntos

2.3. DIBUJO DE LA ELIPSE 15
y rectas mediante otras rectas afines conocidas, normal-
mente los lados de los paralelogramos o sus diagonales
(véase el dibujo).
En el cubo de la derecha se aprecia el principio que se
aplica. Es importante señalar que en axonométrica este
“truco” no equivale en general a un abatimiento.
2.3.6 Por haces proyectivos
Construcción por haces proyectivos, o del paralelogramo.
En la variante tradicional ponemos tantos puntos en el eje
menor como en los lados del rectángulo paralelos al eje
menor; unimos estos desde los extremos del eje menor (C
y D). Luego pasamos rectas desde esos extremos hasta los
puntos del eje mayor, hasta cortar la recta correspondien-
te. Los puntos de cruce pertenecen a la elipse.
En la segunda imagen vemos el mismo procedimiento
aplicado a dos diámetros conjugados; el rectángulo se ha-
ce romboide, pero sigue funcionando la construcción co-
mo una proyección afín de la otra.
En otra variante (ver imagen animada) dibujamos puntos
a distancias iguales, proporcionales lado a lado, en un rec-
tángulo exterior tangente a la elipse, que tiene los lados
paralelos al eje menor de doble tamaño. Vamos uniendo
en orden cada punto correspondiente como se ve en la
imagen, desde los extremos el eje mayor. Los puntos
que se cortan de las rectas correspondientes pertenecen a
la elipse.
Existen métodos semejantes para trazar la parábola y la
hipérbola.
2.3.7 La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R
= 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r
el radio de la circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene
al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de
la circunferencia directriz.
2.3.8 Anamorfosis de una circunferencia
en una elipse
Determinada trasformación del plano (al deformar el
plano cartesiano), se denomina anamorfosis. El término
Construcción de la elipse según el método del paralelogramo
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10,
r = 5, d = 1.
anamorfosis proviene del idioma griego y significa tras-
formar.
Al transformar una circunferencia o una elipse mediante
una afinidad o una homología el resultado es otra elipse
(o una circunferencia como caso especial de elipse).
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se
divide en una red de cuadrados, cuando dicho plano se
«deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circun-
ferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en
rectángulos. Este procedimiento era muy utilizado para
realizar perspectivas ilusionistas, anamórficas, llamadas
trampantojos.

2.4 Ecuaciones de la elipse
2.4.1 En coordenadas cartesianas
−1 1
xx
1
−1
y
x2
+ xy + y2
= 1
Forma cartesiana centrada en el origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas,
con centro en el origen, es:
x2
a2 + y2
b2 = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde
si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las
ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces
es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF'].
La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal
y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje
mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la
ecuación es:
(x−h)2
a2 + (y−k)2
b2 = 1
2.4.2 En coordenadas polares
Forma polar centrada en origen
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecua-
ción de la elipse es:
(epc 1) r(θ) = 1
cos2
θ
a2
+
sin2
θ
b2
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obli-
ga a pre-calcular la excentricidad ε→
√
1− b2
a2 ), es:
(epc 2) r(θ) = b√
1−ε2 cos2(θ)
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el
semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la
(epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad ε→
√
1− b2
a2
convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario
utilizar la ecuación (epc 2).
Formas polares centradas en un foco
F1 BA
P
r
F2θ
d1 d2
C
Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la
ecuación de la elipse es:
(501) r(θ) = a(1−ε2
)
1+ε cos θ
Para el foco F1:
(502) r(θ) = a(1−ε2
)
1−ε cos θ
Major axis
Minoraxis
Semi-latus rectum
“Semi-latus rectum” (en verde) de la elipse.

2.5. LA ELIPSE COMO CÓNICA 17
En el caso un poco más general de una elipse con el foco
F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ
, la forma polar es:
(503) r(θ) = a(1−ε2
)
1−ε cos(θ−φ) }
El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la
llamada anomalía verdadera del punto y el numerador
de las mismas a(1−ε2
) es el llamado semi-latus rectum
de la elipse, normalmente denotado l . El semi-latus rec-
tum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre
una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el
foco.
2.4.3 Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en
(h, k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
{
x = h + a cos α
y = k + b sin α
con α ∈ [0, 2π) . α no es el ángulo θ del sistema de
coordenadas polares con origen en el centro de la elipse,
sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre
α y θ es
tg θ =
b
a
tg α
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en
(h, k) en la que el parámetro θ sea concordante con el
ángulo polar respecto al centro desplazado (h, k) es:



x = h + 1√
cos(θ)2
a2 +
sin(θ)2
b2
cos θ
y = k + 1√
cos(θ)2
a2 +
sin(θ)2
b2
sin θ
con θ ∈ [0, 2π) . El parámetro θ es el ángulo de un siste-
ma polar cuyo origen está centrado en (h, k) .
2.4.4 Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Área = π · a · b
Siendo a y b los semiejes.[5]
2.4.5 Perímetro de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo
de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expre-
sión sencilla que se aproxima razonablemente a la lon-
gitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida
mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula,
utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b)
de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una
elipse:
P ≈ π
[
3(a + b) −
√
(3a + b)(a + 3b)
]
2.4.6 Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus
componentes, como se puede ver en Analogía de Michel-
son y Morley.
2.5 La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una superficie có-
nica con un plano, de tal manera que la inclinación del
plano no supere la inclinación de la recta generatriz del
cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva
cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o
una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidi-
mensionales se las llama secciones cónicas o simplemente
cónicas.
la elipse como cónica.

2.6 Elipses semejantes
Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferen-
cian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal ma-
nera que multiplicando todas las longitudes por un factor
dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de
utilidad en Física[6]
acerca de la intersección de una recta
con dos elipses semejantes y concéntricas.
Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el ca-
so particular en que las elipses dadas sean dos circun-
ferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando unifor-
memente una de las direcciones coordenadas, mediante
anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en es-
te caso particular, pues todos los segmentos con la misma
pendiente cambian su longitud en la misma proporción.
Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmen-
tos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al
principio.
No deben confundirse las elipses semejantes con las
elipses cofocales.
2.7 La elipse en mecánica celeste
t0
t1
t0
t1
P
Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, “en tiempos igua-
les una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales”.
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales some-
tidas exclusivamente a interacción gravitatoria describen
una órbita elíptica (o circular [7]
) la una en torno a la
otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado
en cualquiera de las masas verá que la otra describe una
elipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por el
propio observador. La excentricidad y otros parámetros
de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de
las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y
el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con
gran precisión porque sus dimensiones son mucho más
pequeñas que las distancias entre ellos. La cinemática de
la órbita se rige por las leyes de Kepler.
En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distin-
tos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de
Kepler: “en tiempos iguales una masa en órbita barre con
su radio vector áreas iguales”. Cuando el “planeta” está
más cerca de la “estrella” va más rápido y cuando está le-
jos va más despacio, pero de tal manera que su velocidad
areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que
las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y
sus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo
iguales, Δt = t1 - t0. La “estrella” está situada en P, uno
de los focos de la elipse.
2.8 La elipse en la vida cotidiana
La elipse es un lugar geométrico que se puede observar
constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de
arte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas y
en los portales.
En la vida cotidiana se puede observar en los vasos de
agua cuando los inclinamos para beber que se forma una
elipse. En las estaciones de metro alguna vez te habrás
preguntado por qué se oye la conversación de algunas per-
sonas que están en el otro andén como si estuviesen al la-
do tuyo, éso es por el efecto de la elipse y significa que
las personas integrantes de esa conversación estáis cerca
de los focos de la elipse. Ésto ocurre porque las palabras
se transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algún
lugar. Hay una propiedad de la elipse que dice que una
linea secante a una elipse rebota en uno de los puntos de
corte conte ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es lo
que pasa en las estaciones de metro ya que tienen forma
de elipse.
2.9 Véase también
• Secciones cónicas
• Parábola
• Hipérbola
• Circunferencia
• Superelipse
• Leyes de Kepler
• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Esferas de Dandelin
• Lemniscata
2.10 Referencias
[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de
revolución, es menor que el comprendido entre la ge-
neratriz y el eje de revolución, la intersección será una

hipérbola. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y
una circunferencia si es perpendicular dicho eje.
[2] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas 84-220-0832-7
[3] Weisstein, Eric W. «Elipse». En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
[4] Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadi-
namica
[5] Ejemplo en educaplus
[6] Ellipsoidal Figures of Equilibrium de S. Chandrasekhar,
1969, Yale University.
[7] Según Platón y Aristóteles las órbitas de los planetas eran
circulares. Claudio Ptolomeo en su Teoría geocéntrica ob-
servó los epiciclos y Kepler vio que los planetas describían
elipses en torno al Sol.
media sobre Elipse. Commons
• Weisstein, Eric W. «Elipse». En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Ejercicios resueltos y video tutorial
• Actividad escolar para estudiar la elipse.
• Cálculo del perímetro de una elipse
• Animación de un plano seccionando un cono y de-
terminando la curva cónica elipse.
• Cómo trazar una elipse de dimensiones preﬁjadas.
•

Capítulo 3
Hipérbola
F2 F1
D1D2
P
e·PD1
e >1
a−a
a/e
C
ae
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas disconti-
nuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas
rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea
negra que une los vértices es el eje transversal. La delgada línea
perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado.
Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por
lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices,
D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las
distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de
los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se en-
cuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al
centro.
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección có-
nica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando
un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y
con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje
de revolución.[1]
3.1 Etimología. Hipérbole e hipér-
bola
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso),
y es cognado de hipérbole (la ﬁgura literaria que equivale
a exageración).
Secciones cónicas.
3.2 Historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descu-
biertas por Menecmo, en su estudio del problema de la
duplicación del cubo,[2]
donde demuestra la existencia
de una solución mediante el corte de una parábola con
una hipérbola, lo cual es conﬁrmado posteriormente por
Proclo y Eratóstenes.[3]
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue
Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,[4]
considerada
obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y
donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones
cónicas.
3.3 Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una
hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0, 0)
y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
x2
a2
−
y2
b2
= 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k)
20

3.4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 21
Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola inter-
seca ambas ramas del cono.
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
Ejemplos:
a)
(x)2
25
−
(y)2
9
= 1
b)
(y)2
9
−
(x)2
25
= 1
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal;
si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipér-
bola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geomé-
trico formado por un conjunto de puntos z , en el plano
ReIm ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condi-
ción geométrica de que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias |z − w1| − |z − w2| , a dos puntos ﬁ-
jos llamados focos w1 y w2 , es una constante positiva
igual al doble de la distancia (o sea 2l ) que existe entre
su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: |z − w1| − |z − w2| = 2l
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el con-
junto de los números complejos.
3.4 Ecuaciones en coordenadas po-
lares
Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
r2
= a sec 2θ
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
r2
= −a sec 2θ
Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
r2
= a csc 2θ

22 CAPÍTULO 3. HIPÉRBOLA
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
r2
= −a csc 2θ
Hipérbola con origen en el foco derecho:
r(θ) = a(ε2
−1)
1−ε cos θ
Hipérbola con origen en el foco izquierdo:
r(θ) = a(ε2
−1)
1+ε cos θ
3.5 Ecuaciones paramétricas
Imagen de sección cónica.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
x = a sec t + h
y = b tan t + k
o
x = ±a cosh t + h
y = b sinh t + k
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
x = a tan t + h
y = b sec t + k
o
x = a sinh t + h
y = ±b cosh t + k
En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro
de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es
la longitud del semieje menor.
3.6 Elementos de la hipérbola
3.6.1 Eje mayor o real
El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen
los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es
perpendicular al eje imaginario
3.6.2 Eje menor o imaginario.
El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con
la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las
perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las
perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor
en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.
3.6.3 Asíntotas
Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola
y veriﬁcan que se acercan ramas de la misma tanto más
cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a
x
3.6.4 Vértices
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta
corta a sus ejes.
3.6.5 Focos
Son dos puntos, F1 y F2 , respecto de los cuales permane-
ce constante la diferencia de distancias (en valor absoluto)
a cualquier punto, x , de dicha hipérbola.
|d(F1, x) − d(F2, x)| = cte
3.6.6 Centro
Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.
3.6.7 Tangentes
La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva
es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de
ese punto.
3.7 Véase también
• Geometría analítica

• Recta
• Circunferencia
• Elipse
• Parábola
3.8 Referencias
[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de re-
volución, es mayor que el comprendido entre la generatriz
y el eje de revolución, la intersección será una elipse.
Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una
circunferencia si es perpendicular al eje.
[2] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathema-
tics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford Univer-
sity Press. OCLC 2014918.
[3] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en
inglés). Consultado el 2 de junio de 2008 de 2008.
[4] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga»
(en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.
media sobre Hipérbola. Commons
• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre hipér-
bola
• Animación de un plano seccionando un cono y de-
terminando la curva cónica hipérbola
• Apollonius’ Derivation of the Hyperbola at
Convergence
• Unit hyperbola en PlanetMath
• Conic section en PlanetMath
• Conjugate hyperbola en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. «Hipérbola». En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Capítulo 4
Parábola (matemática)
Secciones cónicas.
La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de pa-
rábolas.
En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es
la sección cónica de excentricidad igual a 1,[1]
resultante
de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de in-
clinación respecto al eje de revolución del cono sea igual
al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo
tanto paralelo a dicha recta.[2][nota 1][nota 2]
Se define tam-
bién como el lugar geométrico de los puntos de un plano
que equidistan de una recta llamada directriz,[nota 3]
y un
punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyec-
tiva, la parábola se define como la curva envolvente de
las rectas que unen pares de puntos homólogos en una
proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias
aplicadas debido a que su forma se corresponde con las
gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son
parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se
mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver
movimiento parabólico y trayectoria balística).
4.1 Historia
La tradición indica que las secciones cónicas fueron des-
cubiertas por Menecmo en su estudio del problema de
la duplicación del cubo,[3]
donde demuestra la existencia
de una solución mediante el corte de una parábola con
una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por
Proclo y Eratóstenes.[4]
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue
Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,[5]
considerada
obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y
donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones
cónicas.
Si un cono es cortado por un plano a través
de su eje, y también es cortado por otro plano
que corte la base del cono en una línea recta
perpendicular a la base del triángulo axial, y
si adicionalmente el diámetro de la sección es
paralelo a un lado del triángulo axial, entonces
cualquier línea recta que se dibuje desde la
sección de un cono a su diámetro paralelo a
la sección común del plano cortante y una de
las bases del cono, será igual en cuadrado al
rectángulo contenido por la línea recta cortada
por ella en el diámetro que inicia del vértice
de la sección y por otra línea recta que está en
razón a la línea recta entre el ángulo del cono
y el vértice de la sección que el cuadrado en
la base del triángulo axial tiene al rectángulo
contenido por los dos lados restantes del
triángulo. Y tal sección será llamada una
parábola
Apolonio de Perge
24

4.2. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS 25
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico
refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su fo-
co, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales.
La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nue-
vamente en la búsqueda de una solución para un problema
famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado
el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
4.2 Propiedades geométricas
Diferentes elementos de una parábola.
Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (ver-
de), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola
(azul)
Aunque la identificación de parábola con la intersección
entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con
el eje de revolución del cono igual al que presenta su ge-
neratriz, es exacta, es común definirla también como un
lugar geométrico:
De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se
puede construir una parábola que los tenga por directriz
y foco respectivamente, usando el siguiente procedimien-
to: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une
con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz
(o perpendicular por el punto medio) del segmento TF.
La intersección de la mediatriz con la perpendicular por
T a la recta directriz da como resultado un punto P que
pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para di-
ferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la
parábola como sea necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la pa-
rábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la
directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de
la parábola con tal recta (conocida como eje de la pará-
bola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya
distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el
vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio
focal.
4.2.1 Lado recto
El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que
pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce
como lado recto.
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las res-
pectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por
W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa
que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden
FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el
segmento FV (la distancia focal).
Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos
del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, con-
secuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, jun-
to con la construcción mencionada en la sección anterior.
Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma
perpendicular, precisamente en el punto de proyección W
del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para
construir una aproximación geométrica del foco y la di-
rectriz cuando éstos son desconocidos.
4.2.2 Semejanza de todas las parábolas
Dado que la parábola es una sección cónica, también pue-
de describirse como la única sección cónica que tiene
excentricidad e = 1 . La unicidad se refiere a que todas

26 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la
que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma
forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las pará-
bolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erró-
neamente que los parámetros de la ecuación cambian la
forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha.
La verdad es que todas las parábolas tienen la misma for-
ma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay pa-
rábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la direc-
triz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar
la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la mis-
ma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del
punto a la directriz.
4.2.3 Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia
y su proyección.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una
parábola establece:
Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cual-
quiera de la misma y T a la proyección de este sobre la
directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual
es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como
se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando ve-
rificar si es tangente a la parábola en el punto P.
Uso de las propiedades de las tangentes para construir una pa-
rábola mediante dobleces en papel.
Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección
en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces
FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto
de la parábola, se concluye que toda la parábola está de
un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta,
no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP,
esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en
P.
4.3 Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente
refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en direc-
ción al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las
antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el prin-
cipio concentrando señales recibidas desde un emisor le-
jano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, me-
diante un reflector parabólico tiene su aplicación en pe-
queñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de
energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, en-
viará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas
y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflec-
tantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados
de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o
divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
• La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos
al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco,
enviará un haz de rayos paralelos al eje.
• Los radiotelescopios concentran los haces de señales
en un receptor situado en el foco. El mismo principio
se aplica en una antena de radar.
• Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo
método se emplea en las grandes centrales captado-
ras de energía solar.

4.4. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 27
• Los faros de los automóviles envían haces de luz pa-
ralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una su-
perficie parabólica.
4.4 Ecuaciones de la parábola
Parábolas tipo y = ax2
, con a = 4, 1, 1
/4 y 1
/10.
Prueba geométrica de la relación y = ax2
.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un
estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones
y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coin-
cide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la
forma y = ax2
donde el parámetro a especifica la escala
de la parábola, incorrectamente descrita como la forma
de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las pa-
rábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es
positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es
negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible
hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación
geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba
presente en los trabajos de Apolonio,[3]
y se bosquejará a
continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como
sección de un cono recto de forma paralela a la direc-
triz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al
eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y
PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa
por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K
paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
QV 2
= HV · V K .
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA
son semejantes y así:
HV
P V = HK
KA = BC
AC .
Usando nuevamente los paralelismos:
V K
P A = HK
HA = BC
BA .
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV²
resulta en
QV 2
= HV · V K =
(BC·P V
AC
) (BC·P A
BA
)
=
(
BC2
·P A
BA·AC
)
PV
.
Pero el valor de
(
BC2
·P A
BA·AC
)
es una constante pues no de-
pende de la posición de V, por lo que haciendo
a = BA·AC
BC2·P A ,
arroja la expresión moderna y = ax2
.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obte-
ner ahora la ecuación de una parábola vertical para cual-
quier posición de su vértice.
agrupando los términos y reordenando se obtiene una for-
ma equivalente:
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones simi-
lares pero intercambiando y por x y viceversa. Así ten-
dríamos:
4.4.1 Ecuación involucrando la distancia
focal
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo
vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación.
Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una pa-
rábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz
queda automáticamente fija como la perpendicular a la lí-
nea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia
del último.

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
x
y
Ecuación de una parábola vertical.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0)
y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta hori-
zontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice
y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este
caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración
se tiene:
De forma alterna:
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la lon-
gitud del lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que
se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que
se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo.
En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se
obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de
x, y:
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de
las parábolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en
el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso
común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x
con y:.
4.4.2 Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes
paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta
forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una
parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un
par de ejes de coordenadas ortogonales.
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un
sistema de referencia en el que la ecuación anterior se ex-
prese mediante una fórmula algebraica de la forma ax’2
+ bx’ + c = 0, donde a es distinto de cero.
4.5 Parábolas no cuadráticas
En matemáticas pueden definirse otras funciones cuyas
representaciones gráficas también suelen denominarse
parábolas. Sin embargo sus formas no se corresponden
con la de la figura geométrica de una parábola.
4.5.1 Parábola cúbica
La parábola cúbica esta definida por la ecuación
y = ax3
Su gráfica es simétrica con respecto al origen de coorde-
nadas. Si a > 0 la gráfica es creciente. El punto (0,0) es
punto de inflexión. Es derivable en todo su dominio.[6]
.
4.5.2 Parábola semicúbica
La parábola semicúbica queda definidad por la ecuación
y = ax
3
2
y en forma paramétrica por

4.8. REFERENCIAS 29
x = t2
, y = at3
En el punto de origen en las coordenadas tiene un punto
de retroceso. No tiene asíntotas. La curvatura
K = 6a√
x(4+9a2x)
3
2
toma todos los valores desde ∞ hasta 0.
La longitud de la curva desde el origen (0,0) hasta el punto
H(x, y) es
L = [(4+9a2
x)
3
2 −8]
27a2
[7]
4.6 Véase también
• Ecuación de segundo grado
• Completar el cuadrado
• Paraboloide
• Elipse
• Hipérbola
4.7 Notas
[1] Nótese que no cualquier plano paralelo a una generatriz
del cono producirá una parábola. Para que lo haga, el plano
de corte deberá además ser perpendicular al plano deﬁnido
por el eje de rotación y la generatriz de la cual el plano de
corte es paralelo. La condición indispensable para que la
intersección forme una parábola es que el ángulo entre el
plano de corte y el eje de rotación o directriz del cono sea
igual al que presenta cualquier generatriz con dicho eje.
[2] Si el ángulo que forma el plano de intersección con el eje
de revolución o directriz del cono, es mayor que el com-
prendido entre dicho eje y la generatriz, entonces la inter-
sección será una elipse. Será una hipérbola si dicho ángulo
es menor al citado, y una circunferencia si el plano es per-
pendicular al eje.
[3] Nótese que aunque por directriz de un cono se reconoce
a su eje de revolución, en el caso de la parábola se trata
de una recta exterior a ella, y perpendicular a su eje de
simetría.
4.8 Referencias
[1] Christopher Clapham. Diccionarios Oxford- Compluten-
se. Matemáticas. ISBN 84-89784-56-6
[2] Rey Pastor- Santaló- Balanzat. Geometría Analítica. Edi-
ciones Eudeba
[3] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathema-
tics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford Univer-
sity Press. OCLC 2014918.
[4] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en
inglés). Consultado el 2 de junio de 2008 de 2008.
[5] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga»
(en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.
[6] Granville y otros. Cálculo diferencial e integral
[7] Bronshtein-Semendiaev. Manual de matemáticas para in-
genieros y estudiantes. Editorial Mir, Moscú (1982), cuar-
ta edición
media sobre Parábola. Commons
• Wikisource en inglés contiene el artículo
de la Encyclopædia Britannica de 1911 sobre
Parabola.Wikisource
• Animación de un plan seccionando un cono y deter-
minando la curva cónica parábola.
• Apollonius’ Derivation of the Parabola at
Convergence
• Weisstein, Eric W. «Parábola». En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Teoría, ejemplos y ejercicios resueltos sobre pará-
bola
• Interactive parabola-drag focus, see axis of sym-
metry, directrix, standard and vertex forms
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at
Cut-the-Knot
• Two Tangents to Parabola at Cut-the-Knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at Cut-the-
Knot
• Parabolic Mirror at Cut-the-Knot
• Three Parabola Tangents at Cut-the-Knot
• Module for the Tangent Parabola
• Focal Properties of Parabola at Cut-the-Knot

• Parabola As Envelope II at Cut-the-Knot
• The similarity of parabola at Dynamic Geometry
Sketches
• Un método para dibujar una parábola con una cuer-
da y tachuelas
• El artículo «Parabola» en la Wikipedia inglesa En
inglés. Muchos detalles.

4.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 31
4.10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
4.10.1 Texto
• Circunferencia Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia?oldid=86000098 Colaboradores: AstroNomo, Youssefsan, Joseape-
rez, Moriel, Cdlfd, Rosarino, Crescent Moon, Sms, Tano4595, Balderai, Laminitania, Dat, Kordas, Elsenyor, Boticario, Airunp, Taichi,
Magister Mathematicae, Alhen, Superzerocool, Pertile, Jekter, Yrbot, Maleiva, Vitamine, .Sergio, Icvav, GermanX, Wewe, Beto29, Ar-
min76, JAGT, Gaijin, The Photographer, YoaR, Bichologo, Docorreas, Banfield, Kepler Oort, Götz, Maldoror, Er Komandante, Alex-
quendi, Sigmanexus6, Jorgechp, Juan Marquez, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, JMCC1, Alexav8,
Marianov, Retama, Santhy, Roberpl, Davius, Rastrojo, Scorge, Escarlati, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Alvaro qc, Srengel, Cansado, Maha-
deva, Escarbot, Yeza, RoyFocker, IrwinSantos, Egaida, Martin Rizzo, Arcibel, Gusgus, Mpeinadopa, JAnDbot, Hosg, Rafa3040, Gsrdzl,
TXiKiBoT, Mercenario97, Huzzlet the bot, Elisardojm, Humberto, Netito777, Nicozk, Nioger, Amanuense, Pólux, Jmvkrecords, Biasoli,
VolkovBot, Technopat, C'est moi, Galandil, Raystorm, Matdrodes, DJ Nietzsche, BlackBeast, Lucien leGrey, Muro Bot, Bucho, Rige-
nea, Drinibot, Bigsus-bot, BOTarate, Mel 23, Belb, Tirithel, XalD, Javierito92, HUB, Sonsaz, Nicop, Makete, Eduardosalg, Electronvolt,
Leonpolanco, Charly genio, Botito777, Poco a poco, BetoCG, Ener6, Juan Mayordomo, Raulshc, Julian leonardo paez, Shini kahn, Cami-
lo, UA31, Shalbat, Ucevista, AVBOT, Elliniká, David0811, MastiBot, Angel GN, Ialad, Diegusjaimes, Genio01, Kokokiki~eswiki, JAn
Dudík, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou, Dangelin5, Barteik, Joarsolo, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Ricar-
dogpn, Artur12345~eswiki, Kismalac, Muro Bot 2, Botarel, RubiksMaster110, Liberman~eswiki, Sanmaz, Itsukki, KES47, MAfotBOT,
Gusbelluwiki, Llsalcedo, Hprmedina, FAL56, Roberto Beroiza, Jerowiki, Boehm, Paloma 9729, PatruBOT, KamikazeBot, Fran89, Hum-
befa, Tarawa1943, Uriel kamikaze, Proferichardperez, CentroBabbage, Foundling, Axvolution, Edslov, EmausBot, Savh, ZéroBot, Sergio
Andres Segovia, Africanus, Grillitus, Maria413, Emiduronte, ChuispastonBot, Khiari, Waka Waka, WikitanvirBot, Seba.barra97, Omar-
tinezmon 96, MerlIwBot, JSGASPAR, Sebrev, NICO EL GRANDE II, CameraPsx, Jorgexx97, Acratta, LlamaAl, Érico Júnior Wouters,
Hecobra78, Megajackdark, Helmy oved, Baticonsola, Adolfobrigido, Addbot, Balles2601, PierreAndroid, Machana349, Josue Tellez Nava,
Macofe, Dubanhoy, Meavisz, Jarould, Mihermano2000, Gionel~eswiki, Ivaneschido, Solisdaniela y Anónimos: 697
• Elipse Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse?oldid=85956652 Colaboradores: Zuirdj, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Sauron, Cdlfd,
Rosarino, Dodo, Pybalo, Xgarciaf, Tano4595, Porao, Balderai, Ecemaml, Kordas, Digigalos, Deleatur, Airunp, Taichi, Rembiapo pohyiete
(bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Alhen, Chobot, Yrbot, FlaBot, Vitamine, YurikBot, GermanX, Gaijin, KnightRider, The
Photographer, No sé qué nick poner, C-3POrao, Psychophanta, Götz, Er Komandante, Cheveri, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard Delgado
Gonzalo, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Davius, Rosarinagazo, Antur, Snow white dntwry, Fsd141, Thijs!bot, Cansado, RoyFocker,
Csoliverez, Malguzt, Cratón, Isha, MSBOT, JAnDbot, Hosg, Wybot, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Xosema, Alephcero~eswiki, R2D2!,
Geolugh, Humberto, Netito777, Rei-bot, Pólux, BL, Jmvkrecords, Jtico, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Ela-
bra sanchez, Synthebot, Carcediano, BlackBeast, AlleborgoBot, IIM 78, NudoMarinero, Muro Bot, Srbanana, SieBot, THINK TANK,
Cobalttempest, Drinibot, Buisqui, Fismaner, Yix, Tirithel, Javierito92, Antón Francho, Mandarria, Nicop, Makete, Eduardosalg, Electron-
volt, Leonpolanco, Charly genio, Mar del Sur, Alecs.bot, Petruss, Açipni-Lovrij, Osado, Ravave, SilvonenBot, UA31, Galois76, AVBOT,
David0811, Louperibot, MastiBot, Diegusjaimes, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Roinpa, FariBOT, Vic Fede, DSisyphBot, Em-
manuele, SuperBraulio13, Xqbot, Jaimeag, Jkbw, Ricardogpn, Mctpyt, Kismalac, Botarel, Felgest, MAfotBOT, Gusbelluwiki, Hprmedina,
Boehm, PatruBOT, Humbefa, Nachosan, Proferichardperez, Foundling, Moran-Tao, Edslov, GADESTEC, ZéroBot, ChessBOT, Fargue,
ChuispastonBot, Palissy, SaeedVilla, MerlIwBot, UAwiki, Jcuadra2, Imperius, Acratta, Alberto Uecke, Legobot, Seroto, Balles2601, Chu-
papene21, Marinero Vakulinchuk, JacobRodrigues, Bel.1D, Jarould, Egis57, Luis.Ampliacion y Anónimos: 320
• Hipérbola Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola?oldid=85754645 Colaboradores: AstroNomo, Joseaperez, Sabbut,
Moriel, Carlos Castañeda Girón, Cdlfd, Interwiki, Sms, Tano4595, Ecemaml, Renabot, Richy, Boticario, Rembiapo pohyiete (bot), Heliox,
Magister Mathematicae, RobotQuistnix, LarA, Alhen, Chobot, Akhram, Yrbot, BOT-Superzerocool, FlaBot, GermanX, LoquBot, Gaijin,
KnightRider, M0m0, C-3POrao, Eskimbot, Banfield, Götz, Er Komandante, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo, CEM-bot,
JMCC1, Especiales, Marianov, Dorieo, FrancoGG, Fsd141, Thijs!bot, Mahadeva, Ángel Luis Alfaro, Gavaro, Arcibel, JAnDbot, Hosg,
TXiKiBoT, Dhcp, Netito777, Pedro Nonualco, Pececito, Pólux, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Elabra sanchez, Allebor-
goBot, Muro Bot, Gerakibot, SieBot, PaintBot, Mauricio fdez, Victor darkdemon90, Bigsus-bot, Mel 23, OboeCrack, Tirithel, Jarisleif, Don
coprofia, DragonBot, Leonpolanco, Charly genio, Alecs.bot, Petruss, Takashi kurita, UA31, Ente X, AVBOT, Diegusjaimes, DumZiBoT,
Arjuno3, Luckas-bot, Dangelin5, Volt4, Xqbot, Jkbw, -Erick-, Botarel, RubiksMaster110, Gusbelluwiki, RedBot, DixonDBot, Jerowi-
ki, AnselmiJuan, PatruBOT, Jorge c2010, EmausBot, Ganiserb, Savh, MercurioMT, Kmnm70, Antonorsi, Jcuadra2, Imperius, Acratta,
LlamaAl, Rotlink, Alan, Addbot, Balles2601, SharksShade, Jarould, Egis57, BenjaBot, Visemend y Anónimos: 153
• Parábola (matemática) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)?oldid=85696274 Colaboradores:
Andre Engels, Youssefsan, Oblongo, Fibonacci, Moriel, Cdlfd, Vivero, Paz.ar, Dodo, Tostadora, B1mbo, Tano4595, Dianai, Jag2k4, Porao,
Ecemaml, Kordas, Renabot, Airunp, Yrithinnd, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Platonides, Superze-
rocool, Chobot, Yrbot, FlaBot, .Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, Icvav, GermanX, JAGT, The Photographer, No sé qué nick poner,
INYCA, Banfield, Götz, Maldoror, Angel.F, Er Komandante, Carlos Alberto Carcagno, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo,
CEM-bot, Chuffo, 333, JMCC1, Xexito, Baiji, Zerosxt, Gafotas, Fsd141, Thijs!bot, Cansado, Escarbot, Yeza, IrwinSantos, Idealis~eswiki,
Botones, Isha, Hanjin, MSBOT, Gusgus, JAnDbot, Johns, Kved, Hosg, TXiKiBoT, Mercenario97, HiTe, Gustronico, Humberto, Rei-bot,
Chabbot, Felipebm, Pólux, Cinevoro, VolkovBot, Technopat, Galandil, Matdrodes, Elabra sanchez, BlackBeast, Lucien leGrey, Isb1009,
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mes, Marcelo, STBot~eswiki, Tirithel, Javierito92, Antón Francho, Nicop, PixelBot, Makete, Leonpolanco, Charly genio, DrCapi, Raulshc,
Kadellar, Camilo, UA31, AVBOT, David0811, LucienBOT, MastiBot, Diegusjaimes, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou,
Jotterbot, Vic Fede, Dangelin5, Barteik, Draxtreme, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Carlos Molina Fisico, -Erick-, Ricardogpn, Igna, Carlos
M199, Botarel, RubiksMaster110, Gusbelluwiki, Hprmedina, TobeBot, Proferichardperez, Foundling, Bolt58, Ivanpares, Miss Manzana,
Axvolution, EmausBot, Hulp, Sergio Andres Segovia, Africanus, Rubpe19, DOwenWilliams, Emiduronte, Antonorsi, Pedro abraham ra-
mirez, MerlIwBot, TeleMania, Deivis, Sebrev, Jcuadra2, Travelour, Invadibot, Acratta, Helmy oved, Rotlink, Addbot, JacobRodrigues,
Manuel Balarezo, Jarould, Crystallizedcarbon, BenjaBot, X2y3 y Anónimos: 307
4.10.2 Imágenes
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Language and Archeology, Vol. 34, 1896, p.75-76 Artista original: Ludwig Borchardt
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4.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 33
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ElipseDiametrosConjugadosIII.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Marinero Vakulinchuk
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ElipseDimensionesDefinicion_b.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Marinero Vakulin-
chuk
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